B Λυκείυ 4 ΓΛΧ 0 0 Μ. Παπαγρηγράκης Χανιά [Άλγεβρα].09
4 ΓΛΧ 0 0 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ λ y λ.0 Δίνεται τ σύστημα:, λy λ λ R. Να υπλγίσετε τις τιμές τυ λ ώστε για τη λύση τυ συστήματς (,y) να ισχύει y 0.0 Δίνεται η συνάρτηση : αν 0 f() με λ R λ αν 0 Να βρεθύν ι τιμές τυ λ ώστε f(0) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στην περίπτωση πυ λ ισύται με την μεγαλύτερη από τις τιμές πυ βρήκατε στ α) ερώτημα. Για την συνάρτηση f τυ β) ερωτήματς: α) να βρεθύν τα f( ), f(,5), β) Να λύσετε τ σύστημα : f( ) 4y 6 f(,5)y 0.0 Να λύσετε τ σύστημα: (Σ): 7 y 4 y 0 μ 5y 5.04 Δίνεται τ (Σ):, μ y 5 μ R Για πιες τιμές τυ μ έχει άπειρες λύσεις Για πιες τιμές τυ μ έχει μναδική λύση Αν τ σύστημα έχει μναδική λύση,y o o, να βρείτε τη λύση αυτή. δ) Να υπλγίσετε τις τιμές τυ πραγματικύ αριθμύ μ ώστε για τη λύση τυ συστήματς,y, τυ δ) ερωτήματς, να ισχύει: o o y 5 o.05 Να σχηματιστεί εξίσωση δευτέρυ βαθμύ με ρίζες, ώστε : λ λ+ λ- λ.06 Δίνεται ένα σύστημα (Σ) γραμμικών εξισώσεων με αγνώστυς και ψ και D, D, D ψ ι ρίζυσες τυ συστήματς ι πίες ικανπιύν τ παρακάτω σύστημα : Σ : D.D + D ψ = 0 D + D.D ψ = 0 Να λύσετε τ Σ, με αγνώστυς τυς D, D ψ Να λύσετε τ (Σ). (λ ) y.07 Δίνεται τ (Σ), λ R (λ )y να λύσετε τ σύστημα (Σ) για κάθε λ στ R Στην περίπτωση πυ τ (Σ) έχει μναδική 4 λύση (χ,y 0 ) και ισχύει 0 y0 να βρεθεί τ λ στ R. y 6.08 Δίνεται τ σύστημα (Σ): y λ Απδείξτε ότι έχει μναδική λύση 0,y 0 Για πιες τιμές τυ λ ισχύει : 0 y0 0.09 Δίνεται τ σύστημα λ y 0 (Σ): λ R y Για πιες τιμές τυ λ R τ σύστημα (Σ) έχει μναδική λύση; Πια είναι αυτή; Αν λ, πια είναι η σχετική θέση των ευθειών πυ αντιστιχύν στις εξισώσεις τυ (Σ) ; λy λ λy.0 Δίνεται τ σύστημα Σ και τα τριώνυμα f λ, g λ. Α. Να βρεθεί τ λ ώστε τ σύστημα να έχει μναδική λύση. Β. Εάν η μναδική λύση τυ Σ είναι 0, y 0 και ισχύει 0 y0 0, να λυθεί η ανίσωση f g. Γ. Βρείτε τη λύση τυ συστήματς D λ D λ D Dy 0 όπυ λ και λ είναι ι τιμές για τις πίες τ Σ είναι αδύνατ και έχει άπειρες λύσεις αντίστιχα http://users.sch.gr/mipapagr
4 Άλγεβρα B Λυκείυ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ.0 Να μελετήσετε τη μντνία των συναρτήσεων A) f 5 με, B) f f.0 Να μελετήσετε τη μντνία των συναρτήσεων f (4 ) στ, f f.0 Να μελετήσετε τη μντνία των συναρτήσεων f() f(), 0.04 Να απδείξετε ότι η γραφική παράσταση κάθε γνησίως μνότνης συνάρτησης τέμνει σε ένα τ πλύ σημεί τν άξνα..05 Να πρσδιρίσετε τ λ αν η συνάρτηση f ( λ ) 0 είναι αύξυσα.06 Να μελετηθεί ως πρς τη μντνία η συνάρτηση f() (λ ), λ R..07 Να απδείξετε ότι η συνάρτηση f με f είναι γνησίως αύξυσα στ R 5.08 f () f για κάθε R. Να απδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξυσα Να λυθεί η ανίσωση f.09 Έστω συνάρτηση f:r R με την ιδιότητα: fyf fy,,y R. Δίνεται ακόμα ότι ισχύει πρόταση: «Αν 0 τότε f 0». να απδείξετε ότι: f0 0 η f είναι περιττή η f είναι γνησίως αύξυσα. Δ) Να λύσετε την ανίσωση f 4 005 f 4 005 f 8 4 ΑΚΡΟΤΑΤΑ.0 Να μελετηθύν ως πρς τα ακρότατα ι συναρτήσεις f f 4 f Δ) f 5. Να μελετηθύν ως πρς τη μντνία και τα ακρότατα ι συναρτήσεις f στ, f στ, f 7 6 στ,5, R. Να απδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της. Έστω η συνάρτηση f f είναι τ. Να πρσδιριστεί κ ώστε όταν η συνάρτηση f κ παρυσιάζει ελάχιστ, η συνάρτηση g κ να παρυσιάζει για την ίδια τιμή τυ μέγιστ.4 Να πρσδιριστεί μ ώστε για τις τιμές πυ η εξίσωση μ έχει αρνητική λύση, η συνάρτηση f ( μ ) να παρυσιάζει μέγιστ., R. Να απδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της.5 Έστω η συνάρτηση f f είναι τ.6 Έστω η f απδείξετε ότι: f, 0, 0. Να f, 0 η μέγιστη τιμή της f είναι τ Μ. Παπαγρηγράκης
