ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΡΕΘΥΜΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΡΕΘΥΜΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΗΝ ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ. ΕΛΕΝΗ ΠΟΝΤΙΚΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : Δρ. ΣΠΥΡΙΔΩΝ ΚΟΥΖΟΥΠΗΣ ΡΕΘΥΜΝΟ ΙΟΥΝΙΟΣ 6

Εχαριστίες Εχαριστώ τον Επικ. Καθηγητή το Τ.Ε.Ι Κρήτης Δρ. Σπύρο Κοζούπη για την πολύτιμη βοήθειά το σε επιστημονικό επίπεδο και την ποστήριξή το γενικότερα. Τον Γιάννη Φαμέλη Επίκορο Καθηγητή το Τμήματος Μαθηματικών το Ε.Μ.Π για τη παροχή σγγραμμάτν και τις εύστοχες παρατηρήσεις.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ : Περιεχόμενα...3 Σχήματα.. 5 Πίνακες...7 Περίληψη 8. Εισαγγή...9. Μερικές διαφορικές εξισώσεις....... Εισαγγή. Αρχικές και σνοριακές σνθήκες......3.3 Κατηγοριοποίηση τν μερικών διαφορικών εξισώσεν... 5.4 Καλά τοποθετημένο πρόβλημα.... 7 3. Αριθμητική επίλση... 9 3. Εισαγγή.... 9 3. Μέθοδος πεπερασμένης διαφοράς.. 3.. Τύποι πεπερασμένν διαφορών. 3.. Διακριτοποίηση....5 3..3 Σφάλματα.7 3.3 Υπερβολικές εξισώσεις...3 3.3. Ρητές μέθοδοι πεπερασμένν διαφορών για εξίσση ης τάξης.3 3.3. Πεπλεγμένες μέθοδοι πεπερασμένν διαφορών για εξίσση ης τάξης.. 33 3.3.3 Διατύπση μεθόδν πεπερασμένν διαφορών μέσ πίνακα 36 3.3.4 Ρητή μέθοδος πεπερασμένης διαφοράς για εξίσση ης τάξης...39 3.3.5 Πεπλεγμένη μέθοδος πεπερασμένης διαφοράς για εξίσση ης τάξης...... 4 3.4 Ιδιότητες αριθμητικών μεθόδν.. 45 3.4. Εστάθεια.....46 3.4. Σνέπεια..5 3.4.3 Σύγκλιση...53 4. Εφαρμογές...55 4. Εισαγγή.55 4. Ταλαντώσεις αβαρούς ελαστικής χορδής...56 4.. Αναλτική λύση.57 3

4.. Ρητή αριθμητική λύση...6 4..3 Πεπλεγμένη αριθμητική λύση...66 4..4 Σύγκριση τν μεθόδν επίλσης.7 4.3 Παλλόμενη ορθογώνια μεμβράνη 73 4.3. Αναλτική λύση 73 4.3. Ρητή αριθμητική λύση..78 Παράρτημα : Κώδικες επίλσης.8 Παράρτημα : Απόδοση αγγλικών όρν στην ελληνική..9 Βιβλιογραφία...9 4

Σχήματα Σχήμα. : Παράδειγμα σνοριακής σνθήκης Diicle..4 Σχήμα. : Παράδειγμα σνοριακής σνθήκης Nema.4 Σχήμα.3 : Παράδειγμα σνοριακής σνθήκης Robi...4 Σχήμα.4 : Σχηματική αναπαράσταση προβλήματος αρχικών τιμών... 6 Σχήμα.5 : Σχηματική αναπαράσταση προβλήματος σνοριακών τιμών 7 Σχήμα 3. : Στάδια αριθμητικής επίλσης 9 Σχήμα 3. : Πλέγμα στο επίπεδο χώρο χρόνο...6 Σχήμα 3.3 : a Μη ομοιόμορφο πλέγμα b Τετραγνικό πλέγμα και c Ομοιόμορφο πλέγμα... 6 Σχήμα 3.4 : Μέθοδος πρόδρομης διαφοράς ς προς και...3 Σχήμα 3.5 : Μέθοδος πρόδρομης διαφοράς ς προς και ανάδρομης ς προς...3 Σχήμα 3.6 : Μέθοδος La Fiedics.3 Σχήμα 3.7 : Μέθοδος La Wedoff...3 Σχήμα 3.8 : Μέθοδος ανάδρομης διαφοράς ς προς και κεντρικής ς προς...34 Σχήμα 3.9 : Μέθοδος Ca-Nicolso..34 Σχήμα 3. : Μέθοδος Wedoff..34 Σχήμα 3. : Γνστοί κόμβοι στο χρονικό επίπεδο και άγνστοι κόμβοι στο επίπεδο σε ρητή μέθοδο...35 Σχήμα 3. : Γνστοί κόμβοι στο χρονικό επίπεδο και άγνστοι κόμβοι στο επίπεδο σε πεπλεγμένη μέθοδο....35 Σχήμα 3.3 : Μέθοδος CFL...39 Σχήμα 3.4 : Πεπλεγμένη μέθοδος για Σχήμα 3.5 : Πεπλεγμένη μέθοδος για.4.4 4 Σχήμα 3.6 : Αλληλεξάρτηση σνέπειας σύγκλισης και εστάθειας...46 Σχήμα 3.7 : Η διάδοση το σφάλματος για 47 Σχήμα 3.8 : Η διάδοση το σφάλματος για 47 Σχήμα 4. : Απεικόνιση διακριτοποιημένο προβλήματος αρχικών και 5

σνοριακών τιμών...55 Σχήμα 4. : Αρχική κατάσταση της χορδής.56 Σχήμα 4.3 : Η ταλάντση της χορδής σύμφνα με την αναλτική επίλση για χρονικό διάστημα μιας περιόδο με 5..6 Σχήμα 4.4 : Η ταλάντση της χορδής σύμφνα με την ρητή μέθοδο επίλση πεπερασμένν διαφορών για χρονικό διάστημα μιας περιόδο 65 Σχήμα 4.5 : Η ταλάντση της χορδής σύμφνα με την πεπλεγμένη μέθοδο επίλση πεπερασμένν διαφορών για χρονικό διάστημα μιας περιόδο...69 Σχήμα 4.6 : Σχετικό σφάλμα ρητής και πεπλεγμένης αριθμητικής λύσης 7 Σχήμα 4.7 : Αρχική κατάσταση της μεμβράνης...73 Σχήμα 4.8 : Η ταλάντση της μεμβράνης σύμφνα με την αναλτική μέθοδο επίλση για χρονικό διάστημα T sec..77 Σχήμα 4.9 : Η ταλάντση της μεμβράνης σύμφνα με την ρητή μέθοδο επίλση πεπερασμένν διαφορών για χρονικό διάστημα T sec...79 6

Πίνακες Πίνακας. : Κατηγορίες μερικών διαφορικών εξισώσεν 5 Πίνακας 3. : Τύποι πεπερασμένν διαφορών.7 Πίνακας 3. : Ρητές μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς για μερική διαφορική εξίσση a..33 Πίνακας 3.3 : Πεπλεγμένες μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς για μερική διαφορική εξίσση a S με a >.35 Πίνακας 4. : Σχετικό σφάλμα ρητής και πεπλεγμένης μεθόδο..7 7

Περίληψη Αφορμή για ατή την πτχιακή εργασία ήταν η αριθμητική επίλση για ορισμένες απλές περιπτώσεις της θεμελιώδος για την ακοστική κματικής εξίσσης. Έγινε αναπαράσταση τν αριθμητικών λύσεν ς κινούμενα γραφήματα και σε περιπτώσεις όπο πάρχον οι αναλτικές λύσεις έγιναν σγκρίσεις με τις αριθμητικές. Η εργασία περιλαμβάνει μία γενική αναφορά και κατηγοριοποίηση τν μερικών διαφορικών εξισώσεν μία εκ τν οποίν είναι και η κματική εξίσση. Ακολοθεί ανάπτξη αριθμητικών μεθόδν επίλσης σγκεκριμένα ανάλση μεθόδν πεπερασμένν διαφορών και η εφαρμογή τν αριθμητικών μεθόδν σε σνήθη μοντέλα της ακοστικής πο αφορούν την ελαστική χορδή και την μεμβράνη. Η εργασία χρίζεται σε τέσσερα κεφάλαια : Το πρώτο κεφάλαιο είναι η εισαγγή. Επισημαίνονται οι βασικές έννοιες πο θα αναλθούν και αναφέρονται τα θερητικά και πολογιστικά μέσα πο θα χρησιμοποιηθούν. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται η παροσίαση τν μερικών διαφορικών εξισώσεν. Ορίζονται οι ιδιότητές τος περιγράφεται η κατηγοριοποίησή τος και αναφέρονται χαρακτηριστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις διαφόρν επιστημονικών πεδίν. Το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται στην αριθμητική επίλση. Αναπαράγονται οι τύποι πεπερασμένν διαφορών και αναπτύσσονται μέθοδοι επίλσης για περβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις ης και ης τάξης. Αναλύονται οι ιδιότητες τν μεθόδν επίλσης και αναπτύσσονται προγραμματιστικές τεχνικές. Το τέταρτο κεφάλαιο παροσιάζει την εφαρμογή τν μεθόδν πεπερασμένν διαφορών σε κματικά προβλήματα χορδής και μεμβράνης. Παρατίθενται η αναλτική και η αριθμητική λύση καθώς και η μεταξύ τος σύγκριση. Οι προγραμματιστικές τεχνικές πο περιγράφονται παρατίθενται στο τέλος της εργασίας η οποία ολοκληρώνεται με βιβλιογραφικό πίνακα. 8

.ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα μαθηματικό πρότπο είναι το μαθηματικό πρόβλημα πο η επίλσή το μας επιτρέπει να περιγράψομε και να προδιαγράψομε τη σμπεριφορά το αντιστοίχο φσικού σστήματος όπς ατό αποκρίνεται σε δεδομένο σύνολο εισόδν. Το μαθηματικό πρότπο θερείται καλά ορισμένο αν η απόκριση ενός φσικού σστήματος είναι μοναδική για κάθε είσοδο το προβλήματος. Ένα τέτοιο πρότπο μπορεί να εκφραστεί ισοδύναμα είτε ς σνεχές μέσ διαφορικών εξισώσεν είτε ς διακριτό μέσ ενός σστήματος αλγεβρικών εξισώσεν. Το σνεχές πρότπο προκύπτει από το διακριτό αν η απόσταση μεταξύ τν διακριτών στοιχείν τείνει στο μηδέν ενώ αντίστροφα αν οι παράγγοι το σνεχούς προτύπο αντικατασταθούν από πηλίκα διαφορών προκύπτει το διακριτό πρότπο. Η κματική εξίσση c πο σναντάται στην ακοστική είναι μια μερική διαφορική εξίσση πο λειτοργεί ς μαθηματικό πρότπο για κματικά φαινόμενα σε σνεχές μέσο. Τα κύματα πο διαδίδονται σε μια χορδή ή σε μια μεμβράνη πό ταλάντση ικανοποιούν την κματική εξίσση οπότε η επίλσή της βοηθά τη μελέτη και τη προσομοίση τν φσικών ατών σστημάτν. Ιστορικά ο D Alembe 77 783 εξήγαγε την εξίσση για χορδή και επέλσε το πρόβλημα αρχικών τιμών. Μια μερική διαφορική εξίσση ς σνεχές πρότπο μπορεί να επιλθεί με αναλτικές μεθόδος όπς η μέθοδος χρισμού μεταβλητών η πέρθεση οι σειρές Foie ο μετασχηματισμός Foie ο μετασχηματισμός Laplace και η μέθοδος τν χαρακτηριστικών. Για την επίλση το διακριτού προτύπο έχον αναπτχθεί αριθμητικές μέθοδοι όπς η μέθοδος πεπερασμένν διαφορών η μέθοδος πεπερασμένν στοιχείν και η φασματική μέθοδος. Η μέθοδος πεπερασμένν διαφορών αποδίδεται στον Ele 77-783 ο οποίος αναζητούσε προσεγγιστικές λύσεις διαφορικών εξισώσεν. Αναπτύχθηκε όμς σστηματικά μετά το 945 όταν οι ηλεκτρονικοί πολογιστές ήταν πλέον διαθέσιμοι. Η μέθοδος ατή δεν είναι η πιο ακριβής και εσταθής παρόλα ατά λοποιείται εύκολα και αποτελεί τη βάση για την ανάπτξη πιο περίπλοκν αριθμητικών μεθόδν. 9

Η επιτχής επίλση ενός προβλήματος με τη μέθοδο πεπερασμένν διαφορών εξαρτάται από τις δνατότητες το πολογιστικού σστήματος και το κώδικα πο χρησιμοποιείται. Ο κώδικας πο λοποιεί την μέθοδο μπορεί να αναπτχθεί με κάποια γλώσσα προγραμματισμού όπς C C FORTRAN ή κάποιο πολογιστικό περιβάλλον όπς το ΜATLAB πο χρησιμοποιήθηκε στη παρούσα περίπτση το ΜΑΤΗEMATICA ή το MAPLE.

.ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Εισαγγή Μερική διαφορική εξίσση είναι η διαφορική εξίσση στην οποία η άγνστη σνάρτηση εξαρτάται από τολάχιστον δύο ανεξάρτητες μεταβλητές και τις παραγώγος τος. Η γενική μορφή τν εξισώσεν ατών είναι: F y.......... y y y όπο y... η άγνστη σνάρτηση με πεδίο ορισμού Ω R ο αριθμός τν ανεξάρτητν μεταβλητών y... οι ανεξάρτητες μεταβλητές και F μια πραγματική σνάρτηση. Η μέγιστη τάξη της παραγώγο της άγνστης σνάρτησης καθορίζει και την τάξη της μερικής διαφορικής εξίσσης. Για παράδειγμα η εξίσση F y. y είναι μερική διαφορική εξίσση ης τάξης ενώ η εξίσση F y.3 y d y y είναι μερική διαφορική εξίσση ης τάξης. Μια σνάρτηση φ y... ορισμένη σε ένα πεδίο Ω πο έχει σνεχείς μερικές παραγώγος στο πεδίο ατό και για κάθε y... Ω ικανοποιεί την εξίσση. είναι μια λύση της εξίσσης.. Η γενική λύση μιας μερικής διαφορικής εξίσσης εξαρτάται από παραμέτρος για το λόγο ατό αναζητούμε μερικές λύσεις πο ικανοποιούν επιπλέον σνθήκες αρχικές ή σνοριακές.

Η μερική διαφορική εξίσση. ονομάζεται γραμμική όταν η σνάρτηση F είναι γραμμική ς προς την άγνστη σνάρτηση και τις μερικές παραγώγος της. Για παράδειγμα η εξίσση y.4 είναι γραμμική σε αντίθεση με την εξίσση y 3 3.5 πο είναι μη γραμμική λόγ το όρο. Μια μη γραμμική μερική διαφορική εξίσση τάξης ν χαρακτηρίζεται ς οιονεί γραμμική αν η F είναι γραμμική ς προς τις μερικές παραγώγος τάξης ν. Μια γραμμική μερική διαφορική εξίσση ης τάξης ονομάζεται ομογενής αν δεν περιλαμβάνει κανέναν όρο ανεξάρτητο της άγνστης σνάρτησης και τν παραγώγν της. Για παράδειγμα η εξίσση.6 είναι ομογενής αν G y και μη ομογενής αν y G. A B C D E F G y y y y.6 Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις σναντώνται σε πολλά επιστημονικά πεδία όπς η φσική η χημεία η βιολογία. Σε προβλήματα φσικής και μηχανικής σπάνια ορίζονται μερικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και είναι πιο σύνηθες φαινόμενο να χρησιμοποιούνται σστήματα εξισώσεν ης τάξης. Στις περισσότερες εφαρμογές σναντώνται μερικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης τολάχιστον ς προς μια μεταβλητή. Κάποια χαρακτηριστικά παραδείγματα μερικών διαφορικών εξισώσεν ης τάξης είναι:

- Η κματική εξίσση c πο περιγράφει κματικά φαινόμενα. Εμφανίζεται σε εφαρμογές όπς : Ακοστικά κύματα σε σλήνες διαμήκη κύματα σε μπάρες ταλαντώσεις στρέψης σε ράβδος ταλαντώσεις εύκαμπτης χορδής μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας σε μονμένο καλώδιο χαμηλής αντίστασης. - Η εξίσση θερμικής αγγιμότητας πο περιγράφει τη κατανομή θερμότητας σε ένα σώμα. Χρησιμοποιείται σε προβλήματα αγγής θερμότητας σε στερεά σώματα διάχσης σγκεντρμένν ποσοτήτν γρών ή στερεών στη χημεία διάχσης της στροβιλώδος κίνησης ενός γρού με ιξώδες τηλεγραφική μεταφορά σε καλώδια χαμηλής επαγγής ή χρητικότητας ισοστάθμιση το φορτίο στην ηλεκτρομαγνητική θερία εξέλιξη τν πιθανών διανομών σε τχαίες διαδικασίες - Η εξίσση Laplace βασική εξίσση της θερίας δναμικού. - Η εξίσση Helmolz λ πο χρησιμοποιείται σε κματικά φαινόμενα για την ανίχνεση σντονισμών. - Η εξίσση Poisso f y... περιγράφει το βαρτικό πεδίο στο εστερικό ενός σώματος ή το ηλεκτρικό πεδίο στο εστερικό ενός φορτισμένο σώματος. m - Η εξίσση Scödige [ E V y... ] πο χρησιμοποιείται στη κβαντική μηχανική για κματικά φαινόμενα σε μόρια και στο πεδίο της ποθαλάσσιας ακοστικής.. Αρχικές και σνοριακές σνθήκες Μια σνοριακή σνθήκη εκφράζει τη σμπεριφορά της λύσης μιας μερικής διαφορικής εξίσσης στο όριο το πεδίο όπο ορίζεται η εξίσση. Υπάρχον τρεις πιθανοί τύποι σνοριακών σνθηκών: - Σνοριακή σνθήκη Diicle. Προσδιορίζεται η τιμή της λύσης στη σνοριακή περιοχή. Για παράδειγμα σε μια χορδή στερεμένη στα δύο άκρα 3

και L σχήμα. πο ικανοποιεί την κματική εξίσση οι σνοριακές σνθήκες είναι : L. Σχήμα. - Σνοριακή σνθήκη Nema. Προσδιορίζεται η ορθή παράγγος της λύσης στη σνοριακή περιοχή. Για παράδειγμα σε μια χορδή πο τα άκρα της προσδένονται σε αβαρείς δακτλίος και μπορούν να κινούνται ελεύθερα στον άξονα y σχήμα. οι σνοριακές σνθήκες είναι: L Σχήμα. - Σνοριακή σνθήκη Robi s. Αποτελεί σνδασμό τν δύο παραπάν σνθηκών. Αν για παράδειγμα τα άκρα μιας χορδής στηριχθούν σε δύο ελατήρια σχήμα.3 οι σνοριακές σνθήκες όπς διαμορφώνονται από τη τάση της χορδής και το νόμο το Hooe θα είναι : T T L L Σχήμα.3 4

