ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΠΟ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ για το μάθημα ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Εαρινό Εξάμηνο 2018 Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 10 Ιουνίου 2018

Περιεχόμενα 1 Οι μιγαδικοί αριθμοί 3 1.1 Ορισμός, αλγεβρική δομή και βασικές έννοιες.............. 3 1.2 Δυνάμεις, εκθετική συνάρτηση και πολική μορφή............ 14 1.2.1 Συνάρτηση n-δύναμης....................... 14 1.2.2 Εκθετική συνάρτηση........................ 14 1.2.3 Πολική μορφή μιγαδικού αριθμού................. 17 1.3 Ρίζες και λογάριθμοι........................... 24 1.3.1 Επίλυση της z n = w και η συνάρτηση n-οστής ρίζας...... 24 1.3.2 Επίλυση της e z = w και η λογαριθμική συνάρτηση....... 29 1.3.3 Η συνάρτηση z λ.......................... 31 2 Τοπολογία - Ακολουθίες - Όρια και συνέχεια συναρτήσεων 34 2.1 Τοπολογικές ιδιότητες........................... 34 2.2 Ακολουθίες................................. 38 2.3 Όρια συναρτήσεων............................. 48 2.4 Συνέχεια συναρτήσεων.......................... 56 2.5 Η στερεογραφική προβολή........................ 63 3 Ολόμορφες συναρτήσεις 67 3.1 Μιγαδική διαφορισιμότητα........................ 67 3.2 Οι τελεστές,.............................. 82 3.3 Σύμμορφες απεικονίσεις......................... 87 4 Αναλυτικές συναρτήσεις 98 4.1 Σειρές................................... 98 4.2 Δυναμοσειρές............................... 102 4.3 Δυναμοσειρές βασικών συναρτήσεων................... 114 4.4 Αναλυτικές συναρτήσεις.......................... 118 5 Ολοκληρωτικό Θεώρημα Cauchy 122 5.1 Ολοκλήρωμα καμπύλης.......................... 122 5.2 Μιγαδικό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα................... 125 5.3 Δείκτης στροφής κλειστής καμπύλης................... 132 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5.4 Θεώρημα και Τύπος Cauchy....................... 139 5.5 Αναλυτικότητα των ολόμορφων συναρτήσεων.............. 144 5.6 Συνέπειες του Ολοκληρωτικού Θεωρήματος Cauchy........... 147 5.7 Μεμονωμένες ανωμαλίες......................... 151 5.8 Σειρές Laurent............................... 154 Βιβλιογραφία 161 2

Κεφάλαιο 1 Οι μιγαδικοί αριθμοί 1.1 Ορισμός, αλγεβρική δομή και βασικές έννοιες Όπως η εξίσωση x 2 = 2 δεν μπορεί να επιλυθεί στο σώμα των ρητών αριθμών (Q, +, ), αλλά απαιτείται για τη λύση της η επέκτασή του στο σώμα των πραγματικών αριθμών (R, +, ), έτσι και η εξίσωση x 2 = 1, δηλαδή, ισοδύναμα, x x + 1 = 0, (1.1) δεν μπορεί να επιλυθεί στο (R, +, ), και αναζητούμε μια επέκτασή του στο μικρότερο δυνατό σώμα (C, +, ), το σώμα των μιγαδικών αριθμών, το οποίο περιέχει έναν αριθμό i C \ R, τη φανταστική μονάδα, ο οποίος επιλύει την εξίσωση (1.1), δηλαδή έχει την ιδιότητα i 2 = 1, και μάλιστα i = 1. (1.2) Αποδεικνύεται¹ ότι η ελάχιστη αυτή επέκταση (C, +, ) του (R, +, ) είναι ένας διανυσματικός χώρος διάστασης 2 πάνω από το R με διανύσματα βάσης που αντιστοιχούν στην πραγματική 1 R C και τη φανταστική μονάδα i C \ R. Έτσι, αντιστοιχούμε 1 1 και επί τη μεταθετική ομάδα (C, +) με την (R 2, +), όπου το ουδέτερο στοιχείο 0 R C αντιστοιχεί στο (0, 0) R 2, C R 0 = (0, 0) R 2, (1.3) η πραγματική 1 R C και η φανταστική μονάδα i C \ R αντιστοιχούν στα διανύσματα βάσης (1, 0), (0, 1) R 2, C R 1 = (1, 0) R 2 και C \ R i = (0, 1) R 2, (1.4) ¹βλ. π.χ. [4, VI. Extension Fields]. Βλ. και την Παρατήρηση 1.1.2 πιο κάτω. 3

1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ, ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ οι πραγματικοί αριθμοί x R C αντιστοιχούν στα διανύσματα (x, 0) R 2, C R x = x + 0i = x(1, 0) + 0(0, 1) = (x, 0) R 2, (1.5) κάθε μιγαδικός αριθμός z C αντιστοιχεί μοναδικά σε ένα διάνυσμα (x, y) R 2 μέσω της αλγεβρικής παράστασης ή μορφής C z = x + yi = x(1, 0) + y(0, 1) = (x, y) R 2 (1.6) και η πρόσθεση + : C C C ορίζεται μέσω της πρόσθεσης στον R 2, δηλαδή για δύο μιγαδικούς αριθμούς C z 1 = x 1 + y 1 i = (x 1, y 1 ) R 2, C z 2 = x 2 + y 2 i = (x 2, y 2 ) R 2 (1.7) ορίζουμε το άθροισμά τους ως z 1 + z 2 = (x 1 + y 1 i) + (x 2 + y 2 i) = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i C. (1.8) Παράδειγμα 1.1.1. Το άθροισμα των μιγαδικών αριθμών 3 + 2i και 5 + 3i είναι (3 + 2i) + (5 + 3i) = 8 + 5i. Όπως προαναφέραμε, το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών (1.6) είναι μεταθετική ομάδα ως προς την πρόσθεση (1.8) με ουδέτερο στοιχείο το 0 C της (1.3), δηλαδή έχει τις ιδιότητες z 1, z 2, z 3 C : z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 (προσεταιριστικότητα) z 1, z 2 C : z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (μεταθετικότητα) 0 C z C : z + 0 = z (ύπαρξη ουδετέρου) z C z C : z + ( z) = z z = 0 (ύπαρξη αντιθέτου). Το ότι αυτές οι ιδιότητες πράγματι ισχύουν προκύπτει άμεσα από τις αντίστοιχες ιδιότητες της πρόσθεσης στον διανυσματικό χώρο R 2 μέσω της αντιστοίχισης (1.6). Ειδικότερα, το ότι το 0 C της (1.3) είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, προκύπτει ως και, αφού z + 0 = (x, y) + (0, 0) = (x, y) = z z + ( z) = 0 (x, y) + ( (x, y) ) = (x, y) + ( x, y) = (0, 0), βλέπουμε ότι ο αντίθετος του z = x + yi = (x, y) είναι ο z = ( x) + ( y)i. 4

1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ, ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Παρατήρηση 1.1.1. (αʹ) Η πρόσθεση + : C C C επεκτείνει την πρόσθεση + : R R R, αφού για x 1, x 2 R έχουμε, σύμφωνα με την (1.5), R x 1 + x 2 = (x 1 + 0i) + (x 2 + 0i) = (x 1 + x 2 ) + 0i C. (βʹ) Έχοντας ορίσει την πρόσθεση + : C C C παρατηρούμε ότι σύμφωνα με την αλγεβρική παράσταση (1.6) κάθε μιγαδικός αριθμός z = x + yi με x, y R είναι το άθροισμα ενός πραγματικού αριθμού x και ενός φανταστικού αριθμού C yi = (0, y) R 2. (γʹ) Αφού κάθε πραγματικός αριθμός είναι και μιγαδικός, βλ. (1.5), λόγω της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης, το άθροισμα (1.8) μπορεί να γραφεί πιο απλά και ως z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + (y 1 + y 2 )i. (δʹ) Αναπαριστώντας τον μιγαδικό αριθμό σε αλγεβρική μορφή z = x + iy C με (x, y) R 2, τον θεωρούμε ως σημείο του R 2, το οποίο στην περίπτωση αυτή ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο και έχει αρχή των αξόνων το 0 C και κάθετους άξονες που περνούν από το 0 τον άξονα των πραγματικών αριθμών (x, 0) = x R και τον άξονα των φανταστικών αριθμών (0, y) = iy ir, τους οποίους συμβολίζουμε συνήθως με Re και Im αντίστοιχα.² Παρατήρηση 1.1.2. Επικαλεστήκαμε (χωρίς απόδειξη) τη γενική αλγεβρική θεωρία επέκτασης σωμάτων για να εισαγάγουμε το σώμα των μιγαδικών αριθμών (C, +, ) (δηλ. της ελάχιστης επέκτασης του σώματος των πραγματικών αριθμών (R, +, ), η οποία περιέχει ένα στοιχείο που επιλύει την (1.1)) καταρχάς ως τον διανυσματικό χώρο R 2 (πάνω από το R), κυρίως για να επισημάνουμε ότι η ανιστοίχιση αυτή δεν είναι αυθαίρετη και μάλιστα ότι είναι (μέχρις ισομορφιών) μοναδική. Όσον αφορά τον (εσωτερικό, μιγαδικό) πολλαπλασιασμό : C C C, με τον οποίο θα εφοδιάσουμε τη μεταθετική ομάδα ως προς την πρόσθεση (C, +), έτσι ώστε να προκύψει το σώμα των μιγαδικών αριθμών (C, +, ), πέραν του ότι αυτός θα πρέπει να έχει τις γνωστές από το (R, +, ) ιδιότητες και να αποτελεί επέκταση του πολλαπλασιασμού σε αυτό, θα πρέπει να ικανοποιεί και την (1.2). Αυτό σημαίνει ότι για δύο μιγαδικούς αριθμούς z 1 = x 1 + y 1 i και z 2 = x 2 + y 2 i θα μπορούμε να κάνουμε τις ακόλουθες πράξεις (παραλείποντας, όπως και στο (R, +, ), το σύμβολο του πολλαπλασιασμού ): z 1 z 2 = (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) = x 1 (x 2 + y 2 i) + y 1 i(x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 + x 1 y 2 i + y 1 ix 2 + y 1 iy 2 i ²Σχετικά με τον συμβολισμό αυτό, βλέπε τον Ορισμό 1.1.1. = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i. (1.9) 5