4 ΓΛΧ 0 0 5 ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ.7 Για κάθε μια από τις συναρτήσεις εξετάστε πια είναι άρτια και πια είναι περιττή. f f f 5 ( ) ( ).8 Να βρείτε πιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές και πιες άρτιες: f() f() f(). Έστω μια συνάρτηση ρισμένη στ R, η πία είναι συγχρόνως άρτια και περιττή. Δείξτε ότι για κάθε είναι f 0..4 Δίνεται συνάρτηση f:r R με την ιδιότητα για κάθε,y R ισχύει fy f fy. Δείξτε ότι: f0 0 η f είναι περιττή.5 Έστω συνάρτηση f με f() (λ ) λ. Να βρείτε για πιες τιμές τυ λ R η f είναι άρτια περιττή Δ) f Ε) f 8 5 5.9 Να βρείτε πιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές και πιες άρτιες: f:, R με f f () ( ) Δ) f () ( ) Ε) f.0 Nα δείξετε ότι αν τ μηδέν ανήκει στ πεδί ρισμύ μιας περιττής συνάρτησης f τότε f(0) 0. Να πρσδιρίσετε για πια τιμή τυ α η γραφική παράσταση της συνάρτησης g() α+ είναι συμμετρική ως πρς την αρχή των αξόνων..6 Πιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και πιες περιττές;.7 Δίνεται η συνάρτηση f για την πία ισχύει ότι f 4. Nα βρεθεί τ f αν γνωρίζετε ότι : η f είναι άρτια η f είναι περιττή. Να βρείτε πιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές και πιες άρτιες: f 7 7 f 0 0 f 4 0 4 0. Αν η συνάρτηση f είναι περιττή με πεδί ρισμύ Α, να απδείξετε ότι η g() f() είναι άρτια.8 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω γραμμές ώστε να παριστάνυν γραφικές παραστάσεις άρτιας ή περιττής συνάρτησης http://users.sch.gr/mipapagr
6 Άλγεβρα B Λυκείυ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.0 Σε πι τεταρτημόρι βρίσκεται τ σημεί M, αν ΟΜ ω και ημω συνω>0 π.0 Αν 5π να απδείξετε ότι εφ ημ συν σφ..0 Να υπλγίσετε τις παραστάσεις : ημ90 ημ80 ημ70 ημ60 εφ 80-5(-συν 90 ) εφ60 εφ0 εφ45 εφ0 εφ60 Ανισότητες Μέγιστα Ελάχιστα.04 Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των παραστάσεων : A=ημ 5 B= 4συν Γ ημ 4συνy.05 Να δείξετε ότι ημ συν.06 Να εξηγήσετε γιατί δεν υπάρχει γωνία τέτια ώστε να ισχύει: συν συν ημ Να βρεθύν ι άλλι τριγωνμετρικί αριθμί.07 Αν είναι συνω και 90 ω 80 να υπλγίσετε την παράσταση 5 Α ημω συνω εφω.09 Αν 6συν ω 5 0 και 90 ω 80, να υπλγίσετε τυς άλλυς τριγωνμετρικύς αριθμύς..0 Αν 4ημ ω και 0 ω 80, να υπλγίσετε τυς άλλυς τριγωνμετρικύς αριθμύς..08 Αν 0ω 90 και εφω να υπ- 4 λγίσετε την παράστασης ημω συνω Α 4ημω 9συνω. Αν 7συνω 8 0 και 90 ω 80 να υπλγίσετε την τιμή της ημω συνω παράστασης Α εφω Βασικές Ταυτότητες. Να απδείξετε ότι: συνθημθ συν θ ημ θ. Να απδείξετε ότι: ημωσυνφ ημωημφ συνω.4 Να απδείξετε ότι: 5 ημ θσυνθ ημ θσυνθ ημ θ συν θ.5 Να απδείξετε ότι: εφω ημω συνω εφω.6 Να απδείξετε ότι: 4 4 ημ συν συν ημ.7 Να απδείξετε ότι: ημω συνω εφω ημω - συνω εφω -.8 Να απδείξετε ότι: συν ω ημ ω εφ ω ημωσυνω εφω.9 Να απδείξετε ότι εφ+ εφ συν, αν π 0 Μ. Παπαγρηγράκης
4 ΓΛΧ 0 0 7.0 Απδείξτε ότι. Να απδείξετε ότι συν- ημ+ ημ συν. Να απδείξετε ότι ημα συνα εφα +συνα + ημα εφ 4 4 ημ -συν εφ +.5 Να απδείξετε ότι ημ ωημωσυν ω εφω συνω.6 Να απδείξετε ότι: 4 εφ ημ 6 εφ 4 σφ συν.7 Να απδείξετε ότι 7 εφ εφ 7 +σφ +σφ 7. Να απδείξετε ότι ημα συναεφα+σφα ημα συνα.4 Να απδείξετε ότι: ημ συν ημ συν ημ συν Αναγωγή στ Τεταρτημόρι.0 Να υπλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς των γωνιών 50, π, π, 5π 6. Να υπλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς των γωνιών κπ με κ Ζ 000π, 00π, 6. Να υπλγίσετε την τιμή της παράστασης: π π π 7π π συν εφ σφ ημ συν 4 4 6 6 π π π 7π π ημ σφ εφ συν ημ 4 4 6 6. Να απλπιήσετε τις παραστάσεις: εφθσυν 90 θ ημ 80 θ ημθσυν 90 θ εφ 80 θ.8 Να απδείξετε ότι: συν α+συν β+ημα ημβ.9 Να απδείξετε ότι συν α+ συν α.5 Να απδείξετε ότι: εφ(π+)συν(-)ημ(π-) π π σφ συν(-π)συν.6 Σε κάθε τρίγων ABΓ να απδείξετε ότι : εφα Β εφγ.7 Αν ημφ= και π φ<π τότε να 5 υπλγίσετε την τιμή της παράστασης εφφσφφ Α και να εξετάσετε αν ημ( φ)+συν(π φ) υπάρχει γωνία ω ώστε ημω=α.8 Να απδείξετε ότι 4 π π π π ημ συν ημ συν 8 8 8 8.9 Να υπλγίσετε την τιμή τυ γινμένυ: συν0 συν συν συν006.4 Να απδείξετε ότι: ημ 5 συν 8 συν συν http://users.sch.gr/mipapagr
8 Άλγεβρα B Λυκείυ τριγωνμετρικες συναρτησεις.40 Να βρείτε τα ακρότατα και την περίδ της συνάρτησης f(t) ημ tπ..4 Αν π 7π αβ να συγκρίνετε τις 4 4 π τιμές ημα 4 και π ημβ 4 t.4 Αν f(t) συν, t 0,4π. Να βρείτε Την περίδ και τ πλάτς της συνάρτησης Τ t 0,4π ώστε f(t) 0..4 Δίνεται περιδική συνάρτηση f με περίδ T 0, και και Af R. Στ διάστημα 0,T η συνάρτηση παρυσιάζει μέγιστη τιμή π τ 004 για τ μναδικό και στ διάστημα T,T η συνάρτηση παρυσιάζει μέ- 4 9π γιστη τιμή για. 4 Α. Είναι σωστό ή λάθς ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι τ 004 ; Β. Αν f() αημ(ω) να βρείτε τ α και τ ω και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης στ διάστημα 0,T. Εξισώσεις.44 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5ημ συν στ [ π,π] εφ ημεφ ημ εφσφ5 στ διάστημα [0,π] Δ) ημ συν 4 συν ημ.45 Να βρείτε τα πεδία ρισμύ των συναρτήσεων f() ημ συν, g() εφ, h() συν.46 Να λυθύν ι παρακάτω εξισώσεις στ [0,π] 4 4ημ ημ 0 ημ συν συν ημθ συνθ 0.47 Να λύσετε τις εξισώσεις ημ(συν) 0 ημ ημ συν 0 Δ) ημ(π συν) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ.48 Να λύσετε τις ανισώσεις: ημ συν 0.49 Να λύσετε τις ανισώσεις: σφ 0 εφ 8
