Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O θνηηεηήο ζπκπιεξώλεη ηελ ελόηεηα «Τπνβνιή Εξγαζίαο» απνζηέιιεη ην έληππν ζε δύν κε ζπξξακκέλα αληίγξαθα (ή ειεθηξνληθά ζηνλ Καζεγεηή-ύκβνπιν Ο Καζεγεηήο-ύκβνπινο ζπκπιεξώλεη ηελ ελόηεηα «Αμηνιόγεζε Εξγαζίαο» ζηα δύν αληίγξαθα επηζηξέθεη ην έλα ζην θνηηεηή καδί κε ηα ζρόιηα επί ηεο ΓΕ ελώ θξαηά ην άιιν γηα ην αξρείν ηνπ καδί κε ην γξαπηό ζεκείωκα ηνπ πληνληζηή εάλ έρεη δνζεί παξάηαζε ε πεξίπηωζε ειεθηξνληθήο ππνβνιήο ηνπ παξόληνο εληύπνπ ην όλνκα ηνπ ειεθηξνληθνύ αξρείνπ ζα πξέπεη λα γξάθεηαη ππνρξεωηηθά κε ιαηηληθνύο ραξαθηήξεο λα αθνινπζεί ηελ θωδηθνπνίεζε ηνπ παξαδείγκαηνο: Πρ ην όλνκα ηνπ αξρείνπ γηα ηε ε ΓΕ ηνπ θνηηεηή ΙΩΑΝΝΟΤ ζηελ ΠΛΗ πξέπεη λα γξαθεί: «ioou_ge_plhdoc» ΤΠΟΒΟΛΗ ΔΡΓΑΙΑ Ολνκαηεπώλπκν θνηηεηή Κωδικόρ ΘΔ ΠΛΗ Ολνκαηεπώλπκν Καζεγεηή - Σύκβνπινπ Κωδικόρ Σμήμαηορ Ακ Έηορ α/α ΓΔ - Καηαιεθηηθή εκεξνκελία παξαιαβήο ζύκθσλα κε ην αθ εκεξνιόγην (εκέξα Σξίηε Ζκεξνκελία απνζηνιήο ΓΔ από ηνλ θνηηεηή Δπηζπλάπηεηαη (ζε πεξίπηωζε πνπ έρεη δεηεζεί ε άδεηα παξάηαζεο από ηνλ Σπληνληζηή; // NAI/ΟΧΙ Υπεύθυνη Δήλωση Φοιτητή: Βεβαηώλω όηη είκαη ζπγγξαθέαο απηήο ηεο εξγαζίαο όηη θάζε βνήζεηα ηελ νπνία είρα γηα ηελ πξνεηνηκαζία ηεο είλαη πιήξωο αλαγλωξηζκέλε αλαθέξεηαη ζηελ εξγαζία Επίζεο έρω αλαθέξεη ηηο όπνηεο πεγέο από ηηο νπνίεο έθαλα ρξήζε δεδνκέλωλ ηδεώλ ή ιέμεωλ είηε απηέο αλαθέξνληαη αθξηβώο είηε παξαθξαζκέλεο Επίζεο βεβαηώλω όηη απηή ε εξγαζία πξνεηνηκάζηεθε από εκέλα πξνζωπηθά εηδηθά γηα ηε ζπγθεθξηκέλε Θεκαηηθή Ελόηεηα ΑΞΙΟΛΟΓΗΗ ΔΡΓΑΙΑ Ζκεξνκελία παξαιαβήο ΓΔ από ηνλ θνηηεηή Ζκεξνκελία απνζηνιήο ζρνιίσλ ζηνλ θνηηεηή Βαθμολογία (αξηζκεηηθώο νινγξάθωο Τπογπαθή Τπογπαθή Φοιηηηή Καθηγηηή-ςμβούλος
ΔΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΣΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΟΤΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι (ΘΔ ΠΛΗ ΔΡΓΑΙΑ η Ημεπομηνία Αποζηολήρ ζηοςρ Φοιηηηέρ: 8 Αππιλίος Ημεπομηνία παπάδοζηρ ηηρ Δπγαζίαρ: Μαΐος Πξν ηεο επίιπζεο θάζε άζθεζεο θαιό είλαη λα κειεηώληαη ηα παξαδείγκαηα νη ιπκέλεο αζθήζεηο ησλ ππνδείμεσλ παξαπνκπώλ ζηα ζπγγξάκκαηα ζην βνεζεηηθό πιηθό Οη αζθήζεηο ηεο έθηεο εξγαζίαο αλαθέξνληαη ζηηο Δνόηηηα (Δθαξκνγέο ησλ νινθιεξσκάησλ Δνόηηηα : (Σεηξέο Fouie ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ ΔΑΠ «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» ηνπ Γεσξ Γάζηνπ Γηα ηελ αλόεζε ηεο ύιεο απηήο ζπκβνπιεπζείηε επίζεο ην βνεζεηηθό πιηθό ην νπνίν ππάξρεη ζηε http://eduepg/pli/pli/studetshtm σο εμήο: πλνδεπηηθό Δθπαηδεπηηθό Τιηθό: Λογιζμόρ Οινθιεξώκαηα Σεηξέο Fouie Δπί πιένλ ε εξγαζία απηή βαζίδεηαη ζε κηα επαλάιεςε ησλ βαζηθώλ ελλνηώλ ηνπ καζήκαηνο ηηο νπνίεο πξέπεη λα γλσξίδεηε ώζηε λα πξνεηνηκαζζείηε γηα ηηο Γξαπηέο Δμεηάζεηο Τκήκα ηεο πξώηεο άζθεζεο αλαθέξεηαη ζηηο εθαξκνγέο ησλ νινθιεξσκάησλ ε δεύηεξε άζθεζε αλαθέξεηαη ζηηο ζεηξέο Fouie Με ην θεθάιαην απηό θαιύπηεηαη ε ύιε ηεο ΠΛΖ Οη ππόινηπεο αζθήζεηο είλαη επαλαιεπηηθέο ζηελ ύιε ηεο Γξακκηθήο Άιγεβξαο ηνπ Λνγηζκνύ κίαο κεηαβιεηήο ησλ Πηζαλνηήησλ
Άζκηζη ( μον (Γηα ην εξώηεκα (α ζπκβνπιεπζείηε ηα εδάθηα γηα ην (β ην εδάθην ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ ΔΑΠ «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» θαζώο ην Οινθιεξώκαηα Η ηνπ ΣΔΥ Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο: f ( R g ( 7 α ( μον Να ππνινγίζεηε ηνλ όγθν ην εκβαδόλ ηεο (παξάπιεπξεο επηθάλεηαο ηνπ ζηεξενύ πνπ παξάγεηαη από ηελ πεξηζηξνθή ηνπ γξαθήκαηνο ηεο g γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ γηα β ( μον Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο ηεο f θαζώο ηελ κέγηζηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο γ ( μον Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηα γξαθήκαηα ησλ ζπλαξηήζεσλ f g ηηο αθόξπθεο επζείεο = = Τπόδειξη: Πξνθεηκέλνπ λα ζπγθξίλεηε ηηο ζπλαξηήζεηο f g ζην δηάζηεκα [] ρξεζηκνπνηήζηε ην εξώηεκα (β δ ( μον Υπνινγίζηε ηε ζπλάξηεζε h( f ( d b 7 ε ( μον Να δείμεηε όηη γηα θάζε br έρνπκε: l b 7 Τπόδειξη: Φξεζηκνπνηήζηε ηε ζπλάξηεζε ηνπ εξσηήκαηνο (δ ην Θεώξεκα κέζεο ηηκήο ην εξώηεκα (β Λύζη α Σύκθσλα κε ηνπο ηύπνπο ( (8 ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ ΔΑΠ «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» ν δεηνύκελνο όγθνο V ην δεηνύκελν εκβαδόλ E ππνινγίδνληαη σο εμήο: V g( d d [ ] S g( g' ( d ( d ( d d Σην ηειεπηαίν νινθιήξσκα εθαξκόδνπκε ηελ αληηάζηαζε αληίζηνηρν αόξηζην νινθήξσκα γίλεηαη d udu u c ( c Σπλεπώο έρνπκε: E d ( β Υπνινγίδνπκε ηελ παξάγσγν ηεο f : 9 / u du d νπόηε ην / 7