1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ, ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έτσι, ορίζουμε τον πολλαπλασιασμό : C C C, ορίζοντας για τους μιγαδικούς αριθμούς στο (1.7) το γινόμενό τους ως z 1 z 2 = (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) = (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i C. (1.10) Παρατήρηση 1.1.3. (αʹ) Ο πολλαπλασιασμός : C C C επεκτείνει τον πολλαπλασιασμό : R R R, αφού για x 1, x 2 R έχουμε, σύμφωνα με την (1.5), R x 1 x 2 = (x 1 + 0i)(x 2 + 0i) = (x 1 x 2 0) + (x 1 0 + x 2 0)i = x 1 x 2 + 0i C. (βʹ) Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός στον διανυσματικό χώρο R 2 πάνω από το R, τον οποίο χώρο ταυτίσαμε με το C, είναι ειδική περίπτωση του πολλαπλασιασμού στο C, αφού για α R και C z = x + yi = (x, y) R 2 έχουμε αz = (α + 0i)(x + yi) = (αx 0y) + (αy + x0i) = (αx) + (αy)i = α(x + yi), όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από την (αx, αy) = α(x, y) R 2. Το σύνολο C \ {0} των μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών (1.6), όπου 0 C το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης (1.3), είναι μεταθετική ομάδα ως προς τον πολλαπλασιασμό (1.10) με ουδέτερο στοιχείο την πραγματική μονάδα 1 C \ {0} της (1.4). Πράγματι, ως προς τον πολλαπλασιασμό ισχύουν (αʹ) η προσεταιριστική ιδιότητα: z j = x j + y j i C \ {0}, j = 1, 2, 3: z 1 (z 2 z 3 ) = (x 1 + y 1 i) ( (x 2 + y 2 i)(x 3 + y 3 i) ) = (x 1 + y 1 i) ( (x 2 x 3 y 2 y 3 ) + (x 2 y 3 + x 3 y 2 )i ) = ( x 1 (x 2 x 3 y 2 y 3 ) y 1 (x 2 y 3 + x 3 y 2 ) ) + ( x 1 (x 2 y 3 + x 3 y 2 ) + (x 2 x 3 y 2 y 3 )y 1 ) i = ( x 1 x 2 x 3 x 1 y 2 y 3 y 1 x 2 y 3 y 1 x 3 y 2 ) + ( x 1 x 2 y 3 + x 1 x 3 y 2 + x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 y 1 ) i = ( (x 1 x 2 y 1 y 2 )x 3 (x 1 y 2 + x 2 y 1 )y 3 ) + ( (x 1 x 2 y 1 y 2 )y 3 + x 3 (x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ) i 6

1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ, ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ = ( (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i ) (x 3 + y 3 i) = ( (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) ) (x 3 + y 3 i) = (z 1 z 2 )z 3, (βʹ) η μεταθετική ιδιότητα: z j = x j + y j i C \ {0}, j = 1, 2: z 1 z 2 = (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i = (x 2 x 1 y 2 y 1 ) + (x 2 y 1 + x 1 y 2 )i = (x 2 + y 2 i)(x 1 + y 1 i) = z 2 z 1, (γʹ) η πραγματική μονάδα 1 C είναι ουδέτερο στοιχείο: z = x + yi C \ {0}: 1z = (1 + 0i)(x + yi) = (1x 0y) + (1y + x0)i = x + yi = z, (δʹ) κάθε z = x + yi C \ {0} (x, y) R 2 \ {(0, 0)} έχει τον αντίστροφο z 1 = 1 z = αφού για w = a + bi C έχουμε x x 2 + y 2 + y x 2 i C \ {0}, (1.11) + y2 zw = 1 (x + yi)(a + bi) = (xa yb) + (xb + ay)i = 1 + 0i (xa yb, xb + ay) = (1, 0) { xa yb = 1, xb + ay = 0 ( ) ( ) ( ) x y a 1 = y x b 0 ( ) ( ) a 1 x = b x 2 + y 2. y Μέχρι τώρα είδαμε ότι το (C, +) με την πρόσθεση (1.8) είναι μεταθετική ομάδα με ουδέτερο το 0 C της (1.3) και το (C \ {0}, ) με τον πολλαπλασιασμό (1.10) είναι μεταθετική ομάδα με ουδέτερο το 1 C \ {0} της (1.4). Επιπλέον, ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα: z j = x j + y j i C, j = 1, 2, 3: z 1 (z 2 + z 3 ) = (x 1 + y 1 i) ( (x 2 + y 2 i) + (x 3 + y 3 i) ) = (x 1 + y 1 i) ( (x 2 + x 3 ) + (y 2 + y 3 )i ) = ( x 1 (x 2 + x 3 ) y 1 (y 2 + y 3 ) ) + ( x 1 (y 2 + y 3 ) + (x 2 + x 3 )y 1 ) i 7

1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ, ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έτσι, αποδείξαμε: = ( (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 x 3 y 1 y 3 ) ) + ( (x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + (x 1 y 3 + x 3 y 1 ) ) i = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i + (x 1 x 3 y 1 y 3 ) + (x 1 y 3 + x 3 y 1 )i = z 1 z 2 + z 1 z 3. Θεώρημα 1.1.1. Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών (1.6), εφοδιασμένο με την πρόσθεση (1.8) και τον πολλαπλασιασμό (1.10), είναι σώμα, (C, +, ), με ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης το 0 C, βλ. (1.3), και ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού την πραγματική μονάδα 1 C \ {0}, βλ. (1.4). Παρατήρηση 1.1.4. Στην πράξη το προηγούμενο θεώρημα σημαίνει ότι μπορούμε να κάνουμε πράξεις με τους μιγαδικούς αριθμούς (1.6), όπως τις κάνουμε και με τους πραγματικούς, χρησιμοποιώντας επιπλέον την ιδιότητα της φανταστικής μονάδας i, (1.2), i 2 = 1, όπως κάναμε, για παράδειγμα, στον υπολογισμό (1.9). Αντίστοιχα, έχοντας θεμελιώσει πλέον τις ιδιότητες του σώματος για τις πράξεις +, μπορούμε να δούμε ότι το άθροισμα δύο μιγαδικών υπολογίζεται άμεσα ως z 1 + z 2 = (x 1 + y 1 i) + (x 2 + y 2 i) = x 1 + x 2 + (y 1 + y 2 )i, το οποίο επιβεβαιώνει ότι οι μιγαδικοί αριθμοί προσθέτονται, ως διανύσματα του R 2, κατά συντεταγμένες. Ορισμός 1.1.1. Έστω z = x + yi C με x, y R. Τότε οι αριθμοί Re z := x, Im z := y, z := x 2 + y 2, z = x yi ονομάζονται πραγματικό μέρος, φανταστικό μέρος, απόλυτη τιμή (ή μέτρο) και συζυγής (μιγαδικός αριθμός) του z, αντίστοιχα. Πρόταση 1.1.1. Έστω z, z 1, z 2 C. Τότε ισχύουν οι ισότητες οι ανισότητες Re z = z + z 2 z z, Im z =, 2i z z = z 2, z = z = z, z = z, z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, Re z z, Im z z και η τριγωνική ανισότητα της απόλυτης τιμής μιγαδικού αριθμού z 1 + z 2 z 1 + z 2. 8

1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ, ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Απόδειξη. Έστω σε αλγεβρική μορφή z = x + yi, z 1 = x 1 + y 1 i, z 2 = x 2 + y 2 i (δηλ. x, x 1, x 2, y, y 1, y 2 R). Τότε z + z = x + yi + x yi = 2x, z z = x + yi (x yi) = 2yi, z z = (x + yi)(x yi) = x 2 y( y) + ( yx + yx)i = x 2 + y 2 + 0i = x 2 + y 2, z = ( x) + ( y)i = z = x yi = x + ( y)i = ( x) 2 + ( y) 2 = x 2 + y 2, x 2 + ( y) 2 = x 2 + y 2, z = x yi = x + yi, z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + (y 1 + y 2 )i = x 1 + x 2 (y 1 + y 2 )i = (x 1 y 1 i) + (x 2 y 2 i), z 1 z 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i = x 1 x 2 y 1 y 2 (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i = x 1 x 2 ( y 1 )( y 2 ) + ( x 1 ( y 2 ) + x 2 ( y 1 ) ) i = (x 1 y 1 i)(x 2 y 2 i), z 1 z 2 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 1 z 2 z 2 = z 1 2 z 2 2, x 2 x 2 + y 2, y 2 x 2 + y 2, z 1 + z 2 2 = (z 1 + z 2 )z 1 + z 2 = (z 1 + z 2 )( z 1 + z 2 ) = z 1 z 1 + z 2 z 1 + z 1 z 2 + z 2 z 2 = z 1 2 + z 2 z 1 + z 1 z 2 + z 2 2 = z 1 2 + 2Re (z 2 z 1 ) + z 2 2 z 1 2 + 2 z 2 z 1 + z 2 2 = z 1 2 + 2 z 2 z 1 + z 2 2 = ( z 1 + z 2 ) 2. Παράδειγμα 1.1.2. (αʹ) Σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση, αλλά και σύμφωνα με την (1.11), o z C \ {0} έχει τον αντίστροφο z 1 = 1 z ( = z ) = z z z z 2 με 1 z = z z 2 = 1 z και ( ) 1 = z z z 2 = 1 z. 9