4 ΓΛΧ 0 0 9 Τριγωνμετρικί Αριθμί α+β.50 Να απδείξετε ότι: ημα βσυνβημβσυνα β ημα συν(y) συν(y) συν συν y.5 Να απδείξετε ότι: ημα βσυνβημβσυνα β ημα συνα βσυνα βσυν α συν β.5 Να απδείξετε ότι: συνα συν0 α συν40 α 0.5 Να απδείξετε ότι: π συν ημεφ συν ημ 4.54 Να απδείξετε ότι η παράσταση συν συνασυνσυνα συν α είναι ανεξάρτητη τυ..55 Να απδείξετε ότι: συνω - ημω εφ(45 ω) συνω + ημω ημ(45 α) συν(45 α) εφα ημ(45 α) συν(45 α) π θ ημθ.56 Να δείξετε ότι εφ 4 ημθ.57 Να απδείξετε ότι: εφ α - εφ β εφ(αβ)εφ(αβ) - εφ α εφ β εφ α - εφ α εφα εφα - εφ αεφ α.58 Να απδείξετε ότι: ημ(α β) εφα εφβ συν(αβ) συν(α-β) ημ(αβ) εφα εφβ ημ(αβ) εφα εφβ.59 Nα απδείξετε ότι Αν συν α β συνασυνβ τότε ημ α β ημα ημβ.60 Nα απδείξετε ότι αν ημ(β α) συv(β α), τότε.6 Αν π εφβ εφα 4 αβγ 90 να απδειχθεί ότι: εφα εφβ εφβεφγ εφγ εφα σφα σφβ σφγ σφασφβ σφγ.6 Αν α β γ να απδείξετε ότι: εφγ εφα εφβ εφα εφβ εφγ π.6 Για τις γωνίες α,β ισχύει αβ 4 Να απδείξετε ότι εφα εφβ.64 Αν ημ συνy και συν ημy να βρείτε τ ημ( y).65 Αν ημ ημy και συν συνy, να βρείτε τ συν( y).66 Αν 0 ω, εφω, 5 π yω 4 π, π y 0, 5 εφ και εφy, τότε.67 Να βρεθεί γωνία με 0 π ώ- στε να ισχύει 0 0 0 0 συν συν9 ημσυν συνσυν8.68 Αν ισχύυν α σφ αβγ 80, β γ σφ 00σφ και γ κ π και α β να απδείξετε ότι: σφ σφ 004.69 Αν η εξίσωση 89 0, έχει ρίζες τυς αριθμύς εφα και εφβ να απδειχθεί ότι εφα β http://users.sch.gr/mipapagr
0 Άλγεβρα B Λυκείυ.70 Nα απδείξετε ότι αν σε τρίγων ABΓ ισχύει ότι ημασυνβ ημβσυνα τότε είναι ρθγώνι..7 Nα λύσετε την εξίσωση συvσυνσυνημ ημσυvημημ.7 Αν για τις γωνίες τριγώνυ ABΓ ι- σχύυν: εφα, εφβ, να απδείξετε ότι: A) εφ(α B) ˆΓ 5 o.7 Να απδείξετε ότι αν σε ένα τρίγων ABΓ ισχύει ότι είναι Β 60 ημγ συνβ ΓσυνΑ σφβ θα Τριγωνμετρικί αριθμί α.74 Να απδείξετε ότι: α β ημα ημβ συνα συνβ 4συν π π εφ αεφ αεφα 4 4 συνημ σφ συνημ.75 Να απδείξετε ότι : A) ημα συνα α εφ ημα συνα B) ημα συνα α εφ + συνα + συνα.76 Να απδείξετε ότι : ημ ημ εφ συν συν συνα συνα σφα ημα ημα.77 Να απδείξετε ότι: 4 4 συν4θ ημ θ συν θ 4 σφα + συνα σφα - - ημα.78 Αν σε μη αμβλυγώνι τρίγων ΑΒΓ Α ισχύει ότι ημβημ ημα, να δειχτεί ότι είναι ισσκελές.79 Να απδείξετε ότι: 4σφα (σφ α - ) ημ4α ( + σφ α) B) Αν ημα συνα ημα συνα π 0 α, τότε 6 συνα συν4α 4συνα.80 Να απδείξετε ότι 4 π 4 π 4 5π 4 7 π A) ημ ημ ημ ημ 8 8 8 8 B) 6συν0συν40συν60συν80 Δ) ημ6α συνασυνασυν4ασυν8α. 6 ημα π θ ημθ εφ 4 ημθ.8 Για τη γωνία α είναι γνωστό ότι π α, π και ότι 9συνα 6συνα 5 0. Να υπλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας α..8 Αν σε μη αμβλυγώνι τρίγων ΑΒΓ Α ισχύει ότι ημβημ ημα, να δειχτεί ότι είναι ισσκελές.8 Αν σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει η ισότητα: ημαημβ συνασυνα Γ 0, να απδείξετε ότι είναι ρθγώνι. Μ. Παπαγρηγράκης
4 ΓΛΧ 0 0 Τριγωνμετρικές Εξισώσεις.84 Να λύσετε τις εξισώσεις : ημ συν ημ εφ ημ ημ συν συν.87 Να λύσετε την εξίσωση 004 π 004 π ημ συν 0 0,π. στ Δ) ημ συν.85 Να λύσετε τις εξισώσεις: συνημ συν4 συν 0 π ημ ημ στ π,5π.86 Να λύσετε τις εξισώσεις: A) ημ ημ συν B) π,π στ 0,π συνημ στ 0,π. εφ εφ0 αν.88 Να λύσετε τις εξισώσεις: συν 8 7ημ 4ημ 8συν ημ 5 ημσυν (συν ) ημ.89 Αν ημσυν συν εφ64 να λυθεί η εξίσωση :.90 Να βρείτε τα κινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f() ημ και g() συν στ διάστημα (0,π). Γενικές.9 Δίνεται η συνάρτηση fκ λσυν4, κ, λ R πυ έχει μέγιστ π τ 7 και είναι f. 8 Να υπλγιστύν τα κ, λ Να βρείτε τ ελάχιστ και τη περίδ της f. Να λύσετε την εξίσωση f0συν.9 Δίνεται η συνάρτηση f() συν ημ ημ συν με R. Να απδείξετε ότι: f() ημ4 4 Να λύσετε την εξίσωση π π f() εφ f 8 4 Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης: g() 8f()..9 Αν f() ημ συν με 0,π τότε: Α. Να δείξετε ότι f() συν ημ συν για κάθε 0,π Β. Να βρείτε τις τιμές τυ 0,π για τις πίες ισχύει f() 0 Γ. Για τις τιμές τυ πυ βρήκατε στ β ερώτημα να απδείξετε ότι: f(π ) σφ f().94 Δίννται ι παραστάσεις: ημα συνα A και ημα συνα συνα εφ α B συνα Να δείξετε ότι ι είναι ανεξάρτητες τυ. Αν AB π α, να απδείξετε ότι http://users.sch.gr/mipapagr
