Παρατηρήσεις 1 Για α ααζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f α ορίζεται όσο θέλουµε κοτά στο, δηλαδή η f α είαι ορισµέη σ έα σύολο της µορφής ( α, )

Η έοια του ορίου Όριο συάρτησης Ότα οι τιµές µιας συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουµε έα πραγµατικό αριθµό l, καθώς το προσεγγίζει µε οποιοδήποτε τρόπο το αριθµό, τότε γράφουµε lim f() = l και διαβάζουµε το όριο της f ( ), ότα το τείει στο, είαι l το όριο της f ( ) στο είαι l ή απλούστερα Έστω η συάρτηση στο παρακάτω σχήµα 1 f ( ) = 1 f ( ) f ( ) της οποίας η γραφική παράσταση φαίεται 1 Παρατηρούµε ότι καθώς το, κιούµεο µε οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξοα, προσεγγίζει το πραγµατικό αριθµό 1, το f ( ), κιούµεο πάω στο άξοα, προσεγγίζει το πραγµατικό αριθµό Και µάλιστα, οι τιµές f ( ) είαι τόσο κοτά στο όσο θέλουµε, για όλα τα 1 που είαι αρκούτως κοτά στο 1 Στη περίπτωση αυτή γράφουµε lim f ( ) = 1 5

Παρατηρήσεις 1 Για α ααζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f α ορίζεται όσο θέλουµε κοτά στο, δηλαδή η f α είαι ορισµέη σ έα σύολο της µορφής ( α, ) (, β) (, ) (, β ) ή α ή Για παράδειγµα α το πεδίο ορισµού µιας συάρτησης f είαι Α= [,5) τότε δε έχει όηµα α ζητάµε το όριο της f για 7 ή µπορούµε όµως α ζητάµε 5 το όριο για ή ή 5 Αποδεικύεται ότι το lim f ( ) είαι αεξάρτητο τω άκρω α, β τω διαστηµάτω ( α, ) και (, β) στα οποία θεωρούµε ότι είαι ορισµέη η f Για παράδειγµα, α θέλουµε α βρούµε το όριο 1 της συάρτησης f ( ) = στο =, 1 περιοριζόµαστε στο υποσύολο ( 1,) (,1) του =1 πεδίου ορισµού της, στο οποίο αυτή παίρει τη 1 1 ( 1) µορφή f ( ) = = 1 1 =1 Εποµέως, όπως φαίεται και από το διπλαό σχήµα, το ζητούµεο όριο είαι lim f ( ) = 1 3 Ότα γράφουµε lim f ( ) θεωρούµε ότι 4 Το µπορεί α αήκει στο πεδίο ορισµού της συάρτησης (σχήµατα α, β) ή α µη αήκει σ αυτό (σχήµα γ) 5 Α το αήκει στο πεδίο ορισµού της συάρτησης τότε µπορεί (σχήµα α) ή µπορεί lim f ( ) f ( ) (σχήµα β) lim f ( ) = f ( ) 6

f () f() f() f ( ) = l f () l f() l f() (a) f( ) (β) (γ) Πλευρικά όρια Ότα οι τιµές µιας συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουµε το πραγµατικό αριθµό l 1, καθώς το προσεγγίζει το από µικρότερες τιµές ( < ), τότε γράφουµε: lim f() = l και διαβάζουµε: το όριο της f ( ), ότα το τείει στο είαι l 1 1 από τα αριστερά, Οτα οι τιµές µιας συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουµε το πραγµατικό αριθµό l, καθώς το προσεγγίζει το από µεγαλύτερες τιµές ( > ), τότε γράφουµε: lim f() = l + και διαβάζουµε: το όριο της f (), ότα το τείει στο l από τα δεξιά, είαι Τους αριθµούς l = lim f ( ) 1 και l = lim f ( ) + τους λέµε πλευρικά όρια της f στο και συγκεκριµέα το l1 αριστερό όριο της f στο, εώ το l όριο της f στο δεξιό Α µια συάρτηση f είαι ορισµέη σε έα σύολο της µορφής ( α, ) (, β), τότε ισχύει η ισοδυαµία: lim f ( ) = l lim f ( ) = lim f ( ) = l + 7