1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ, ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ (βʹ) Για την πραγματική μονάδα 1 = 1 + 0i έχουμε Re 1 = 1, Im 1 = 0, 1 = 1, 1 = 1 = 1 1 και για τη φανταστική μονάδα i = 0 + 1i έχουμε Re i = 0, Im i = 1, i = 1, ī = i = 1 i. Α 1. Εκφράστε τους ακόλουθους μιγαδικούς αριθμούς σε αλγεβρική μορφή: ( 1 + 3i) 1 (1 + i)i(2 i) (7 + πi)(π + i) 2i(π + 3i) (1 + i)(1 i) (i 1)(2 i) (2i + 1)πi (i + 1)(i 2)(i + 3) (1 + i) 1 1 3 + i 1 + i i i 1 + i Α 2. Περιγράψτε γεωμετρικά τα σύνολα 2 + i 2 i 2i 3 i 1 2 i 1 1 + i z i + 3 = 5, < 5, 5, > 5, 5. Α 3. Δείξτε ότι κάθε σύνολο της μορφής G = {z C : A z 2 + 2Re (Bz) + C = 0} με A, C R, B C, B 2 > AC (1.12) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο μιγαδικό επίπεδο σε μια ευθεία, αν A = 0, και σε έναν κύκλο, αν A = 0, και αντίστροφα ότι κάθε ευθεία στο μιγαδικό επίπεδο είναι ένα σύνολο της μορφής G με A = 0 και κάθε κύκλος στο μιγαδικό επίπεδο είναι ένα σύνολο της μορφής G με A = 0. Λύση: Έστω B = Re B + iim B = λ + iµ και z = Re z + iim z = x + iy. Τότε, έχουμε την εξίσωση στο μιγαδικό επίπεδο με πραγματικούς συντελεστές και πραγματικές μεταβλητές A(x 2 + y 2 ) + 2(λx µy) + C = 0 με λ 2 + µ 2 > AC. Αν A = 0, η εξίσωση δίνει την ευθεία 2(λx µy) + C = 0 στο μιγαδικό επίπεδο 0xy, αφού λ 2 + µ 2 > 0. Αν A = 0, η εξίσωση γράφεται ( x + λ ) 2 ( + y µ ) 2 λ 2 + µ 2 AC = A A A 2 > 0 και, άρα, είναι στο μιγαδικό επίπεδο ένας κύκλος με κέντρο ( λ/a, µ/a) και ακτίνα λ 2 + µ 2 AC/ A > 0. 10

1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ, ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αντίστροφα, μια ευθεία στο μιγαδικό επίπεδο έχει εξίσωση αx + βy + γ = 0 με α, β, γ R και α 2 + β 2 > 0, και, άρα, με B = α/2 iβ/2, z = x + iy και C = γ έχει τη μορφή 2Re (Bz) + C = 0, δηλαδή τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που την ικανοποιούν αποτελούν το σύνολο G με A = 0 και B 2 = α 2 + β 2 > AC = 0. Επίσης, ένας κύκλος κέντρου (α, β) R 2 και ακτίνας r > 0, δηλαδή με εξίσωση (x α) 2 + (y β) 2 = r 2 ή, ισοδύναμα, x 2 + y 2 + 2( αx βy) + α 2 + β 2 r 2 = 0 παίρνει με A = 1, B = α + iβ και C = α 2 + β 2 r 2 τη μορφή A z 2 + 2Re (Bz) + C = 0 με B 2 > AC, και άρα τα σημεία του κύκλου είναι αυτά του συνόλου G. Α 4. Χαρακτηρίστε γεωμετρικά τις εικόνες κύκλων και ευθειών στο μιγαδικό επίπεδο υπό την απεικόνιση f(z) = 1 z, z C \ {0}, και δώστε απλά παραδείγματα για τις διάφορες περιπτώσεις που υπάρχουν. Λύση: Σύμφωνα με την Άσκηση 3 κάθε κύκλος και ευθεία στο μιγαδικό επίπεδο αντιστοιχεί σε ένα σύνολο της μορφής (1.12), το οποίο δεν περιέχει το μηδέν ανν C = 0. Έτσι, για έναν κύκλο (A = 0) που δεν περνά από το μηδέν (C = 0) έχουμε f(g) = {w = 1/z C \ {0} : A z 2 + 2Re (Bz) + C = 0} όπου χρησιμοποιήσαμε = {w = 1/z C \ {0} : Az z + Bz + B z + C = 0} = {w C \ {0} : A(1/w)1/w + B(1/w) + B1/w + C = 0} = {w C \ {0} : A(1/w)(1/ w) + B(1/w) + B(1/ w) + C = 0} = {w C \ {0} : A/ w 2 + B/w + B/ w + C = 0} = {w C \ {0} : A + B w 2 /w + B w 2 / w + C w 2 = 0} = {w C \ {0} : A + B w + Bw + C w 2 = 0} z = 0 z = z > 0 z = 0 1/z = z/ z 2 1/z = 1/ z (> 0), 1/z = z/ z 2 = 1/ z, και παρατηρούμε ότι και το f(g) είναι κύκλος (C = 0) που δεν περνά από το μηδέν (A = 0). Ως παράδειγμα, ο μοναδιαίος κύκλος S 1 = {z C : z = 1} έχει την εικόνα f(s 1 ) = {w = 1/z C \ {0} : 1/w = 1/ w = 1} = {w C : w = 1} = S 1 και ο κύκλος D(2, 1) = {z C : z 2 = 1} έχει την εικόνα f ( D(2, 1) ) = {w = 1/z C \ {0} : 1/w 2 = 1} = {w C \ {0} : (1/w 2)(1/ w 2) = 1/(w w) 2(1/w + 1/ w) + 4 = 1} 11

1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ, ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ = {w C \ {0} : 1 4Re w + 3 w 2 = 0} = {w C \ {0} : 1/3 (4/3)Re w + (Re w) 2 + (Im w) 2 = 0} = {w C \ {0} : (Re w 2/3) 2 + (Im w) 2 = 1/9} = D(2/3, 1/3). Για μία ευθεία (A = 0) που δεν περνά από το μηδέν (C = 0), η εικόνα f(g) είναι ένας κύκλος (C = 0), ο οποίος περνάει από το μηδέν (A = 0), αλλά δεν το περιέχει (w C \ {0}). Π.χ. η ευθεία Im z = 1, δηλαδή το έχει την εικόνα G = {z C : Im z = 1} = {z C : 2Re (Bz) + C = 2(Re B)Re z 2(Im B)Im z + C = 0} με, π.χ., B = i, C = 2, f(g) = {w = 1/z C \ {0} : Im (1/w) = Im ( w/ w 2 ) = (Im w)/ w 2 = 1} = {w C \ {0} : w 2 + Im w = 0} = {w C \ {0} : (Re w) 2 + (Im w) 2 + Im w = 0} = {w C \ {0} : (Re w) 2 + (Im w + 1/2) 2 = 1/4} = D( i/2, 1/2) \ {0}. Για έναν κύκλο (A = 0) που περνά από το μηδέν (C = 0), το f(g \ {0}) είναι μία ευθεία (C = 0), που δεν περνά από το μηδέν (A = 0), ενώ για μια ευθεία (A = 0) που περνά από το μηδέν (C = 0), το f(g \ {0}) είναι μια ευθεία (C = 0), που περνά από το μηδέν ( = 0), αλλά δεν το περιέχει (w C \ {0}). Παραδείγματος χάριν, για τον κύκλο D(1, 1) = {z C : z 1 = 1} έχουμε f ( D(1, 1) \ {0} ) = {w = 1/z C \ {0} : 1/w 1 2 = (1/w 1)(1/ w 1) = 1} = {w C \ {0} : 1/(w w) 1/w 1/ w + 1 = 1} = {w C \ {0} : 1 w w = 0} = {w C : Re w = 1/2} ενώ για την ευθεία των πραγματικών αριθμών Im z = 0, δηλαδή το έχουμε G = {z C : Im z = 0} f(g \ {0}) = {w = 1/z C \ {0} : Im (1/w) = (Im w)/ w 2 = 0} = {w C \ {0} : Im w = 0}. 12

1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ, ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Α 5. Δείξτε ότι συνάρτηση f : C \ {0} C \ {0}, f(z) = 1/z, είναι 1 1 και επί. Λύση: Έστω w C \ {0}. Τότε, για z := 1/w C \ {0} έχουμε f(z) = w, και άρα η f είναι επί. Έστω z 1, z 2 C \ {0} με f(z 1 ) = f(z 2 ) 1/z 1 = 1/z 2 z 2 = z 1, και άρα η f είναι 1 1. Α 6. Έστω η συνάρτηση f : C \ {0} C, f(z) = 1/z. Δείξτε ότι η f απεικονίζει 1 1 και επί το ανοικτό δεξιό (αριστερό) μιγαδικό ημιεπίπεδο H r = {z C : Re z > 0} (H le = {z C : Re z < 0}) στον εαυτό του και το ανοικτό άνω (κάτω) μιγαδικό ημιεπίπεδο H u = {z C : Im z > 0} (H lo = {z C : Im z < 0}) στο ανοικτό κάτω (άνω) μιγαδικό ημιεπίπεδο. Λύση: Το ότι η απεικόνιση είναι 1 1 προκύπτει από την προηγούμενη άσκηση, αφού ο περιορισμός μιας 1 1 συνάρτησης είναι 1 1. Επίσης, αν z C με Re z > 0, τότε για την εικόνα του έχουμε Re f(z) = Re (1/z) = Re ( z/ z 2 ) = (Re z)/ z 2 = (Re z)/ z 2 > 0 και άρα f(h r ) H r. Τέλος, αν w H r, τότε, όπως μόλις είδαμε, z := 1/w H r και f(z) = w, συνεπώς η f Hr : H r H r είναι (1 1 και) επί. Ανάλογα αποδεικνύεται και ότι η f Hle : H le H le είναι 1 1 και επί. Για z H u έχουμε Im f(z) = Im (1/z) = Im ( z/ z 2 ) = (Im z)/ z 2 = (Im z)/ z 2 < 0 και άρα f(z) H lo, και για w H lo, θέτοντας z := 1/w, έχουμε f(z) = w και Im z = Im (1/w) = (Im w)/ w 2 > 0, δηλαδή z H u. Συνεπώς, η f Hu : H u H lo είναι 1 1 και επί, και ανάλογα αποδεικνύεται ότι και f Hlo : H lo H u είναι 1 1 και επί. Α 7. Δείξτε ότι η f(z) = 1/z, z C \ {0}, απεικονίζει 1 1 και επί το εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου χωρίς το μηδέν, στο εξωτερικό του μοναδιαίου κύκλου, και αντίστροφα. Α 8. Λύστε ως προς z C τις εξισώσεις D(0, 1) \ {0} := {z C : 0 < z < 1}, C \ D(0, 1) := {z C : z > 1}, (5 6i)z 2 3i = 0, z i z + i = i. 13