Άλγεβρα B Λυκείυ.95 Έστω η συνάρτηση εφ εφ f() εφ Α. Να βρείτε τ πεδί ρισμύ της f Β. Να απδείξετε ότι f() ημ συν Γ. Να λύσετε την εξίσωση f() Δ. Η εξίσωση f() και η εξίσωση ημ συν είναι ισδύναμες; π.96 Δίνεται η g ημ 4 Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της Για πιά έχυμε την μέγιστη τιμή της Να λυθεί η εξίσωση: π g g 4.97 Αν f κ λ συν κ λ και g κ λ συν κ λ 5, όπυ κ, λ θετικί αριθμί τότε να βρείτε τυς κ, λ ώστε ι συναρτήσεις f και g να έχυν την ίδια μέγιστη τιμή, και η περίδς της f να είναι διπλάσια της περιόδυ της g.98 Δίνεται η συνάρτηση 4 4 f() ημ συν εφ σφ. Να βρείτε τ πεδί ρισμύ της Να απδείξετε ότι f() εφ σφ. Να λύσετε την εξίσωση f()..99 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() ασυν β, R και α,β R π διέρχεται από τα σημεία Aπ, και B,. Να υπλγίσετε τυς πραγματικύς α, β. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή καθώς και την περίδ της f. Να λύσετε την εξίσωση π f.00 Δίνεται τ γραμμικό σύστημα (Σ) με αγνώστυς,y. ημθ συνθy (Σ), θ R συνθ ημθy Να δείξετε ότι τ σύστημα έχει μναδική λύση,y, την πία και να βρείτε. 0 0 0 0 Να λυθεί η ανίσωση: y.0 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπ: f() συν συν Να βρείτε τ πεδί ρισμύ της f. Να απδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια. Να απδείξετε ότι η f είναι περιδική, με περίδ T π. Δ) Να βρείτε τα κινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τυς άξνες..0 Τα ετήσια έξδα μιας επιχείρησης σε χιλιάδες ευρώ δίννται από τη συνάρτηση πt Ε(t) 00 5ημ όπυ t χρόνς σε έτη. 6 Η επιχείρηση λειτυργεί από την αρχή τυ 99 έως και τ τέλς τυ έτυς 00 Πια έτη τα έξδα φτάνυν τα 500 ευρώ Πι έτς έχυμε τ μέγιστ πσό εξόδων; Μ. Παπαγρηγράκης
4 ΓΛΧ 0 0 4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Έννια τυ πλυωνύμυ - πράξεις 4.0 Να απδείξετε ότι τ πλυώνυμ P κ λ 6κλ δεν μπρεί να είναι τ μηδενικό για πιυσδήπτε πραγματικύς αριθμύς κ και λ. 4.0 Να βρεθεί για πιες τιμές των κ, λ, μ είναι ίσα τα πλυώνυμα: P λ λκ μ λ και Qμλ 4κ λ. 4.0 Να πρσδιριστεί α R ώστε τ πλυώνυμ P9 8 7 να παίρνει τη μρφή α 9. 4.04 Να βρεθεί πλυώνυμ τυ πίυ τ τετράγων να ισύται με τ 4 P 4 4 4.05 Δίννται τα πλυώνυμα P, Π, και Φα β γ α, να βρείτε τα α, β, γ ώστε PΠ( ) Φ για κάθε R 4.06 Να βρεθεί πλυώνυμ P για τ πί ισχύει ( )P() 5 7, R 4.07 Δίνεται τ πλυώνυμ P 5. Να βρεθεί πραγματικός αριθμός α αν ισχύει Pα 4.08 Να πρσδιρίσετε τα A, B,α,β, γ R ώστε A B 0 α β γ 9 4.09 Πρσδιρίστε τα Α, Β ώστε: A B για κάθε τιμή ν ν ν ν τυ φυσικύ αριθμύ ν. Να υπλγίστε τ... 5 57 ν ν 4.0 Να βρείτε για τ βαθμό κάθενός από τα πλυώνυμα για κάθε λ ή α με λ,α R P λ λ. P() (α α α) (α α) α Διαίρεση Πλυωνύμων 4. Αν τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ πλυωνύμυ 000 999 P α... α α α δια είναι 00, να υπλγίσετε τ α. 4. Να απδείξετε ότι τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ P λ λ λ λ με τ είναι ανεξάρτητ τυ λ. 4. Για τ πλυώνυμ P ισχύει ότι P 0 P 4. Να δείξετε ότι P() ( )π() 4 4.4 Αν τ υπόλιπ της διαίρεσης ενός πλυωνύμυ P δια τυ είναι 5 και τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ P με τ είναι, να βρεθεί τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ P δια τυ 4.5 Δίννται τα πλυώνυμα Φ λ και P λ λ. Να πρσδιρίσετε τ λ R έτσι ώστε ι διαιρέσεις P : και Φ : να δίνυν τ ίδι υπόλιπ. http://users.sch.gr/mipapagr