Μια αρχική σνθήκη εκφράζει τη σμπεριφορά της λύσης μιας μερικής διαφορικής εξίσσης στην αρχική κατάσταση σνήθς στο χρονικό πεδίο. Οι ιδιότητες της γραμμικότητας και της ομοιογένειας ορίζονται ανάλογα και για τις αρχικές και σνοριακές σνθήκες. Τα προβλήματα μερικών διαφορικών εξισώσεν μπορούν να κατηγοριοποιηθούν ανάλογα με τις βοηθητικές σνθήκες σε προβλήματα αμιγώς αρχικών σνθηκών ή προβλήματα Cacy σε προβλήματα σνοριακών σνθηκών και σε μικτά προβλήματα..3 Κατηγοριοποίηση τν μερικών διαφορικών εξισώσεν Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις ταξινομούνται σε τρεις κατηγορίες: ελλειπτικές παραβολικές και περβολικές. Στη περίπτση γραμμικής μερικής διαφορικής εξίσσης δεύτερης τάξης με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές όπς η εξίσση.6 ή έστ οιονεί γραμμικής εξίσσης οι σντελεστές τν παραγώγν δεύτερης τάξης ορίζον ένα πολώνμο ο βαθμού το τύπο: G y A B y C y [ y] Q όπο y οι μεταβλητές και y A Q B B. C Η κατηγοριοποίηση πο παροσιάζεται στο πίνακα. βασίζεται στος σντελεστές τν μερικών παραγώγν της ψηλότερης τάξης A B και C και ειδικότερα στην ορίζοσα το πίνακα Q. Σνθήκη Είδος Παράδειγμα Αν B 4AC < Ελλειπτική Εξίσση Laplace y Αν B 4AC Παραβολική Αν B 4AC > Υπερβολική c Εξίσση θερμικής αγγιμότητας Κματική εξίσση Πίνακας. 5

Αν σε μια μερική διαφορική εξίσση η άγνστη σνάρτηση εξαρτάται από τρεις ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές τότε μπορεί να μην ανήκει μόνο σε μια κατηγορία αλλά σε ένα σνδασμό κατηγοριών. Ο τύπος της μερικής διαφορικής εξίσσης προσδιορίζει τη φύση το προβλήματος πο περιγράφεται. Οι παραβολικές εξισώσεις με χαρακτηριστικό παράδειγμα την εξίσση θερμικής αγγιμότητας εμπεριέχον χρονική εξάρτηση και περιγράφον φαινόμενα διάχσης. Οι λύσεις τος σνήθς μειώνονται εκθετικά στο χρόνο προσεγγίζοντας μια θέση ισορροπίας. Το σήμα και τα σημεία ασνέχειας διαδίδονται με άπειρη ταχύτητα. Οι περβολικές εξισώσεις με χαρακτηριστικό πρότπο τη κματική εξίσση εξαρτώνται από το χρόνο και περιγράφον φαινόμενα διάδοσης. Το σήμα διαδίδεται με πεπερασμένη ταχύτητα ή σε περιορισμένη περιοχή το χώρο με αποτέλεσμα τα σημεία ασνέχειας να παραμένον σταθερά. Αντίθετα με τις προηγούμενες κατηγορίες οι ελλειπτικές εξισώσεις περιγράφον τη στατική σμπεριφορά ενός μεγέθος σε ορισμένη περιοχή χρίς να πάρχει χρονική εξάρτηση. Χαρακτηριστική ελλειπτική εξίσση είναι η εξίσση Laplace. Οι παραβολικές και περβολικές εξισώσεις ορίζονται σνήθς ς προβλήματα αρχικών τιμών ενώ οι ελλειπτικές εξισώσεις ς προβλήματα σνοριακών τιμών. Στα σχήματα.4 και.5 παροσιάζονται σχηματικά τα δύο είδη προβλημάτν με βάση το διακριτοποιημένο πρότπο. Σχήμα.4 : Σχηματική αναπαράσταση προβλήματος αρχικών τιμών. Οι μαύροι κύκλοι σμβολίζον τις αρχικές τιμές της σνάρτησης για κάθε όταν οι γκρι τις σνοριακές σνθήκες για σγκεκριμένες τιμές το και για κάθε τιμή και οι λεκοί τις άγνστες τιμές της σνάρτησης πο θα πολογιστούν από τη μερική διαφορική εξίσση. Οι αριθμητικοί πολογισμοί διαδίδονται κατά τη διεύθνση πο αξάνεται ο χρόνος από. 6

Σχήμα.5 : Σχηματική αναπαράσταση προβλήματος σνοριακών τιμών. Οι μαύροι κύκλοι σμβολίζον τις αρχικές τιμές της σνάρτησης για κάθε σνοριακή θέση και οι λεκοί τις άγνστες τιμές της σνάρτησης πο θα πολογιστούν από τη μερική διαφορική εξίσση. Δεν πάρχει διάδοση τν αριθμητικών πολογισμών..4 Καλά τοποθετημένο πρόβλημα Ένα μαθηματικό πρότπο πο περιλαμβάνει μερικές διαφορικές εξισώσεις και περιγράφει τη σμπεριφορά ενός φσικού σστήματος πρέπει να παρέχει σστά αποτελέσματα. Το μαθηματικό πρόβλημα δηλαδή θα πρέπει να είναι καλά τοποθετημένο πράγμα πο εξαρτάται από τις εξισώσεις και τις βοηθητικές σνθήκες το προβλήματος. Ένα μαθηματικό πρόβλημα ονομάζεται καλά τοποθετημένο αν:. Υπάρχει λύση.. Η λύση ατή είναι μοναδική. 3. H λύση εξαρτάται σνεχώς από τα δεδομένα. Σε κάθε πρόβλημα μερικών διαφορικών εξισώσεν οι σναρτήσεις τν αρχικών και σνοριακών σνθηκών και οι σντελεστές και μη ομογενείς όροι της μερικής διαφορικής εξίσσης αποτελούν τα δεδομένα το προβλήματος. Η λύση ενός προβλήματος εξαρτάται σνεχώς από τα δεδομένα αν μικρές μεταβολές τν δεδομένν προκαλούν ανάλογες μεταβολές στη λύση. Γενικά δεν πρέπει να ορίζονται πολλές βοηθητικές σνθήκες έτσι ώστε να πάρχει λύση αλλά αρκετές ώστε να εξασφαλίζεται η μοναδικότητά της. Για τη σνεχή εξάρτηση της λύσης από τα δεδομένα απαιτούνται βοηθητικές σνθήκες κατάλληλο τύπο. 7

Κατά την αριθμητική επίλση ενός προβλήματος το πρόβλημα θερείται καλά τοποθετημένο με βάση τα ίδια κριτήρια και ατό εξαρτάται από τις διακριτοποιημένες εξισώσεις και βοηθητικές σνθήκες. Η ύπαρξη λύσης προϋποθέτει τη σύγκλιση μεταξύ αριθμητικής και ακριβής λύσης ενώ η μοναδικότητα και η σνεχής εξάρτηση από τα δεδομένα εξαρτώνται από τον ορισμό κατάλληλν βοηθητικών σνθηκών. 8

3.ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ 3. Εισαγγή Για την επίλση προβλημάτν μερικών διαφορικών εξισώσεν έχον αναπτχθεί αναλτικοί και αριθμητικοί τρόποι. Αν και οι αναλτικοί μέθοδοι παρέχον ακριβείς λύσεις μειονεκτούν γιατί κάθε μέθοδος επιλύει ορισμένα είδη προβλημάτν μόνο καταλήγοντας πολλές φορές σε περίπλοκες εκφράσεις. Δεν είναι εξάλλο λίγες οι περιπτώσεις πο είναι αδύνατο να καταλήξομε σε αναλτική λύση. Ατό έχει ς αποτέλεσμα την εφαρμογή αριθμητικών μεθόδν όπς η μέθοδος πεπερασμένν διαφορών η μέθοδος πεπερασμένν στοιχείν και η φασματική μέθοδος. Στο σχήμα 3. παροσιάζονται τα βήματα πο ακολοθούνται για να πολογιστεί η αριθμητική προσέγγιση. Σχήμα 3.: Στάδια αριθμητικής επίλσης. Η καταλληλότητα μιας αριθμητικής μεθόδο για την επίλση μιας μερικής διαφορικής εξίσσης εξαρτάται από διάφορος παράγοντες όπς η εύκολη λοποίηση το αλγορίθμο η ακρίβεια και η εστάθειά το το ποσό της μνήμης το πολογιστικού σστήματος πο δεσμεύεται και η αναστρεψιμότητά το. Η μέθοδος πεπερασμένν διαφορών λοποιείται και αναλύεται μαθηματικά πιο εύκολα από τις πόλοιπες μεθόδος. Ακολοθεί η μέθοδος πεπερασμένν στοιχείν και στο τέλος η φασματική μέθοδος πο απαιτεί ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις με αντάλλαγμα την ψηλή ακρίβεια τν αποτελεσμάτν. Η μέθοδος πεπερασμένν διαφορών και η φασματική μέθοδος ενδείκννται για σνήθης σνοριακές περιοχές δηλαδή σνοριακές περιοχές πο ορίζονται σε σταθερό σύστημα σντεταγμένν σε αντίθεση με τη μέθοδο 9

πεπερασμένν στοιχείν πο χρησιμοποιείται σε μη κανονικές σνοριακές περιοχές. 3. Μέθοδος πεπερασμένης διαφοράς Η μέθοδος πεπερασμένν διαφορών προϋπήρξε τν πολοίπν μεθόδν και σνίσταται στην αντικατάσταση κάθε παραγώγο της μερικής διαφορικής εξίσσης με προσεγγιστικά πηλίκα διαφορών - βάση το θερήματος Taylo - έτσι ώστε το πρόβλημα να μεταβληθεί σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεν. Τα πλεονεκτήματα ατής της μεθόδο είναι ότι μπορεί να εφαρμοστεί σε προβλήματα μεταβλητών σντελεστών ή μη γραμμικά προβλήματα και με μικρή πολογιστική προσπάθεια μπορεί να παρέχει ποσοτικές προσεγγίσεις. Τα μειονεκτήματα της μεθόδο είναι αφενός πς δεν παρέχει ποιοτικές πληροφορίες για τη λύση και είναι δύσκολο να εκτιμήσομε την ασμφνία ανάμεσα σε ατή τη προσέγγιση και την ακριβή λύση. 3.. Τύποι πεπερασμένν διαφορών Αν μια σνάρτηση δύο ανεξάρτητν μεταβλητών η πρώτη μερική παράγγός της ς προς το και το αντίστοιχα ορίζεται ς: lim 3. lim 3. Μπορούμε να προσεγγίσομε τις παραπάν μερικές παραγώγος με τα πηλίκα διαφορών αντίστοιχα: 3.3 3.4

