Θ ΜΑ Ο ΝΑ ΥΟΛΟΓΙΣ Τ ΤΟ ΙΚΑΜΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ià r -y x.â r x y r ΣΤΗΝ ΡΙ Ρ ΙΑ x y 9 ΟΟΥ r H L r H L. ΛΥΣΗ ΤΟ ΣΗΜ ΙΟ H L ΟΥ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΡΟΥΣΙΑΖ Ι ΑΣΥΝ Χ ΙΑ Ν ΙΝΑΙ ΣΗΜ ΙΟ ΤΗV ΡΙ Ρ ΙΑV ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ν ΙΝΑΙ ΚΛ ΙΣΤΟ. ΚΑΝΟΥΜ ΤΟΥV Μ ΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥV x Cos@ΘD y Sn@ΘD Cos@ΘD Sn@ΘD ΩΜ ΝΩV â x D@ Cos@ΘD ΘD â Θ â y D@ Sn@ΘD ΘD â Θ - â Θ Sn@ΘD Cos@ΘD â Θ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΓΙΝ ΤΑΙ -y x f SmplfyB: x f 9- Sn@ΘD y Cos@ΘD ΑΡΑ x y Sn@ΘD f.dr SmplfyB:- >F Cos@ΘD f.dr â Θ >.8- â Θ Sn@ΘD Cos@ΘD â Θ<F ΒΡΙΣΚΟΥΜ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΟΥ Θ ΟΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧ Ι ΣΤΑ ΣΗΜ ΙΑ r ΚΑΙ r Solve@8x y < ΘD Solve@8x y < ΘD Solve::fun : Inverse functons are beng used by Solve so some solutons may not be found; use Reduce for complete soluton nformaton. 88Θ << Solve::fun : Inverse functons are beng used by Solve so some solutons may not be found; use Reduce for complete soluton nformaton. 99Θ ΥΟΛΟΓΙΖΟΥΜ Τ ΛΟV ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
epa8atono.nb Ià f.â r à r r f.â r à IntegrateB :Θ âθ Θ >F Θ ΜΑ Ο Η ΑΑΝΤΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΗΛ ΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΙΟ ΒΡΙΣΚ ΤΑΙ ΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟV. Θ ΜΑ Ο ΝΑ ΥΟΛΟΓΙΣΤ Ι ΤΟ ΙΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ âx ây Iàà S Hx yl S ΙΝΑΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ABG Μ ΚΟΡΥ V ΤΑ ΣΗΜ ΙΑ A H L B H L G H L. ΛΥΣΗ ΚΑΝΟΥΜ ΤΟΥV Μ ΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥV xy u x-y v ΑΝΤΙΣΤΡΟΩV Solve@8x y u x - y v< 8x y<d uv x u-v y uv u-v ΑΡΑ ΤΟ ΙΑΝΥΣΜΑ ΙΝΑΙ r@x yd : 9 uv uv u-v u-v > ΟΙ ΑΤΟΜ Ν V ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΜΥΛΩΝ ΙΝΑΙ D@r@x yd ud D@r@x yd vd 9 9 - ΚΑΙ ΤΟ ΣΩΤ ΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜ ΝΟ ΙΝΑΙ
epa8atono.nb D@r@x yd ud.d@r@x yd vd ΚΑΙ ΑΡΑ Τ ΜΝΟΝΤΑΙ ΚΑΘ ΤΩV Η ΙΑΚΩΒΙΑΝΗ ΤΟΥ Μ ΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΙΝΑΙ aa :: > : - >>; :: > : - >> MatrxForm Det@aaD dx dy - ΑΡΑ du dv ΤΑ ΣΗΜ ΙΑ ΟΥ ΟΘΗΚΑΝ ΙΝΑΙ ΤΑ A 8 < B 8 < G 8 < 8 < 8 < 8 < ΚΑΙ Ι Η u xy v x-y ΤΑ ΣΗΜ ΙΑ ΑΥΤΑ ΣΤΙV ΚΑΙΝΟΥΡΓΙ V ΣΥΝΤ ΤΑΓΜ Ν V ΙΝΑΙ ua va ub vb ug vg - - -