1.2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ, ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ 1.2 Δυνάμεις, εκθετική συνάρτηση και πολική μορφή 1.2.1 Συνάρτηση n-δύναμης Ορισμός 1.2.1. Για n Z ορίζουμε τη συνάρτηση της n-δύναμης ως z z n := z } {{ z}, z C, n N, n φορές z z 0 := 1, z C, z z n := 1, z C \ {0}, n N. zn Από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού προκύπτουν για z, w C \ {0} και n, m Z οι ιδιότητες z n z m = z n+m, (z n ) m = z nm, (zw) n = z n w n, οι οποίες ισχύουν και για z = 0 ή w = 0, αν n, m N 0. Επίσης, από τις ιδιότητες της απόλυτης τιμής και του συζυγούς, βλ. Πρόταση 1.1.1 και Παράδειγμα 1.1.2(1), προκύπτουν επαγωγικά οι ιδιότητες z n = z n, z n = z n, z C \ {0}, n Z, οι οποίες ισχύουν και για z = 0, αν n N 0. 1.2.2 Εκθετική συνάρτηση Για κάθε φανταστικό αριθμό iy ir ορίζουμε τον μιγαδικό αριθμό³ e iy := cos y + i sin y, y R. (1.13) Ο τύπος αυτός ονομάζεται τύπος του Euler και με αυτόν έχουμε, π.χ., e i0 = 1, e ±iπ/2 = ±i, e ±iπ = 1. Από την τριγωνομετρική ταυτότητα cos 2 α + sin 2 α = 1, α R, και τον ορισμό της απόλυτης τιμής μιγαδικού αριθμού προκύπτει e iy = 1, y R, (1.14) ³Να σημειωθεί ότι εδώ και στα επόμενα θεωρούμε τις πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής και τις ιδιότητές τους γνωστές. Αυτό αφορά ειδικότερα τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και την εκθετική συνάρτηση στον R καθώς και τις αντίστροφες συναρτήσεις τους. 14

1.2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ, ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ και από το γεγονός ότι η cos : R R είναι άρτια και η sin : R R περιττή και τον ορισμό του συζυγούς μιγαδικού αριθμού προκύπτει e iy = e iy, y R. Η 2π-περιοδικότητα των cos : R R, sin : R R μας δίνει και, ειδικότερα, e i(y+2kπ) = e iy, y R, k Z, (1.15) e i2kπ = 1, k Z. Επίσης, από τις τριγωνομετρικές ταυτότητες cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, α, β R, (1.16) και τον ορισμό του πολλαπλασιασμού στο C προκύπτει δηλαδή e i(α+β) = cos(α + β) + i sin(α + β) = cos α cos β sin α sin β + i(sin α cos β + cos α sin β) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = e iα e iβ, e i(y 1+y 2 ) = e iy 1 e iy 2, y 1, y 2 R. (1.17) Η ιδιότητα αυτή δικαιολογεί και τον συμβολισμό (1.13), αφού βλέπουμε ότι η χαρακτηριστική ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης στον R ικανοποιείται και για φανταστικούς αριθμούς. Επαγωγικά, η (1.17) συνεπάγεται e x 1+x 2 = e x 1 e x 2, x 1, x 2 R, (1.18) e iny = (e iy ) n, y R, n N, το οποίο ισχύει και για n = 0, και από τις μέχρι τώρα ιδιότητες, και αφού 1 = e i0 = e i(y y) = e iy e iy e iy = 1 e iy = (eiy ) 1, y R, (1.19) έχουμε e i( n)y = e iny = (e iny ) 1 = ( (e iy ) n) 1 = (e iy ) n y R, n N, 15

1.2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ, ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ και άρα, συνολικά, προκύπτει ο τύπος του de Moivre e iny = (e iy ) n, y R, n Z, (1.20) δηλαδή, ισοδύναμα, cos(ny) + i sin(ny) = (cos y + i sin y) n, y R, n Z. Ο συνδυασμός των (1.18) και (1.17) οδηγεί φυσιολογικά στον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 1.2.2. Η συνάρτηση exp : C C \ {0} με exp z := e z = e x+iy := e x e iy = e x (cos y + i sin y), z = x + iy C, x, y R, ονομάζεται εκθετική συνάρτηση. Διαπιστώνουμε αμέσως ότι η εκθετική συνάρτηση έχει τις ιδιότητες e z = e x+iy = e x e iy = e x > 0, z = x + iy C, x, y R, δηλαδή ότι πράγματι οι τιμές της βρίσκονται στο C \ {0}, e x+i0 = e x e i0 = e x, x R, δηλαδή ότι η εκθετική συνάρτηση στο C είναι επέκταση της εκθετικής συνάρτησης στο R, και, ειδικότερα, ότι για z = x + iy, w = a + ib C σε αλγεβρική μορφή ισχύει e z+w = e x+a+i(y+b) = e x+a e i(y+b) = e x e a e iy e ib = e x e iy e a e ib = e z e w, δηλαδή ότι η χαρακτηριστική ιδιότητα (1.18) της εκθετικής συνάρτησης στον R επεκτείνεται και στο C, από την οποία προκύπτουν ειδικότερα και οι ιδιότητες e z+w = e z e w, z, w C. (1.21) e z = 1 e z, enz = (e z ) n, e z w = ez, z, w C, n Z. ew Επίσης, ισχύουν e z = e z, z C, και η 2πi-περιοδικότητα της εκθετικής συνάρτησης e z+2kπi = e z, z C, k Z. 16

1.2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ, ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ 1.2.3 Πολική μορφή μιγαδικού αριθμού Κάθε (x, y) R 2 \ {(0, 0)} με καρτεσιανές συντεταγμένες x, y R μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο σε πολικές συντεταγμένες (r, φ) (0, ) ( π, π], μέσω του 1 1 και επί μετασχηματισμού από το (0, ) ( π, π] στο R 2 \ {(0, 0)} x = r cos φ, y = r sin φ (1.22) με τον αντίστροφο μετασχηματισμό arctan y x, x > 0, r = π 2, x = 0, y > 0, x 2 + y 2, φ = π + arctan y x, x < 0, y 0, π 2, x = 0, y < 0, π + arctan y x, x < 0, y < 0, (1.23) όπου arctan : R ( π 2, π 2 ) η αντίστροφη συνάρτηση της tan : ( π 2, π 2 ) R. Καθώς κάθε μιγαδικός αριθμός z C \ {0} αντιστοιχεί μοναδικά, μέσω της αλγεβρικής του παράστασης z = x + iy, σε ένα διάνυσμα (x, y) R 2 \ {(0, 0)}, προκύπτει με χρήση του μετασχηματισμού (1.22) και του τύπου του Euler (1.13) ότι κάθε z = x + iy C \ {0} μπορεί να γραφεί μοναδικά στην πολική ή τριγωνομετρική μορφή του z = x + iy = r cos φ + ir sin φ = r(cos φ + i sin φ) = re iφ με τα (r, φ) (0, ) ( π, π] της (1.23). Λόγω της 2πi-περιοδικότητας της εκθετικής συνάρτησης, βλ. (1.15), για το ίδιο z C \ {0} ισχύει και Το σύνολο των γωνιών z = re iφ = re i(φ+2kπ) k Z. arg z := φ + 2kπ, k Z, με φ αυτό της (1.23) (1.24) ονομάζεται όρισμα⁴ του z C \ {0} και είναι μοναδικό για κάθε z C \ {0}, υπό την έννοια ότι για κάθε z C \ {0} υπάρχει μοναδικό ⁴argument arg z ( π, π] arg z = φ =: Arg z, με φ αυτό της (1.23), (1.25) 17

