Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16 1.1.3 Βασικές θεωρήσεις και απαιτούμενα βήματα για την ανάπτυξη αριθμητικού αλγόριθμου...17 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΡΟΗΣ...20 1.2.1 Συνέχειας της μάζας...21 1.2.2 Διατήρηση της ορμής...24 1.2.3 Διατήρηση της ενέργειας...30 1.3 ΡΟΪΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.....33 1.3.1 Ροϊκή γραμμή.....33 1.3.2 Ροϊκή συνάρτηση.......34 1.3.3 Κυκλοφορία-στροβιλότητα......37 1.4 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΗ...39 1.5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ.......43 1.5.1 Πεπερασμένες διαφορές....... 44 1.5.2 Πεπερασμένα στοιχεία... 44 1.5.3 Πεπερασμένοι όγκοι...45 1.5.4 Οριακές και αρχικές συνθήκες ροής......45 1.5.5 Επίλυση.......45 1.6 ΕΙΔΗ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. 46 1.6.1 Τάξη, γραμμικές και μη γραμμικές εξισώσεις.........46 1.6.2 Ελλειπτικές εξισώσεις.....47 1.6.3 Παραβολικές εξισώσεις....48 1.6.4 Υπερβολικές εξισώσεις......49 1.6.5 Σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως...51 1.6.6 Χαρακτηρισμοί ειδών μερικών διαφορικών εξισώσεων.....53

2 Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Διαφορών... 55 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟ............55 2.2 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ........59 2.3 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ (ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ)........62 2.3.1 Αναπαράσταση εξισώσεων ροής με πεπερασμένες διαφορές...62 2.3.2 Αναπαράσταση οριακών συνθηκών με πεπερασμένες διαφορές...65 2.3.3 Τρόποι επίλυσης ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων...69 2.3.4 Ευθείς τρόποι επίλυσης... 70 2.3.5 Επαναληπτικοί τρόποι επίλυσης...73 2.4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ TEXNIKΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ...73 2.4.1 Τεχνική Jacobi...73 2.4.2 Τεχνική Gauss-Seidel...75 2.4.3 Τεχνική των διαδοχικών υπερχαλαρώσεων Gauss-Seidel....80 2.4.4 Τεχνική Τhomas...88 2.5 ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΕΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ....92 2.6 ΡΟΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝΔΡΟ. ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ. ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΟΝΤΑ ΣΕ ΣΤΕΡΑ ΟΡΙΑ...93 2.6.1 Μορφοποίηση προβλήματος ροής γύρω από κύλινδρο...93 2.6.2 Ανάπτυξη με πεπερασμένες διαφορές...95 2.6.3 Πολλαπλά δίκτυα και υπολογισμοί...96 2.6.4 Υπολογισμός ταχυτήτων...100 2.7 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ...103 2.7.1 Ροή μέσα σε κλειστούς αγωγούς και ροϊκή συνάρτηση...103 2.7.2 Ροή σε πορώδη μέσα με συνάρτηση δυναμικού...108 2.8 ΜΗ ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ (ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ)...116 2.8.1 Οριακές και αρχικές συνθήκες ροής...116 2.8.2 Ρητές τεχνικές...117 2.8.3 Πεπλεγμένες τεχνικές...119 2.8.4 Επίλυση των εξισώσεων των πεπλεγμένων τεχνικών...121

2.9 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΗ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕ ΡΗΤΗ ΤΕΧΝΙΚΗ...121 2.9.1 Συνεκτική ροή μεταξύ ακίνητων πλακών....121 2.9.2 Μετάδοση βαθμωτού μεγέθους...126. 2.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΗ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΤΕΧΝΙΚΗ...130 2.10.1 Συνεκτική ροή μεταξύ ακίνητων πλακών. Πεπλεγμένη τεχνική Crank-Nicholson...130 2.10.2 Συνεκτική ροή μεταξύ πλακών η μία εκ των οποίων κινείται. Πεπλεγμένη τεχνική Crank-Nicholson 133 2.11 ΜΗ ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ (ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΡΟΗΣ).....137 2.12 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΣ.......139 2.13 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ......141 2.13.1 Γραμμικές και μη γραμμικές υπερβολικές εξισώσεις ροής...141 2.13.2 Ρητά αριθμητικά σχήματα απλών βημάτων για την επίλυση υπερβολικών εξισώσεων...142 2.13.3 Ρητά αριθμητικά σχήματα πολλαπλών βημάτων. για την επίλυση υπερβολικών εξισώσεων...143 2.13.4 Πεπλεγμένα αριθμητικά σχήματα απλών βημάτων για την επίλυση υπερβολικών εξισώσεων...145 2.14 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΡΟΗΣ...147 2.14.1 Ρητό αριθμητικό σχήμα Mac-Cormack...148 2.14.2 Ρητό αριθμητικό σχήμα αντιτιθέμενων διαφορών. Εξισώσεις Euler...149 2.14.3 Αριθμητικό σχήμα Μarker και Cell (MAC). Εξισώσεις Navier-Stokes 150 2.14.4 Πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα. Εξισώσεις Navier-Stokes...152 2.14.5 Πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα. Εξισώσεις ροής ελεύθερης επιφάνειας..159 2.14.6 Διαγωνιοποίηση μερικών διαφορικών εξισώσεων...162 2.15 ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ...167 2.15.1 Διόδευση πλημμυρικού κύματος...166 2.15.2 Μεταφορά ρύπου...176 2.16 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ...181

