ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές του Θεωρήματος Κατηγορίας Baire σε Μετρικούς Χώρους ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ: 09313017 Ευστράτιος Θήριος ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Βασίλης Παπανικολάου ΑΘΗΝΑ, 15/9/2016

Στην μητέρα μου, στην γυναίκα μου και στην κόρη μου.

Περιεχόμενα Πρόλογος...2 Βιογραφικό Σημείωμα του Baire...3 Εισαγωγικά στοιχεία για μετρικούς χώρους...4 Θεώρημα κατηγορίας του Baire...8 1 ο Εφαρμογές του Θεωρήματος Κατηγορίας Baire σε χώρους Banach...15 2 ο Εφαρμογές του Θεωρήματος Κατηγορίας Baire γενικότερα σε μετρικούς χώρους...23 Βιβλιογραφία...41 1

Πρόλογος Στην παρούσα εργασία αρχικά γίνεται μία εκτεταμένη μελέτη σχετικά με το θεώρημα κατηγορίας του Baire και ισοδύναμες μορφές του. Στην συνέχεια γίνεται αναλυτική αναφορά σε γνωστές εφαρμογές του. Τέλος αποδεικνύονται λιγότερο γνωστές εφαρμογές του θεωρήματος κατηγορίας του Baire. 2

Βιογραφικό Σημείωμα του Baire Στο École Normale Supérieure o Baire παρακολούθησε διαλέξεις από Jules Taneri και Goursat και, επιπλέον, παρακολούθησε διαλέξεις από Hermite, Émile Picard και Poincaré στη Σορβόννη. Ενώ ήταν φοιτητής βοήθησε στην συγγραφή των διαλέξεων του Poincaré, για τη διάδοση της θερμότητας. Απέκτησε την πρώτη θέση του ως καθηγητής στο λύκειο Bar-le-Duc Στο Lycée Bar-le-Duc Baire εργάστηκε πάνω στη θεωρία των συναρτήσεων και στην έννοια του ορίου. Σε αυτό το διάστημα ανακάλυψε τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες μια συνάρτηση είναι το όριο μίας ακολουθίας συνεχών συναρτήσεων. Αμέσως μετά από αυτό ο Baire ταξινόμησε τις συναρτήσεις σε κατηγορία 1, κατηγορία 2 και κατηγορία 3. Οι συναρτήσεις κατηγορίας 1 είναι αυτές που είναι το όριο μίας ακολουθίας συνεχών συναρτήσεων και οι συναρτήσεις κατηγορίας 2 είναι εκείνες που είναι το όριο μίας ακολουθίας συναρτήσεων κατηγορίας 1. Τέλος η κλάση 3 αποτελείται από συναρτήσεις οι οποίες είναι το όριο μιας ακολουθίας συναρτήσεων κατηγορίας 2. Ο Baire, έλαβε μια υποτροφία για να του επιτρέψει να συνεχίσει τις σπουδές του στην Ιταλία και εκεί γνωρίστηκε με τον Volterra. Καθώς εργαζόταν στο λύκειο, ο Baire έγραψε παράλληλα τη διδακτορική διατριβή του πάνω στις ασυνεχείς συναρτήσεις. Εξετάστηκε επιτυχώς στις 24 Μαρτίου 1899 από τους Darboux, Appell και Émile Picard. Το 1901 ο Baire διορίστηκε στο Πανεπιστήμιο του Μονπελιέ ως "Maitre des συνέδρια". Το 1904 τιμήθηκε με το Ίδρυμα Peccot με υποτροφία και εντάχθηκε στην Σχολή Επιστημών στο Ντιζόν. Το 1907 προήχθη σε καθηγητή της Ανάλυσης στο Ντιζόν. Ο Baire είχε αναπτύξει αλληλογραφία με τον Émile Borel. Στις επιστολές ο Baire γράφει με μεγάλη λεπτομέρεια σχετικά με την έρευνα και τις ιδέες του, πάνω στην ταξινόμηση των συναρτήσεων Baire, στα σύνολα πρώτης και δεύτερης κατηγορία, και στην ημισυνέχεια. Ο Baire έγραψε μια σειρά σημαντικών βιβλίων ανάλυσης συμπεριλαμβανομένων των Théorie des nombres irrationels, des limites et de la continuité (1905) και Leçons sur les théories générales de l'analyse, 2 Vols. (1907-8). Ο Baire έκανε ένα αποφασιστικό βήμα για την απομάκρυνση από την διαισθητική ιδέα των συναρτήσεων και της συνέχειας και είδε ξεκάθαρα ότι η θεωρία συνόλων ήταν θεμελιώδους σημασίας για την αυστηρή πραγματική ανάλυση. 3

Εισαγωγικά στοιχεία για μετρικούς χώρους Ορισμός-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και Χ. Η σχετική μετρική στον ως προς την μετρική ρ είναι ο περιορισμός της συνάρτησης ρ στο. Πρόταση-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος, Χ και σ η σχετική μετρική στο. Για κάθε και > 0 ισχύει (, ) = (, ). Απόδειξη-Είναι άμεσο από τον ορισμό της ανοικτής σφαίρας (, ) = Χ (, ) < στον μετρικό χώρο (Χ, ) και τον ορισμό της ανοικτής σφαίρας (, ) = (, ) < στον μετρικό χώρο (, ). Πρόταση- Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος, Χ, σ η σχετική μετρική στο και. Το είναι ανοικτό υποσύνολο του (, ) αν και μόνο αν υπάρχει ανοικτό υποσύνολο του Χ έτσι ώστε =. Απόδειξη-Εφόσον το είναι ανοικτό υποσύνολο του (, ) για κάθε υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Άρα έχουμε ότι = (, ). Συνεπώς από την προηγούμενη πρόταση, έχουμε ότι = (, ) = (, ). Θέτοντας = (, ) έχουμε το ζητούμενο. Αντίστροφα έστω. Εφόσον ισχύει ότι και το είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ, υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Συνεπώς από την προηγούμενη πρόταση, έχουμε ότι (, ) = (, ) =. Δηλαδή Το είναι ανοικτό υποσύνολο στο μετρικό χώρο (, ). Πρόταση-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος, Χ, σ η σχετική μετρική στο και. Το είναι κλειστό υποσύνολο του (, ) αν και μόνο αν υπάρχει κλειστό υποσύνολο του Χ έτσι ώστε =. Απόδειξη-Εφόσον το είναι κλειστό υποσύνολο του (, ), συνεπάγεται ότι \ είναι ανοικτό υποσύνολο του (, ). Συνεπώς από την προηγούμενη πρόταση υπάρχει ανοικτό σύνολο στο (Χ, ) έτσι ώστε το \ =. Θέτουμε = Χ\. Το είναι κλειστό στο (Χ, ) και ισχύει = \\ = \ = \ = Χ\ = που είναι και το ζητούμενο. Αντίστροφα έστω ότι ισχύει =. Τότε έχουμε ότι \ = \ = \ = Χ\. Εφόσον το Χ\ είναι ανοικτό υποσύνολο στο μετρικό χώρο (Χ, ), από την προηγούμενη πρόταση συνεπάγεται ότι και το \ είναι ανοικτό στο μετρικό χώρο (, ). 4

Συνεπώς το υποσύνολο είναι κλειστό στον μετρικό χώρο (, ), που είναι και το ζητούμενο. Ορισμός-Έστω Ε ένα μη κενό υποσύνολο του μετρικού χώρου (, ). Η διάμετρος του Ε ορίζεται ως () = (, ),. Ορισμός-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και X. Το είναι φραγμένο αν και μόνο αν () <. Πρόταση-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και () = ( ). Απόδειξη-Εφόσον το εξορισμού έχουμε ότι () ( ). Αντίστροφα έστω, και > 0. Από τον ορισμό της κλειστότητας υπάρχουν, έτσι ώστε (, ) < και (, ) <. Συνεπώς ισχύουν τα ακόλουθα, (, ) (, ) + (, ) + (, ) < + (). Δεδομένου ότι το > 0 είναι τυχαίο συνεπάγεται ότι (, ) (). Επίσης επειδή και τα, είναι τυχαία, συνεπάγεται ότι η ( ) = (, ), (). Συνεπώς η () = ( ). Ορισμός-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και X. 1. Το είναι σύνολο αν υπάρχει ακολουθία N ανοικτών υποσυνόλων του Χ, ώστε = N. 2. Το είναι σύνολο αν υπάρχει ακολουθία N κλειστών υποσυνόλων του Χ, ώστε = N. Από τον ορισμό προκύπτει άμεσα ότι το συμπλήρωμα ενός συνόλου είναι σύνολο και αντίστροφα. Πρόταση-Αν (Χ, ) μετρικός χώρος, X και X, τότε αν και μόνο αν (, ) = 0. Απόδειξη-Έστω ότι το (, ) = > 0. Αυτό συνεπάγεται ότι (, ) για κάθε. Συνεπώς ισχύει ότι, =. Άτοπο διότι το. Αντίστροφα έστω > 0, τότε από τον ορισμό του infimum υπάρχει έτσι ώστε (, ) <. Δηλαδή για κάθε > 0 ισχύει ότι (, ). Συνεπώς το. 5