1.2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ, ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ το οποίο ονομάζεται πρωτεύουσα ή κύρια τιμή⁵ του ορίσματος arg z ή, για συντομία, πρωτεύον ή κύριο όρισμα⁶ του z. Το arg z μπορεί να γραφεί και ρητά ως το σύνολο των τιμών στην (1.24), δηλαδή ως arg z = {φ + 2kπ : k Z} με φ αυτό της (1.23), (1.26) και οι τιμές αυτές είναι οι τιμές της πλειονότιμης συνάρτησης arg του z C \ {0}, της οποίας ο πρωτεύων κλάδος⁷ είναι το πρωτεύον όρισμα Arg. Με άλλα λόγια, σε κάθε C \ {0} z = (x, y) R 2 \ {(0, 0)} αντιστοιχεί μια μοναδική κυρτή προσανατολισμένη γωνία φ ( π, π] με κορυφή το 0 από τον θετικό ημιάξονα 0x προς τον ημιάξονα {t(x, y) : t 0}, η οποία ονομάζεται πρωτεύον όρισμα και αποτελεί την επιλογή με k = 0 μεταξύ όλων των γωνιών φ + 2kπ με k Z, οι οποίες δίνουν το ίδιο σημείο πάνω στον κύκλο κέντρου 0 και ακτίνας z > 0 και, συνεπώς, μαζί με την ακτίνα αυτή καθορίζουν μοναδικά το z. Επισημαίνουμε εδώ ότι για κάθε σημείο του μοναδιαίου κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο C, δηλαδή για κάθε σημείο του συνόλου S 1 := {z C : z = 1}, υπάρχει μοναδικό κύριο όρισμα φ ( π, π], έτσι ώστε z S 1 z = e iφ = cos φ + i sin φ, αφού, από την (1.19), έχουμε για φ, ψ R e iφ = e iψ e i(φ ψ) = 1 Ειδικότερα, και cos(φ ψ) = 1 και sin(φ ψ) = 0 φ ψ = 2kπ, k Z, φ ψ = 0 για φ, ψ ( π, π] φ ψ ( 2π, 2π). e iϑ = 1, ϑ R, ϑ = 2kπ, k Z, (1.27) e iϑ = 1, ϑ ( π, π], ϑ = 0. (1.28) Παρατήρηση 1.2.1. Να προσεχθεί ότι στην ελληνική και διεθνή βιβλιογραφία υπάρχουν αρκετές αποκλίσεις σχετικά με (αʹ) το ποια επιλέγουμε ως πρωτεύουσα τιμή του ορίσματος: Εμείς επιλέξαμε την τιμή του ορίσματος ( π, π], αλλά συχνά επιλέγεται και η τιμή [0, 2π). Γενικά, μπορεί να επιλεγεί κάθε ημιανοικτό διάστημα [α, α + 2π) ή (α, α + 2π] μήκους 2π για οποιοδήποτε α R, αλλά οι πιο συχνές εναλλακτικές είναι οι πρώτες δύο που αναφέραμε. ⁵principal value ⁶principal argument ⁷principal branch 18

1.2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ, ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ (βʹ) τον συμβολισμό του ορίσματος και της πρωτεύουσας τιμής του: Εκτός από τον συμβολισμό arg z και Arg z για το όρισμα και την πρωτεύουσα τιμή του, υπάρχει και ο ακριβώς αντίθετος. Επίσης πολλοί συγγραφείς, όπου δεν χρειάζεται, δεν δίνουν ιδιαίτερη έμφαση στην πρωτεύουσα τιμή του ορίσματος, αλλά κυρίως στο όρισμα, επειδή η πληροφορία για το z που μας δίνει η πρόταση «η πολική μορφή του z είναι η z = re i(φ+2π)» είναι η ίδια με αυτήν που μας δίνει η πρόταση «η πολική μορφή του z είναι η z = re iφ», όπως ακριβώς η τιμή των cos φ, sin φ είναι η ίδια με την τιμή των cos(φ + 2π), sin(φ + 2π). Παρατήρηση 1.2.2. Για το 0 C (0, 0) R 2 δεν μπορούμε να ορίσουμε όρισμα, αφού το αντίστοιχο διάνυσμα δεν έχει μήκος. Πολλές φορές ορίζεται αυθαίρετα Arg 0 := 0 ( π, π], αλλά από αναλυτική άποψη αυτό δεν έχει ιδιαίτερο νόημα, βλ. σχετικά τα σχόλια στο τέλος του Παραδείγματος 2.4.3. Συνοψίζοντας, συγκρατούμε ότι κάθε μιγαδικός αριθμός z C \ {0} προσδιορίζει (προσδιορίζεται) μοναδικά (από) την απόλυτη τιμή και το όρισμά του, μέσω της πολικής του μορφής Ειδικότερα z = z e i arg z = z e i(arg z+2kπ) = z e iarg z = z e iφ, (1.29) όπου φ αυτό της (1.23), k Z και z C \ {0}. z = re iϑ με r > 0 και ϑ R r = z > 0 και ϑ = arg z, (1.30) όπου με ϑ = arg z εννοούμε ϑ arg z, αν θεωρήσουμε το arg z ως το σύνολο (1.26), ή, ισοδύναμα, ϑ = Arg z + 2kπ για κάποιο k Z, με τη θεώρηση (1.24). και z = re iϑ με r > 0 και ϑ ( π, π] r = z > 0 και ϑ = Arg z. (1.31) Από τα προηγούμενα προκύπτει και ότι για z 1, z 2 C \ {0} z 1 = z 2 z 1 e i arg z 1 = z 2 e i arg z 2 z 1 = z 2 και arg z 1 = arg z 2, όπου arg z 1 = arg z 2 Arg z 1 = Arg z 2, z 1, z 2 C \ {0}. Η χρησιμότητα της πολικής μορφής δύο μιγαδικών αριθμών φαίνεται ιδιαίτερα στον πολλαπλασιασμό τους, όπου z 1 z 2 = z 1 e i arg z 1 z 2 e i arg z 2 = z 1 z 2 e i(arg z 1+arg z 2 ) = z 1 z 2 e i arg(z 1z 2 ), z 1, z 2 C \ {0}. 19

1.2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ, ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Έτσι, μια γεωμετρική ερμηνεία που μπορεί να δοθεί στον πολλαπλασιασμό δύο μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι η εξής: Η θέση στο μιγαδικό επίπεδο του γινομένου δύο μιγαδικών αριθμών βρίσκεται αν πολλαπλασιάσουμε τις απόλυτες τιμές τους⁸ και στρέψουμε το ένα κατά το όρισμα του άλλου. Ακόμα, από την (1.19), έχουμε z 1 z 2 = z 1 e i arg z1 z 2 e i arg z 2 = z 1 z 2 ei(arg z 1 arg z 2 ) = z 1 ei arg z 1 z2, z 1, z 2 C \ {0}, και, με χρήση του τύπου του de Moivre (1.20), z 2 z n = ( z e i arg z ) n = z n in arg z e = z n e i arg(zn), z C \ {0}, n Z. Στα επόμενα παραδείγματα⁹ καλό είναι ο αναγνώστης να καταλάβει βάσει ποιων από τις ιδιότητες που αναφέρθηκαν ως τώρα προκύπτουν τα συμπεράσματα. Παράδειγμα 1.2.1. (αʹ) Για θετικούς πραγματικούς αριθμούς x > 0 έχουμε x = x e i arg x = xe i arg x e i arg x = 1 και x = x arg x = 2kπ, k Z, Arg x = 0 και για αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς x < 0 x = x e i arg x = xe i arg x e i arg x = 1 = e i(π+2kπ), k Z, και x = x arg x = π + 2kπ, k Z, Arg x = π ενώ για θετικούς φανταστικούς αριθμούς iy, y > 0, έχουμε iy = iy e i arg(iy) = ye i arg(iy) ⁸δηλαδή τα μήκη τους, αν τα θεωρήσουμε ως διανύσματα ⁹που μπορούν να θεωρηθούν και ως λυμένες ασκήσεις 20

1.2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ, ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ e i arg(iy) = i = e i( π 2 +2kπ), k Z, και iy = y arg(iy) = π + 2kπ, k Z, 2 Arg (iy) = π 2 και για αρνητικούς φανταστικούς αριθμούς iy, y < 0, iy = iy e i arg(iy) = ye i arg(iy) e i arg(iy) = i = e i( π 2 +2kπ), k Z, και iy = y arg(iy) = π + 2kπ, k Z, 2 Arg (iy) = π 2 (βʹ) 1 + i = 1 + i e i arg(1+i) = 2e i arg(1+i) e i arg(1+i) = 1 2 (1 + i) = 1 2 (1, 1) = e i( π 4 +2kπ), k Z, arg(1 + i) = π + 2kπ, k Z, 4 1 + i = 2, Arg (1 + i) = π 4, όπου χρησιμοποιήσαμε και την αναπαράσταση του 1 2 (1 + i) C ως διάνυσμα 1 2 (1, 1) R 2. Επίσης, εδώ και στα επόμενα καλό είναι να γνωρίζουμε τις βασικές τριγωνομετρικές τιμές 4 cos 0 = 2 = 1 sin 0 = cos π 3 6 = 2 cos π 2 4 = 2 cos π 3 = 1 2 = 1 2 cos π 2 = 0 2 = 0 sin π 2 = 0 2 = 0 sin π 1 6 = 2 = 1 2 sin π 2 4 = 2 sin π 3 4 = 2 4 2 = 1 από τις οποίες προκύπτουν εύκολα, είτε με χρήση των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων (1.16), είτε με απλή γεωμετρική θεώρηση¹⁰, και οι τιμές για τα αντίστοιχα διανύσματα που είναι αντίθετα, συζυγή ή στραμμένα κατά π 2. ¹⁰κυριολεκτικά «με το μάτι» 21

1.2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ, ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ (γʹ) 1 i = 1 i e i arg(1 i) = 2e i arg(1 i) e i arg(1 i) = 1 2 (1 i) = 1 2 (1, 1) = e i π 4 1 i = 2, Arg (1 i) = π 4, (δʹ) 1 i = (1 + i) = e iπ (1 + i) = e iπ 2e i π 4 = 2e i 5π 4 = 2e i( 3π 4 ) 1 i = 2, Arg ( 1 i) = 3π 4 (εʹ) 1 3i = 1 3i e i arg( 1 3i) = 2e i arg( 1 3i) e i arg( 1 3i) = 1 3 2 2 i = ( cos π 3 + i sin π ) 4π = cos 3 3 + i sin 4π 3 1 3i = 2, Arg ( 1 3i) = 2π 3 (στʹ) π + ei = π + ei e iarg (π+ei) = π 2 + e 2 e π 2 + e 2, e iarg (π+ei) = π + ei = iarg (π+ei) π π 2 + e 2 + e π 2 + e 2 i Arg (π + ei) = arctan π e, όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το π + ei βρίσκεται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο και τον τύπο (1.23). Παράδειγμα 1.2.2. (1 i) 23 = ( 1 i e iarg (1 i)) 23 = ( 2e i π 4 ) 23 = 2 23 i 23π e 4 = 2 11 i( 23π 2e 4 + 24π 4 ) = 2 11 2e i π 4 = 2 11 (1 + i). 22

