Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1
Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage αληί on ή off Τν byte είλαη κία αθνινπζία από 8 bits. Τν byte είλαη ε κηθξόηεξε δπλαηή κνλάδα απνζήθεπζεο ζηε κλήκε ζηελ νπνία κπνξεί λα ηεο δνζεί δηεύζπλζε. 2
Ειζαγωγή Η ιέμε word είλαη κηα γεηηληάδνπζα νκάδα από bytes. Οη ιέμεηο words κπνξεί λα είλαη νπνηνζδήπνηε αξηζκόο από bits ή bytes. 16, 32, ή 64 bits είλαη νη πνηό θνηλέο ιέμεηο. Μία νκάδα από 4 bits θαιείηαη nibble. Άξα ηα Bytes, απνηεινύληαη από 2 nibbles: a highorder nibble, and a low-order nibble. 3
Σσζηήμαηα Αρίθμηζης Τα Bytes απνζεθεύνπλ αξηζκνύο όπνπ ε ζέζε θάζε bit αληηπξνζσπεύεη δύλακε ηνπ 2. Τν δπαδηθό ζύζηεκα θαιείηαη ζύζηεκα κε βάζε-2 Τν δεθαδηθό ζύζηεκα θαιείηαη ζύζηεκα κε βάζε-10 Χξεζηκνπνηεί δπλάκεηο ηνπ 10 γηα θάζε ζέζε αξηζκνύ Οπνηνζδήπνηε αθέξαηνο κπνξεί λα εθθξαζηεί αθξηβέζηαηα ρξεζηκνπνηώληαο νπνηαδήπνηε βάζε (ή radix). 4
Σσζηήμαηα Αρίθμηζης Ο δεθαδηθόο αξηζκόο 947 ζε δπλάκεηο ηνπ 10 είλαη: 9 10 2 + 4 10 1 + 7 10 0 Ο δεθαδηθόο αξηζκόο 5836.47 ζε δπλάκεηο ηνπ 10 είλαη: 5 10 3 + 8 10 2 + 3 10 1 + 6 10 0 + 4 10-1 + 7 10-2 5
Σσζηήμαηα Αρίθμηζης Ο δπαδηθόο αξηζκόο 11001 ζε δπλάκεηο ηνπ 2 είλαη: 1 2 4 + 1 2 3 + 0 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25 6
Μεηαηροπές από ηο δεκαδικό ζηο δσαδικό ζύζηημα Μεηαηρέψηε ηον δεκαδικό 190 ζε βάζη 3. Γλσξίδνπκε όηη 3 5 = 243 άξα ν αξηζκόο καο ζα έρεη ιηγόηεξα από 6 ςεθία. Η κεγαιύηεξε δύλακε ηνπ 3 πνπ ρξεηαδόκαζηε είλαη 3 4 = 81, θαη 81 2 = 162. Γξάθνπκε ην 2, αθαηξνύκε ην 162 από ην 190, ιακβάλνληαο 28, θ.ν.θ. 7
Μεηαηροπές από ηο δεκαδικό ζηο δσαδικό ζύζηημα Μεηαηρέπονηας ηο 190 ζε βάζη 3... Σπλερίδνπκε κέρξη ην πειίθν λα είλαη 0. Σηνλ ηειηθό ππνινγηζκό, ην 3 δηαηξεί ην 2, θακία θνξά κε ππόινηπν 2. Τν απνηέιεζκα, δηαβάδνληάο ην από θάησ πξνο ηα πάλσ: 190 10 = 21001 3 8
Μεηαηροπές από ηο δεκαδικό ζηο δσαδικό ζύζηημα Τν 16-δηθό ζύζηεκα ρξεζηκνπνηεί αξηζκνύο από ην 0 έσο ην 9 θαη γξάκκαηα από ην A έσο ην F. Ο δεθαδηθόο 12 είλαη ν C 16. Ο δεθαδηθόο 26 είλαη ν 1A 16. Εύθνια κεηαηξέπνπκε 16-δηθό ζε 2-δηθό, επεηδή 16 = 2 4. Άξα, γηα λα κεηαηξέςνπκε από ην 2-δηθό ζην 16- δηθό, αξθεί λα νκαδνπνηήζνπκε ηα bits ζε νκάδεο ησλ 4. Η ομάδα 4 bits καλείται hextet 9
Μεηαηροπές από ηο δεκαδικό ζηο δσαδικό ζύζηημα Φξεζηκνπνηώληαο hextets, ν δπαδηθόο 11010100011011 2 (= 13595 10 ) ζην 16-δηθό: Οη ηηκέο ζην 8-δηθό απνξξένπλ από ηνλ δπαδηθό ζε νκάδεο ησλ 3 bits (8 = 2 3 ): 10