Πρόταση-(i) Κάθε κλειστό υποσύνολο ενός μετρικού χώρου (Χ, ) είναι σύνολο. (ii) Κάθε ανοικτό υποσύνολο ενός μετρικού χώρου (Χ, ) είναι σύνολο. Απόδειξη-(i) Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και κλειστό υποσύνολο του Χ. Θέτουμε = X (, ) <. Εφόσον η συνάρτηση () = (, ) είναι ομοιόμορφα συνεχής συνεπάγεται ότι το σύνολο είναι ανοικτό. Από την προηγούμενη πρόταση προκύπτει ότι =. Δηλαδή το είναι σύνολο. N (ii) Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και ανοικτό υποσύνολο του Χ. Συνεπώς το Χ\ είναι κλειστό στο (Χ, ). Δηλαδή υπάρχει ακολουθία ανοικτών υποσυνόλων N του (Χ, ) έτσι ώστε Χ\ = N. Από το θέωρημα De Morgan προκύπτει ότι = N Χ\, όπου το Χ\ είναι κλειστό στο (Χ, ) για κάθε N. Δηλαδή το είναι σύνολο. Πρόταση (Χαρακτηρισμός Cantor πλήρων μετρικών χώρων)-έστω (Χ, ) μετρικός χώρος τα επόμενα είναι ισοδύναμα, 1) Ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος. 2) Αν ( ) N είναι φθίνουσα ακολουθία κλειστών μη κενών υποσυνόλων του Χ με ( ) 0 τότε υπάρχει έτσι ώστε =. N Απόδειξη-Θεωρούμε ότι ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος και ότι η ( ) N είναι μία φθίνουσα ακολουθία κλειστών μη κενών υποσυνόλων του Χ με ( ) 0. Για κάθε N επιλέγεται τυχαίο. Ισχυρισμός, η ακολουθία ( ) N είναι βασική. Πράγματι έστω ε > 0, τότε υπάρχει () N έτσι ώστε για κάθε () ισχύει ότι ( ) <. Εφόσον η ( ) N είναι φθίνουσα για κάθε > () τα, (). Δηλαδή για κάθε > () το (, ) <. Επειδή ο (Χ, ) είναι πλήρης, υπάρχει X έτσι ώστε. Εξορισμού της κατασκευής της ακολουθίας προκύπτει ότι για κάθε N το ( ). Αλλά για κάθε N το είναι κλειστό και η ακολουθία ( ) συγκλίνει στο ως υπακολουθία της ( ) N. Συνεπώς το για κάθε N. Δηλαδή N. Έστω N με τότε συνεπάγεται ότι το 0 < (, ) =. Αλλά για ε > 0 υπάρχει () N έτσι ώστε για κάθε (), ισχύει ότι ( ) <. Συνεπώς για κάθε () η ( ) < (, ). Δηλαδή για κάθε () είτε είτε. Άτοπο. Συνεπώς =. N Αντίστροφα, έστω ( ) N βασική ακολουθία, τότε για κάθε N θέτουμε =. Συνεπώς η ( ) N είναι φθίνουσα ακολουθία κλειστών μη κενών υποσυνόλων του Χ. Ισχυρισμός, Αν η ( ) 0 συνεπάγεται ότι ( ) 0. Πράγματι έστω, για κάποιο N, τότε υπάρχουν ( ) N,( ) N ακολουθίες έτσι ώστε και. 6

Έστω > 0, τότε υπάρχει () N έτσι ώστε για κάθε () η ( ) <. Τότε υπάρχουν (), (), () N έτσι ώστε (, ) < για κάθε (), (, ) < για κάθε () και (, ) < για κάθε, () (). Από τα προαναφερόμενα είναι άμεσο ότι για κάθε, (), (), () ισχύει ότι (, ) (, ) + (, ) + (, ) < + + =. Συνεπώς <. Άρα ισχύει ότι ( ) 0. Από την υπόθεση έχουμε ότι υπάρχει Χ έτσι ώστε η Ισχυρισμός, η. Πράγματι εφόσον N N =., τότε για κάθε N. Άρα για κάθε N υπάρχει έτσι ώστε το, <. Εφόσον η και η ( ) N είναι βασική, έχουμε ότι. 7

Θεώρημα κατηγορίας του Baire Θεώρημα κατηγορίας του Baire-Έστω (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος και ( ) N αριθμήσιμη οικογένεια ανοικτών και πυκνών υποσυνόλων του Χ. Τότε η N είναι πυκνό υποσύνολο του Χ. Απόδειξη-Αρκεί να δείξουμε ότι αν Χ και > 0 τότε η (, ) N. Εφόσον το υποσύνολο είναι πυκνό στον χώρο (Χ, ), τότε η (, ). Συνεπώς υπάρχει (, ). Επίσης το είναι ανοικτό, άρα υπάρχει 0 < < έτσι ώστε, (, ) (, ). Θέτουμε =. Τότε ισχύει ότι (, ) (, ). Με τον ίδιο κατασκευαστικό τρόπο, για κάθε 1 < ισχύει ότι (, ) (, ) με 0 < < και =. Από υπόθεση το υποσύνολο είναι ανοικτό και πυκνό στον χώρο (Χ, ). Συνεπώς υπάρχει (, ) και 0 < < έτσι ώστε (, ) (, ) (, ) όπου =. Άρα ισχύουν τα ακόλουθα, () 1. (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 2. (, ) για κάθε N. 3. Εφόσον για κάθε N ισχύει ότι (, ), συνεπάγεται ότι (, ),. Δηλαδή (, ) 0. Δεδομένου ότι ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος από τον Χαρακτηρισμό Cantor πλήρων μετρικών χώρων, υπάρχει X έτσι ώστε η (, ) =. Επειδή (, ) N (, ) συνεπάγεται ότι (, ). Επίσης από τα προαναφερόμενα ισχύει ότι ( N, ) N. Συνεπώς N. Δηλαδή η N (, ). N Ορισμός-Ένα υποσύνολο Ε ενός μετρικού (, ) καλείται αραιό όταν το =. Ορισμός-Ένα υποσύνολο Ε ενός μετρικού (, ) καλείται πουθενά πυκνό όταν η κλειστότητα του δεν περιέχει ανοικτά σύνολα. Δηλαδή =. 8

1 η Ισοδύναμη μορφή του θεωρήματος κατηγορίας του Baire- Ένας πλήρης μετρικός χώρος (Χ, ) δεν μπορεί να είναι η ένωση ενός αριθμήσιμου το πλήθος πουθενά πυκνών ( ) N υποσυνόλων του. Απόδειξη- 1 ος τρόπος-έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και Χ = N με πουθενά πυκνό για κάθε N. Ισχυρισμός, αν το είναι πουθενά πυκνό τότε Χ. Πράγματι, δεδομένου ότι το Χ είναι ανοικτό, αν = Χ τότε το = X. Άτοπο διότι το =. Από τον ισχυρισμό υπάρχει Χ\. Κατά συνέπεια υπάρχει 1 > > 0 έτσι ώστε (, ) =. Εφόσον το είναι πουθενά πυκνό τότε υπάρχει (, )\ και > > 0 έτσι ώστε (, ) (, )\ και άρα (, ) =. Επαγωγικά αν (, )\, τότε υπάρχει (, )\ και άρα (, ) =. Ισχυρισμός, η ακολουθία N είναι Cauchy. > > 0 έτσι ώστε (, ) Πράγματι, από τα προαναφερόμενα ισχύει ότι (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ), συνεπώς για κάθε, N με, ισχύει ότι, (, ). Άρα έχουμε ότι (, ) (, ) + (, ) < + = =. Εφόσον για συνεπάγεται ότι,, τότε ισχύει ότι 0 (, ) = 0. Δηλαδή lim (, ) = lim (, ) = 0. Άρα η ακολουθία N είναι Cauchy. Δεδομένου ότι ο (Χ, ρ) είναι πλήρης μετρικός χώρος, συνεπάγεται ότι υπάρχει Χ έτσι ώστε (, ) = 0. Από τα προαναφερόμενα αν N τότε (, ). Συνεπώς το (, ). Δηλαδή για κάθε N το (, ). Αλλά (, ) = και (, ) (, ). Δηλαδή. Εφόσον το είναι τυχαίο τότε το για κάθε N. Δηλαδή Χ. Άτοπο. 2 ος τρόπος- Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και υποθέτουμε ότι Χ = N με πουθενά πυκνό για κάθε N. Θέτουμε = Χ\ για κάθε N. Προφανώς το είναι ανοικτό και πυκνό υποσύνολο του (Χ, ) για κάθε N. Από το θεώρημα κατηγορίας του Baire έχουμε ότι η N είναι πυκνό υποσύνολο στον (Χ, ρ). Συνεπώς ισχύουν τα ακόλουθα, Χ = N = Χ\ N = Χ\ N Χ\ N =. 9

Άτοπο. Πρόταση- Έστω (Χ, ) είναι μετρικός χώρος και Ε υποσύνολο. Τότε = αν και μόνο αν Χ\ = Χ. Απόδειξη- υποθέτουμε ότι το = και Χ\ Χ τότε υπάρχουν X και > 0 έτσι ώστε (, ) Χ\ =. Συνεπώς (, ). Δηλαδή. Άτοπο εφόσον =. Αντίστροφα έστω ότι Χ\ = Χ και. Τότε υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Συνεπώς (, ) (Χ\) =. Δηλαδή Χ\ = X. Άτοπο. Πρόταση-Ένα υποσύνολο Ε του μετρικού (Χ, ) είναι πουθενά πυκνό αν και μόνο αν για κάθε Ο ανοικτό υποσύνολο του Χ, το σύνολο δεν είναι πυκνό στον (, ) όπου = R είναι ο περιορισμός της μετρικής ρ στο υποσύνολο Ο του Χ. Απόδειξη-Έστω Ο ανοικτό υποσύνολο του Χ με το σύνολο =. Από υπόθεση έχουμε ότι Χ\ = Χ. Συνεπώς (Χ\). Έστω (Χ\). Εφόσον τα, Χ\ είναι ανοικτά τότε το (Χ\) είναι επίσης ανοικτό στον Χ. Άρα υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ) (Χ\). Από τα προαναφερόμενα προκύπτουν τα ακόλουθα, Άτοπο διότι το Ε =. (, ) = 1 ος τρόπος-αντίστροφα έστω ότι το δεν είναι πουθενά πυκνό. Τότε το εσωτερικό της κλειστότητας του, δεν είναι κενό. Συνεπώς το. Αν όχι τότε \. Τότε υπάρχει \ και > 0 έτσι ώστε (, ) \. Δηλαδή (, ) =. Εφόσον συνεπάγεται ότι (, ). Άτοπο. Θέτουμε =. Άρα ισχύει ότι =. Συνεπώς = =. Άτοπο διότι για κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο του Χ, το σύνολο δεν είναι πυκνό στον (, ). 2 ος τρόπος-αντίστροφα θεωρούμε ότι για κάθε Ο ανοικτό υποσύνολο του Χ, το σύνολο δεν είναι πυκνό στον (, ). Έστω ότι το υποσύνολο Ε δεν είναι πουθενά πυκνό. Συνεπώς το Χ\ δεν είναι πυκνό στον (Χ, ). Άρα υπάρχει και > 0 έτσι ώστε (, ). Από υπόθεση ισχύει ότι (, ) (, ). Έστω (, )\(, ), τότε υπάρχει δ>0 έτσι ώστε (, ) (, )\(, ). 10