1.2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ, ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Α 9. Αποδείξτε επαγωγικά τον διωνυμικό τύπο n ( ) ( ) n n (z + w) n = z k w n k n!, = k k k!(n k)!, z, w C, n N 0. (1.32) k=0 Α 10. Εκφράστε τους αριθμούς i n, n Z, και (1 + i) 100 σε αλγεβρική και σε πολική μορφή. Α 11. (αʹ) Δείξτε ότι για κάθε z C \ {1} και n N n 1 k=0 z k = zn 1 z 1 (βʹ) Έστω r R, ϑ R με r 2 2r cos ϑ + 1 = 0 και n N. Δείξτε ότι n 1 k=0 r k cos(kϑ) = rn+1 cos ( (n 1)ϑ ) r n cos(nϑ) r cos ϑ + 1 r 2. 2r cos ϑ + 1 (γʹ) Έστω ϑ R \ 2πZ και n N. Δείξτε ότι (1 + sin ( (n 1/2)ϑ ) ) n 1 k=0 cos(kϑ) = 1 2 sin(ϑ/2) (δʹ) Βρείτε αντίστοιχους τύπους με τους δύο τελευταίους καθώς και τα πεδία ισχύος τους, αν αντικαταστήσετε τα cos(kϑ) με sin(kϑ) και e ikϑ. Α 12. Εκφράστε τις συναρτήσεις cos(3ϑ) και sin(3ϑ), ϑ R, ως πολυώνυμα των cos ϑ και sin ϑ. Α 13. Εκφράστε τους ακόλουθους μιγαδικούς αριθμούς σε πολική μορφή: 1 + i 1 + i 2 3 4i 1 i 2 5i 7 1 i Α 14. Εκφράστε τους ακόλουθους μιγαδικούς αριθμούς σε αλγεβρική μορφή: e 3iπ e 2iπ/3 3e iπ/4 πe iπ/3 e 2πi/6 e iπ/2 e iπ e 5iπ/4 Α 15. Έστω z C \ {0} και λ > 0. Δείξτε ότι Arg (λz) = Arg z. Α 16. Δείξτε ότι Arg z = Arg z, αν z C \ (, 0], Arg z = Arg z = π αν z (, 0]. Α 17. Έστω z, w C με zw = 1. Δείξτε ότι z w 1 zw < 1, αν z < 1 και w < 1 και z w 1 zw = 1, αν z = 1 ή w = 1. 23

1.3. ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 1.3 Ρίζες και λογάριθμοι 1.3.1 Επίλυση της z n = w και η συνάρτηση n-οστής ρίζας Έστω w C και n N. Θέλουμε να βρούμε όλες τις ρίζες του w, δηλαδή όλους τους μιγαδικούς αριθμούς n w, που ικανοποιούν¹¹ την εξίσωση Αν w = 0, τότε από την (1.33) προκύπτει z n = w. (1.33) z n = w = 0 z n = z n = w = 0 z = 0 z = 0. (1.34) Αν w C \ {0}, τότε w = re iϑ, r = w > 0, ϑ = arg w, και z = ρe iφ, ρ = z > 0, φ = arg z, και η (1.33) ισοδυναμεί με την Από τις (1.14) και (1.27) προκύπτει αναγκαία (ρe iφ ) n = ρ n e inφ = re iϑ. (1.35) ρ n = r και nφ = ϑ + 2kπ, k Z, ρ = n r και φ = ϑ + 2kπ, k Z, (1.36) n όπου η ρίζα n r = e (ln r)/n R για r > 0 θεωρείται γνωστή και καλά ορισμένη από τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών και συναρτήσεων. Αντίστροφα, υψώνοντας στη δύναμη n, διαπιστώνουμε άμεσα ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z k = n re i ϑ+2kπ n, k = 0,..., n 1, (1.37) επιλύουν την (1.35), δηλαδή την (1.33), και ότι για όλα τα υπόλοιπα k Z, προκύπτουν οι ίδιοι αριθμοί, λόγω της 2πi-περιοδικότητας της εκθετικής συνάρτησης. Επίσης, διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί αυτοί είναι ανά δύο διαφορετικοί, αφού για k, l {0,..., n 1} έχουμε z k = z l e i ϑ+2kπ n = e i ϑ+2lπ n e i 2(k l)π n = 1 2(k l)π = 2mπ, m Z, n k l = nm, m Z, ¹¹δηλαδή, επιλύουν (Σημειώνουμε ότι όπως και στον R αντί για 2 συνήθως γράφουμε ) 24

1.3. ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ και, αφού προκύπτει k l = n m, m Z, k l k n 1 και l k l n 1 k l n 1, k l = n m n 1 με n N, m Z m = 0 k = l. Συνεπώς, οι n αριθμοί z k που δίνονται στην (1.37) είναι n διαφορετικές ρίζες της (1.33) για w C \ {0}, και άλλες δεν υπάρχουν,¹² το οποίο συμβαδίζει και με το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας.¹³ Άρα η (1.37) δίνει όλες τις ρίζες της (1.33) για w C \ {0}. Παρατηρούμε ότι οι ρίζες αυτές βρίσκονται πάνω στον κύκλο κέντρου 0 και ακτίνας n r, τον οποίο διαμερίζουν σε n ίσα τόξα μήκους 2π n r/n,¹⁴ και ότι η z 0 έχει όρισμα arg z 0 = ϑ/n. Ειδικότερα, για ζ = 1 και n N έχουμε ζ n = 1 ζ k = e 2πik/n, k = 0,..., n 1, και οι μιγαδικοί αριθμοί στα δεξιά ονομάζονται n-οστές ρίζες της μονάδας. Ορισμός 1.3.1. Η συνάρτηση n : z n z := n z e i Arg z n, z C \ {0}, n 0 := 0, n N, ονομάζεται συνάρτηση της n-οστής ρίζας. Η συνάρτηση αυτή είναι επέκταση στο C της n r = e (ln r)/n, r > 0, που ορίζεται στον ημιάξονα των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών. n 0 = 0, Πρόταση 1.3.1. Η συνάρτηση της n-οστής ρίζας n : C n C = {0} {w C \ {0} : π/n < Arg w π/n} =: Γ είναι 1 1 και επί με αντίστροφη τον περιορισμό της συνάρτησης n-οστής δύναμης n : Γ C, g(w) = w n. Απόδειξη. Η n : C Γ είναι επί, δηλαδή n C = Γ, αφού n 0 = 0 Γ και για z = z e iarg z C \ {0} έχουμε από τον Ορισμό 1.3.1 και την (1.31) n z = n z > 0 και Arg n z = (Arg z)/n ( π/n, π/n], ¹²να προσεχθεί ότι πιο πάνω δείξαμε ότι οι ρίζες της (1.33) αναγκαστικά έχουν τη μορφή (1.36) ¹³Κάθε μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού n N έχει ακριβώς n (ενδεχομένως πολλαπλές) μιγαδικές ρίζες. ¹⁴Ενώνοντας τις ρίζες αυτές με ευθύγραμμα τμήματα, σχηματίζεται ένα κανονικό n-γωνο. 25

1.3. ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ και άρα n z Γ, και, αντίστροφα, για w = 0 Γ έχουμε n 0 = 0 = w, ενώ για w C \ {0} με Arg w ( π/n, π/n], θεωρούμε z := w n = w n e inarg w και έχουμε n z = w e iarg w = w. H n : C Γ είναι 1 1, αφού αν n z 1 = n z 2 = 0, τότε z 1 = z 2 = 0,¹⁵ και αν n z1 = n z 2 C \ {0}, τότε n z 1 = n z 2 z 1 = z 2 e i Arg z 1 Arg z 2 n = 1 Arg z 1 = Arg z 2 z 1 = z 2. Αφού, λοιπόν, η n : C Γ είναι 1 1 και επί, και ( n ( z) n ) n = z e i Arg z n n = z e iarg z = z, z C \ {0}, και ( n 0) n = 0 n = 0, έχουμε ( n ) 1 = n. Παρατήρηση 1.3.1. Από μια σύγκριση του Ορισμού 1.3.1 και των (1.37) και (1.34) προκύπτει ότι το σύνολο των ριζών της (1.33) μπορεί να γραφεί ως z k = n w e i 2πk n, k = 0,..., n 1. (1.38) Ειδικότερα για n = 2, αφού e iπ = 1, βλέπουμε ότι Ακόμα, βλέπουμε ότι οι συναρτήσεις z 2 = w z = ± w, w C. (1.39) n e i 2πk n : C Γ e i 2πk n, k = 0,..., n 1, είναι 1 1 και επί με αντίστροφες τις n : Γ e i 2πk n C, k = 0,..., n 1. Παράδειγμα 1.3.1. Να επιλυθεί η εξίσωση Λύση: az + b = 0, a, b, z C, a = 0. az + b = 0 z = b a. ¹⁵αφού z C \ {0} n z = n z e i Arg n z n z = n z > 0 z > 0 z C \ {0} με την προτελευταία συνεπαγωγή γνωστή από τους πραγματικούς 26