4 Άλγεβρα B Λυκείυ 4.6 Να βρείτε τα α,β R αν τ πλυώνυμ P α β διαιρείται με τ 6 4.7 Αν τ πλυώνυμ f α β 4 διαιρείται ακριβώς με τ και εάν επιπλέν f 8, να πρσδιριστύν τα α, β. 4.8 Έστω P() α β 6. Βρείτε τα α, β R αν τ είναι ρίζα τυ P, και τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ P δια ( ) ισύται με 9. 4.9 Να βρεθύν τα α,β R, αν τ πλυώνυμ 4 P() α β 8 5 5 δι- αιρύμεν με τ g() δίνει υπόλιπ υ() 4 7. 4.0 Να πρσδιρίσετε τυς πραγματικύς αριθμύς κ, λ ώστε τ πλυώνυμ 4 P, αν διαιρεθεί με τ να αφήνει υπόλιπ 0. κ λ 4. Να βρεθύν ι πραγματικί αριθμί κ, λ ώστε τ πλυώνυμ P() κ (λ ) 5 να έχει παράγντα τ. 4. Αν τα υπόλιπα των διαιρέσεων P() : ( ) και P() : ( ) είναι αντίστιχα και να βρεθεί τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ P() : ( )( ) 4. 'Eστω πλυώνυμ P με σταθερό όρ. Τ P διαιρoύμενo με τ α δίνει πηλίκ δίνει πηλίκ και τα α, β. 4 και διαιρύμεν με τ β 4. Να βρείτε τ P 4.4 Να βρείτε τα α, β R αν τ πλυώνυμ P α β 0 έχει για παράγντα τ 4.5 Τ πλυώνυμ P διαιρύμεν με και δίνει υπόλιπ 0 και 5 αντίστιχα. Να βρεθεί τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ P με 4.6 Αν τ πλυώνυμ ν ν P ν ν α διαιρείται με τ, τότε απδείξτε ότι διαιρείται και με τ. 4.7 Δίννται τα πλυώνυμα P λ 5 και Φ λ, λ R. Αν υ, υ είναι τα υπόλιπα των διαιρέσεων P : και Φ : αντίστιχα να βρεθεί τ λ ώστε : υ υ υυ υυ 0 4.8 Αν ρ είναι ρίζα τυ P να α- πδείξετε ότι ρ είναι ρίζα τυ πλυωνύμυ P( ) 4.9 Αν τ πλυώνυμ P έχει παράγντα τ 5 ναδείξετε τι τ P έχει παράγντα τ 4 4.0 Πλυώνυμ P διαιρύμεν δια τυ δίνει υπόλιπ Y 4. Πι υπόλιπ πρκύπτει αν διαιρεθεί δια, δια και δια αντίστιχα στην κάθε περίπτωση 4. Αν τ πλυώνυμ P α α έχει ρίζα τ να απδείξτε ότι τ ίδι ισχύει και για τ Κ 4 α. Τ αντίστρφ ισχύει; 4. Ένα πλυώνυμ P() διαιρύμεν με δίνει πηλίκ π () και διαιρύμεν με 4 δίνει πηλίκ π (). Να απδείξετε ό- τι: π (4) π () Μ. Παπαγρηγράκης
4 ΓΛΧ 0 0 5 5 4 4. Δίνεται η εξίσωση κ λ 0. Να πρσδιριστύν ι κ, λ ώστε τ πλυώνυμ να έχει ρίζα τ με πλλαπλότητα (διπλή ρίζα). Μετά να βρεθύν και ι άλλες ρίζες της εξίσωσης. 4.4 Να βρεθύν ι πραγματικί αριθμί α και β έτσι ώστε η εξίσωση 5 α β να έχει τ ανώτερ δυνατό πλήθς ακεραίων ριζών. 4.5 Να βρεθύν ι πραγματικί αριθμί α,β ώστε τ να είναι παράγντας τυ πλυωνύμυ : P() α (αβ) 4.6 Να βρεθύν τα πλυώνυμα f(),g() αν f( ) g() 9 6 4.7 Δίνεται πλυώνυμ P πυ ικανπιεί τη συνθήκη: P( ) [P()]. Αν P0 και P, να βρείτε τα P, P5 και P6. 4.8 Έστω πλυώνυμ Φ για τ πί ισχύει ότι Φ Φ4. Να απδείξετε ότι τ πλυώνυμ P Φ Φ διαιρείται με τ 4.9 Αν τ πλυώνυμ P έχει την ιδιότητα: P P και P0 0, να δείξετε ότι τ υπόλιπ της διαίρεσης P : είναι σταθερός αριθμός. 4.40 Δίννται τα πλυώνυμα P και Q α β. Να βρείτε τυς α, β R ώστε τ P να διαιρείται ακριβώς με τ Q. 4.4 Δίννται τα πλυώνυμα Ρ 4λ, 4 Q λ με λ R. Να βρεθεί τ λ ώστε τ υπόλιπ της διαίρεσης Ρ : να είναι τριπλάσι από τ υπόλιπ της διαίρεσης Q :. 4.4 Αν ισχύει P( ) P() 8 και P() κ για ένα πλυώνυμ P, να βρεθεί η τιμή τυ κ R ώστε P( 5). 4.4 Αν η πλυωνυμική εξίσωση α β 0 έχει παράγντα τ λ δείξετε ότι α β 0 7 4, να 4.44 Να βρεθεί πλυώνυμ υ βαθμύ ώστε να ισύυν ότι P0 0 και P P για κάθε R Να υπλγίσετε τ S... ν Πλυωνυμικές Εξισώσεις - Εξισώσεις πυ ανάγνται σε πλυωνυμικές 4.45 Να λύσετε τις εξισώσεις: 6 A) 9 8 0 8 4 B) 4 0 4.46 Να απδείξετε ότι για κάθε κ, λ Ζ ι παρακάτω εξισώσεις δεν έχυν ακέραιες ρίζες: v 5 9κ 0 v 8λ κ 0 4.47 Να λύσετε τις ανισώσεις 0 5 9 4.48 Να λύσετε τις εξισώσεις: - + + + = - + - 4 - http://users.sch.gr/mipapagr
6 Άλγεβρα B Λυκείυ 4.49 Να λύσετε τις ανισώσεις α) β) + - 4 - + - 4 - - 4.5 Να λύσετε τις εξισώσεις - - 4-4 + 0 4 + 4.50 Να λύσετε τις εξισώσεις 8 0 5 4.5 Να λύσετε τις ανισώσεις + 7 + + 5 Πρβλήματα 7 8 5 4.5 Οι διαστάσεις ρθγωνίυ παραλληλεπίπεδυ είναι διαδχικί περιττί ακέραιι. Αν όγκς τυ είναι 05dm να βρεθύν ι διαστάσεις τυ παραλληλεπιπέδυ. 4.54 Ένα κυτί συσκευασίας σχήματς ρθγωνίυ παραλληλεπιπέδυ έχει βάση τετράγων και ύψς μεγαλύτερ κατά m των πλευρών της βάσης τυ. Αν Όγκς τυ είναι 0,5 m να βρείτε τις διαστάσεις τυ Συνδυαστικές Πλυώνυμα με Τριγωνμετρία 4.55 Αν τ πλυώνυμ Ρ ημ α ημα ημα 4 είναι υ βαθμύ, να βρεθεί τ α 0,π. 4.56 Αν τ πλυώνυμ P() (συνα) (ημ α) έχει παράγντα τ ( συνα), βρείτε τ α ( π,π). 4.57 Βρείτε τις τιμές τυ α R, ώστε τ 4 πλυώνυμ P ημα ημα ημα, διαιρείται ακριβώς με τ. π 4.58 Να βρείτε τ α 0, είναι παράγντας τυ αν τ 4. P ημα 4ημ α ημα ημα 4.59 Να βρεθεί τ ω με να ισύει 0 ω 60 ώστε ημ ω 5ημ ω 4ημω 4 0. 4.6 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 α) β) γ) ημ 6 ημ 7 0 ημ 5ημ 5ημ 0 4 συν 5συν 5συν 0 4.6 'Εστω f συν και τ πλυώνυμ P f() f f(). Να βρεθύν για πιες τιμές τυ μηδενίζεται τ πλυώνυμ. 4.6 Δίνεται τ πλυώνυμ P κ λ τ πί έχει παράγντα τ πλυώνυμ. Να βρεθύν ι πραγματικί αριθμί κ, λ Να λυθεί η εξίσωση P 0 Να λυθεί η ως πρς η ανίσωση: ημαp P, με 0 α π 4.60 Να λυθεί η εξίσωση συν συν αν με κ Ζ π π κπ,κπ Μ. Παπαγρηγράκης