3 Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων... 195 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟ...195 3.2 Η ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝΣΤΟΙΧΕΙΩΝ... 199 3.3 ΦΥΣΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ... 202 3.3.1 Τριγωνικά στοιχεία...202 3.3.2 Ολικές και μερικές παράγωγοι...207 3.3.3 Ολοκλήρωση...208 3.3.4 Τετράπλευρα...210 3.3.5 Μη γραμμικά τετραπλευρικά στοιχεία...212 3.4 ΦΥΣΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤAΣΕΩΝ...214 3.4.1 Τετραεδρικά στοιχεία...214 3.4.2 Ολικές και μερικές παράγωγοι...218 3.4.3 Ολοκλήρωση...219 3.4.4 Εξαεδρικά στοιχεία...220 3.5 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ...225 3.5.1 Ανάπτυξη της μεθόδου...225 3.5.2 Εξισώσεις Laplace και η μέθοδος των μεταβολών...228 3.5.3 Ροή μεταξύ κινουμένων πλακών. Εξίσωση Poisson...230 3.5.4 Γενικευμένο πεδίο σταθερής ροής και η μέθοδος των μεταβολών..240 3.6 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ...249 3.6.1 Κορεσμένη ροή κάτω από φράγμα...249 3.6.2 Υπολογισμός πεδίου πιέσεων μεταξύ παράλληλα κινούμενων πλακών...249 3.7 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ ΒΑΡΟΥΣ. ΤΕΧΝΙΚΗ GALERKIN...269 3.7.1 Ανάπτυξη της μεθόδου...269 3.7.2 Ροή σε πορώδη μέσα του χώρου των δύο διαστάσεων. Τεχνική Galerkin..271 3.7.3 Γενικευμένο πεδίο ασταθούς ροής του χώρου των τριών διαστάσεων...274 3.7.4 Συνεκτική, ασυμπίεστη ροή χωρίς δυνάμεων αδρανείας...275 3.8 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΡΙΑΚΗΣ ΣΤΟΙΒΑΔΑΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ ΒΑΡΟΥΣ...280

3.9 ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ...297 4 Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Όγκων 301 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟ...301 4.2 ΓΕΝΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΡΟΗΣ...304 4.2.1 Γενικευμένος μετασχηματισμός...304 4.2.2 Αριθμητικές θεωρήσεις...308 4.2.3 Ροή ελεύθερης επιφάνειας...314 4.2.4 Δυναμική συμπιεστή ροή του χώρου των τριών διαστάσεων...315 4.2.5 Ροή σε πορώδη μέσα του χώρου των τριών διαστάσεων με ύπαρξη πηγής ή άντλησης...317 4.2.6 Ασταθής ροή σε πορώδη μέσα του χώρου των δύο διαστάσεων..317 4.2.7 Ακόρεστη κατακόρυφη ροή του χώρου των δύο διαστάσεων...318 4.2.8 Εξισώσεις Euler του χώρου των τριών διαστάσεων...319 4.2.9 Εξισώσεις Navier-Stokes του χώρου των δύο διαστάσεων...323 4.2.10 Εξισώσεις Navier-Stokes του χώρου των τριών διαστάσεων...325 4.3 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΟΓΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ, ΣΥΜΠΙΕΣΤΗ).326 4.3.1 Εξισώσεις ροής...326 4.3.2 Οριακές συνθήκες...328 4.3.3 Ανάπτυξη της μεθόδου...328 4.3.4 Αριθμητικός σχηματισμός...332 4.4 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΟΓΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ, ΣΥΜΠΙΕΣΤΗ)...335 4.4.1 Εξισώσεις ροής...335 4.4.2 Οριακές συνθήκες...336 4.4.3 Ανάπτυξη της μεθόδου...337 4.4.4 Αριθμητικός σχηματισμός...342 4.5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ...346 4.5.1 Εξισώσεις ροής...346 4.5.2 Αριθμητικός σχηματισμός...347

4.6 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ. ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΡΟΗ (EULER)...352 4.6.1 Εξισώσεις ροής...352 4.6.2 Διακριτοποίηση...353 4.6.3 Αριθμητική επίλυση...354 4.7 ΗΜΙΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (NAVIER- STOKES) ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΙΣΕΩΝ. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΤΕΧΝΙΚΗ MacCORMACK...357 4.7.1 Εξισώσεις ροής στο μετασχηματισμένο σύστημα...357 4.7.2 Ημιγραμμικοποίηση των εξισώσεων ροής...360 4.7.3 Πεπλεγμένη αριθμητική τεχνική MacCormack...363 4.8 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΟΓΚΩΝ...365 4.8.1 Δυναμική δισδιάστατη ροή σε κλειστούς αγωγούς (2ης τάξεως πεπερασμένοι όγκοι)...365 4.8.2 Υπολογισμός πιέσεων και ταχυτήτων εντός αγωγών (δυναμική ροή)..373 4.8.3 Ακόρεστη δισδιάστατη ροή (2ης τάξεως πεπερασμένοι όγκοι)...377 4.9 ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΟΓΚΩΝ...380 Βιβλιογραφία-Αρθρογραφία..385