Η απόκλιση μεταξύ το πηλίκο διαφοράς και της παραγώγο πο προσεγγίζει ονομάζεται σφάλμα προσέγγισης και εξαρτάται από τη σμπεριφορά της στο σημείο και τις τιμές τν και. Η ανάλση το σφάλματος προσέγγισης βασίζεται στο θεώρημα το Taylo. Θεώρημα Taylo. Έστ πς η σνάρτηση και όλες οι μερικές της παράγγοι τάξης ές και είναι σνεχείς στο διάστημα { } d c b a Ω : και είναι σημείο το Ω. Για κάθε πο ανήκει στο Ω πάρχει ξ μεταξύ και και τ μεταξύ και τέτοιο ώστε R P. Όπο P το πολώνμο Taylo βαθμού για δύο μεταβλητές * * P!!!!... και R το πόλοιπο: J R!!!! ξ Ο τύπος 3.3 και το αντίστοιχο σφάλμα εξάγονται με το θεώρημα Taylo. Αν πάρχει η δεύτερη παράγγος της και είναι σνεχής και > από το παραπάν θεώρημα προκύπτει ξ

ξ όπο < < ξ. Ο τύπος ξ 3.5 ονομάζεται τύπος πρόδρομης διαφοράς για τη. Αλλάζοντας το πρόσημο το στο τύπο 3.5 προκύπτει ο τύπος ανάδρομης διαφοράς για τη ξ 3.6 όπο - < < ξ. Από τος τύπος 3.5 και 3.6 σμπεραίνομε πς όσο μικρότερη είναι η τιμή το τόσο μικρότερο και το σφάλμα προσέγγισης. Επειδή όταν το < θα ήταν προτιμότερο το σφάλμα προσέγγισης στο τύπο πεπερασμένης διαφοράς να είναι ανάλογο το και όχι το. Με το θεώρημα Taylo μπορούμε να εξάγομε τν τύπο κεντρικής διαφοράς για τη στην οποία το σφάλμα προσέγγισης είναι ανάλογο το. Με το θεώρημα Taylo 6 3 3 3 ξ 3.7 και 6 3 3 3 ξ 3.8

3 όπο < < ξ και - < < ξ. Από τος τύπος 3.7 και 3.8 προκύπτει : 3 3 3 3 ξ ξ 3.9 Αν η 3 3 είναι σνεχής και ξ ξ ξ < < από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής ο τύπος 3.9 απλοποιείται 6 3 3 ξ 3. όπο < < ξ. Οι παραπάν προσεγγίσεις πο χρησιμοποιούνται περισσότερο βασίζονται σε δο γνστές τιμές της για να πολογιστεί μια νέα. Χρησιμοποιώντας τρεις ή περισσότερες τιμές της μπορούμε να κάνομε πιο ακριβείς προσεγγίσεις. Για παράδειγμα χρησιμοποιώντας τρεις τιμές της σνάρτησης ο τύπος πρόδρομης διαφοράς για τη μπορεί να πολογιστεί από το θεώρημα Taylo ς εξής : 6 3 3 3 ξ 3. 3 4 3 3 3 ξ 3. Από τος τύπος 3. και 3. προκύπτει 3 4 3.3 όπο το σφάλμα είναι ανάλογο το.

4 Ο αντίστοιχος τύπος για ανάδρομη διαφορά είναι 3 4 3.4 όπο το σφάλμα είναι ανάλογο το. Οι προσεγγίσεις ατές όμς απαιτούν περισσότερες βοηθητικές σνθήκες για την επίλση το προβλήματος αφού πρέπει να πολογιστούν δύο αρχικά σημεία. Με τον ίδιο τρόπο προκύπτον οι τύποι πεπερασμένν διαφορών για μερικές παραγώγος ανώτερης τάξης οι αντίστοιχοι τύποι τν μερικών παραγώγν ς προς και τν μικτών παραγώγν της. Από τος τύπος 3. και 3. πολογίζεται ο τύπος πρόδρομης διαφοράς για τη προσέγγιση της ης παραγώγο. Με κατάλληλος πολογισμούς προκύπτει 3.5 όπο το σφάλμα είναι ανάλογο το. Ο αντίστοιχος τύπος για ανάδρομη διαφορά είναι 3.6 όπο το σφάλμα είναι ανάλογο το. Από τος τύπος 3.7 και 3.8 προκύπτει ο τύπος κεντρικής διαφοράς 3.7 όπο το σφάλμα είναι ανάλογο το.

5 Ο τύπος πρόδρομης διαφοράς για τη μικτή παράγγο μπορεί να πολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο 3.5 και τον αντίστοιχο τύπο για τη η παράγγο ς προς 3.8 όπο το σφάλμα είναι ανάλογο το. Αντίστοιχα ο τύπος ανάδρομης διαφοράς είναι 3.9 όπο το σφάλμα είναι ανάλογο το ενώ ο τύπος κεντρικής διαφοράς είναι 4 3. όπο το σφάλμα είναι ανάλογο το. 3.. Διακριτοποίηση Με την εφαρμογή της μεθόδο πεπερασμένν διαφορών στις μερικές διαφορικές εξισώσεις πολογίζονται οι λύσεις μόνο σε ορισμένα σημεία το πεδίο τιμών έτσι ώστε το πρόβλημα να επιλύεται με πεπερασμένη διαδικασία. Για την επίλση ενός προβλήματος μερικών διαφορικών εξισώσεν ορίζομε στο επίπεδο ένα πλέγμα δηλαδή ένα σύνολο σημείν όπο Ζ και είναι σημείο αναφοράς.

Το αριθμητικό πλέγμα αποτελεί διακριτοποιημένη αναπαράσταση το γεμετρικού πεδίο στο οποίο θα επιλθεί το πρόβλημα. Τα σημεία ονομάζονται κόμβοι και οι θετικοί αριθμοί και είναι τα διαστήματα πλέγματος βήματα στος άξονες και. Σχήμα 3.: Πλέγμα στο επίπεδο χώρο χρόνο. Αν το μεταβάλλεται με το και το με το το πλέγμα είναι μη ομοιόμορφο. Αν τα και είναι σταθερά το πλέγμα είναι ομοιόμορφο και τέλος στη περίπτση πο σταθερά το πλέγμα είναι τετραγνικό. Σχήμα 3.3: a Μη ομοιόμορφο πλέγμα b Τετραγνικό πλέγμα και c Ομοιόμορφο πλέγμα. Σμβολίζομε την τιμή της y στο κόμβο ς οπότε οι τύποι τν πεπερασμένν διαφορών απλοποιούνται όπς φαίνεται στον Πίνακα 3. όπο το O K O σμβολίζον το αντίστοιχο σφάλμα προσέγγισης. Το σύμβολο O πο χρησιμοποιείται για το σφάλμα προσέγγισης ορίζεται ς εξής: Αν y O y g y Ω g y cy y Ω όπο c θετική σταθερά. 6

7 Τύπος πρόδρομν διαφορών για τη O 3. Τύπος ανάδρομν διαφορών για τη O 3. Τύπος κεντρικών διαφορών για τη O 3.3 Τύπος κεντρικών διαφορών για τη O 3.4 Τύπος πρόδρομν διαφορών για τη O 3.5 Τύπος ανάδρομν διαφορών για τη O 3.6 Τύπος κεντρικών διαφορών για τη O 3.7 Τύπος κεντρικών διαφορών για τη O 3.8 Πίνακας 3. : Τύποι πεπερασμένν διαφορών. 3..3 Σφάλματα Για το προσδιορισμό της καλύτερης προσεγγιστικής μεθόδο χρειάζεται να σγκρίνομε τα σφάλματα πο προκύπτον σε κάθε περίπτση. Σφάλμα μιας αριθμητικής μεθόδο ονομάζεται η διαφορά το αποτελέσματός της από το αποτέλεσμα της αναλτικής επίλσης. Το πολογιστικό ατό σφάλμα διαχρίζεται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με το λόγο για τον οποίο εμφανίζεται. Το σφάλμα προσέγγισης ή σφάλμα αποκοπής είναι αποτέλεσμα το πεπερασμένο αριθμού βημάτν πο ακολοθούνται σε ένα πολογισμό ενώ απαιτείται άπειρος αριθμός βημάτν για να παραχθεί ακριβές αποτέλεσμα.