Επειδή το (, ) συνεπάγεται ότι υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ) (, ). Εφόσον, προκύπτει ότι, (, ) (, ) (, ) = (, ) (, ) (, ) =, διαφορετικά (, ) (, ). Είναι άμεσο ότι (, ) (, ). Δηλαδή (, ) (, ) =. Θέτουμε =,, τότε (, ) (, ) και (, ) (, ) =. Αλλά ισχύει ότι, ((, ) ) (, ) (\) = (, ). Άρα (, ) (, ) (\). Εφόσον (, ) (, ) και (, ) ισχύει ότι (, ) = και (, ) = (, ) (\). Δεδομένου ότι το καταλήγουμε σε άτοπο διότι ισχύει ταυτόχρονα ότι (, ) = και (, ). 2 η Ισοδύναμη μορφή Θεωρήματος Κατηγορίας Baire-Έστω (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος και ( ) N μία αριθμήσιμη οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ με = για κάθε N. Τότε N =. Απόδειξη- Έστω N. Τότε υπάρχει N και > 0 έτσι ώστε (, ) N. Συνεπώς (, ) Χ\ N =. Δηλαδή (, ) N(Χ\ ) =. Εφόσον είναι κλειστό, τότε Χ\ είναι ανοικτό για κάθε N. Επίσης εφόσον = τότε Χ\ = Χ. Από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire προκύπτει ότι N Χ\ = Χ. Συνεπώς (, ) N Χ\. Άτοπο. Άρα N =. Πρόταση-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και ( ) N μία αριθμήσιμη οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ. Εάν τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα με. N Απόδειξη-Έστω ότι για κάθε N ισχύει ότι =. Συνεπώς για κάθε N, θα έχουμε ότι Χ\ = Χ και Χ\ ανοικτό. Εφόσον ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος από το Θεώρημα κατηγορίας του Baire ισχύει ότι N Χ\ = Χ. 11

Ωστόσο, δεδομένου ότι το N, συνεπάγεται ότι X\ N = N Χ\ Χ. Άτοπο. Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα με. Θεώρημα-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και έστω Χ = N όπου ρ-κλειστό υποσύνολο του Χ για κάθε N. Τότε υπάρχει N έτσι ώστε. Απόδειξη-Έστω ότι για κάθε N ισχύει ότι =. Συνεπώς Χ\ = Χ και Χ\ είναι ρ-ανοικτό για κάθε N. Εφόσον ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος, από το Θεώρημα κατηγορίας του Baire ισχύει ότι N Χ\ = Χ. Συνεπώς η N Χ\. Εφόσον το Χ = N, από τις σχέσεις De Morgan έχουμε ότι = X\X = X\ N = N Χ\. Άτοπο. Άρα υπάρχει N έτσι ώστε. Ορισμός-Έστω (Χ, ), (Ζ, ) μετρικοί χώροι και L = (X, ) (Ζ, ) οικογένεια συναρτήσεων. Η L καλείται ισοσυνεχής στο αν για κάθε > 0 υπάρχει > 0 ώστε για κάθε (, ) και για κάθε L να ισχύει () (( ), ). Πρόταση-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και ( ) N μία αριθμήσιμη οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ. Τότε N =. Απόδειξη-Έστω Ε κλειστό υποσύνολο του Χ και έστω, τότε υπάρχουν και > 0 έτσι ώστε (, ) = X\. Συνεπώς (, ) X\ και (, ) =. Τότε (, ) Χ\ =. Δηλαδή Χ\. Άτοπο. Συνεπώς έχουμε ότι =. Άρα για κάθε N ισχύει ότι = και προφανώς το είναι κλειστό. Από την ισοδύναμη μορφή του θεωρήματος Baire προκύπτει ότι N =. Θεώρημα-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και L = (X, ) (R, ) μία οικογένεια συνεχών συναρτήσεων έτσι ώστε για κάθε X υπάρχει > 0 με () < για κάθε L. Τότε υπάρχει ανοικτό υποσύνολο του Χ και > 0, έτσι ώστε για κάθε για κάθε L να ισχύει ότι (). Απόδειξη-Θέτουμε = X (), L. Συνεπώς = είναι κλειστό. Έστω X. L (, ) Τότε από υπόθεση υπάρχει N έτσι ώστε () για κάθε L. Συνεπώς. Άρα X = N. Συνεπώς υπάρχει N έτσι ώστε. Συνεπώς υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Τότε για κάθε (, ) και για κάθε L έχουμε ότι (). 12

Θεώρημα-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος, συνάρτηση (X, ) (R, ) και (X, ) (R, ) N μία ακολουθία συνεχών συναρτήσεων για την οποία ισχύει ότι () () για κάθε Χ. Τότε υπάρχει πυκνό υποσύνολο D του Χ στο οποίο η N είναι ισοσυνεχής και η f είναι συνεχής. Απόδειξη-Έστω, N. Ορίζουμε (, ) = X () (),. Είναι άμεσο ότι η απεικόνιση () είναι συνεχής και ότι (, ) =,,. Συνεπώς το υποσύνολο (, ) είναι κλειστό. Τέλος είναι προφανές ότι, N (, ) = Χ. Εφόσον το (, ), N είναι ακολουθία κλειστών υποσυνόλων του πλήρη μετρικού χώρου (Χ, ), τότε, N (, ) =. Θέτουμε = X\, N (, ). Εφόσον, N (, ) =, έχουμε = Χ. Ισχυρισμός-Έστω και (, ). Τότε το είναι εσωτερικό σημείο του (, ). Πράγματι εφόσον τότε, N (, ). Συνεπώς (, ) για κάθε, N. Αυτό συνεπάγεται ότι (, ) Χ\(, ) για κάθε, N. Για, N είτε Χ\(, ) είτε Χ\Χ\(, ). Τότε είτε υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ) Χ\(, )είτε υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ) Χ\Χ\(, ). Εφόσον το (, ), έχουμε ότι (, ) Χ\Χ\(, ) (, ). Άρα το είναι εσωτερικό σημείο του (, ). Θα δείξουμε ότι η N είναι ισοσυνεχής στο D. Έστω. Αν > 0 τότε υπάρχει N έτσι ώστε >. Εφόσον η N είναι κατά σημείο συγκλίνουσα, η ( ) N είναι Cauchy. Συνεπώς υπάρχει () N έτσι ώστε ( ) ( ) για κάθε, (). Δηλαδή το, (). Από τον ισχυρισμό υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ), (). Συνεπώς για κάθε (, ) έχουμε ότι () () για κάθε, (). Εφόσον η () (X, ) (R, ) είναι συνεχής στο υπάρχει 0 < < έτσι ώστε () ( ) () () < για κάθε (, ). Συνεπώς για κάθε (, ) και για κάθε () ισχύουν τα ακόλουθα, () ( ) () () () + () () () ( ) + () ( ) ( ) < < <. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι για την πεπερασμένη οικογένεια () ισχύει () ( ) < για κάθε (, ). Εφόσον το είναι τυχαίο, η οικογένεια N είναι ισοσυνεχής στο D. 13

Συνεπώς έχουμε ότι () ( ) < για κάθε () και για κάθε (, ). Άρα από υπόθεση έχουμε ότι, () ( ) = () ( ) = () ( ) για κάθε (, ). Δηλαδή η είναι συνεχής στο. Εφόσον το είναι τυχαίο η είναι συνεχής στο (Χ, ). 14

1 ο Εφαρμογές του Θεωρήματος Κατηγορίας Baire σε χώρους Banach Θεώρημα (Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος)-Έστω (Χ, ) χώρος Banach, (Ζ, ) χώρος με νόρμα και ( ) μία οικογένεια φραγμένων γραμμικών τελεστών από τον Χ στον Ζ. Θεωρούμε ότι η οικογένεια ( ) είναι κατά σημείο φραγμένη. Δηλαδή για κάθε X ισχύει ότι () <. Τότε η οικογένεια ( ) είναι ομοιόμορφα φραγμένη. Δηλαδή το (,) <. Απόδειξη- Για κάθε N θέτουμε = X (),. Εφόσον ο είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής για κάθε και = ( 0, ) συνεπάγεται ότι το είναι κλειστό ως τομή κλειστών συνόλων. Το Χ = N. Πράγματι έστω Χ. Από υπόθεση έχουμε ότι () <. Συνεπώς υπάρχει N έτσι ώστε (). Δηλαδή το. Η σχέση Χ N είναι προφανής. Εφόσον ο (Χ, ) είναι πλήρης από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire υπάρχει N έτσι ώστε. Συνεπώς υπάρχει X και > 0 έτσι ώστε,. Άρα για κάθε (, ) το (). Έστω και X με 1 τότε ισχύουν τα ακόλουθα, () = 1 () = 1 ( + ) 1 ( ( + ) + ( ) ) Εφόσον + =, τότε +,. Άρα () 1 ( ( + ) + ( ) ) 1 ( + ) = 2 Εφόσον το X με 1 είναι τυχαίο, συνεπάγεται ότι, (,) = () 1 2 Επίσης εφόσον το είναι τυχαίο προκύπτει ότι, (,) 2 Συνεπώς η οικογένεια ( ) είναι ομοιόμορφα φραγμένη. Πρόταση-Έστω (Χ, ) και (Ζ, ) χώροι με νόρμα. Τότε η γραμμική απεικόνιση (Χ, ) (Ζ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής αν και μόνο αν το ( 0,1). 15