1.3. ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Παράδειγμα 1.3.2. Να επιλυθεί η εξίσωση Λύση: az 2 + bz + c = 0, a, b, c, z C, a = 0. (1.40) az 2 + bz + c = 0 z 2 + b a z + c ( a = 0 z + b ) 2 b 2 4ac = 2a 4a 2 και από την (1.39) προκύπτει ότι οι λύσεις της (1.40) είναι οι z = b b 2a ± 2 4ac 4a 2. Παράδειγμα 1.3.3. Να επιλυθεί η εξίσωση z 2 = 1, z C. Λύση: Η εξίσωση ισοδυναμεί με την (1.40) με a = c = 1 και b = 0 (αλλά και με την (1.39) με w = 1) και συνεπώς έχει τις λύσεις z = ± 1 με 1 = 1 e iarg ( 1) = e iπ = e i π 2 = i. Παράδειγμα 1.3.4. Να επιλυθεί η εξίσωση z 5 = 1 i, z C. Λύση: Αφού 1 i = 2 e i π 4 και 5 1 i = 10 2 e i π 20, η εξίσωση έχει τις λύσεις z k = 10 2 e i( π 20 + 2kπ 5 ), k = 0,..., 4, δηλαδή τις z 0 = 10 2 e i π 20, z1 = 10 2 e i 7π 20, z2 = 10 2 e i 15π 20, z 3 = 10 2 e i 23π 10 20 = i 17π 2 e 20, z4 = 10 2 e i 31π 10 20 = i 9π 2 e 20. Παράδειγμα 1.3.5. Χρησιμοποιώντας την αλγεβρική και την πολική μορφή του z 3 για z C, να επιλυθεί το σύστημα x 3 3xy 2 = 3, y 3 3x 2 y = 1, x, y R. 27

1.3. ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Λύση: Αν σε αλγεβρική μορφή z = x + iy, τότε z 2 = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2xyi z 3 = (x 2 y 2 + 2xyi)(x + iy) = x 3 xy 2 2xy 2 + i(2x 2 y + x 2 y y 3 ) = x 3 3xy 2 + i(3x 2 y y 3 ). Το σύστημα προς επίλυση αντιστοιχεί στο ( x 3 3xy 2 ) ( ) 3 3x 2 y y 3 =, (x, y) R 2, 1 δηλαδή στο με τις λύσεις z 3 = 3 i, z C, z k = 3 3 i e iarg ( 3 i) e i 2kπ 3 = 3 2 e iarg ( 3 2 1 2 i) e i 2kπ 3 = 3 2 e i π 6 e i 2kπ 3 = 3 2 e i π 18 e i 2kπ 3, k = 0, 1, 2, δηλαδή z 0 = 3 2 e i π 18, z1 = 3 2 e i 11π 18, z2 = 3 2 e i 23π 3 13π 18 = i 2 e 18, και άρα οι λύσεις του δοθέντος συστήματος είναι οι (x 0, y 0 ) = 3 ( 2 ( (x 2, y 2 ) = 3 2 cos π 18, sin π ), (x 1, y 1 ) = 3 ( 2 18 cos 13π 13π ), sin. 18 18 cos 11π 18 11π ), sin, 18 Στον πιο πάνω υπολογισμό χρησιμοποιήσαμε ότι για z C \ {0} ισχύει z = z e iarg z e iarg z = z z = eiarg z z Arg z = Arg z z, το οποίο φυσικά ισχύει και αν αντικαταστήσουμε τα Arg με arg. Παράδειγμα 1.3.6. Υπολογίστε τη ρίζα 3 1. Λύση: Αφού 1 = e iπ, έχουμε από τον Ορισμό 1.3.1 3 1 = e i π 3. 28

1.3. ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Να προσεχθεί ότι αυτή η ρίζα διαφέρει από αυτήν που ορίζουμε ως τρίτη ρίζα του 1 στο R, δηλαδή την 1. Πράγματι, το 1 είναι και αυτό τρίτη ρίζα του 1, υπό την έννοια ότι επιλύει την εξίσωση z 3 = 1 z k = 3 1 e i 2kπ 3, k = 0, 1, 2, z 0 = e i π 3, z1 = e i π 3 e i 2π 3 = 1, z2 = e i π 3 e i 4π 3 = e i π 3. 1.3.2 Επίλυση της e z = w και η λογαριθμική συνάρτηση Έστω w C \ {0}. Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις z C της εξίσωσης¹⁶ Για z = x + iy με (x, y) R 2 και w = w e iarg w, έχουμε e z = w. (1.41) e z = w e x e iy = w e iarg w e x = w και y = Arg w + 2kπ, k Z, και συνεπώς οι λύσεις της (1.41) είναι οι z k = ln w + i(arg w + 2kπ), k Z, (1.42) όπου ο φυσικός λογάριθμος ln : (0, ) R ως αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης exp : R R με exp(r) = (0, ) θεωρείται γνωστός. Ορισμός 1.3.2. Η συνάρτηση log : z log z := ln z + iarg z, z C \ {0}, ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση¹⁷ και η τιμή log z ονομάζεται λογάριθμος του z¹⁸. H λογαριθμική συνάρτηση είναι προφανώς επέκταση στο C \ {0} του φυσικού λογάριθμου, που ορίζεται στο (0, ) R. Πρόταση 1.3.2. Η λογαριθμική συνάρτηση log : C \ {0} log(c \ {0}) = {w C : π < Im w π} =: Λ (1.43) είναι 1 1 και επί με αντίστροφη τον περιορισμό της εκθετικής συνάρτησης στο Λ exp : Λ C \ {0}. ¹⁶αφού exp(c) C \ {0}, η εξίσωση δεν έχει λύση για w = 0 ¹⁷ή, ακριβέστερα, κύριος ή πρωτεύων κλάδος της πλειονότιμης λογαριθμικής συνάρτησης, βλέπε Παρατήρηση 1.3.2 ¹⁸ή, ακριβέστερα, κύριος ή πρωτεύων λογάριθμος ή κύρια ή πρωτεύουσα τιμή του λογάριθμου του z 29

1.3. ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Απόδειξη. Από τον Ορισμό 1.3.2 προκύπτει άμεσα ότι log(c \ {0}) Λ. Από την άλλη, για w Λ θέτουμε z := e w = e Re w e iim w και από την (1.31) προκύπτει και συνεπώς z = e Re w και Arg z = Im w log z = ln(e Re w ) + iarg z = Re w + iim w = w. Άρα log(c \ {0}) = Λ. Επίσης για z 1, z 2 C \ {0}, σύμφωνα με τον Ορισμό 1.3.2 και την (1.31), log z 1 = log z 2 ln z 1 = ln z 2 ( z 1 = z 2 ) και Arg z 1 = Arg z 2 z 1 = z 2, δηλαδή η λογαριθμική συνάρηση είναι 1 1, και αφού e log z = e ln z e iarg z = z = e iarg z = z, z C \ {0}, η αντίστροφη της λογαριθμικής είναι πράγματι ο περιορισμός της εκθετικής συνάρτηση στο Λ, και αντίστροφα. Παρατήρηση 1.3.2. Η λογαριθμική συνάρτηση, όπως την ορίσαμε στον Ορισμό 1.3.2, είναι ο κύριος κλάδος της πλειονότιμης λογαριθμικής συνάρτησης, της οποίας όλοι οι κλάδοι προκύπτουν προσθέτοντας στον κύριο κλάδο οποιαδήποτε από τις αριθμήσιμα άπειρες σταθερές τιμές 2kπi, k Z. Έτσι, ο k-κλάδος της πλειονότιμης λογαριθμικής συνάρτησης είναι η συνάρτηση log k : z log z + 2kπi, z C \ {0}, k Z, με log k (C \ {0}) = Λ + 2kπi =: Λ k, η οποία είναι αντίστροφη του περιορισμού¹⁹ της εκθετικής συνάρτησης στο Λ k exp : Λ k C \ {0}, exp z = e Re z e iim z = e Re z e i(arg z+2kπ), και η λογαριθμική συνάρτηση του Ορισμού 1.3.2 είναι ο 0-κλάδος, δηλαδή ο πρωτεύων ή κύριος κλάδος, ο οποίος για τον λόγο αυτόν πολλές φορές συμβολίζεται και ως Log. Παρατήρηση 1.3.3. Από τη σύγκριση του Ορισμού 1.3.2 με τις λύσεις (1.42) της εξίσωσης (1.41), προκύπτει ότι αυτές είναι οι z k = log w + 2kπi, k Z. Παράδειγμα 1.3.7. Να επιλυθεί ως προς z C η εξίσωση e z = i. Λύση: Αφού i = e i π 2, έχουμε log i = ln 1 + i π 2 = i π 2 και άρα οι λύσεις της ez = i είναι οι z k = i π 2 + i2kπ, k Z. ¹⁹Υπενθυμίζουμε ότι η εκθετική συνάρτηση είναι 2πi-περιοδική και άρα δεν είναι 1 1 από το C στο C \ {0}. Όπως βλέπουμε εδώ, είναι 1 1 και επί από κάθε Λ k στο C \ {0}. 30

1.3. ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Παράδειγμα 1.3.8. Να επιλυθεί ως προς z C η εξίσωση e z = 1 3i. Λύση: 1 3i = 1 3i e iarg ( 1 3i) = 2e iarg ( 1 2 3 2 i) = 2e i 4π 3 = 2e i 2π 3 log( 1 3i) = ln 2 i 2π 3 z k = ln 2 i 2π 3 + i2kπ, k Z, οι λύσεις της εξίσωσης. 1.3.3 Η συνάρτηση z λ Ορισμός 1.3.3. Η συνάρτηση λ : z z λ = e λ log z, z C \ {0}, λ C σταθερό, ονομάζεται συνάρτηση της λ-δύναμης²⁰ και η τιμή z λ ονομάζεται λ-δύναμη του z²¹. Παράδειγμα 1.3.9. Υπολογίστε τον αριθμό i i. Λύση: i i = e i log i = e i(ln 1+iArg i) = e i(i π 2 ) = e π 2. Από τους ορισμούς και τις ιδιότητες της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης και της συνάρτησης της n-δύναμης προκύπτει ότι για λ = n Z ο Oρισμός 1.3.3 της λ-δύναμης ταυτίζεται στο C \ {0} με τον Oρισμό 1.2.1 της n-δύναμης, αφού από τον ορισμό εδώ έχουμε για z C \ {0} z n = e n log z = (e log z ) n = z n, n N, z 0 = e 0 log z = e 0 = 1 z n = e n log z = 1 e n log z = 1 z n, n N. Επίσης, για n N ο Ορισμός 1.3.3 για λ = 1/n ταυτίζεται με τον Ορισμό 1.3.1 της συνάρτησης της n-οστής ρίζας, αφού για z C \ {0} z 1/n = e log z n ln z +iarg z ln z = e n = e n e i Arg z n = n z e i Arg z n = n z, όπου χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό της n-οστής ρίζας n r = e (ln r)/n για r > 0. ²⁰ή, ακριβέστερα, κύριος ή πρωτεύων κλάδος της πλειονότιμης συνάρτησης της λ-δύναμης, βλέπε την Παρατήρηση 1.3.4 ²¹ή, ακριβέστερα, πρωτεύων ή κύριος κλάδος της λ-δύναμης του z 31