epa8atono.nb ΗΛΑ Η A 8 < B 8 < G 8 < 8 < 8 < 8 < ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜ ΤΙV ΥΘ Ι V ΟΥ ΝΩΝΟΥΝ ΑΥΤΑ ΤΑ ΣΗΜ ΙΑ ΥΟΘ ΤΟΥΜ ΟΤΙ ΙΝΑΙ aubv ΚΑΙ ΛΥΝΟΥΜ ΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Solve@8a b a b < 8a b<d Solve@8a b a b < 8a b<d Solve@8a b a b < 8a b<d 88a b << 99a 8< b- 8 8 ΤΟ ΤΡΙΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Ν Χ Ι ΛΥΣΗ ΙΟΤΙ u v.αρα ΟΙ ΤΡ ΙV ΥΘ Ι V ΙΝΑΙ v u-v 8 uv ΣΧ ΙΑΖΟΥΜ ΤΗΝ ΡΙΟΧΗ a Plot@8 x x - 8< 8x.< PlotRange 8 < AxesLabel 8U V<D V..5..5..5. U ΑΝ ΙΑΛ ΞΟΥΜ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜ ΤΙV ΟΛΟΚΛΗΡΩΣ ΙV ΡΩΤΑ ΩV ΡΟV v ΚΑΙ Μ ΤΑ ΩV ΡΟV u ΘΑ Ρ Ι ΝΑ ΚΟΨΟΥΜ ΤΗΝ ΡΙΟΧΗ Μ ΤΗΝ ΥΘ ΙΑ ΣΤΟ ΣΗΜ ΙΟ u ΚΑΙ ΝΑ ΑΘΡΟΙΣΟΥΜ ΤΑ ΥΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΗΛΑ Η Integrate@Integrate@f@xD xd xd
epa8atono.nb à I à u âv âu à u v à âv âu SmplfyB IntegrateBIntegrateB u v IntegrateBIntegrateB u 8 u u-8 Ο ΥΟΛΟΓΙΣΤΗV ΙΝ Ι u v H Log@DL v 8v u<f 8u <F 8v u - 8 u<f 8u <F F ΚΑΛΥΤ ΡΑ ΟΜΩV ΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΟΥΜ ΡΩΤΑ ΩV ΡΟV u ΚΑΙ Μ ΤΑ ΩV ΡΟV v ΓΙΑΤΙ ; ΤΣΙ Ν ΧΡ ΙΑΖ ΤΑΙ ΝΑ ΚΟΨΟΥΜ ΤΗΝ ΡΙΟΧΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗV ΗΛΑ Η I à à u âu âv u v Ο ΥΟΛΟΓΙΣΤΗV ΙΝ Ι ΥΣΙΚΑ ΤΟ Ι ΙΟ ΑΟΤ Λ ΣΜΑ SmplfyB IntegrateBIntegrateB u v 8 H Log@DL :u v 8v >F 8v <F F ΑΡΑ ΤΟ ΑΟΤ Λ ΣΜΑ ΙΝΑΙ I H Log@DL 8 ΑΝ Ν ΣΚ ΤΟΥΜ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜ ΤΟΥV Μ ΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥV ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ρ Ι ΝΑ ΑΝΑΛΥΣΟΥΜ ΤΗΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Σ ΑΛΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΤΗV ΜΟΡΗV ΑΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΟΥΜ ΡΩΤΑ ΩV ΡΟV y Ρ Ι ΝΑ ΓΙΝ Ι Η ΑΝΑΛΥΣΗ Clear@x yd SolveAlwaysB 99Q Ix - S x P y M Q P x R Hx - x R yl x Hx yl S Hx yl yf ΑΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΟΥΜ ΡΩΤΑ ΩV ΡΟV x Ρ Ι ΝΑ ΓΙΝ Ι Η ΑΝΑΛΥΣΗ SolveAlwaysB 99Q Ix - S y P y M y P- Q Hx - R y y ΟΙ ΥΘ Ι V ΟΥ ΝΩΝΟΥΝ ΤΑ ΣΗΜ ΙΑ ΙΝΑΙ axby R yl Hx yl S Hx yl xf 5