4 ΓΛΧ 0 0 7 Γενικές Ασκήσεις στα Πλυώνυμα 4.64 Έστω τ πλυώνυμ P() (κ ) (κ ) κ, κ R για τ πί είναι γνωστό ότι έχει παράγντα τ ( ). Α. Να βρίτε την τιμή τυ κ. Β. Να λυθεί η εξίσωση P() 0. 4.65 Τ πλυώνυμ P() α β διαιρύμεν δια δίνει πηλίκ Π και αφήνει υπόλιπ υ() 4 Α Να υπλγιστύν τα α, β R. Β Να βρεθεί τ Π. Γ Να λυθεί η ανίσωση P() 4 4.66 Δίνεται τι πλυώνυμ 4 P κ κ κ 4. α) Να βρεθεί τ κ, ώστε τ P να έχει παράγντα τ. β) Για την τιμή τυ κ πυ βρήκατε, vα λύσετε την ανίσωση P 0 4.67 Έστω τ πλυώνυμ 4 P() (α ) α (α) β Α. Να διερευνηθεί βαθμός τυ P για τις διάφρες τιμές τυ α R Β. Στην περίπτωση πυ είναι τρίτυ βαθμύ, να πρσδιρίσετε την τιμή τυ β R ώστε τ να είναι ρίζα τυ P και να λύσετε την εξίσωση Ρ() 0. 4.68 Δίνεται τ πλυώνυμ P κ, όπυ κ πραγματικός αριθμός. Για κ, να βρείτε τ πηλίκ και τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ πλυωνύμυ P με τ πλυώνυμ. Να βρείτε τις τιμές τυ κ για τις - πίες τ πλυώνυμ P έχει μία τυλάχιστν ακέραια ρίζα. Για κ 0, να λύσετε την εξίσωση P 0. 4.69 Δίννται τα πλυώνυμα: Pκ κλ λ 4, Q 9 6 4 όπυ κ, λ R Α. Να βρείτε για πιες τιμές των κ, λ τα πλυώνυμα P, Q είναι ίσα. Β. Να βρείτε τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ πλυωνύμυ Q με τ πλυώνυμ. Γ. Να απδείξετε ότι αριθμός είναι ρίζα τυ πλυωνύμυ Q. Δ. Να απδείξετε ότι η εξίσωση Q 0 δεν έχει θετική ρίζα. 4.70 Έστω τ πλυώνυμ P α α, όπυ α πραγματικός αριθμός. Να απδείξετε ότι τ υπόλιπ της διαίρεσης P : α είναι υ α Να βρείτε την τιμή τυ α ώστε αυτό τ υπόλιπ να είναι τ μικρότερ δυνατό. 4.7 Δίνεται τ πλυώνυμ: P κ κ, κ R, για τ πί ισχύει ότι Ρ 0. Να απδείξετε ότι κ. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης τυ P με τ πλυώνυμ. Να λύσετε την εξίσωση P 4.7 Δίνεται τ πλυώνυμ P α β, όπυ α,β R Να απδείξετε ότι P004 P004 4 Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης τυ πλυωνύμυ P με τ πλυώνυμ Q Να απδείξετε ότι τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ πλυωνύμυ P με τ πλυώνυμ είναι υ αβ. Δ) Αν α και τ πλυώνυμ P έχει ρίζα τν αριθμό, τότε να υπλγίσετε τ β και να λύσετε την εξίσωση P 0 http://users.sch.gr/mipapagr
8 Άλγεβρα B Λυκείυ 5 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5.0 Να βρείτε τις τιμές τυ α R για τις πίες ι παρακάτω συναρτήσεις ρίζνται για κάθε R α f α. α f() α. 5.0 Έστω η συνάρτηση f() κ. Για πιες τιμές τυ κ η f ρίζεται στ R ; Να εξετάσετε αν υπάρχυν τιμές τυ κ για τις πίες η f είναι γνησίως αύξυσα. Να βρείτε τ κ ώστε η γραφική παράσταση της f να περνάει από τ σημεί P,. Δ) Να βρείτε τις τιμές τυ κ ώστε η γραφική παράσταση της f να περνάει από τ σημεί, α 5.0 Δίνεται η συνάρτηση f α με πεδί ρισμύ τ R. Να βρείτε τις τιμές τυ a R για τις πίες η συνάρτηση: είναι γνησίως αύξυσα είναι γνησίως φθίνυσα είναι σταθερή. λ 5.04 Δίνεται η συνάρτηση f λ Για πιές τιμές τυ λ ρίζεται, R Να υπλγίσετε τις τιμές τυ λ για τις πίες ισχύει f() f() f() f(0). Αν για κάθε 0 ισχύει f() να βρείτε τις τιμές τυ λ. 5.05 Αν f() e τότε να απδείξετε ότι: Για κάθε, y R ισχύυν: f( y) f() f(y) f() f(y) f( y). v f() f(v) για κάθε R, Εξισώσεις 5.06 Να λύσετε τις εξισώσεις 5 6 4 Α 4 6 9 5 9 5 7 Δ) 5 5.07 Να λύσετε τις εξισώσεις 9 0 5 5.08 Να λύσετε τις εξισώσεις Δ) 4 0 89 0 4 5 4 0. 5.09 Να λύσετε τις εξισώσεις: e e e e 7 4 7 4 4 5.0 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 9 0 64 6 9 6 4 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: 7 4 4. 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: 48. 5 5 6 5. Να λύσετε την εξίσση 640 0 v Δ) N f() f(y) y f με y 5.4 Να λύσετε τις εξισώσεις: 9 συν συν 4 Μ. Παπαγρηγράκης