Απόδειξη- έστω ότι ο (Χ, ) (Ζ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Τότε για κάθε X ισχύει ότι (). Συνεπώς για κάθε (0, 1) ισχύει ότι () <. Η ισότητα των συνόλων = Χ < 1 = X < = προκύπτει άμεσα. Πράγματι είναι προφανές ότι. Έστω τότε < 1 και =. Δηλαδή. Άρα. Άρα =. Συνεπώς, εφόσον το είναι ανοικτό και ( 0,1), συνεπάγεται ότι ( 0,1). Αντίστροφα έστω (Χ, ) (Ζ, ) γραμμική με ( 0,1). Δηλαδή υπάρχουν Χ και > 0 έτσι ώστε (, ) ( 0,1). Aν < τότε ισχύουν τα ακόλουθα, () ( + ) + ( ) 2, δεδομένου ότι +, ( 0,1). Έστω > > 0. Συνεπώς για κάθε Χ ισχύει ότι = <. Εφόσον ισχύει ότι 2, συνεπάγεται ότι η () για κάθε Χ. Δηλαδή ο (Χ, ) (Ζ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Πρόταση-Έστω (Χ, ) και (Ζ, ) χώροι με νόρμα και έστω (ΧxZ, x ) (C, ) μία φραγμένη διγραμμική απεικόνιση. Τότε αν 0 και 0 συνεπάγεται ότι (, ) 0. Απόδειξη-Έστω N, τότε για κάθε θέτουμε () = (, ). Από υπόθεση ο είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Επίσης από υπόθεση και ο τελεστής (, ) είναι φραγμένος γραμμικός για κάθε. Συνεπώς ισχύει ότι (, ) (, ). Εφόσον η ακολουθία 0, συνεπάγεται ότι 0. Δηλαδή υπάρχει > 0 έτσι ώστε για κάθε N. Συνεπώς () = (, ) (, ) = για κάθε N. Άρα () N. Εφόσον ο χώρος (Ζ, ) είναι Banach, από την Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος έχουμε ότι το N <. Για κάθε N ισχύει ότι ( ) = (, ). Εφόσον 0 έχουμε ότι και το (, ) 0. 16

Θεώρημα (Banach-Steinhaus)-Έστω (Χ, ) χώρος Banach, (Ζ, ) χώρος με νόρμα και ( ) N μία οικογένεια φραγμένων γραμμικών τελεστών από τον Χ στον Ζ έτσι ώστε για κάθε X να υπάρχει το (). Θέτοντας () = (), προκύπτει ότι ο είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Απόδειξη-O είναι γραμμικός. Πράγματι ισχύει ότι ( + ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ). Λόγω της σύγκλισης της ακολουθίας () N, προκύπτει άμεσα ότι για κάθε X υπάρχει > 0 έτσι ώστε () N. Εφόσον η οικογένεια ( ) N είναι κατά σημείο φραγμένη, τότε από την Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος είναι και Ομοιόμορφα Φραγμένη, δηλαδή υπάρχει > 0 έτσι ώστε N. Συνεπώς αν Χ με 1, τότε () για κάθε N. Εφόσον ισχύει ότι () () () (), τότε () = () για κάθε Χ. Συνεπώς για Χ με 1 έπεται ότι () = (). Δηλαδή η = () 1. Ισοδύναμα ο είναι γραμμικός τελεστής. Λήμμα-Έστω (Χ, ) χώρος Banach και (Ζ, ) χώρος με νόρμα. Έστω επίσης (Χ, ) (Ζ, ) φραγμένος γραμμικός τελεστής. (a) Αν για > > 0 ισχύει ότι (0, ) (0,1) + (0, ) τότε συνεπάγεται ότι (0, ) 0,. (b) Ειδικότερα αν (0, ) (0,1) τότε (0, ) (0,1). Απόδειξη-(α) Λόγω της γραμμικότητας του τελεστή και του χώρου Χ, για κάθε > 0 ισχύει ότι (0, ) 0, + 0,. Έστω (0, ). Τότε (0,1) + (0, ). Συνεπώς υπάρχει (0,1) και (0, ) έτσι ώστε ( ) =. Άρα ( ) = < και < 1 =. Έστω ότι έχουν κατασκευαστεί ώστε < και ( ) <. Συνεπώς ( ) 0,. Θέτουμε στην αρχική μας σχέση =. Άρα 0, 0, + 0,. Δηλαδή υπάρχει 0, έτσι ώστε ( ) ( ) < 17

. Συνεπώς προκύπτει επαγωγικά ότι υπάρχει ακολουθία ( ) N έτσι ώστε για κάθε N να ισχύει ( ) < και <. Εφόσον το < = <, υπάρχει X έτσι ώστε 0. Δηλαδή =. Συνεπώς έχουμε ότι, = = = = <. Εφόσον ο (Χ, ) (Ζ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής ισχύουν τα ακόλουθα, () = Δηλαδή = (). Συνεπώς 0, = ( ). Δηλαδή = 0 (b) Έστω ότι ισχύει (0, ) (0,1), τότε προκύπτει από τον ορισμό της κλειστότητας ενός συνόλου ότι για κάθε > 0 έχουμε (0, ) (0,1) + (0, ). Πράγματι έστω > 0 και (0,1), τότε, (0,1). Δηλαδή υπάρχει (), (0,1). Συνεπώς ((), ) και () (0,1). Άρα () + (0, ) (0,1) + (0, ). Εφόσον το είναι τυχαίο τότε (0,1) (0,1) + (0, ). Από το (a) προκύπτει ότι για κάθε > > 0 το (0, ) 0,. Συνεπώς για κάθε > 1 ισχύει (0, ) (0, ). Έστω (0, ), τότε < < για κάποιο 0 <. Τότε (0, ) = (0, ) 0, = (0,1). Εφόσον το είναι τυχαίο, τότε (0, ) (0,1). Θεώρημα (Ανοικτής Απεικόνισης)-Έστω (Χ, ) και (Ζ, ) χώροι Banach και (Χ, ) (Ζ, ) φραγμένος γραμμικός τελεστής που είναι επί. Τότε ο είναι ανοικτή απεικόνιση. Δηλαδή για κάθε ανοικτό υποσύνολο του Χ το () είναι ανοικτό υποσύνολο του Ζ. Απόδειξη 18

1 ος τρόπος-δεδομένου ότι ο είναι επί και Χ = N (0, ) τότε Ζ = ( N (0, ) ) = N (0, ). Εφόσον Ζ (0, ) για κάθε N τότε Ζ = N (0, ). Εφόσον ο (Ζ, ) είναι πλήρης χώρος, από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire υπάρχει N ώστε (0, ). Είναι άμεσο ότι (0,1) = (0, ). Δηλαδή (0,1). Συνεπώς υπάρχει (0,1) και > 0 έτσι ώστε (, ) (0,1). Εφόσον το (0,1) είναι συμμετρικό και κυρτό τότε λόγω της γραμμικότητας του και το (0,1) είναι συμμετρικό και κυρτό. Θα δείξουμε ότι το (0,1) είναι συμμετρικό, η κυρτότητα είναι άμεση. Πράγματι έστω () (0,1). Τότε υπάρχει ( ) N (0,1) έτσι ώστε ( ) () 0. Λόγω συμμετρίας ( ) N (0,1). Συνεπώς () ( ) = ( ) () 0. Άρα το () (0,1). Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται και η κυρτότητα. Συνεπώς λόγω συμμετρίας ισχύουν τα ακόλουθα, (, ) = (, ) (0,1). Έστω (0, ), τότε + (, ) και + (, ).. Λόγω της κυρτότητας του συνόλου (0,1) έχουμε ότι το = ( + ) + ( + ) (0,1). Εφόσον το είναι τυχαίο ισχύει ότι (0, ) (0,1). Συνεπώς για κάθε > 0 έχουμε ότι (0, ) (0,1) + (0, ). Πράγματι έστω > 0 και () (0,1), τότε (), (0,1). Δηλαδή υπάρχει () (), (0,1). Συνεπώς () ((), ) και () (0,1). Άρα () (0,1) + (0, ). Εφόσον το () είναι τυχαίο συνεπάγεται ότι (0,1) (0,1) + (0, ). Εφόσον ισχύει ότι (, ) (0,1) + (0, ), από το λήμμα προκύπτει ότι (0, ) (0,1). Έστω ένα μη κενό ανοικτό υποσύνολο του Χ και (). Τότε υπάρχει έτσι ώστε = (). Εφόσον το είναι ανοικτό υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Επομένως (, ) = + (0, ) () + (0,1) = (, ) (). Συνεπώς έχουμε ότι το σύνολο () είναι ανοικτό. 2 ος τρόπος-λόγω της γραμμικότητας της αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ανοικτή σφαίρα (0, ) στο Χ, υπάρχει > 0 έτσι ώστε (0, ) (0, ), όπου (0, ) ανοικτή σφαίρα στο Ζ. 19

Εφόσον ο φραγμένος γραμμικός τελεστής (Χ, ) (Ζ, ) είναι επί, ισχύει ότι Ζ = N (0, ). Από το Θεώρημα του Baire προκύπτει ότι (0,1). Συνεπώς υπάρχει (, ) (0,1). Λόγω της συμμετρικότητας και της κυρτότητας του (0,1) ισχύει ότι (, ) (0,1) και (0, ) (0,1). Αρκεί να δείξουμε ότι (0,1) (0,2) και καταλήγουμε στο ζητούμενο. Πράγματι έστω (0,1) τότε υπάρχει ( ) (0, 1) έτσι ώστε ( ) (, 2) (0, 1). Δηλαδή το (( ), 2). Συνεπώς είναι άμεσο ότι το ( ) (0, 2) (0, 1 2). Τότε υπάρχει ( ) έτσι ώστε ( ) ( ( ), 4) (0, 1 2). Συνεπώς προκύπτει άμεσα ότι ( ) ( ) (0, 4) (0, 1 4). Επαγωγικά έχουμε ότι για κάθε N το ( ) (0, 1 2 ). (0, 2 ) (0, 1 2 ) όπου Από τα προαναφερόμενα προκύπτει ότι = <. Εφόσον ο (Χ, ) είναι χώρος Banach η σειρά συγκλίνει. Έστω =. Επειδή, τότε το 0, 1 2 (0, 2). Επίσης από τα προαναφερόμενα ισχύει ότι 0 ( ) = ( ) = ( ) 2 = 0. Δηλαδή = ( ). Εφόσον ο είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής ισχύει ότι = ( ) = ( ) = (). Δηλαδή το (0, 2). Δεδομένου ότι το είναι τυχαίο τότε (0, 1) (0, 2). Συνεπώς δείξαμε ότι (0, ) (0, 2). Αν G είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ και (), τότε υπάρχει έτσι ώστε = (). Εφόσον το G είναι ανοικτό τότε υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Τότε () (, ) = () + (0, 1) () + (0, 2) = ((), 2). Συνεπώς το () είναι ανοικτό υποσύνολο του Z. Στην συνέχεια παρουσιάζονται το Θεώρημα Αντιστροφής και το το οποίο είναι μία άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Ανοικτής απεικόνισης και κατ επέκταση του Θεωρήματος Κατηγορίας του Baire. Θεώρημα Αντιστροφής-Έστω (Χ, ) και (Ζ, ) χώροι Banach και (Χ, ) (Ζ, ) 1-1 και επί φραγμένος γραμμικός τελεστής. Τότε ο είναι ισομορφισμός. Απόδειξη-Από το Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης, αν είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ τότε το () είναι ανοικτό υποσύνολο του Ζ. 20