6 epa8atono.nb Clear@a bd Solve@8a b a b < 8a b<d Solve@8a b a b < 8a b<d 88a b - << 99a b ΗΛΑ Η ΟΙ ΥΘ Ι V ΙΝΑΙ x - y xy -x a PlotB:x - Y > 8x.< PlotRange 8 < AxesLabel 8X Y<F..5..5..5 X. ΑΝ ΚΑΝΟΥΜ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΩΤΑ ΩV ΡΟV x ΚΑΙ Μ ΤΑ ΩV ΡΟV y Ρ Ι ΝΑ ΚΟΨΟΥΜ ΤΗΝ ΡΙΟΧΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣ ΩV Σ ΥΟ ΚΟΜΑΤΙΑ Μ ΤΗΝ ΥΘ ΙΑ x. ΒΡΙΣΚΟΥΜ SmplfyBPowerExpandBIntegrateBIntegrateB IntegrateBIntegrateB Ix - y M 8 H Log@DL :y Ix -x - y M 8y x - <F 8x <F >F 8x <FFF ΑΝ ΚΑΝΟΥΜ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΩΤΑ ΩV ΡΟV y ΚΑΙ Μ ΤΑ ΩV ΡΟV x Ν ΧΡ ΙΑΖ ΤΑΙ ΝΑ ΚΟΨΟΥΜ ΤΗΝ ΡΙΟΧΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣ ΩV Σ ΚΟΜΑΤΙΑ. ΡΓΑΖΟΜΑΣΤ ΩV ΞΗV ΑΝΑΛΥΟΥΜ ΤΟ ΚΛΑΣΜΑ SolveAlwaysB P Ix - y M 99Q S y ΟΜ ΝΩV ΧΟΥΜ P- y Q R y y R Hx yl S Hx yl xf
epa8atono.nb - y y y Ix - y M y ΡΑΓΜΑΤΙΚΑ - SmplfyB Ix - y M True Hx yl Hx yl y y y y Hx yl Hx yl F ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΥΜ ΩV ΡΟV x SmplfyBReplaceAllBIntegrateB ReplaceAllBIntegrateB y H yl y y y y y H- yl y y y Hx yl Hx yl y Hx yl Hx yl xf x - yf - xf x yff - Log@ - yd Log@ - yd - Log@ yd 6-6 y y y y Τ ΛΟV ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΥΜ ΩV ΡΟV y ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΝΑΙ y HyL y IntegrateB H-yL y 6-6 y y - Log@ - yd Log@ - yd - Log@ yd yf y Log@ - yd Log@ - yd y Log@ - yd Log@ - yd - y Log@ yd y y ΚΑΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΒΡΙΣΚΟΥΜ SmplfyB LmtB y Log@ - yd Log@ - yd - Log@ - yd Log@ - yd - y Log@ yd y y y F - LmtB - 8 y Log@ - yd Log@ - yd Log@ - yd Log@ - yd - y Log@ yd y FF y y H Log@DL ΑΡΑ ΤΟ ΑΟΤ Λ ΣΜΑ ΙΝΑΙ ΑΛΙ I H Log@DL 8 Θ ΜΑ Ο -> ΝΑ ΥΟΛΟΓΙΣΤ Ι ΤΟ ΙΑΝ ΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΙΟΥ F I x y y x z M ΣΤΗΝ ΙΑΝ ΙΑ ΤΟΥ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ y z 9 ΣΤΟ ΡΩΤΟ ΟΓ ΟΗΜ ΡΙΟ ΗΛΑ Η x ³ y ³ z ³ ΚΑΙ ΡΑΣ ΤΑΙ ΑΟ ΤΟ Ι Ο x. 7
8 epa8atono.nb ΛΥΣΗ ΘΑ ΧΡΗΣΙΜΟΟΙΗΣΟΥΜ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚ V ΣΥΝΤ ΤΑΓΜ Ν V xx y Cos@ΘD z Sn@ΘD x Cos@ΘD Sn@ΘD Η Μ ΤΑΒΟΛΗ ΤΩΝ ΑΡΑΜ ΤΡΩΝ ΙΝΑΙ x Θ ΤΟ ΙΑΝΥΣΜΑ r r D@x D@y D@z D@x D@y D@z xd xd xd ΘD ΘD ΘD y z z y - Sn@ΘD Cos@ΘD r y z z r y n 8 - Cos@ΘD - Sn@ΘD< 8 - Cos@ΘD - Sn@ΘD< Η ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΓΙΝ ΤΑΙ f 9 x y y x z 96 x Cos@ΘD 9 Cos@ΘD 6 x Sn@ΘD ΚΑΙ - Sn@ΘD Cos@ΘD 8 - Cos@ΘD - Sn@ΘD<