4 ΓΛΧ 0 0 9 Ανισώσεις 5.5 Να λύσετε τις ανισώσεις 7 6 Ε) 5 (0,5) 0,5 Δ) 9 5 4 ΣΤ) 4 5 5.6 Να λύσετε τις ανισώσεις 4 6 8 0 4 e ee e 5.7 Να λύσετε τις ανισώσεις: e e e 7 8 0 9 08 4 0 Δ) ημ συν 4 4 5 5.8 Να λύσετε την ανίσωση e e e e 5.9 Να λύσετε τις ανισώσεις: e e e e Συστήματα 5.0 Να λύσετε τα συστήματα: y 4 y. 54 y4 y 7. 4 y y y y 4 4 6 Δ) y y 4 y y 8 6 5. Να λύσετε τα συστήματα: y y. 0 5 y y 5. 6 0 5. Να υπλγίσετε τ Να λύσετε την εξίσωση 7 6. Πρβλήματα 5. Σ ένα ασθενή με υψηλό πυρετό χρηγείται ένα αντιπυρετικό φάρμακ. Η θερμκρασία Θt τυ ασθενύς t ώρες μετά την λήψη τυ φαρμάκυ δίνεται από τν τύπ Θ(t) 6 4 t βαθμί Κελσίυ. Να βρείτε πόσ πυρετό είχε ασθενής τη στιγμή πυ τυ χρηγήθηκε τ φάρμακ. Να βρείτε σε πόσες ώρες η θερμκρασία τυ ασθενύς θα πάρει την τιμή 6.5 o C Αν η επίδραση τυ αντιπυρετικύ διαρκεί 4 ώρες πόση θα είναι η θερμκρασία τυ ασθενύς μόλις σταματήσει η επίδρασή τυ 5.4 Μελετώντας την ανάπτυξη ενός είδυς βακτηριδίων παρατηρήθηκε ότι ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν 400 ενώ 4 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης ήταν 00. Αν αριθμός των ct βακτηριδίων είναι P(t) Ρo, όπυ Pt αριθμός των βακτηριδίων σε χρόν t, P o αρχικός αριθμός και c σταθερά τότε: α) Να βρείτε τη σταθερά c. β) Να βρείτε τν αρχικό αριθμό των βακτηριδίων. Σε πόσα λεπτά αρχικός αριθμός των βακτηριδίων είχε διπλασιαστεί; 5.5 Σε μια υσία ρίπτεται ένας ρισμένς αριθμός ενζύμων και αρχίζει η ζύμωση. Τα ένζυμα πλλαπλασιάζνται σύμφωνα με τν νόμ της εκθετικής μεταβλής. Μετά από δυ ώρες τα ένζυμα ανέρχνται σε 400000 και δυ ώρες αργότερα σε 00000. Να απδείξετε ότι αριθμός των ενζύμων ft σε χιλιάδες t ώρες από την εισαγωγή τυς στην υσία δίνεται από τν τύπ t f(t) 50 8 Να βρείτε σε πόσ χρόν διπλασιάστηκαν τα ένζυμα; Για πόσες ώρες αριθμός των ενζύμων δεν θα ξεπεράσει τ αριθμό 5 8 0 ; http://users.sch.gr/mipapagr
0 Άλγεβρα B Λυκείυ 6 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6.0 Να βρεθεί όταν: log 0 log log Δ) ln e Ε) log0,0000 ΣΤ) log 5 Εξισώσεις 6.09 Να λύσετε τις εξισώσεις: log4 log log log log log 6.0 Να απδείξετε τις παρακάτω ισότητες : loglog5log 4 log 5 log 8 log log 5 7 log log log log 44 6.0 Να απδείξετε τις παρακάτω ισότητες log log log,6 π logημ log 6 π π π logημ logημ logημ 0 6 6.04 Να υπλγίσετε την παράσταση: log e ln ln e ln(lne) ln ln(log 4) e 6.05 Να απδείξετε ότι (log 5) (log 0) log 8 l o g 0,5 6.06 Αν α, β, γ διάφρι μεταξύ τυς θετικί αριθμί, και ισχύει: logα logβ log γ β γ γα αβ α β γ να απδείξετε ότι α β γ. 6.07 Να απδείξετε ότι log( ) log( )... log( ) 00 Αν 0 α, β, γ τότε 6.08 Αν 0, y>0 και β log γ y γ log α α log β α β γ y 7y, να απδείξετε ότι: log log log y α α α 6.0 Να λύσετε τις εξισώσεις : log log5 log6 log 7 log (log 0 log 5) log(4 ) 6. Να λύσετε τις εξισώσεις log.5 log 5log 9 log 5 9 4 4 4 9 0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: log log log log( 0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: log log 8 log log 4 log 5log 7 80 6.4 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 A) log 5log 5log 5log 6 B) lnσυν 0 log 000 log 0 Δ) log 8 log 64 log 8 9 6.5 Να λυθύν ι εξισώσεις: log log 4 log( ) log( ) log( ) log 4 Μ. Παπαγρηγράκης
4 ΓΛΧ 0 0 6.6 Να υπλγίσετε τν αριθμό log5 0 5 Να απδείξετε ότι: log 5 log 5 Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) log log και log log 54 και log log 5 5 54 6.7 Να υπλγίσετε τν αριθμό και να λύσετε την εξίσωση log log log 00 0 6.8 Δίνεται η συνάρτηση f με log 00 ln f. ln Να βρείτε τ πεδί ρισμύ της, Να λύσετε την εξίσωση f. 6.9 Να βρείτε τα πεδία ρισμύ των συναρτήσεων f ln f ln f ln e Δ) f ln 6.0 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 6 8 Ανισώσεις log 7 68 6. Να βρεθεί τ πρόσημ των αριθμών: log4, 4 log 5, log 5, log. 4 5 6. Να συγκριθύν ι αριθμί: log 6, log 5 log6 4, log5 4. log 4 και log. 5 6. Να λύσετε τις ανισώσεις: 0 5 5 log log 5 5 5 5 0 6.4 Να λυθύν ι ανισώσεις: ln ln 0. ln(ln( )) 0. 6.5 Να απδειχτεί ότι: 4log. 6.6 Να λύσετε τις ανισώσεις: ln 5ln 6 0 ln ln (log ) log 5 0 Δ) log( 4) log. 6.7 Να λυθύν ι ανισώσεις: [log( )] log( ) 0 log[log(log )] 0. 6.8 Έστω α, β 0, ώστε β (logβ) log. Να απδείξετε ότι: α) α Συστήματα β α. β) α 0 6.9 Να λύσετε τα συστήματα : log y 00 logy B) log logy y y 9. 8 6.0 Να λύσετε τ σύστημα y 45 log logy 6. Να βρείτε δύ θετικύς αριθμύς πυ ι φυσικί τυς λγάριθμι έχυν άθρισμα και γινόμεν 8. http://users.sch.gr/mipapagr