Εφόσον ο είναι 1-1 και επί ορίζεται ο αντίστροφός τελεστής του (Ζ, ) (Χ, ) και για κάθε ανοικτό υποσύνολο του Χ ισχύει ότι ( ) () = (). Επίσης είναι άμεσο ότι ισχύουν τα ακόλουθα, ( + ) = ( ) + ( ) = ( + ) = ( ) + ( ). Συνεπώς ο τελεστής (Ζ, ) (Χ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Δηλαδή ο τελεστής (Χ, ) (Ζ, ) είναι ισομορφισμός. Θεώρημα Κλειστού Γραφήματος-Έστω (Χ, ) και (Ζ, ) χώροι Banach και (Χ, ) (Ζ, ) γραμμικός τελεστής. Το γράφημα () = (, ) XxZ () = του είναι κλειστό στον χώρο (XxZ, ) αν και μόνο αν ο είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. (Επιλέγετε η νόρμα του XxZ να είναι (, ) = +.) Απόδειξη-Είναι άμεσο ότι το () είναι υπόχωρος του XxZ. Εφόσον ο (XxZ, ) είναι χώρος Banach και το () κλειστό, τότε ο ((), ) είναι χώρος Banach. Έστω XxZ Χ η προβολή του XxZ στον X και XxZ Ζ η προβολή του XxZ στον Z. Από τον ορισμό της προκύπτει ότι (, ) για κάθε (, ) XxZ. Συνεπώς η είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Για τον ίδιο λόγο η είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Είναι προφανές ότι ο περιορισμός της στον () είναι 1-1 και επί του Χ. Εφόσον ο Χ είναι χώρος Banach από το Θεώρημα Αντιστροφής έπεται ότι η είναι ισομορφισμός στο (). Συνεπώς ο = () είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Αντίστροφα έστω (Χ, ) (Ζ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής και, ( ) N μία Cauchy ακολουθία στοιχείων του (). Εφόσον ισχύει ότι, ( ) ( ) = + ( ) ( ), τότε οι ακολουθίες N και ( ) N είναι Cauchy στους χώρους Χ και Ζ αντίστοιχα. Επειδή οι χώροι (Χ, ) και (Ζ, ) είναι Banach υπάρχουν X και Z, έτσι ώστε και ( ). Εφόσον ο (Χ, ) (Ζ, ) είναι συνεχής συνάρτηση, τότε ( ) (). Από την μοναδικότητα της σύγκλισης του ορίου σε μετρικούς χώρους έπεται ότι = (). Δηλαδή το (, ) (). Συνεπώς το () είναι κλειστό στο XxZ. Πρόταση-Το σύνολο Q των ρητών αριθμών δεν είναι υποσύνολο του μετρικού χώρου (R, ) των πραγματικών αριθμών. 21

Απόδειξη-Πράγματι έτω ότι το Q είναι υποσύνολο του R. Συνεπώς το R \Q των αρρήτων είναι υποσύνολο του R. Δηλαδή υπάρχει ακολουθία N κλειστών υποσυνόλων του R, έτσι ώστε το R \Q = N. Συνεπώς ισχύει ότι το είναι πουθενά πυκνό στο R για κάθε N. Από τα προαναφερόμενα προκύπτει ότι το R = Q R \Q = N N. Επίσης για κάθε N το είναι πουθενά πυκνό στο R. Δηλαδή ο μετρικός χώρος (R, ) είναι πρώτης κατηγορίας. Εφόσον ο (R, ) είναι πλήρης, από προηγούμενη πρόταση έχουμε ότι είναι δεύτερης κατηγορίας. Άτοπο. 22

2 ο Εφαρμογές του Θεωρήματος Κατηγορίας Baire γενικότερα σε μετρικούς χώρους Ορισμός-Έστω (X, ρ) μετρικός χώρος και συνάρτηση (X, ρ) (R, ). Η συνάρτηση είναι άνω ημισυνεχής στο σημείο X αν για κάθε R με () < να υπάρχει () > 0 έτσι ώστε για κάθε X με (, ) < () να ισχύει ότι () <. Πρόταση- Έστω (X, ρ) μετρικός χώρος και συνάρτηση (X, ρ) (R, ). Η συνάρτηση είναι άνω ημισυνεχής στο X αν και μόνο αν για κάθε R η αντίστροφη εικόνα (, ) είναι ανοικτό υποσύνολο του X. Απόδειξη-Έστω (, ). Τότε () <. Εφόσον η είναι άνω ημισυνεχής στο, συνεπάγεται ότι για > 0 υπάρχει () > 0 έτσι ώστε για κάθε, () το () <. Δηλαδή ισχύει ότι, () (, ). Συνεπώς το (, ) είναι ανοικτό. Αντίστροφα έστω ότι το (, ) είναι ανοικτό υποσύνολο του R. Τότε αν (, ) υπάρχει () > 0 έτσι ώστε, () (, ). Συνεπώς για κάθε, () το () <. Δηλαδή η είναι άνω ημισυνεχής στο. Θεώρημα- Έστω (X, ρ) (Ζ, d) συνάρτηση. Το σύνολο των σημείων συνέχειας της είναι ένα σύνολο. Επίσης δεν υπάρχει πραγματική συνάρτηση (R, ) (R, ), της οποίας τα σημεία συνέχειας να είναι μόνο οι ρητοί αριθμοί. Απόδειξη- Έστω (, ) (, ) μία συνάρτηση μεταξύ δύο μετρικών χώρων και Χ. Θέτουμε ως ( ) = (, ) = (,) ( ), () όπου, (, ). Ισχυρισμός-Από τον ορισμό της συνέχειας προκύπτει ότι ( ) = 0 αν και μόνο αν το είναι σημείο συνέχειας της. Πράγματι έστω ότι ( ) = 0 και > 0, τότε από τον ορισμό του infimum υπάρχει () > 0 ώστε,() ( ), () <. Συνεπώς το,() ( ), () <. Δηλαδή για > 0 υπάρχει () > 0 έτσι ώστε για κάθε, () ισχύει ότι ( ), () <. Συνεπώς η είναι συνεχής στο. Το αντίστροφο είναι άμεσο από τον ορισμό της συνέχειας στο. Πράγματι αν είναι συνεχής στο συνεπάγεται ότι για κάθε > 0 υπάρχει () > 0 έτσι ώστε 23

, () (( ), ). Δηλαδή η, () για κάθε > 0. Συνεπώς ισχύει ότι, ( ) = (, ), () για κάθε > 0. Άρα το ( ) = 0. Από τον ορισμό του ( ) προκύπτει άμεσα ότι το είναι σημείο συνέχειας της αν και μόνο αν το X () < N. Ισχυρισμός-Παρατηρούμε ότι η είναι άνω ημισυνεχής. Πράγματι έστω R και Χ, με () <. Τότε (, ) <. Συνεπώς από τον ορισμό του infimum, υπάρχει () > 0 έτσι ώστε (), () <. Έστω, (), τότε υπάρχει () > 0, έτσι ώστε, (), (). Συνεπώς, (), (). Κατ επέκταση, >, (), () (, ) = (). Δηλαδή για κάθε, () ισχύει ότι > (). Συνεπώς, () (0, )). Εφόσον το είναι τυχαίο, προκύπτει ότι το (0, )) είναι ανοικτό. Δεδομένου ότι το είναι τυχαίο, από την προηγούμενη Πρόταση προκύπτει ότι η είναι άνω ημισυνεχής. Συνεπώς για κάθε N το 0, = X () < είναι ανοικτό. Άρα η 0, N είναι σύνολο. Δηλαδή το σύνολο των σημείων συνέχειας της είναι σύνολο. Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση (R, ) (R, ) της οποίας το σύνολο των σημείων συνέχειας της να περιέχει μόνο τους ρητούς αριθμούς. Πράγματι παρατηρούμε ότι οι ρητοί αριθμοί είναι σύνολο εφόσον Q = N. Αν υποθέσουμε ότι τα σημεία συνέχειας της είναι μόνο οι ρητοί τότε το Q είναι. Άρα το συμπλήρωμα τους R\Q, που είναι οι άρρητοι, είναι σύνολο. Αυτό έχει ως συνέπεια R\Q = N όπου είναι κλειστό για κάθε N. Συνεπώς, εφόσον R = Q R\Q = N N και ο χώρος (R, ) είναι πλήρης, τότε από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire προκύπτει ότι υπάρχει N έτσι ώστε. Δηλαδή υπάρχει και > 0, έτσι ώστε (, + ). Άτοπο διότι το 24