epa8atono.nb f.n - 7 Cos@ΘD - 8 x Sn@ΘD ΥΟΛΟΓΙΖΟΥΜ ΤΩΡΑ ΤΟ ΙΑΝ ΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ A à à f.â S à à f.n â x â Θ à à Ο ΥΟΛΟΓΙΣΤΗV ΙΝ Ι ΤΟ ΑΟΤ Λ ΣΜΑ I- 7 Cos@ΘD - 8 x Sn@ΘD M â x â Θ A IntegrateB- 7 Cos@ΘD - 8 x Sn@ΘD 8x < :Θ - 8 >F ΣΧ ΙΑΖΟΥΜ ΤΗΝ ΙΑΝ ΙΑ PlotDB: 9 - y > 8x < 8y < AxesLabel 8X Y Z< BoxRatos 8 <F X...5..5 Z Y Θ ΜΑ 5Ο -> ΝΑ ΑΛΗΘ ΥΤ Ι Ο ΤΥΟV ΤΟΥ ΣΤΟΟΥΚV ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f Iy x y - z M ΑΝΩ ΣΤΗΝ ΙΑΝ ΙΑ S ΤΟΥ ΗΜΙΣΑΙΡΙΟΥ x y z 9 x ³. ΛΥΣΗ o ΤΥΟV ΤΟΥ ΣΤΟΟΥΚV ΙΝΑΙ à à! f.â S à f.â r S S ΘΑ ΥΟΛΟΓΙΣΟΥΜ ΤΟ ΡΩΤΟ Μ ΛΟV A! f y z y x y - z o ΥΟΛΟΓΙΣΤΗV ΙΝ Ι I y Iy - z M - H xl z y - Iy - z M H xl - y ym 9
epa8atono.nb Clear@x y zd A 9DAy - z ye - D@ x zd D@y zd - DAy - z xe D@ x xd - D@y yd 8 < ΘΑ ΧΡΗΣΙΜΟΟΙΗΣΟΥΜ ΣΑΙΡΙΚ V ΣΥΝΤ ΤΑΓΜ Ν V x Sn@ΘD y Cos@ΘD Cos@ΦD z Cos@ΘD Sn@ΦD Sn@ΘD Cos@ΘD Cos@ΦD Cos@ΘD Sn@ΦD ΓΙΑ ΤΟ ΗΜΙΣΑΙΡΙΟ x ³ ΟΙ Μ ΤΑΒΟΛ V ΣΤΙV ΓΩΝΙ V ΙΝΑΙ Θ Φ ΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. ΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΗ ΤΗΝ ΣΑΙΡΑ ΟΙ Μ ΤΑΒΟΛΗ ΘΑ ΗΤΑΝ Θ âs n âθ âφ ΟΟΥ n x y z Φ x Φ y Φ z Sn@ΘD Cos@ΘD Cos@ΦD Cos@ΘD Sn@ΦD Φ Sn@ΘD Φ Cos@ΘD Cos@ΦD Φ Cos@ΘD Sn@ΦD Ο ΥΟΛΟΓΙΣΤΗV ΙΝ Ι n Smplfy@8D@y ΘD D@z ΦD - D@z ΘD D@y ΦD D@z ΘD D@x ΦD - D@x ΘD D@z ΦD D@x ΘD D@y ΦD - D@y ΘD D@x ΦD<D 9-9 Cos@ΘD Sn@ΘD - 9 Cos@ΘD Cos@ΦD - 9 Cos@ΘD Sn@ΦD A.n - 9 Cos@ΘD Sn@ΘD - 8 Cos@ΘD Sn@ΦD ΤΟ ΡΩΤΟ Μ ΡΟV ΤΟΥ ΤΥΟΥ ΤΟΥ ΤΟΟΥΚV ΙΝΑΙ G à à A.n â Φ â Θ Ο ΥΟΛΟΓΙΣΤΗV ΙΝ Ι G IntegrateBIntegrate@A.n 8Φ <D :Θ -9 ΘΑ ΥΟΛΟΓΙΣΟΥΜ ΤΟ ΥΤ ΡΟ Μ ΛΟV x y Cos@ΘD z Sn@ΘD Cos@ΘD Sn@ΘD >F
epa8atono.nb r 8x y z< 8 Cos@ΘD Sn@ΘD< f 9y x y - z 9 Cos@ΘD Cos@ΘD - 9 Sn@ΘD D@r ΘD 8 - Sn@ΘD Cos@ΘD< f.d@r ΘD Cos@ΘD I Cos@ΘD - 9 Sn@ΘD M ΤΟ ΥΤ ΡΟ Μ ΡΟV ΤΟΥ ΤΥΟΥ ΤΟΥ ΣΤΟΟΥΚV ΙΝΑΙ à f.â r à f.r â Θ Ο ΥΟΛΟΓΙΣΤΗV ΙΝ Ι IntegrateA Cos@ΘD I Cos@ΘD - 9 Sn@ΘD M 8Θ <E -9 ΤΑ ΥΟ Μ ΛΗ ΙΝΑΙ ΙΣΑ Μ I - 9 ΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Ρ Ι ΝΑ ΡΟΣ Ξ Τ ΣΤΗΝ ΟΡΑ ΙΑΓΡΑΗV ΤΗV ΚΑΜΥΛΗV ΑΝ ΤΗΝ ΑΡ Τ ΑΝΑΟ Α ΘΑ ΒΡ ΙΤ ΙΑΟΡΑ ΝΑ Μ ΙΟΝ IntegrateA Cos@ΘD I Cos@ΘD - 9 Sn@ΘD M 8Θ <E 9