Παράζηαζη Mέηροσ (Signed Integer Representation) Οη κεηαηξνπέο πνπ είδακε κέρξη ηώξα αθνξνύζαλ ζεηηθνύο αξηζκνύο. Γηα λα αλαπαξαζηήζνπκε αξλεηηθνύο αξηζκνύο ηα ππνινγηζηηθά ζπζηήκαηα θαζνξίδνπλ ην high-order bit γηα ην πξόζεκν. Tν high-order bit είλαη ην αξηζηεξόηεξν bit ζε έλα byte. Καιείηαη επίζεο Μost Significant Bit (MSB). Tα ππόινηπα bits εθθξάδνπλ ην κέηξν ηνπ αξηζκνύ. 11
Παράζηαζη Mέηροσ (Signed Integer Representation) Υπάξρνπλ 3 ηξόπνη γηα λα παξαζηαζεί έλαο αθέξαηνο αξηζκόο : Παξάζηαζε κέηξνπ, Παξάζηαζε Σπκπιεξώκαηνο σο πξνο 1, Παξάζηαζε Σπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2. Σε 8-bit αξηζκό, ην κέηξν ηνπ αξηζκνύ είλαη ηα 7 bits ζηα δεμηά από ην bit πνπ θαζνξίδεη ην πξόζεκν. 12
Παράζηαζη Mέηροσ (Signed Integer Representation) Παξάδεηγκα, ζε 8-bit αξηζκό παξάζηαζεο κέηξνπ, ν ζεηηθόο αξηζκόο 3 είλαη:00000011 Ο αξλεηηθόο αξηζκόο 3 είλαη: 10000011 13
Παράζηαζη Mέηροσ (Signed Integer Representation) Η παξάζηαζε κέηξνπ είλαη εύθνιε ζηελ θαηαλόεζε ηεο από ηνπο αλζξώπνπο αιιά απαηηεί ζύλζεηα ειεθηξνληθά θπθιώκαηα. Άιιν έλα κεηνλέθηεκα είλαη όηη επηηξέπεη δύν δηαθνξεηηθέο απεηθνλίζεηο γηα ην 0: ζεηηθό θαη αξλεηηθό 0. Γη απηνύο ηνπο βαζηθνύο ιόγνπο γηα ηελ απεηθόληζε αξηζκώλ ηα ππνινγηζηηθά ζπζηήκαηα εθάξκνζαλ ηα ζπκπιεξώκαηα. 14
Παράζηαζη Mέηροσ (Signed Integer Representation) Σε 8-bit ζπκπιεξ. σο πξνο 1, ν ζεηηθόο αξηζκόο 3 είλαη: 00000011 Ελώ ν αξλεηηθόο 3 είλαη: 11111100 Τα θπθιώκαηα ζπκπιεξώκαηνο είλαη επσθειή θαζώο εθκεδελίδνπλ ηελ απαίηεζε εγθαηάζηαζεο εηδηθώλ θαη ζύλζεησλ θπθισκάησλ πνπ ρξεζηκνπνηεί ε αθαίξεζε. 15
Παράζηαζη Mέηροσ (Signed Integer Representation) Η κέζνδνο παξάζηαζεο ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 1 είλαη πην απιή ζηελ εθαξκνγή ηεο από ηελ παξάζηαζε Μέηξνπ Παξόια απηά δελ απνθιείεη ηελ απεηθόληζε δύν αξηζκώλ γηα ην 0 Τν Σπκπιήξσκα σο πξνο 2 επηιύεη ην αλσηέξσ πξόβιεκα 16
Παράζηαζη Mέηροσ (Signed Integer Representation) Απεηθόληζε Σπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2: Εάλ ν αξηζκόο είλαη ζεηηθόο, ηόηε απεηθνλίδεηαη σο έρεη, Εάλ ν αξηζκόο είλαη αξλεηηθόο, βξίζθνπκε ην ζπκπιήξσκά ηνπ σο πξνο 1 θαη πξνζζέηνπκε ζην ηέινο ηε κνλάδα Παξάδεηγκα: Σε 8-bit κε Σπκπιήξσκα σο πξνο 1, ν αξηζκόο 3 είλαη: 00000011 ν Αξλεηηθόο Αξηζκόο 3 κε Σπκπιήξσκα σο πξνο 1 : 11111100 Πξνζζέηνληαο ην 1, παίξλνπκε -3 ζην ζπκπιήξσκα σο πξνο 2 17
Παράζηαζη Mέηροσ (Signed Integer Representation) Ο αξηζκόο 19 ζε παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 1 είλαη : 00010011, Ο -19 ζε παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 1 είλαη : 11101100, θαη ν -19 ζε παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2 είλαη : 11101101. 18