Οφείλεται δηλαδή σε προσεγγίσεις όπς η παραγραφή όρν πο προκύπτον από την ανάπτξη το θερήματος Taylo. Είναι η διαφορά μεταξύ της μερικής διαφορικής εξίσσης και της εξίσσης πεπερασμένης διαφοράς πο τη προσεγγίζει. Εκτός όμς από ατό πάρχον δύο επιπλέον σφάλματα. σφάλμα θέσης και το σφάλμα στρογγλοποίησης. Το σφάλμα θέσης νέα τιμή διακριτοποίησης οφείλεται στο γεγονός ότι κάθε πο πολογίζεται βασίζεται σε προηγούμενες προσεγγιστικές τιμές. Η αντικατάσταση της σνεχούς σνάρτησης με μια διακριτοποιημένη εισάγει ένα σφάλμα στο πρόβλημα πο σνήθς έχει κανονικότητα και δεν είναι τελείς τχαίο. Το σφάλμα ατό εξαρτάται από τον αλγόριθμο επίλσης πο θα ακολοθηθεί. Το σφάλμα στρογγλοποίησης δημιοργείται κατά τν πολογισμό τν τιμών λόγ το περιορισμένο αριθμού ψηφίν πο μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Το σφάλμα ατό πάρχει πάντα και είναι τχαίο. Τα σφάλματα προσέγγισης και θέσης τείνον να εξαλειφθούν όσο αξάνεται ο αριθμός τν διακριτών σημείν το πλέγματος δηλαδή όσο μειώνονται τα διαστήματα και. Σε ατή τη περίπτση όμς αξάνεται το σφάλμα στρογγλοποίησης καθώς και ο πολογιστικός χρόνος. Η επιλογή τν διαστημάτν το πλέγματος είναι τελικά προϊόν σμβιβασμού μεταξύ το σφάλματος προσέγγισης και το σφάλματος στρογγλοποίησης. Έστ πς πολογίζομε τη παράγγο Το με το τύπο πρόδρομν διαφορών 3.5. Σμβολίζομε την ακριβής λύση ς τη προσεγγιστική λύση ς και το σφάλμα ς e οπότε : e Υποθέτομε πς το σφάλμα είναι φραγμένο και η μέγιστη τιμή το είναι E δηλαδή E e 8

9 ενώ φραγμένη είναι και η η παράγγος με μέγιστη τιμή M δηλαδή : M Σύμφνα με το τύπο πρόδρομν διαφορών : τ < < τ Αντικαθιστώντας από τος προηγούμενος τύπος προκύπτει : e e τ Το ολικό σφάλμα θα είναι φραγμένο M E e e e e τ τ και η μέγιστη τιμή το θα προσεγγίζει το άπειρο καθώς ή. Αποδεικνύεται λοιπόν πς το σνολικό σφάλμα γίνεται μέγιστο στη περίπτση πο το βήμα τείνει στο μηδέν οπότε αξάνεται το σφάλμα στρογγλοποίησης αλλά και όταν το βήμα γίνεται πολύ μεγάλο με αποτέλεσμα να αξάνονται το σφάλμα προσέγγισης και το σφάλμα θέσης.

3.3 Υπερβολικές εξισώσεις Οι περβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφον σνήθς φαινόμενα μετάδοσης δηλαδή την εξέλιξη ενός μεγέθος ς προς κάποια άλλα. Η ακριβής λύση τος πολογίζεται σνήθς με τη μέθοδο τν χαρακτηριστικών. Εναλλακτικά η μέθοδος πεπερασμένν διαφορών μπορεί να εφαρμοστεί εύκολα και να παρέχει μια αριθμητική προσέγγιση της λύσης. 3.3. Ρητές μέθοδοι πεπερασμένν διαφορών για εξίσση ης τάξης Εφαρμόζομε τη μέθοδο πεπερασμένν διαφορών στην περβολική εξίσση ης τάξης a < < 3.9 όπο a μη μηδενική σταθερά. Ορίζομε ένα πλέγμα με K. Σμβολίζομε ς ± ± K και την τιμή της στο κόμβο και τη λύση της εξίσσης πεπερασμένν διαφορών πο προσεγγίζει τη λύση της μερικής διαφορικής εξίσσης. Αντικαθιστώντας τις μερικές παραγώγος στον τύπο 3.9 με τις πεπερασμένες διαφορές τν τύπν 3. και 3.5 προκύπτει η μέθοδος πρόδρομης διαφοράς ς προς και με σφάλμα προσέγγισης O : a 3.3 Χρησιμοποιώντας τος τύπος 3. και 3.5 προκύπτει η μέθοδος πρόδρομης διαφοράς ς προς και ανάδρομης ς προς με σφάλμα προσέγγισης O : a 3.3 3

3 Σχήμα 3.4 : Μέθοδος πρόδρομης διαφοράς Σχήμα 3.5 : Μέθοδος πρόδρομης διαφοράς ς προς και. ς προς και ανάδρομης ς προς. Χρησιμοποιώντας τος τύπος 3.3 και 3.5 προκύπτει η μέθοδος πρόδρομης διαφοράς ς προς και κεντρικής ς προς με σφάλμα προσέγγισης O : a 3.3 Αντικαθιστώντας στο τύπο 3.3 τον όρο με το μέσο όρο τν δύο εκατέρθέν το - χρικά - κόμβν προκύπτει η μέθοδος La Fiedics με σφάλμα προσέγγισης O : a 3.33 Χρησιμοποιώντας τος τύπος 3.3 και 3.7 προκύπτει η μέθοδος κεντρικής διαφοράς ς προς και με σφάλμα προσέγγισης O : a 3.34

3 Από τη σχέση 3.9 προκύπτει : a και a a. Οπότε η σειρά Taylo : 3 3 O a a O Αντικαθιστώντας τος τύπος 3.3 και 3.4 στη προηγούμενη σχέση προκύπτει η μέθοδος La - Wedoff με σφάλμα προσέγγισης O : a a 3.35 Σχήμα 3.6 : Μέθοδος La Fiedics. Σχήμα 3.7 : Μέθοδος La Wedoff. Οι παραπάν μέθοδοι επίλσης ονομάζονται ρητές ς προς το χρόνο γιατί σε κάθε τύπο πάρχει μόνο ένας όρος πο πρέπει να πολογιστεί στο επόμενο χρονικό βήμα με βάση τος διαθέσιμος όρος τν προηγούμενν χρονικών επιπέδν.

33 Μέθοδος πρόδρομης διαφοράς ς προς και a 3.3 Μέθοδος πρόδρομης διαφοράς ς προς και ανάδρομης ς προς a 3.3 Μέθοδος πρόδρομης διαφοράς ς προς και κεντρικής ς προς a 3.3 Μέθοδος La Fiedics a 3.33 Μέθοδος κεντρικής διαφοράς ς προς και a 3.34 Μέθοδος La - Wedoff a a 3.35 Πίνακας 3. : Ρητές μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς για μερική διαφορική εξίσση a. 3.3. Πεπλεγμένες μέθοδοι πεπερασμένν διαφορών για εξίσση ης τάξης Εφαρμόζομε τη μέθοδο πεπερασμένν διαφορών στην περβολική εξίσση ης τάξης: S a < > < a 3.36 Αντικαθιστώντας τις μερικές παραγώγος στον τύπο 3.36 με τις πεπερασμένες διαφορές τν τύπν 3. και 3.6 προκύπτει η μέθοδος ανάδρομης διαφοράς ς προς και με σφάλμα προσέγγισης O : S a 3.37

34 Χρησιμοποιώντας τος τύπος 3.3 και 3.6 προκύπτει η μέθοδος ανάδρομης διαφοράς ς προς και κεντρικής ς προς με σφάλμα προσέγγισης O : S a 3.38 Ορίζεται ακόμη η μέθοδος Ca-Nicolso με σφάλμα προσέγγισης O : / 4 S a 3.39 και η μέθοδος Wedoff με σφάλμα προσέγγισης O : / / S a 3.4 Σχήμα 3.8 : Μέθοδος ανάδρομης διαφοράς Σχήμα 3.9 : Μέθοδος Ca-Nicolso. ς προς και κεντρικής ς προς. Σχήμα 3. : Μέθοδος Wedoff.

35 Οι παραπάν μέθοδοι ονομάζονται πεπλεγμένες γιατί περιέχον περισσότερος από έναν όρος το επόμενο χρονικού επιπέδο. Τπικά είναι πιο εσταθείς από τις ρητές μεθόδος αλλά λοποιούνται πιο δύσκολα. Σχήμα 3. : Γνστοί κόμβοι στο χρονικό Σχήμα 3.: Γνστοί κόμβοι στο χρονικό επίπεδο και άγνστοι κόμβοι επίπεδο και άγνστοι κόμβοι στο επίπεδο σε ρητή μέθοδο. στο επίπεδο σε πεπλεγμένη μέθοδο. Μέθοδος ανάδρομης διαφοράς ς προς και S a 3.37 Μέθοδος ανάδρομης διαφοράς ς προς και κεντρικής ς προς S a 3.38 Μέθοδος Ca- Nicolso / 4 S a 3.39 Μέθοδος Wedoff / / S a 3.4 Πίνακας 3.3 : Πεπλεγμένες μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς για μερική διαφορική εξίσση S a με > a.

3.3.3 Διατύπση μεθόδν πεπερασμένν διαφορών μέσ πίνακα Οι μέθοδοι πεπερασμένν διαφορών πο παροσιάστηκαν παραπάν μπορούν να εκφραστούν εναλλακτικά χρησιμοποιώντας πίνακες. Η διατύπση ατή διεκολύνει ιδιαίτερα τις πεπλεγμένες μεθόδος. Οι μέθοδοι ατοί περιλαμβάνον περισσότερες από μια τιμές της άγνστης σνάρτησης στο επόμενο χρονικό βήμα με αποτέλεσμα για την επίλσή τος να απαιτείται ένα σύστημα εξισώσεν. Με την εφαρμογή της διακριτοποιημένης εξίσσης σε όλος το κόμβος προκύπτει ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεν πο είναι εύχρηστο να εκφραστεί μέσ πινάκν. Η μορφή μιας πεπλεγμένης μεθόδο πεπερασμένν διαφορών χρησιμοποιώντας πίνακες είναι A D όπο ένας πίνακας στήλη πο αποτελείται από τις προσεγγιστικές λύσεις πο αναζητάμε A ο πίνακας τν σντελεστών τν αγνώστν και D ο πίνακας πο περιλαμβάνει τις γνστές τιμές της σνάρτησης στα προηγούμενα χρονικά επίπεδα και τος σταθερούς όρος. Αν το διακριτοποιημένο πρόβλημα αποτελείται από N κόμβος ς προς τη χρική διάσταση οι πίνακες θα είναι και D θα είναι N πίνακες ενώ ο A N N πίνακας. Το σύστημα θα ήταν περίπλοκο να επιλθεί λόγ το πλήθος τν κόμβν πο απαιτούνται για επαρκή ακρίβεια της μεθόδο αλλά παρατηρείται πς ο πίνακας A είναι αραιός δηλαδή περιλαμβάνει σχετικά λίγα μη μηδενικά στοιχεία γιατί κάθε κόμβος εξαρτάται μόνο από γειτονικούς το κόμβος. Ειδικά για διαφορικές εξισώσεις ης τάξης αποδεικνύεται πς ο πίνακας A είναι τριδιαγνικός δηλαδή τα μη μηδενικά στοιχεία το σγκεντρώνονται μόνο στη κύρια διαγώνιο και τις δύο παράλληλές της γραμμές πάν και κάτ από ατή όπς φαίνεται παρακάτ : 36