f( ) l l l f() f() f() l 1 f() l 1 f() l 1 f() Α lim f ( ) lim f ( ) + τότε δε υπάρχει το lim f ( ) = l Α µια συάρτηση f είαι ορισµέη σε έα διάστηµα της µορφής (, β ), αλλά δε ορίζεται σε διάστηµα της µορφής ( α, ), τότε ορίζουµε: lim f ( ) = lim f ( ) + = Για παράδειγµα lim = lim = + Α µια συάρτηση f είαι ορισµέη σε έα διάστηµα της µορφής ( α, ), αλλά δε ορίζεται σε διάστηµα της µορφής (, β ), τότε ορίζουµε: lim f ( ) = lim f ( ) Για παράδειγµα lim = lim = = Προτάσεις βάσει του ορισµού Α µια συάρτηση f έχει όριο στο, τότε αυτό είαι µοαδικό και συµβολίζεται µε lim f ( ) lim f ( ) = l lim( f ( ) l) = 8

lim f ( ) = l lim f ( + h) = l h lim = ηλαδή το όριο της ταυτοτικής συάρτησης f ( ) = στο είαι ίσο µε τη τιµή της στο f() f( )= f() = lim c = c ηλαδή το όριο της σταθερής συάρτησης g( ) = c στο είαι ίσο µε c g()=c Ιδιότητες ορίω Όρια και πράξεις Α υπάρχου τα όρια τω συαρτήσεω f και g στο, τότε: 1 3 lim( f ( ) + g( )) = lim f ( ) + lim g( ) lim( κf ( )) = κ lim f ( ), για κάθε σταθερά κ R lim( f ( ) g( )) = lim f ( ) lim g( ) f ( ) lim f ( ) 4 lim =, εφόσο g ( ) lim g ( ) lim g ( ) 5 6 7 lim f ( ) = lim f ( ) lim f ( ) = lim f ( ), εφόσο f ( ) κοτά στο k k lim[ f ( )] = lim f ( ), * N 9

Οι ιδιότητες (1) και (3) ισχύου και για περισσότερες από δυο συαρτήσεις ι παραπάω ιδιότητες ισχύου µόο ότα υπάρχου τα επιµέρους όρια τω συαρτήσεω ( lim f ( ), lim g ( ) ) ηλαδή µπορεί α υπάρχει το όριο του αποτελέσµατος µιας πράξης µεταξύ δύο συαρτήσεω f, g χωρίς α υπάρχου τα όρια τω f, g Α f ( ) = g( ) κοτά στο και υπάρχει το lim ( ) τότε lim f ( ) = lim ( ) Για παράδειγµα α 3 +, <, < f ( ) =, g( ) = άρα + 1, 1, 3, < f ( ) + g( ) =, Τότε ( f g ) ( ) lim ( ) + ( ) = lim 3 = και ( f g ) ( ) lim ( ) + ( ) = lim = και αφού τα πλευρικά + + όρια είαι ίσα τότε ( f g ) lim ( ) + ( ) = + Όµως τα όρια τω f, g στο δε υπάρχου αφού τα πλευρικά όρια δε είαι ίσα ( lim f ( ) =, lim f ( ) = 1, lim g( ) =, lim g( ) = 1) άρα θα ήτα λάθος α εφαρµόσουµε τη ιδιότητα (1) και α γράψουµε + Το ατίστροφο δε ισχύει δηλαδή α έχουµε lim f ( ) = lim g ( ) δε σηµαίει ότι f ( ) = g( ) Παράδειγµα α f ( ) = και g( ) = τότε lim f ( ) = lim g( ) = αλλά f ( ) g( ) lim( f ( ) + g( )) = lim f ( ) + lim g( ) Α lim f ( ) = l lim ( f ( ) ) = l Όρια βασικώ συαρτήσεω Έστω τώρα το πολυώυµο Απόδειξη Σύµφωα µε τις ιδιότητες τω ορίω έχουµε: 1 P( ) = α + α 1 + + α1 + α και R lim P ( ) = P ( ) τότε lim P( ) = lim( α + α + + α ) 1 1 = lim( α ) + lim( α ) + + lim α 1 1 = α lim + α lim + + lim α 1 1 = α + α + + α = P( ) 1 1 1