σύνολο είναι υποσύνολο των άρρητων, ενώ το (, + ) περιέχει και ρητούς αριθμούς. Πρόταση-Κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο του χώρου (R, ) μπορεί να γραφτεί ως αριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο ανοικτών διαστημάτων. Απόδειξη-Πράγματι έστω V ένα ανοικτό υποσύνολο στον (R, ) και V. θέτουμε Ι = (, ) (, ) V. Ισχυρισμός, (, ) = (, ) (, ) Ι, με = < (, V και = <,) V. Έστω (, ) με. Είναι άμεσο ότι είτε < < < είτε < x < z <. Συνεπώς υπάρχει > 0 έτσι ώστε είτε = + είτε =. Από τον ορισμό των και είναι άμεσο ότι υπάρχουν είτε < < < < < είτε < < x < z < <. Δηλαδή το (, ). Από τα προαναφερόμενα το (, ) Ι. Δηλαδή το (, ) (, ) Ι. Συνεπώς (, ) (, ) (, ) Ι. Αντίστροφα έστω (, ) (, ) Ι. Τότε υπάρχει (, ) Ι έτσι ώστε το (, ). Δηλαδή ισχύει είτε ότι < < < είτε ότι < < <. Συνεπώς (, ). Άρα (, ) (, ) Ι (, ). Ισχυρισμός, έστω, V, τότε είτε τα,,, ταυτίζονται είτε,, =. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι < < <. Τότε τα,,. Δηλαδή το = <,) V < και το < = < (, V. Άτοπο διότι από τον ορισμό του infimum και του supremum υπάρχουν, V με < < και < <. Θεώρημα-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος. Ο Χ είναι συμπαγής αν και μόνο αν για κάθε οικογένεια ( ) κλειστών υποσυνόλων του Χ με την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής ισχύει. Απόδειξη-Έστω ότι ο (Χ, ) είναι συμπαγής και ( ) μία οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ με την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής. Θεωρούμε ότι =. Συνεπώς (X\ ) = X. Λόγω της συμπάγειας της (Χ, ) υπάρχει οικογένεια Χ\ έτσι ώστε X\ = X. Δηλαδή η =. Άτοπο εφόσον η οικογένεια ( ) έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής. Επομένως. Έστω ότι ισχύει αν οικογένεια ( ) κλειστών υποσυνόλων του Χ με την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής τότε να ισχύει. Έστω ότι ο (Χ, ) δεν είναι συμπαγής, τότε 25

υπάρχει ανοικτό κάλυμμα του Χ χωρίς πεπερασμένο υποκάλυμμα. Δηλαδή για κάθε πεπερασμένο ισχύει ότι X\. Από υπόθεση έχουμε ότι (X\ ). Δηλαδή X. Άτοπο. Θεώρημα- Έστω (R, ) (R, ) μία συνεχής συνάρτηση με (R). Αν για κάθε R υπάρχει () N έτσι ώστε () () = 0, τότε η είναι πολυώνυμο. Απόδειξη- Έστω (R, ) (R, ) η συνεχής συνάρτηση της υπόθεσης. Θέτουμε ως = R () = 0. Εφόσον η (R) τότε το σύνολο είναι κλειστό για κάθε N. Είναι άμεσο ότι το R = N και δεδομένου ότι ο (R, ) είναι πλήρης, από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire υπάρχει N έτσι ώστε =. Από την προηγούμενη Πρόταση κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο του χώρου (R, ) μπορεί να γραφτεί ως αριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο ανοικτών διαστημάτων. Συνεπώς αν = N, εφόσον τα είναι ανοικτά διαστήματα συνεπάγεται ότι = για κάθε N. Δηλαδή ισχύει ότι. Επαγωγικά προκύπτει ότι για κάθε < ισχύει ότι. Συνεπώς η ακολουθία = N είναι αύξουσα. Τα ανοικτά διαστήματα \ δεν μπορούν να είναι διαδοχικά είτε μεταξύ τους είτε με αυτά της. Επίσης είναι αναγκαστικά ξένα με αυτά της. Πράγματι έστω ότι υπάρχουν δύο διαδοχικά ανοικτά διαστήματα (, ), (, ). Εφόσον η () είναι συνεχής και () () = 0 για κάθε (, ) (, ), τότε () ( ) = 0. Άτοπο διότι. Θεωρούμε ότι <. Αν (, ) και (, ) \, συνεπάγεται ότι το είναι σημείο ασυνέχειας της (), εφόσον () (, ) = 0 και () (, ) 0. Άτοπο εφόσον η () (R). Συνεπώς για κάθε i N ισχύει ότι είτε \ είτε. Ισχυρισμός1-R = N. Θέτουμε = N και έστω R\. Εφόσον το R\ είναι κλειστό, ο χώρος (R\, ) είναι πλήρης και το (R\) είναι κλειστό στον χώρο (R\, ) για κάθε N. Είναι άμεσο ότι ισχύει (R\) = R (R\) = ( N ) (R\) = N (R\). Από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire υπάρχει N έτσι ώστε (R\). Δηλαδή υπάρχει ανοικτό διάστημα (, ) στο χώρο (R, ), έτσι ώστε (, ) (R\) (R\). Το (, ) (R\) είναι ανοικτό διάστημα στο (R\, ). Θα δείξουμε ότι το (R\, ) δεν έχει μεμονωμένα σημεία. 26

Πράγματι αν είναι μεμονωμένο σημείο του (R\, ), τότε υπάρχει > 0 έτσι ώστε R\ (, + ) =. Εφόσον το είναι ανοικτό στον (R\, ) και ο χώρος (R, ) δεν έχει μεμονωμένα σημεία, υπάρχει ανοικτό διάστημα (, ) με <, έτσι ώστε (, ) (R\) =. Δηλαδή το (, ) (, ). Εφόσον η ακολουθία N είναι αύξουσα συνεπάγεται ότι θα υπάρχει N έτσι ώστε (, ) (, ). Πράγματι υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει τέτοιο N. Δεδομένου ότι (, ) θα υπάρχει N έτσι ώστε (, ). Συνεπώς για κάθε ισχύει ότι (, ). Από τα προαναφερόμενα αν (, ) ανοικτό διάστημα, τότε υπάρχει > και (, ) έτσι ώστε (, ) = και. Άτοπο. Δεδομένου ότι η ( ) είναι συνεχής στο και ( ) (,) (,) = 0 συνεπάγεται ότι ( ) () = 0. Δηλαδή (, ). Aυτό συνεπάγεται ότι το. Άτοπο εφόσον το N. Στην συνέχεια θα δείξουμε ότι (, )\R\. Αν ισχύει η τελευταία σχέση καταλήγουμε σε άτοπο. Πράγματι σε αυτή την περίπτωση το (, ) = (, )\R\ (, ) (R\). Δηλαδή R\. Άτοπο. Εφόσον το (, )\(R\) = (, ) (R\) = (, ) είναι ανοικτό στο R μπορεί να εκφραστεί ως ένωση αριθμήσιμου το πλήθος ανοικτών διαστημάτων. Έστω I (, ) ένα τέτοιο ανοικτό διάστημα. Τότε υπάρχει N (παίρνουμε το ελάχιστο) ώστε I. To τελευταίo συμπέρασμα έχει αποδειχθεί προηγουμένως. Επιλέγουμε το I έτσι ώστε το που είναι ένα από τα δύο άκρα του δεν είναι άκρο του (, ). Συνεπώς (, ), I και ( ) () = 0. Εφόσον ο χώρος (, ) δεν περιέχει μεμονωμένα σημεία το είναι σημείο επαφής του. Συνεπώς υπάρχει ( ) N έτσι ώστε 0. Εφόσον το σύνολο (, ) είναι ανοικτό στον (, ) συνεπάγεται ότι υπάρχει N έτσι ώστε για κάθε το (, ). Επίσης εφόσον ισχύει ότι (, ), συνεπάγεται ότι για κάθε το ( ) ( ) = 0. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Rolle στα κλειστά διαστήματα,, προκύπτει η ακολουθία, με (, ) και ( ) ( ) = 0. Εφόσον 0,τότε και 0. Επειδή η ( ) είναι συνεχής στο R τότε για κάθε > 0 υπάρχει () > 0 και () N έτσι ώστε για κάθε () να ισχύει ότι < () και κατ επέκταση ( ) ( ) ( ) () <. Δηλαδή για κάθε > 0 έχουμε ότι ( ) () <. Συνεπώς ( ) () = 0. Επαγωγικά προκύπτει ότι ( ) () = 0 για κάθε N. Εφόσον η στο διάστημα I είναι πολυώνυμο βαθμού 1 τότε το. 27

Πράγματι δεν μπορεί να ισχύει <, διότι η 1 παράγωγος του πολυωνύμου είναι μία σταθερά διάφορη του μηδενός στο I και το σημείο είναι άκρο του I. Άρα αν 1 συνεπάγεται ότι η ( ) θα είναι ασυνεχής στο σημείο, διότι ( ) = 0 και ( ) () = 0 από τα προαναφερόμενα. Άτοπο. Άρα I. Εφόσον το I είναι τυχαίο τότε (, ). Από τα προαναφερόμενα συνεπάγεται ότι (, ) και κατ επέκταση (, ). Άτοπο διότι ισχύει ταυτόχρονα ότι (, ) = και (, ). Συνεπώς R = N και όπως ήδη δείξαμε υπάρχει N έτσι ώστε = R. Άρα η είναι πολυώνυμο βαθμού 1. Ισχυρισμός2-Αν R = N, τότε συνεπάγεται ότι υπάρχει N έτσι ώστε = R. Πράγματι έστω N. Τότε, N. Δεδομένου ότι το, είναι συμπαγές υποσύνολο του (R, ) υπάρχει πεπερασμένο N έτσι ώστε,. Επειδή η ακολουθία των N είναι αύξουσα θα υπάρχει έτσι ώστε για κάθε. Κατά συνέπεια,. Εφόσον = N είναι μία αριθμήσιμη ένωση ξένων και φραγμένων ανά δύο ανοικτών διαστημάτων τότε θα ισχύει ότι και το, N. Πάλι λόγω της συμπάγειας του, θα υπάρχει N πεπερασμένο έτσι ώστε,. Από τα προαναφερόμενα υπάρχει μοναδικό ανοικτό διάστημα με, το οποίο να περιέχει το,. Συνεπώς η συνάρτηση είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ 1 στο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι το είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός που ικανοποιεί την προαναφερόμενη πρόταση. Δηλαδή η συνάρτηση είναι πολυώνυμο βαθμού 1 στο. Αυτό συνεπάγεται ότι η συνάρτηση είναι πολυώνυμο βαθμού 1 στο,, της μορφής + + + με 0. Έστω N με <, τότε με παρόμοιο τρόπο θα υπάρχει ανοικτό και φραγμένο διάστημα, με, προφανώς με. Επομένως χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι το είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός που ικανοποιεί την προαναφερόμενη πρόταση. Δηλαδή η συνάρτηση είναι πολυώνυμο βαθμού 1 στο. Αυτό συνεπάγεται ότι η συνάρτηση είναι πολυώνυμο βαθμού 1 στο,, της μορφής + + + με 0. Συνεπώς για κάθε, έχουμε ότι + + + = + + +. Άρα για κάθε, ισχύει ότι + + + + ( ) + = 0. Εφόσον οι ρίζες είναι το πολύ 1, συνεπάγεται ότι = = = 0 και =,, =. Άτοπο. 28