b a A c b a 3 c b 3 O c a 3 O N O b a N N c b N N Ατό έχει ς αποτέλεσμα τη δέσμεση λιγότερης μνήμης αφού αποθηκεύονται μόνο 3 N στοιχεία αντί για N N κατά τον ορισμό το πίνακα A. Ένας τριδιαγνικός πίνακας ορίζεται ς αστηρά διαγνίς δομημένος αν ισχύον οι ανισότητες : b > c b > a c b > N a N Η επίλση ενός τέτοιο σστήματος γίνεται είτε με άμεσες μεθόδος είτε με επαναληπτικές. Χρησιμοποιώντας άμεσες μεθόδος όπς η μέθοδος απαλοιφής Gass ή παραλλαγές της όπς η μέθοδος Came και η ανάλση L η λύση προσεγγίζεται μετά από ορισμένο αριθμό βημάτν με αποτέλεσμα να πεισέρχεται ένα σφάλμα στρογγλοποίησης. Σε σστήματα πο οι πίνακες αποτελούνται από πολλούς όρος οι άμεσες μέθοδοι δεν προτιμώνται λόγ το σφάλματος στρογγλοποίησης της μειμένης ταχύτητας και το μεγάλο ποσού μνήμης πο απαιτείται. Οι επαναληπτικές μέθοδοι όπς η μέθοδος Jacobi η μέθοδος Gass Joda και η μέθοδος Gass Seidel βασίζονται στην διαδοχική βελτίση τν αρχικών προσεγγίσεν της λύσης. Οι τριδιαγνικοί πίνακες πο χρησιμοποιούνται στις εξισώσεις πεπερασμένν διαφορών είναι σνήθς αστηρά διαγνίς δομημένοι. Η ορίζοσα ατών τν πινάκν δεν είναι μηδενική οπότε το σύστημα δεν είναι αδύνατο ούτε έχει άπειρο πλήθος λύσεν. Εφαρμόζοντας την μέθοδο απαλοιφής Gass για τριδιαγνικό σύστημα δεν χρειάζεται εναλλαγή γραμμών ή στηλών οι πολογισμοί είναι εσταθείς και οδηγούν σε μια μοναδική λύση. Το γραμμικό σύστημα A D στη περίπτση πο ο πίνακας A είναι τριδιαγνικός και αστηρά διαγνίς δομημένος επιλύεται με τον αλγόριθμο πο ακολοθεί. 37

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΔΙΑΓΩΝΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Βήμα ο. Ορίζονται τα δεδομένα το προβλήματος : Ακολοθία a a3 K a τα στοιχεία της ποδιαγνίο το A. N Ακολοθία b b K b τα στοιχεία της διαγνίο το A. N Ακολοθία c c K τα στοιχεία της περδιαγνίο το A. Ακολοθία c N d d K d τα στοιχεία το πίνακας D. N Οι λύσεις το γραμμικού σστήματος θα αποθηκετούν στο πίνακα D. Βήμα ο. Πρόδρομη αντικατάσταση για απαλοιφή της ποδιαγνίο. Για 3 K N ορίζονται : a aio b b d b aio c d aio d Βήμα 3 ο. Ανάδρομη αντικατάσταση και αποθήκεση της λύσης στον D. Ορίζεται d N N K πολογίζεται το : N d N και για bn d c d. d b 38

3.3.4 Ρητή μέθοδος πεπερασμένης διαφοράς για εξίσση ης τάξης Η πιο απλή περβολική μερική διαφορική εξίσση ης τάξης είναι η κματική εξίσση c 3.4 όπο c σταθερά. Ορίζομε στο πεδίο ορισμού της < < ένα ομοιόμορφο πλέγμα με ± ± K και K. Αντικαθιστώντας τις μερικές παραγώγος από τος τύπος 3.4 και 3.8 προκύπτει η εξίσση : c 3.4 με σφάλμα προσέγγισης O. Η μέθοδος ατή ονομάζεται μέθοδος Coa Fiedeics Lewy CFL είναι ρητή και περιλαμβάνει τιμές τριών χρονικών επιπέδν οπότε για να εφαρμοστεί απαιτούνται οι τιμές και. Σχήμα 3.3 : Μέθοδος CFL. Έστ πς οι αρχικές σνθήκες το προβλήματος είναι: f f 3.43 g g 3.44 39

Η αρχική σνθήκη 3.44 σε σνδασμό με το τύπο 3.7 μεταγράφεται σε g 3.45 Για ο τύπος 3.4 fl c βοήθεια τν τύπν 3.43 και 3.45 καταλήγομε στο τύπο:. Με τη c c f f f g 3.46 Η αρχική σνθήκη 3.43 δεν εισάγει κάποιο σφάλμα αλλά η 3.44 λόγ το τύπο 3.7 περιέχει σφάλμα προσέγγισης O. Στη περίπτση πο πάρχον δύο χρικές ανεξάρτητες μεταβλητές η κματική εξίσση διαμορφώνεται ς εξής c y 3.47 όπο c σταθερά. Ορίζομε ένα ομοιόμορφο τρισδιάστατο πλέγμα με ± ± K K και y m mq q ± ± K. Αντικαθιστώντας τις μερικές παραγώγος από τος τύπος 3.4 και 3.8 προκύπτει η εξίσση m c m q m m m m m m m 3.48 με σφάλμα προσέγγισης O. Έστ πς οι αρχικές σνθήκες το προβλήματος είναι: f f 3.49 m m m 4

4 m m g g m 3.5 Η αρχική σνθήκη 3.5 σε σνδασμό με το τύπο 3.7 μεταγράφεται σε : m m m g m 3.5 Για ο τύπος 3.47 fl fl m m m m m m m m m q c Με τη βοήθεια τν τύπν 3.49 και 3.5 καταλήγομε στο τύπο: m m m m m m m g f q c c f f q c f f c 3.5 3.3.5 Πεπλεγμένη μέθοδος πεπερασμένν διαφορών για εξίσση ης τάξης Το πρόβλημα αρχικών σνθηκών 3.43.433.44 μπορεί να επιλθεί και με πεπλεγμένες μεθόδος αντικαθιστώντας τη χρονική παράγγο με τον τύπο κεντρικών διαφορών 3.8 και τη χρική παράγγο με το σταθμικό μέσο τν κεντρικών διαφορών 3.4 για τρία χρονικά βήματα και. Ατό έχει ς αποτέλεσμα τη μέθοδο : c 3.53 όπο >. Αν το τότε η μέθοδος το τύπο 3.53 απλοποιείται στη ρητή μέθοδο το τύπο 3.4. Σνήθς κατά την εφαρμογή της μεθόδο

επιλέγονται οι τιμές οπότε η μέθοδος ονομάζεται Ca-Nicolso και. Το σφάλμα προσέγγισης της μεθόδο 3.53 είναι O. 4 Σχήμα 3.4 :Πεπλεγμένη μέθοδος για. Σχήμα 3.5 : Πεπλεγμένη μέθοδος για. 4 Στο τύπο 3.53 περιλαμβάνονται τρεις τιμές λύσης στο επόμενο χρονικό στάδιο οπότε γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεν. και της για την επίλση απαιτείται ένα Εκφράζοντας τη πεπλεγμένη μέθοδο μέσ πινάκν το γραμμικό σύστημα θα έχει τη μορφή A με τος πίνακες A και D να διαμορφώνονται σύμφνα με την εξίσση 3.53 και το τύπο c ς εξής : D 4

43 A O O O 3.54 3 N N M 3.55 [ ] [ ] [ ] [ ] N N N N N N N N N N N N N D 3 3 M 3.56 Παρατηρούμε πς ο πίνακας τν σντελεστών τν αγνώστν A είναι τριδιαγνικός και αστηρά διαγνίς δομημένος οπότε η επίλση το σστήματος βασίζεται στον Αλγόριθμο. Η πεπλεγμένη μέθοδος περιλαμβάνει τιμές τις άγνστης σνάρτησης σε τρία χρονικά επίπεδα οπότε χρειάζεται αρχικά να πολογιστούν οι τιμές και. Από την αρχική σνθήκη f f 3.43

44 πολογίζονται οι τιμές της σνάρτησης για και από τη σνθήκη g g 3.44 αντικαθιστώντας τη παράγγο με το τύπο κεντρικών διαφορών 3.7 πολογίζονται οι τιμές της σνάρτησης για. Για το χρονικό επίπεδο ο πίνακας A 3.54 παραμένει ίδιος ενώ ο πίνακας D 3.56 μετατρέπεται σε : [ ] [ ] [ ] [ ] N N N N N N N N N N N N N g f f f g g g f f f g g g f f f g g f f f g g g D ` 3 3 M 3.57 Στη περίπτση πο πάρχον δύο χρικές μεταβλητές στη κματική εξίσση το πρόβλημα εκφράζεται με τις σχέσεις 3.473.49 και 3.5. Ορίζομε ένα ομοιόμορφο τρισδιάστατο πλέγμα με K ± ± K και mq y m K ± ± q και αντικαθιστούμε τη χρονική παράγγο με τον τύπο κεντρικών διαφορών 3.8 και τις χρικές παραγώγος με το σταθμικό μέσο τν κεντρικών διαφορών 3.4 για τρία χρονικά βήματα και. Ατό έχει ς αποτέλεσμα τη μέθοδο :