1.3. ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Πρόταση 1.3.3. Έστω λ, µ C, z, w C \ {0} και το Λ της (1.43). Τότε ισχύουν (αʹ) z λ = 1 z λ, (βʹ) z λ z µ = z λ+µ, (γʹ) (z λ ) µ = z λµ, αν λ log z Λ, (δʹ) (zw) λ = z λ w λ, αν zw Λ. Παρατήρηση 1.3.4. H συνάρτηση του Oρισμού 1.3.3 είναι ο κύριος ή πρωτεύων κλάδος της πλειονότιμης συνάρτησης της λ-δύναμης, της οποίας οι υπόλοιποι κλάδοι προκύπτουν, αν αντί για τον πρωτεύοντα κλάδο της λογαριθμικής συνάρτησης χρησιμοποιήσουμε τον k-κλάδο της, λk : z zλ k = eλ log k z = z λ e λ2kπi, z C \ {0}, λ C, k Z. Α 18. Βρείτε τις ρίζες i, 4 i, 7 1 i, 3 1 i, 44 cos 33π 5 + i sin 33π 5. Α 19. Έστω n N και w C δοσμένο. Λύστε ως προς z C τις εξισώσεις z n = w n και z n + z n 1 w + + zw n 1 + w n = 0. [Υπόδειξη για τη δεύτερη εξίσωση: (2.25).] Α 20. Έστω (a.b) R 2 \ {(0, 0)}. Λύστε τα συστήματα x x 2 + y 2 = a, y x 2 + y 2 = b, x 2 y 2 (x 2 y 2 ) 2 + 4x 2 y 2 = a, 2xy (x 2 y 2 ) 2 + 4x 2 y 2 = b. Α 21. Βρείτε τους λογάριθμους των 1, 1 i και log(1 + i). Α 22. Υπολογίστε τους αριθμούς ( 1) i, ( 2 ) i 3 και (1 + i) i. Α 23. Βρείτε για δοσμένο w C \ {0} τις λύσεις της ( 1) z = w. Α 24. Αποδείξτε την Πρόταση 1.3.3 και βρείτε αντιπαραδείγματα για τα δύο τελευταία συμπεράσματα. Α 25. Έστω z, w C με e z = e w. Δείξτε ότι υπάρχει k Z, έτσι ώστε z = w + 2kπi. 32

1.3. ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Α 26. (αʹ) Δείξτε ότι για x R cos x = eix + e ix 2, sin x = eix e ix, 2i (βʹ) Δείξτε ότι, αν ορίσουμε τα cos z, sin z με z C, αντικαθιστώντας στους πιο πάνω τύπους x R με το z C, τότε οι μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει cos z = 0 ή sin z = 0 είναι οι γνωστοί πραγματικοί αριθμοί. 33

Κεφάλαιο 2 Τοπολογία - Ακολουθίες - Όρια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Τοπολογικές ιδιότητες Όπως είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο, το σώμα των μιγαδικών αριθμών (C, +, ) αντιστοιχεί στον διανυσματικό χώρο R 2 πάνω από το R, εφοδιασμένον επιπλέον με τον εσωτερικό πολλαπλασιασμό : R 2 R 2 R 2, (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) := (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2, και αποτελεί επέκταση του σώματος των πραγματικών αριθμών (R, +, ), όπου R x = (x, 0) R 2, με τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό στον R 2, : R R 2 R 2, να αποτελεί περιορισμό του εσωτερικού πολλαπλασιασμού, (λx, λy) =: λ(x, y) = (λ, 0)(x, y) = (λx 0y, λy x0) = (λx, λy), λ R, (x, y) R 2. Από αυτή την αντιστοίχιση με τον R 2, προκύπτει ότι η απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού z με αλγεβρική μορφή z = x + yi, όπου (x, y) R 2, ισούται με την Ευκλείδεια νόρμα στον R 2, z = x + yi = x 2 + y 2 = (x, y). Έτσι, το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C είναι ένας διδιάστατος διανυσματικός χώρος πάνω από το R με νόρμα την απόλυτη τιμή : C R, η οποία έχει τις ιδιότητες: z 0 και z = 0 z = 0, z C, 34

2.1. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ λz = λ z, λ R, z C, z + w z + w, z, w C (τριγωνική ανισότητα νόρμας) και επάγει τη μετρική d : C C R με την απόσταση μεταξύ των z, w C η οποία έχει τις ιδιότητες d(z, w) := z w, z, w C, (2.1) z w 0 και z w = 0 z = w, z, w C, z w = w z, z, w C, z w z a + a w, z, w, a C (τριγωνική ανισότητα μετρικής). Έτσι, ο (C, ) είναι ένας χώρος με νόρμα και ο (C, d) ένας μετρικός, και άρα τοπολογικός, χώρος, που έχει όλες τις αντίστοιχες ιδιότητες, και ειδικότερα, όλες τις ιδιότητες του R 2 (πάνω από το R) με την Ευκλείδεια νόρμα. Συνεπώς, οι επόμενοι τοπολογικοί ορισμοί και ιδιότητες προκύπτουν από τη μεταφορά των αντίστοιχων για τον R 2, και για τις ιδιότητες που αναφέρονται αλλά δεν αποδεικνύονται εδώ και έχουν αποδειχθεί στο σύγγραμμα [2] για τον R n, παραπέμπουμε σε αυτό. Φυσικά, πολλά περισσότερα για τις τοπολογικές ιδιότητες μετρικών χώρων μπορούν να βρεθούν στη σχετική βιβλιογραφία. Ορισμός 2.1.1. Ένα υποσύνολο D C ονομάζεται (αʹ) ανοικτό, αν για κάθε z D υπάρχει ε > 0, έτσι ώστε D(z, ε) D, όπου D(z, r) := {w C : z w < r}, z C, r > 0, (2.2) ο ανοικτός κυκλικός δίσκος κέντρου z C και ακτίνας r > 0, (βʹ) κλειστό, αν το C \ D είναι ανοικτό. Πρόταση 2.1.1. (αʹ) Το κενό σύνολο και το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C είναι και ανοικτά και κλειστά υποσύνολα του C. (βʹ) Η ένωση μιας οικόγενειας ανοικτών υποσυνόλων του C και η τομή ενός πεπερασμένου πλήθους ανοικτών υποσυνόλων του C είναι ανοικτά υποσύνολα του C. (γʹ) Η τομή μιας οικόγενειας κλειστών υποσυνόλων του C και η ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους κλειστών υποσυνόλων του C είναι κλειστά υποσύνολα του C. (δʹ) Ο ανοικτός κυκλικός δίσκος (2.2) είναι ανοικτό υποσύνολο του C και ο κλειστός κυκλικός δίσκος κέντρου z C και ακτίνας r > 0 D(z, r) := {w C : z w r}, z C, r > 0 (2.3) 35

2.1. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ και ο κύκλος κέντρου z C και ακτίνας r > 0 D(z, r) := {w C : z w = r}, z C, r > 0 (2.4) είναι κλειστά υποσύνολα του C. Ορισμός 2.1.2. Έστω D C. Ένα σημείο z C ονομάζεται (αʹ) εσωτερικό σημείο του D, αν υπάρχει ε > 0, τέτοιο ώστε D(z, ε) D, (βʹ) εξωτερικό σημείο του D, αν είναι εσωτερικό σημείο του C \ D, (γʹ) συνοριακό σημείο του D, αν δεν είναι ούτε εσωτερικό, ούτε εξωτερικό σημείο του D. Τα σύνολα των εσωτερικών, εξωτερικών και συνοριακών σημείων του D, ονομάζονται, αντίστοιχα, εσωτερικό, εξωτερικό και σύνορο του D και συμβολίζονται, αντίστοιχα, D ή int D, ext D και D ή bd D. Πρόταση 2.1.2. Έστω D C. Τότε C = D D ext D με D D =, D ext D =, D ext D =, D D, το εσωτερικό D του D είναι ανοικτό υποσύνολο του C, D ανοικτό D = D, D E C D E, ext D = int (C \ D) C \ D. Ισχύει και ο ακόλουθος ισοδύναμος χαρακτηρισμός του εσωτερικού ενός υποσυνόλου D C, ο οποίος πολλές φορές χρησιμοποιείται ως ορισμός του (πβ. και με τον Ορισμό 2.1.3 της κλειστής θήκης που ακολουθεί). Πρόταση 2.1.3. Έστω D C. Τότε το εσωτερικό του D είναι η ένωση όλων των ανοικτών υποσυνόλων του C που περιέχονται στο D, D = A, A D, A C ανοικτό και είναι το μεγαλύτερο ανοικτό υποσύνολο του D. Απόδειξη. Άσκηση Ορισμός 2.1.3. Έστω D C. Η τομή όλων των κλειστών υποσυνόλων του C που περιέχουν το D ονομάζεται κλειστή θήκη του D και συμβολίζεται με D, D := K. K D, K C κλειστό 36