Συνεπώς ισχύει ότι =. Δηλαδή το είναι ανεξάρτητο του. Άρα για κάθε N,. Εφόσον το R = N,, συνεπάγεται ότι = R. Πρόταση-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα, a. Το σύνορο ενός ανοικτού υποσυνόλου του Χ έχει κενό εσωτερικό. b. Το σύνορο ενός κλειστού υποσυνόλου του Χ έχει κενό εσωτερικό. Απόδειξη- a. Έστω ανοικτό υποσύνολο του X και υποθέτουμε ότι ( \). Συνεπώς υπάρχει > 0 και \ έτσι ώστε (, ) \. Εφόσον το είναι ανοικτό υποσύνολο του X τότε (, ) \. Άρα το (, ) =. Δηλαδή και κατ επέκταση \. Άτοπο. b. Έστω κλειστό υποσύνολο του X. Τότε το Χ\ είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ. Ισχύει ότι = \ = \ = (X\). Από το a έχουμε ότι το (X\) =. Συνεπώς ισχύει ότι το () =. Πρόταση-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και ( ) N ακολουθία αραιών υποσυνόλων του Χ. Τότε το ( N ) =, δηλαδή το υποσύνολο N είναι αραιό στον (Χ, ). Συνεπώς κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο του Χ είναι δεύτερης κατηγορίας. Απόδειξη- Έστω αραιό και κλειστό υποσύνολο του Χ για κάθε N. Συνεπώς το \ είναι ανοικτό και πυκνό υποσύνολο για κάθε N. Εφόσον ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος, από το θεώρημα Κατηγορίας του Baire προκύπτει ότι και η N \ είναι πυκνό σύνολο στον Χ. Το ζητούμενο έπεται από την σχέση Χ = N(Χ\ ) = Χ\ N = Χ\( Δηλαδή το ( N ) =. Αν τα δεν είναι κλειστά, τότε επιλέγουμε την ακολουθία () N. N ). Εφόσον το είναι αραιό για κάθε N, τότε και το είναι αραιό για κάθε N. Πράγματι αν όχι τότε εφόσον το = (\ ) και το = συνεπάγεται ότι (\ ). Έστω (\ ) τότε και ταυτόχρονα υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ) \. Συνεπώς ισχύει ταυτόχρονα ότι (, ) και (, ) =. Άτοπο. Δηλαδή για κάθε N το υποσύνολο Χ\ είναι πυκνό στο Χ. Από το θεώρημα κατηγορίας του Baire η N (Χ\) είναι πυκνό υποσύνολο στο Χ. Συνεπώς καταλήγουμε στο ότι ( N ) =. 29

Εφόσον ισχύει ότι ( N ) ( N ), συνεπάγεται ότι ( N ) =. Αν ανοικτό υποσύνολο του Χ είναι πρώτης κατηγορίας τότε θα γράφεται ως αριθμήσιμη ένωση αραιών υποσυνόλων του Χ. Εφόσον το είναι ανοικτό, θα έχει μη κενό εσωτερικό σύνολο. Από τα προαναφερόμενα αυτό είναι άτοπο. Θεώρημα-Έστω (0,1, ) (R, ) συνάρτηση. Ορίζουμε αναδρομικά την τάξης παράγουσα της στο 0,1 όπως αποτυπώνεται ακολούθως, () = () με () = (). Τότε η είναι μηδενική στο 0,1 αν και μόνο αν για κάθε 0,1 υπάρχει () N έτσι ώστε () () = 0. Απόδειξη-Το ευθύ πρόβλημα είναι άμεσο. Αντίστροφα έστω ότι για κάθε 0,1 υπάρχει () N με () () = 0. Εφόσον η είναι διαφορίσιμη και άρα συνεχής, τότε το (0) είναι κλειστό για κάθε N. Από την υπόθεση προκύπτει άμεσα ότι (0) = 0,1. Λόγω της συνέχειας της, αρκεί να δείξουμε ότι η είναι μηδενική στο (0,1). Έστω ότι υπάρχει (0,1) ώστε () 0. Από υπόθεση υπάρχει () N έτσι ώστε () (0). Αν () (0) τότε υπάρχει > 0 έτσι ώστε, + (0). Με διαδοχικές παραγωγίσεις προκύπτει ότι το () = 0 για κάθε (), +. Άτοπο. Άρα το () (0). Δηλαδή (0) N N. Εφόσον έχουμε υποθέσει ότι () 0 και επειδή η είναι συνεχής, από τον ορισμό της συνέχειας, θα υπάρχει ανοικτό διάστημα (, + ) (0,1) έτσι ώστε η να είναι διάφορη του μηδενός. Από τα προαναφερόμενα το ανοικτό διάστημα θα περιέχεται στο (0) N. Από προηγούμενη πρόταση έχουμε ότι το (0) είναι αραιό υποσύνολο του 0,1 ως σύνορο του κλειστού συνόλου (0), για κάθε N. Από προηγούμενη πρόταση, εφόσον τα (0) N είναι αραιά υποσύνολα του 0,1, προκύπτει ότι (0) =. Άτοπο. N Θεώρημα-Για κάθε φυσικό αριθμό n, στον μετρικό χώρο (0,1, ) υπάρχει ένα πουθενά πυκνό κλειστό υποσύνολο του, το οποίο έχει μέτρο Lebesgue 1 1. Αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη ενός υποσυνόλου του 0,1, το οποίο είναι Πρώτης Κατηγορίας και έχει Lebesgue μέτρο 1. Απόδειξη-(i) Το πρώτο μέρος του Θεωρήματος θα δειχθεί γενικότερα για 0 < < 1. Κατασκευάζουμε μία φθίνουσα ακολουθία κλειστών συνόλων παρόμοια με αυτή του συνόλου Cantor, μόνο που τώρα στο 1ο βήμα της κατασκευής δεν αφαιρούμε από το 30

Β = 0,1 το ανοικτό διάστημα,, αλλά το ανοικτό διάστημα, =, + μήκους /3 του οποίου το μέσο είναι το. Συνεπώς προκύπτουν τα κλειστά διαστήματα, = 0, και Θέτουμε Β =,,. Το μέτρο Lebesgue του Β είναι,, = +, 1. (Β ) = 0, + +, 1 = + = 1. Στο 2ο βήμα αφαιρούμε τα ανοικτά διαστήματα, =, +, = 1 + +, 1 + + + μήκους /3 των οποίων τα μέσα ταυτίζονται με αυτά των διαστημάτων,,,. Συνεπώς προκύπτουν τα ακόλουθα κλειστά διαστήματα,, = 0, 1, = 1 +, 1, = +, + 1 +, = + 1 + +, 1 με Β =,,,,. Το αντίστοιχο μέτρο Lebesgue του Β είναι, (Β ) =,,,, =, +, +, +, = 4 1 = 1 1 + Στο 3ο βήμα αφαιρούμε τα ανοικτά διαστήματα, =,, = + +, = 1 + 1 +, = 1 + 1 + 1 + + +, + + + + +, 1 + 1 + + + +, 1 + 1 + 1 + + + μήκους /3 των οποίων τα μέσα ταυτίζονται με αυτά των διαστημάτων,,,,,,,. 31

Συνεπώς προκύπτουν τα ακόλουθα κλειστά διαστήματα,, = 0,, = +, 1, = 1 +, + +, = + + +, 1, = +, 1 + 1 + + +, = 1 + 1 + + + +, + 1 +, = + 1 + +, 1 + 1 + 1 + +, = 1 + 1 + 1 + + +, 1 με Β =,,,,,,,,. Το αντίστοιχο μέτρο Lebesgue του Β είναι, (Β ) =,,,,,,,, =, +, +, +, +, +, +, +, = 8 1 = 1 1 + + Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία μέχρι το n-1-οστό βήμα. Από τα κλειστά διαστήματα, του σύνολο Β =, αφαιρούμε τα ανοικτά διαστήματα,, με 1 2, τα οποία έχουν μήκος /3 και το ίδιο μέσο με τα αντίστοιχα,. κλειστά διαστήματα. Για κάθε 1 2 από το διάστημα, προκύπτουν τα κλειστά διαστήματα, και,. Το, έχει το ίδιο αριστερό άκρο με το, και το, έχει το ίδιο δεξιο άκρο με το,. Συνεπώς προκύπτει το ακόλουθο σύνολο κλειστών και ξένων ανά δύο διαστημάτων,. Το μέτρο Lebesgue του,,για κάθε 1 2, είναι, = 1 2 1 3 1 + 2 3 + 2 3 + + 2 3 = 1 2 2 + 3 Το σύνολο Β =,,, προκύπτει από το Β αν αφαιρέσουμε από το τελευταίο τα 2 το πλήθος ανοικτά και ξένα ανά δύο διαστήματα,, μήκους. Το μέτρο Lebesgue των, είναι 32