Άλγεβρα B Λυκείυ 6. Να δείξετε ότι logy log y με,y 0 Να λύσετε τ σύστημα: log y log y 0 log y Αν ι λύσεις τυ (ii) είναι ρίζες της log log logθ 0 =0 να * βρείτε τ θ R + εξίσωσης: 6. Aν ι ρίζες τις εξίσωσης log log logθ 0 0 απτελύν log z log y y z 0 λύση τυ συστήματς: να log yz απδείξετε ότι θ 0 0 6.9 Αν ι αριθμί α, β, γ είναι διαδχικί όρι γεωμετρικής πρόδυ με 0 α,β,γ,θ, να απδειχτεί ότι: 6.40 Αν. log θ log θ log θ β α γ 4 α α α log α,log α ψ,log α ω με 0 α, να απδειχτεί ότι: 0 ψωψω. 6.4 Αν 0 α και 4 α log α, y log α, z log α, να α- α πδειχτεί ότι: y z yz. α Α.Β. 6.4 Να απδειχθεί ότι για κάθε 0 α,β ισχύει: log α(αβ) log β(αβ) 6.5 Να απδειχτεί ότι: log αβ θ 0. θ logαθ logβθ, με 0 α,β, 6.6 Αν β απδείξετε ότι: log α β log α και 0 α,β,, να log αβ logα. log β α 6.7 Αν 0 α,β, να απδειχτεί ότι: 0 α 0 β log log α 00 0 β. 6.8 Αν 0 και 0 α,β και ισχύει: ότι 0 να δείξετε log log log αβ. α β Μ. Παπαγρηγράκης
4 ΓΛΧ 0 0 Συνδιαστικές με τριγωνμετρία 6.4 Αν π 0, να απδείξετε ότι: lnημln lnημ lnσυν 6.4 Να λύσετε τις εξισώσεις συν συν ln στ 0,π ln e 7e 6 6.44 Να λύσετε την εξίσωση log(ημ ) log(συν ) 4log, 6.45 Να λύσετε την εξίσωση ημ ημ 4 9 0 6.46 Να λύσετε την εξίσωση π 0, logημ lnσυν π 60 e στ 0, 6.5 Έστω ότι τ πλυώνυμ lnβ P lnα lnα α έχει θετικύς ακέραιυς συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα. Τότε Να βρείτε τα α,β R Για α e, β να βρείτε τα διαστήματα πυ η γραφ. παράσταση της συνάρτησης Pe f βρίσκεται κάτω από τη γρ παρά- σταση της g e Εκθετικές- Λγαριθμικές 6.5 Να λυθύν ι εξισώσεις: A) log(4 6) log( ). B) log( ) log 6 log 5. log 5 log log( 9) 6.5 Να λυθύν ι εξισώσεις: ln e 0 6.47 Να λύσετε στ 0,π την εξίσωση: συνe log( 4) log. e e 0 6.48 Να λύσετε τις ανισώσεις: loglog 4 00 log log Συνδυαστικές με πλυώνυμα 6.49 Να βρείτε τ α R, ώστε τ πλυώνυμ P() 4 9 να έχει πα- α α ράγντα τ 6.50 Δίνεται ότι τ πλυώνυμ με θ 0,π, κ 0, 4 P lnκ e eημθ είναι τρίτυ βαθμύ και έχει παράγντα τ Να βρείτε τα κ και θ Να λύσετε την ανίσωση P 0 Να βρείτε τα διαστήματα πυ η γραφική παράσταση της fe ee e βρίσκεται κάτω από τν άξνα. 6.54 Να βρείτε τις τιμές τυ θ R ώστε η εξίσωση logθ logθ 80να έχει δύ ίσες ρίζες. 6.55 Να λύσετε τα συστήματα: log log 0 ψ 4. log logψ log 6.56 Να λυθύν ι ανισώσεις: (log ) log 5 0 log( 4) log. 6.57 Να λύσετε τα συστήματα log y log y 0 log y y y y 6.58 Να βρείτε τ πεδί ρισμύ της φln ln http://users.sch.gr/mipapagr
4 Άλγεβρα B Λυκείυ 6.59 Να βρείτε τα πεδία ρισμύ των συναρτήσεων f() ln(e 4e ) g() ln(ln( ( e) e)). f() 7 7 6.60 Δίνεται η f() log log( ). Να βρείτε: Τ πεδί ρισμύ της. Για πιές τιμές τυ η γραφική παράσταση της f τέμνει τν άξνα. Τις ακέραιες τιμές τυ για τις - πίες ισχύει f 0. 6.6 Έστω η συνάρτηση f lne. Να βρείτε τ πεδί ρισμύ της Να βρείτε τα διαστήματα τυ πυ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τν άξνα Να συγκρίνετε τυς fln και f Δ) Να λύσετε την εξίσωση ff f 6.6 Δίδεται η συνάρτηση με τύπ ln ln ln ln f() 5 5. Α Να βρείτε τ πεδί ρισμύ της f. B Να λύσετε την εξίσωση f 0. 6.6 Έστω ι συναρτήσεις f() log(α ) log(6), g() log( ), 0 Αν ι C f, C g τέμννται στ σημεί M με τετμημένη 0 Να απδείξετε ότι α Να συγκρίνετε τυς αριθμύς f()και g() Να λύσετε την εξίσωση g() ln0 f() (log e) Δ) Να παραστήσετε την f στ επίπεδ 6.64 Έστω η συνάρτηση f() lne Να βρείτε τ πεδί ρισμύ της Να λύσετε την εξίσωση f ln Να λύσετε την ανίσωση f 6.65 log Δίνεται η συνάρτηση f() log Να βρεθεί τ πεδί ρισμύ της f B) 0 Nα λυθεί η εξίσωση f() f 6.66 Να βρείτε: τα σημεία τμής με τυς άξνες της γραφικής παράστασης της f() log( ) 9 Τ κ R ώστε τ σημεί P,κ 0 να ανήκει στη γραφική της παράσταση. log(log ) 6.67 Δίνεται η f() 0. Να loge βρείτε τ πεδί ρισμύ της και να υπλγίσετε τ ώστε να ισχύει f(y ) f(y). 6.68 ln( ) Έστω η συνάρτηση f(). ln( 5) Να βρείτε τ πεδί ρισμύ της. Να λύσετε την εξίσωση f. Aν g με 6, να λύσετε την ανίσωση f g. 6.69 Δίνεται η συνάρτηση f:r R η πία είναι γνησίως φθίνυσα και η συνάρτηση g() f() e, R Να απδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως μνότνη στ R Να λυθεί η ανίσωση 6.70 Να λυθεί η ανίσωση 6.7 Να λυθεί η ανίσωση 6.7 Να λυθεί η ανίσωση 6.7 Να λυθεί η ανίσωση ln ln 0 log 4 6.74 Να λυθεί η ανίσωση f(ln ) f() e ln ln ln log 6 8 ln e 0 ln 0 0 e e 0 ln Μ. Παπαγρηγράκης