P( ) Έστω η ρητή συάρτηση f ( ) =, όπου P( ), Q( ) Q( ) πολυώυµα του και R µε Q( ) τότε P( ) P( ) lim =, εφόσο Q ( ) Q ( ) Q( ) Απόδειξη P( ) lim P( ) P( ) lim f ( ) = lim = = Q ( ) lim Q ( ) Q ( ) Για παράδειγµα Έστω η συάρτηση f ( ) = e, τότε lim f ( ) e = 3 lim( 6 + 7 ) 3 = 6 + 7 = 4 Έστω η συάρτηση f ( ) = a, µε < a 1, R τότε lim f ( ) a = Έστω η συάρτηση f ( ) ln lim f ( ) = ln =, (, ) + τότε Για παράδειγµα lim + 4 = + + 1 + 4 8 = + + 1 9 Όριο και διάταξη Για το όριο και τη διάταξη αποδεικύεται ότι ισχύου τα παρακάτω θεωρήµατα ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο Α lim f ( ) >, τότε f ( ) > κοτά στο (σχήµα α) Α lim f ( ) <, τότε f ( ) < κοτά στο (σχήµα β) Το ατίστροφο του θεωρήµατος δε ισχύει αφού α f ( ) > τότε lim ( ) > ή lim ( ) = Όµοια και α f ( ) < Α f ( ) > ή f ( ) τότε lim f ( ) Α f ( ) < ή f ( ) τότε lim f ( ) 11

l C f C f α β α β l (a) (β) ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α οι συαρτήσεις f, g έχου όριο στο και ισχύει f ( ) g( ) κοτά στο, τότε lim f ( ) lim g( ) Α ισχύει f ( ) < g( ) κοτά στο, τότε lim f ( ) lim g( ) C f C f C g C g α β α β Κριτήριο παρεµβολής ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συαρτήσεις f, g, h Α h( ) f ( ) g( ) κοτά στο και lim h( ) = lim g( ) = l, τότε lim f ( ) = l l C g C f C h α β 1

Παρατηρήσεις 1 Το κριτήριο παρεµβολής ισχύει και στη περίπτωση που h( ) < f ( ) < g( ) κοτά στο Α ισχύει f ( ) g( ) µε lim f ( ) = ιότι g( ) f ( ) g( ) και ( g ) lim g( ) = lim ( ) = lim g ( ) = τότε Η αισότητα h( ) f ( ) g( ) δε είαι υποχρεωτικό α ισχύει για κάθε A όπου Α το κοιό πεδίο τω τριώ συαρτήσεω, είαι όµως ααγκαίο α ισχύει κοτά στο Τριγωοµετρικά όρια Αποδεικύεται ότι ισχύου τα παρακάτω: 1 ηµ, για κάθε R (η ισότητα ισχύει µόο ότα = ) lim ηµ = ηµ 3 lim συ = συ π lim εϕ = εϕ, κπ +, κ Z 4 5 6 lim σϕ = σϕ, κπ, κ Z ηµ lim = 1 συ 1 lim = 13

Όριο σύθετης συάρτησης Α θέλουµε α υπολογίσουµε το lim f ( g( )), της σύθετης συάρτησης f g στο σηµείο, τότε εργαζόµαστε ως εξής: 1 Θέτουµε u = g( ) Υπολογίζουµε (α υπάρχει) το u = lim g ( ) και 3 Υπολογίζουµε (α υπάρχει) το l = lim f ( u) u u Αποδεικύεται ότι, α g( ) u κοτά στο, τότε το ζητούµεο όριο είαι ίσο µε l, δηλαδή ισχύει: lim f ( g( )) = lim f ( u ) u u Τα όρια της µορφής lim f ( g( )) µε τα οποία θα ασχοληθούµε θα είαι τέτοια, ώστε α ικαοποιείται η συθήκη: g( ) u κοτά στο και για αυτό δε θα ελέγχεται Α lim f ( ) = k τότε lim f ( ) = k Το ατίστροφο δε ισχύει ηλαδή α lim f ( ) = k ή lim f ( ) = k τότε δε είαι σίγουρο ότι lim f ( ) = k µπορεί και α µη υπάρχει κα το όριο Για παράδειγµα η συάρτηση f ( ) = δε έχει όριο στο =, αφού: για < είαι f ( ) = = 1, οπότε lim f ( ) = 1, εώ για > είαι f ( ) = = 1, οπότε lim f ( ) lim f ( ) + lim f ( ) = 1, και έτσι + Όµως η f ( ) = = 1 και άρα lim f ( ) = 1 ε ισχύει ότι α lim ( ) f = k τότε lim f ( ) = κ 14