(0,1\Β ) =, = 2 3 = 2 2 3 Τα αντίστοιχα κλειστά και ξένα ανά δύο διαστήματα, έχουν μέτρο Lebesgue Θέτουμε C = συνεπάγεται ότι, (Β ) =, = 2 1 2 2 + 3 = 1 + 2 3 N Β. Εφόσον η Β N είναι φθίνουσα και (0,1) = 1 < Β N = lim (Β ) = 1. Συνεπώς το μέτρο Lebesgue του συμπληρώματος του είναι, = 1 (1 ) = (0,1) Β = 0,1\ Β =, N =, N = 2 2 3 N Το C είναι πουθενά πυκνό, δηλαδή το C =. N N Πράγματι έστω ότι υπάρχει ανοικτό διάστημα (, ) C, όπου >. Tότε από κατασκευή υπάρχει φθίνουσα ακολουθία,() N έτσι ώστε (, ) N,(). Συνεπώς 0 (, ) N,() = lim,() = lim + = 0. Άρα = (, ) = 0. Άτοπο. Από τα προαναφερόμενα προκύπτει ότι για κάθε 0 < < 1 υπάρχει ένα πουθενά πυκνό κλειστό σύνολο C υποσύνολο του 0,1, το οποίο έχει μέτρο Lebesgue 1. (ii) Από το (i) έχουμε ότι υπάρχει ακολουθία N πουθενά πυκνών και κλειστών υποσυνόλων του (0,1, ), με μέτρο Lebesgue ( ) = 1. Συνεπώς ισχύει ότι το = και άρα 0,1\ = 0,1 για κάθε N. Εφόσον (0,1\ ) =, συνεπάγεται ότι το (0,1\ ) = 1. Πράγματι άμεσα προκύπτει ότι (0,1\ ) + ( ) = ( 0,1\ ) = (0,1) = 1. Δηλαδή (0,1\ ) + 1 = 1 αν και μόνο αν (0,1\ ) = 1 για κάθε N. Ορίζουμε =. Το είναι κλειστό για κάθε N ως πεπερασμένη ένωση των κλειστών υποσυνόλων. Είναι άμεσο ότι N = N. 33

Πράγματι έστω N τότε υπάρχει N έτσι ώστε. Δηλαδή. Άρα N N. Αντίστροφα έστω N. Τότε υπάρχει N έτσι ώστε. Άρα. Δηλαδή N N. Αν δείξουμε ότι το είναι πουθενά πυκνό σύνολο για κάθε N, τότε το σύνολο θα είναι Πρώτης Κατηγορίας. N Από τα προαναφερόμενα για κάθε N το 0,1\ είναι ανοικτό και πυκνό στο (0,1, ). Συνεπώς από το θεώρημα Κατηγορίας του Baire το σύνολο 0,1\ = 0,1\ είναι ανοικτό και πυκνό υποσύνολο στο (0,1, ) για κάθε N. Δηλαδή ισχύει ότι =. Άρα το είναι πουθενά πυκνό σύνολο για κάθε N. Θα δείξουμε ότι το ( N ) = 1. Θέτουμε = 0,1\, = 0,1\ 0,1\,, = 0,1\,. Από το θεώρημα Κατηγορίας του Baire το σύνολο N 0,1\ είναι πυκνό στο (0,1, ). Συνεπώς η N0,1\. Εφόσον η ( ) N είναι φθίνουσα και ( ) = (0,1) = 1 <, συνεπάγεται ότι το ( N Συνεπώς 0 ( ) = ( ). Αλλά ( ) (0,1\ ) = 1 για κάθε N. N ) 1 = 0. Άρα ( N ) = 0. Είναι άμεσο ότι ισχύει 0,1 = N 0,1\ N = N N και N N =. Συνεπώς προκύπτει ότι το ( N ) + ( N ) = ( N N ) = (0,1) = 1. Εφόσον το ( N ) = 0, έχουμε ότι ( N ) = 1. Θεώρημα-Έστω (R, ) (R, ) συνεχής συνάρτηση, έτσι ώστε για κάθε R να ισχύει ότι () = 0. Τότε () = 0.. Απόδειξη-Έστω > 0, τότε για κάθε N θέτουμε = R () 2 Από την υπόθεση το είναι κλειστό για κάθε N. Πράγματι, εφόσον η είναι συνεχής, το 2, 2 είναι κλειστό και άρα και το 2, ε 2 είναι κλειστό για κάθε N. Συνεπώς το = R 2, 2 είναι κλειστό ως τομή κλειστών. Επίσης από την υπόθεση ισχύει ότι R = N. Πράγματι έστω R τότε για > 0 υπάρχει (, ) N έτσι ώστε για κάθε (, ) η () < ε 2. Δηλαδή (,). Άρα R N. Συνεπώς R = N. Εφόσον ο (R, ) είναι πλήρης, από το θεώρημα Κατηγορίας του Baire υπάρχει N έτσι ώστε. Δηλαδή υπάρχει (, ). Συνεπώς για κάθε (, ) και για κάθε ισχύει ότι η () ε 2. Δηλαδή (, ) R () ε 2. 34

1) Υποθέτουμε ότι 0 < <. Οι άλλες περιπτώσεις προκύπτουν με παρόμοιους τρόπους. Είναι άμεσο ότι για >, + 1), (M + + 1) για κάθε N. Πράγματι αν Μ τότε >, με Μ N, ισχύει ότι (M + ), (M + ) (M + αν και μόνο αν ( ) > αν και μόνο αν > (1 + ) >. Δηλαδή (, ) ( + 1), ( + 1). Από τα προαναφερόμενα ισχύει ότι (Μ, ) = (, ). 1 ος τρόπος. Έστω (Μ, ) και θέτουμε = Μ 1 < ( + 1). Τότε είτε = είτε <. Όπως έχει ήδη αποδειχθεί ισχύει ότι (1 + ) > > (1 + ). Συνεπώς το (1 + ), (1 + ). Δηλαδή το (, ). Αντίστροφα έστω (, ), τότε υπάρχει M έτσι ώστε (, ). Δηλαδή ισχύει ότι > > > > Μ. Δηλαδή το (Μ, ). 2 ος τρόπος. Έστω ότι δεν ισχύει η ισότητα, τότε για κάθε M υπάρχει > με (, )\ (, ). Δηλαδή, η ακολουθία συγκλίνει στο, εφόσον η ακολουθία συγκλίνει στο. Έστω M, τότε από τα προαναφερόμενα υπάρχει >. Εφόσον το <, συνεπάγεται ότι υπάρχει, έτσι ώστε < <. Από τα προαναφερόμενα έχουμε ότι Μ και για κάθε ισχύει ότι (, ) (, ). Δηλαδή (, ) = (, ). Άτοπο. Συνοψίζοντας ισχύει ότι, (Μ, ) = (, ) (, ) R () ε 2. Δηλαδή για > 0 υπάρχει Μ > 0 έτσι ώστε για κάθε > Μ η () <. 2) Για την περίπτωση που < 0 <, είναι άμεσο ότι για κάθε N ισχύει ότι (, ) ( + 1), ( + 1). Συνεπώς προκύπτει άμεσα ότι R = (, ) R () ε 2. Δηλαδή αν > 0 για κάθε R η () <. 3)Τέλος για την περίπτωση που < < 0, είναι άμεσο ότι για >, Μ N, ισχύει ότι (M + ), (M + ) (M + + 1), (M + + 1) για κάθε N. Πράγματι αν Μ τότε, με αν και μόνο αν ( ) < αν και μόνο αν (1 + ) < < (1 + ) <. Δηλαδή (, ) ( + 1), ( + 1). Από τα προαναφερόμενα ισχύει ότι (, Μ) = (, ). Έστω (, Μ) και θέτουμε = Μ 1 > ( + 1). Τότε είτε = είτε >. Όπως έχει ήδη αποδειχθεί ισχύει ότι (1 + ) < < (1 + ). Συνεπώς το (1 + ), (1 + ). Δηλαδή το (, ). 35

Αντίστροφα έστω (, ), τότε υπάρχει M έτσι ώστε (, ). Δηλαδή ισχύει ότι < < < < Μ. Συνεπώς το (, Μ). Συνοψίζοντας ισχύει ότι, (, Μ) = (, ) (, ) = R () ε 2. Δηλαδή για > 0 υπάρχει Μ < 0 έτσι ώστε για κάθε < Μ η () <. Συνεπώς για την περίπτωση που θέλουμε να δείξουμε ότι το () = 0 εφαρμόζουμε το θεώρημα του Baire στον χώρο (0,+ ), ) με = 0,+ ) () 2 για κάθε N. Για την περίπτωση που θέλουμε να δείξουμε ότι το () = 0 εφαρμόζουμε το θεώρημα του Baire στον χώρο (,0, με = (,0 () 2 για κάθε N. Θεώρημα-Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση R R ώστε (Q) R\Q και (R\Q) Q. Απόδειξη-Προς απαγωγή σε άτοπο θεωρούμε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση R R που να πληρή τις υποθέσεις της εκφώνησης. Εφόσον η απεικόνιση R R είναι συνάρτηση το υποσύνολο (Q) είναι αριθμήσιμο και δεδομένου ότι το (R\Q) Q και το υποσύνολο (R\Q) είναι αριθμήσιμο. Τέλος επειδή Q (R\Q) = συνεπάγεται ότι (Q) (R\Q) =. Είναι άμεσο ότι (R) = (Q) (R\Q) και επίσης είναι προφανές ότι το (R) = R. Από τα προαναφερόμενα προκύπτει ότι το (R) είναι αριθμήσιμο και κατεπέκταση ισχύουν τα ακόλουθα R = (R) = (R) (). Εφόσον ο (R, ) είναι πλήρης και το είναι κλειστό για κάθε (R), τότε από το θεώρημα κατηγορίας του Baire υπάρχει έτσι ώστε ( ). Αυτό συνεπάγεται ότι υπάρχει ανοικτό διάστημα (, ) ( ) με <. Συνεπώς ισχύει ότι (, ) ( ). Αλλά υπάρχει (, ) Q και (, ) R\Q. Δηλαδή (), (). Όμως () () διότι () (Q), () (R\Q) και (Q) (R\ Q) =. Άτοπο. Θεώρημα- Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και (Χ, ) (Q, ) συνεχής συνάρτηση. Τότε υπάρχει μη κενό ανοικτό υποσύνολο Α Χ, ώστε ο περιορισμός της στο Α να είναι σταθερή συνάρτηση. Απόδειξη-Θέτουμε Q = N. Συνεπώς ισχύει ότι X = x X () Q = (Q) = ( ). N 36