45 q q q c c m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m 3.58 όπο >. 3.4 Ιδιότητες αριθμητικών μεθόδν Εφαρμόζοντας τις παραπάν αριθμητικές μεθόδος επίλσης παρατηρείται πς για ορισμένες τιμές το χρικού και χρονικού βήματος τα αποτελέσματα αποκλίνον πολύ από την ακριβή λύση και κάποιες φορές δεν επιτγχάνεται η προσέγγιση. Ατό είναι αποτέλεσμα φσικών περιορισμών αλλά και περιορισμών λόγ το ηλεκτρονικού πολογιστή πο πρέπει να λαμβάνονται πόψη. Αφενός το μαθηματικό πρότπο πρέπει να περιγράφει κατάλληλα το πό μελέτη φσικό σύστημα και αφετέρο ο ηλεκτρονικός πολογιστής έχει περιορισμένος πόρος π.χ : μνήμη σε σχέση με το φσικό μέγεθος το προβλήματος. Για να είναι επιτχής η επίλση ενός προβλήματος θα πρέπει η αριθμητική μέθοδος να είναι εσταθής σγκλίνοσα και σνεπής. Οι ιδιότητες ατές δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τος η σύγκλιση της προσεγγιστικής λύσης στην ακριβή λύση προϋποθέτει τη σνέπεια και την εστάθεια της μεθόδο. Η σχέση ατή επισημάνθηκε αρχικά το 9 από τος Coa Fiedics και Lewy το 94 αναπτύχθηκε από τον vo Nema και διατπώθηκε τελικά το 95 από τος La και Ricmye ς θεώρημα.

Σχήμα 3.6 : Αλληλεξάρτηση σνέπειας σύγκλισης και εστάθειας. 3.4. Εστάθεια Μια αριθμητική μέθοδος είναι εσταθής αν η λύση παραμένει φραγμένη κατά τη διαδικασία επίλσης. Στον εσταθή αλγόριθμο δηλαδή το σφάλμα οποιοδήποτε είδος πο αναπόφεκτα εμφανίζεται τείνει να μηδενιστεί και όχι να αξηθεί κατά τη πρόοδο τν πολογισμών. Είδαμε πς η περβολική εξίσση ο βαθμού 3.9 μπορεί να επιλθεί με τη ρητή μέθοδο πρόδρομης διαφοράς ς προς και 3.3. Η μέθοδος ατή μπορεί να μεταγραφεί ς όπο : 3.59 a. Θερούμε πς κατά την επίλση εμφανίζεται σφάλμα e στο κόμβο b d πο διαδίδεται στα επόμενα στάδια. Αν η ακριβής λύση και ~ η λύση πο επηρεάζεται από το σφάλμα τότε ισχύον οι σχέσεις: ~ < d ; ~ b ; ~ e. Οπότε το σφάλμα ορίζεται ς : ~ e 3.6 Από τη σχέση 3.59 πο είναι γραμμική προκύπτει : e e e 3.6 46

Μπορούμε να παρατηρήσομε τη σμπεριφορά το σφάλματος για διάφορες τιμές το. Αν η 3.6 e e e. Παρατηρούμε πς το σφάλμα αξάνεται στα επόμενα βήματα πολογισμών. Σχήμα 3.7 : Η διάδοση το σφάλματος για. Αν η 3.6 e e αξάνεται στα επόμενα βήματα πολογισμών.. Παρατηρούμε πς το σφάλμα δεν Σχήμα 3.8 : Η διάδοση το σφάλματος για. Αν η 3.6 e e e τείνει να μειθεί στα επόμενα βήματα πολογισμών.. Παρατηρούμε πς το σφάλμα 47

Αν η 3.6 e e. Παρατηρούμε πς το σφάλμα δεν αξάνεται στα επόμενα βήματα πολογισμών. Αν η 3.6 e e e. Παρατηρούμε πς το σφάλμα αξάνεται στα επόμενα βήματα πολογισμών. Όταν το σφάλμα αξάνεται ο αλγόριθμος είναι ασταθής οπότε και αναξιόπιστος για πολογισμούς. Για την αποφγή ατού το φαινομένο πρέπει να ιοθετηθούν περιορισμοί για την τιμή το δηλαδή αφορούν τα διαστήματα το πλέγματος και τη ταχύτητα διάδοσης. περιορισμοί πο Μπορούμε να ορίσομε πότε μια μέθοδος πεπερασμένν διαφορών θερείται εσταθής σνοριακών σνθηκών γενικότερα. Θερούμε πς το πρόβλημα αρχικών και a < < L < < T 3.6 f < < L 3.63 L < < T 3.64 επιλύεται με τη μέθοδο πεπερασμένν διαφορών L... N... J 3.65 f... N 3.66... J 3.67 N όπο L ένας τελεστής πεπερασμένν διαφορών. Η μέθοδος πεπερασμένης διαφοράς 3.65 3.67 ονομάζεται ασνεχώς εσταθής αν πάρχει σταθερά K ανεξάρτητη τν f τέτοια ώστε : K f για T 3.68 Ο σμβολισμός αντιπροσπεύει μια γενική νόρμα. Μπορεί για παράδειγμα να είναι η νόρμα το μεγίστο L 48

f ma f ή η ενεργειακή νόρμα L : f f d / Αν ισχύει η σχέση 3.68 και το χρονικό βήμα είναι σνάρτηση το χρικού βήματος η μέθοδος ονομάζεται σνεχώς εσταθής. Σύμφνα με τη σνθήκη CFL μια μέθοδος πεπερασμένης διαφοράς πάρχει δνατότητα να είναι εσταθής μόνο αν το αριθμητικό πεδίο εξάρτησής της είναι ποσύνολο το μαθηματικού πεδίο εξάρτησής της. Η εστάθεια μιας μεθόδο μπορεί να αναλθεί με τη μέθοδο Foie ή vo Nema και τη φασματική μέθοδο ή μέθοδο πίνακα. Κατά την εφαρμογή της μεθόδο vo Nema οι αρχικές σνθήκες το προβλήματος πεπερασμένης διαφοράς αναλύονται με διακριτές σειρές Foie και ελέγχεται η σμπεριφορά τν αρμονικών σνιστσών * μέσ της εξίσσης πεπερασμένν διαφορών. Η αριθμητική μέθοδος πο αναλύεται είναι εσταθής αν η εξίσση πεπερασμένης διαφοράς δεν επιτρέπει στος αρμονικούς να αξηθούν κατά την επίλση. Κατ αρχήν ποθέτομε πς η λύση το προβλήματος πεπερασμένης διαφοράς μπορεί να εκφραστεί ς πέρθεση αρμονικών της μορφής : i ξ e β 3.69 όπο β : η τάξη το αρμονικού β π. Ελέγχομε τη σμπεριφορά της αριθμητικής μεθόδο για έναν αρμονικό αντικαθιστώντας τον τύπο 3.69 στην εξίσση πεπερασμένης διαφοράς και λύνοντας προς το λόγο ξ ξ. Το πλάτος το λόγο ατού ονομάζεται * Αρμονικές σνιστώσες ή απλώς αρμονικοί ονομάζονται τα ημιτονοειδή κύματα κατάλληλης σχνότητας φάσης και ορισμένο πλάτος από τα οποία σντίθεται κάθε περιοδικό κύμα σύμφνα με τη θερία Foie. 49

παράγοντας ενίσχσης και εξαρτάτε από την τάξη το αρμονικού β. Η σνθήκη πο εξασφαλίζει την εστάθεια σύμφνα με το κριτήριο Nema είναι : vo ξ ξ [ β π 3.7 Εξετάζοντας την εστάθεια της αριθμητικής μεθόδο για έναν μόνο αρμονικό ποθέτομε πς δεν φίσταται αλληλεπίδραση μεταξύ τν τρόπν ταλάντσης και για ατό το λόγο περιορίζεται η χρήση το κριτηρίο vo Nema σε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις σταθερών σντελεστών. Επιπλέον παρατηρούμε πς οι σνοριακές σνθήκες δεν λαμβάνονται πόψη στο παραπάν κριτήριο οπότε η σνθήκη είναι απαραίτητη για την εστάθεια μιας μεθόδο αλλά δεν την εξασφαλίζει. Η εφαρμογή της φασματικής μεθόδο απαιτεί τη διατύπση της μεθόδο πεπερασμένης διαφοράς με πίνακα. Έστ πς η εξίσση πεπερασμένης διαφοράς έχει τη μορφή A B 3.7 όπο : πίνακας στήλη τν τιμών της άγνστης σνάρτησης. A : πίνακας σντελεστών. Αν B : πίνακας στήλη πο περιλαμβάνει τα δεδομένα το προβλήματος. η ακριβής λύση το προβλήματος και ~ η λύση πο επηρεάζεται από σφάλμα στις αρχικές σνθήκες η διαφορά τος ικανοποιεί την μέθοδο 3.7 οπότε : A A A A 5

Η μέθοδος είναι εσταθής αν πάρχει θετική σταθερά K ανεξάρτητη τν τέτοια ώστε να ισχύει A K 3.7 και γενικότερα : A 3.73 Μια τρίτη μέθοδος για ανάλση της εστάθειας πο εφαρμόζεται κρίς σε διαφορικές εξισώσεις με μεταβλητούς σντελεστές και μη γραμμικές εξισώσεις είναι η ενεργειακή μέθοδος. Σε ατή τη περίπτση χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες σγγενών σναρτήσεν προς τη λύση της εξίσσης πεπερασμένης διαφοράς με σκοπό να προκύψον αφαιρετικά απαραίτητες σνθήκες πο εξασφαλίζον την εστάθεια. Η δσκολία ατής της μεθόδο έγκειται στην εύρεση κατάλληλν σναρτήσεν. 3.4. Σνέπεια Μια αριθμητική μέθοδος θερείται σνεπής ς προς τη μερική διαφορική εξίσση πο προσεγγίζει αν καθώς τα βήματα σε χρονικό και χρικό πεδίο τείνον στο μηδέν το σφάλμα προσέγγισης τείνει να μηδενιστεί. Ατό σημαίνει πς οι μερικές διαφορικές εξισώσεις είναι δνατόν να ανακτηθούν από τις αλγεβρικές εξισώσεις πο χρησιμοποιούνται στην αριθμητική επίλση. Αν σμβολίσομε με D τον διαφορικό τελεστή D a 3.74 και με L τον τελεστή πρόδρομης πεπερασμένης διαφοράς ς προς και τότε η περβολική εξίσση ης τάξης 3.9 μεταγράφεται ς D 3.75 5

5 και η μέθοδος πρόδρομης διαφοράς ς προς και 3.3 μεταγράφεται ς : L 3.76 Το σφάλμα προσέγγισης της μεθόδο πεπερασμένης διαφοράς στον κόμβο θα ισούται με : D L T 3.77 Αν η λύση της μερικής διαφορικής εξίσσης 3.75 τότε το σφάλμα προσέγγισης απλοποιείται σε : L T 3.78 Αν T καθώς η μέθοδος θερείται σνεπής ς προς την μερική διαφορική εξίσση πο αναλύεται δηλαδή προσεγγίζει τη σγκεκριμένη μερική διαφορική εξίσση και όχι κάποια άλλη. Η μέθοδος πρόδρομης διαφοράς ς προς και 3.3 πληροί τον παραπάν ορισμό. Αναπτύσσοντας τη σειρά Taylo προκύπτει : 3 O O 3.79 3 O O 3.8 Οπότε το σφάλμα προσέγγισης από τις σχέσεις 3.75 3.76 3.77 και 3.78 πολογίζεται ς εξής :

53 L T T a a O T a O T O Άρα η μέθοδος είναι σνεπής. 3.4.3 Σύγκλιση Η έννοια της σύγκλισης σχετίζεται με τη σύγκριση τν λύσεν της μερικής διαφορικής εξίσσης και της αριθμητικής μεθόδο πο τη προσεγγίζει. Μια αριθμητική μέθοδος σγκλίνει αν η αριθμητική προσεγγιστική - λύση τείνει στην αναλτική - ακριβή λύση για κάθε τιμή τν ανεξάρτητν μεταβλητών καθώς το χρονικό βήμα και το χρικό βήμα τείνον στο μηδέν. Δηλαδή αν σμβολίσομε με τη λύση της μερικής διαφορικής εξίσσης σε πρόβλημα αρχικών και σνοριακών τιμών καλά τοποθετημένο και με τη λύση της αντίστοιχης μεθόδο πεπερασμένης διαφοράς η μέθοδος σγκλίνει αν : lim 3.8 Ατό σημαίνει πς το σφάλμα διακριτοποίησης στον κόμβο : Ε καθώς 3.8 Στη περίπτση της πεπερασμένης μεθόδο πρόδρομης διαφοράς ς προς και 3.3 ο τελεστής πεπερασμένης διαφοράς L είναι γραμμικός οπότε : L L E L L E L 3.83

Η σύγκλιση και η εστάθεια μιας μεθόδο είναι στενά σνδεδεμένες όπς φαίνεται από την ανάπτξή τος και ατό εκφράζεται με το παρακάτ θεώρημα : Θεώρημα La Eqivalece. Μια σνεπής μέθοδος πεπερασμένν διαφορών για ένα καλά τοποθετημένο γραμμικό πρόβλημα αρχικών σνθηκών θα πρέπει απαραίτητα να είναι εσταθής για να σγκλίνει. 54

4. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4. Εισαγγή Οι μέθοδοι πεπερασμένν διαφορών πο αναπτύχθηκαν έχον σκοπό τον πολογισμό της τιμής τις άγνστης σνάρτησης σε κάθε κόμβο. Από τις αρχικές σνθήκες και τις σνοριακές σνθήκες πο ορίζονται σε κάθε πρόβλημα μπορούμε να πολογίσομε τις τιμές ορισμένν κόμβν με βάση τις οποίες πολογίζονται οι πόλοιπες όπς για παράδειγμα φαίνεται στο σχήμα 4.. Σχήμα 4. Στος κώδικες πο αναπτύσσονται στο πολογιστικό περιβάλλον MATLAB η τιμή κάθε κόμβο αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο ενός πίνακα δισδιάστατο ή τρισδιάστατο ανάλογα με τον αριθμό τν ανεξάρτητν μεταβλητών. Όσο πιο μεγάλη είναι η ανάλση το πίνακα για δεδομένο χρονικό και χρικό διάστημα δηλαδή όσο πιο μικρό είναι το μέγεθος το χρονικού και χρικού βήματος τόσο πιο ακριβής είναι η λύση γιατί το σφάλμα προσέγγισης τείνει στο μηδέν. Με ατό το τρόπο όμς αξάνεται ο πολογιστικός χρόνος και η μέθοδος μπορεί να οδηγήσει σε μη εσταθής λύση. 55

4. Ταλαντώσεις αβαρούς ελαστικής χορδής Έστ μια χορδή μήκος L πακτμένη στα δύο άκρα η οποία τείνετε από δύναμη πο ενεργεί στιγμιαία σε απόσταση προκαλώντας μια μετατόπιση H όπς φαίνεται στο σχήμα 4.. L 5 από το ένα άκρο Αν δεν λάβομε πόψη τις δνάμεις εξασθένησης π.χ : αντίσταση το αέρα και το βάρος της χορδής και ποθέσομε πς η τάση πο ασκείται στη χορδή είναι εφαπτομενική της χορδής σε κάθε σημείο τότε τα εγκάρσια κύματα πο διαδίδονται στη χορδή ικανοποιούν την κματική εξίσση c 4. στο πεδίο ορισμού < < L > όπο c : η ταχύτητα διάδοσης σε m / s c T μ T : η τάση πο ασκείται στη χορδή σε N μ : η γραμμική πκνότητα της χορδής σε g / m Σχήμα 4. : Αρχική κατάσταση της χορδής. 56

57 4.. Αναλτική λύση Η αναλτική λύση της κματικής εξίσσης για μια διάσταση μπορεί να πολογιστεί με τη μέθοδο d Alembe. Η κματική εξίσση περιγράφει τα κύματα πο διαδίδονται στη χορδή με ταχύτητα c προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά. Οπότε είναι αναμενόμενο οι λύσεις της να διαδίδονται κατά μήκος τν χαρακτηριστικών : ά c σταθερ ±. Αν η λύση της εξίσσης 4. μπορούμε αλλάζοντας μεταβλητές να θερήσομε z w όπο : c w και c z. Οι παράγγοι της εξίσσης 4. μεταγράφονται ς: z w z z w w z z w w z w c z z w w z z w w c Αντικαθιστώντας τις παραπάν σχέσεις στη κματική εξίσση προκύπτει: 4 z f w f dw w g w g w z w c Η γενική λύση της εξίσσης 4. διατπώνεται σύμφνα με τη μέθοδο d Alembe ς : c f c f 4.

H παραπάν λύση αναπαριστά δύο κύματα πο οδεύον με ίση ταχύτητα προς αντίθετες διεθύνσεις. Για απλές αρμονικές κινήσεις ποθέτομε πς οι σναρτήσεις f και f αποτελούνται από ένα ημιτονικό και ένα σνημιτονικό όρο οπότε η εξίσση 4. μεταγράφεται ς Asi Bcos C si Dcos 4.3 όπο π : κματάρθμος c λ : η κκλική σχνότητα σε ad / sec λ : το μήκος κύματος σε m Εφόσον τα δύο άκρα της χορδής είναι πακτμένα οι σνοριακές σνθήκες το προβλήματος θα είναι: 4.4 L 4.5 Από τις σχέσεις 4.3 και 4.4 προκύπτει πς εξίσση 4.3 μετασχηματίζεται στην : A C και B D άρα η [ si si ] B [ cos cos ] A 4.6 Χρησιμοποιώντας τις τριγνομετρικές τατότητες si ± y si cos y ± cos si y και cos ± y cos cos y m si si y προκύπτει: [ A cos B si ] si 4.7 Από τη σνοριακή σνθήκη 4.5 και τη σχέση 4.7 προκύπτει ότι L si L π με 3... οπότε οι ιδιοσχνότητες της χορδής c c είναι f. H γενική λύση για μια δονούμενη χορδή με σταθερά άκρα L είναι το άθροισμα τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: 58

A si B cos si 4.8 Οι σντελεστές Α και Β πο βασίζονται στις αρχικές σνθήκες είναι ίσοι με : A L π si d L 4.9 L B L π si d L 4. L Οι αρχικές σνθήκες το προβλήματος είναι: 4. 5H L L 5 4. 5H L L 4 L 5 Οπότε οι σντελεστές Foie για το πρόβλημα είναι: A και B π 5H si. H γενική λύση το τύπο 4.8 διαμορφώνεται για το 5 π σγκεκριμένο πρόβλημα 5H π π c π si cos si 4.3 π 5 L L όπο 3... Αν το μήκος της χορδής είναι L m η αρχική μετατόπιση της χορδής H m και c 4 m/ s η γενική λύση το προβλήματος προκύπτει από την εξίσση 4.3 5 π si cos 4 π si π 4.4 π 5 59

όπο 3.... Υλοποιούμε τη μέθοδο ατή με το κώδικα. Για να έχομε μεγαλύτερη ακρίβεια πρέπει ο αριθμός τν τρόπν ταλάντσης να είναι αρκετά μεγάλος. Στη σγκεκριμένη περίπτση ορίσαμε K 5 ώστε η αρχική κατάσταση της χορδής να είναι ακριβής. 6

Σχήμα 4.3 : Η ταλάντση της χορδής σύμφνα με την αναλτική επίλση για χρονικό διάστημα μιας περιόδο με K 5. Η απεικόνιση γίνεται με χρονικό βήμα.5 sec. 6