( '( 7 ( 7' ( 7 (8 f '( ( 7 ( 7 ( 7 (9 ( ( ( 7 Παξαηεξνύκε όηη f '( ζηα δηαζηήκαηα ( ( f '( ζηα δηαζηήκαηα ( (+ (ην άξα πνπ είλαη ξίδα ηεο παξαγώγνπ δελ επεξεάδεη ηελ κνλνηνλία Σπλεπώο ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην δηάζηεκα ( γλεζίσο θζίλνπζα ζε θαζέλα από ηα δηαζηήκαηα ( ( Δπίζεο έρνπκε: lim f ( lim lim f ( γηα f ( γηα 7 7 ( ( f ( Άξα ε κέγηζηε ηηκή ηεο f είλαη γηα = ίζε κε ίζε κε f ( 7 Σπκπεξαίλνπκε άξα όηη γηα θάζε R f ( ε ειάρηζηε ηηκή γηα = 7 f ( γ Από ην εξώηεκα (β ζπκπεξαίλνπκε όηη γηα θάζε έρνπκε g( f ( άξα ην γξάθεκα ηεο g ζην δηάζηεκα [] βξίζθεηαη πάλσ από απηό ηεο f Τν δεηνύκελν εκβαδόλ άξα είλαη E ( g( f ( d ( d d d 7 7 Τν πξώην νινθιήξσκα ππνινγίδεηαη εύθνια είλαη / d ( Σην δεύηεξν εθηεινύκε ηελ αληηάζηαζε 7 du u d l u c l 7 d l( 7 Σπλεπώο E ( δ 7 l 7 7 l 8 877 u 7 du d έρνπκε c l 8 άξα l 8 8 l ( 7' d( 7 ( ( l( 7 h f d d d C 7 7 7 7 7
ε Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο h( l( 7 C R Έρνπκε ( 7' h'( C ' f ( ( 7 7 άξα από ην εξώηεκα (β ζπκπεξαίλνπκε όηη h '( γηα θάζε R Αλ ηώξα br ηόηε από ην ζεώξεκα κέζεο ηηκήο έπεηαη όηη ππάξρεη c κεηαμύ ησλ b ηέηνην ώζηε h( b h( h'( c( b Άξα h( b h( h'( c b b Παξαηεξώληαο ηώξα όηη δεηνύκελν b 7 h ( b h( l( b 7 l( 7 l έρνπκε ην 7 Άζκηζη ( μον (Σπκβνπιεπζείηε ηα εδάθηα ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ ΔΑΠ «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» Γίλεηαη ε π-πεξηνδηθή ζπλάξηεζε f κε f ( e γηα α ( μον Διέγρνληαο ηε ζπλέρεηα ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν π λα βξείηε όια ηα ζεκεία ζηα νπνία ε f δελ είλαη ζπλερήο β ( μον Να βξείηε ηε ζεηξά Fouie ηεο f γ ( μον Μειεηώληαο ηελ παξαπάλσ ζεηξά Fouie ζην ζεκείν λα ππνινγίζεηε ην άζξνηζκα Τπόδειξη: Λάβεηε ππ όςε ηε ζρέζε ( ζει 9 ηνπ «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» ζπγγξάκκαηνο ηνπ ΔΑΠ Λύζη α Ζ f είλαη ζπλερήο σο εθζεηηθή ζην αλνηθηό δηάζηεκα (π π άξα αθνύ είλαη ππεξηνδηθή ζε θάζε αλνηθηό δηάζηεκα ηεο κνξθήο ((π (+π Z Γηα ην ζεκείν =π έρνπκε lim f ( lim e e Γηα λα βξνύκε όκσο ην όξην από ηα δεμηά παξαηεξνύκε όηη αλ ηόηε f ( f ( e θαζώο ην π βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα [π π Άξα lim f ( lim e e e e Σπλεπώο ε f είλαη αζπλερήο ζην =π άξα ιόγσ πεξηνδηθόηεηαο ζε όια ηα (+π Z
β Σύκθσλα κε ηνπο ηύπνπο (7-( ζει 9 ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ ΔΑΠ «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» ε ζεηξά Fouie ηεο π-πεξηνδηθήο ζπλάξηεζεο f είλαη ( cos b si όπνπ b f ( d e d f ( cosd f ( si d e e e e cosd si d Τα παξαπάλσ νινθιεξώκαηα κπνξνύλ λα ππνινγηζηνύλ εθαξκόδνληαο παξαγνληηθή νινθιήξσζε ( ζηα δύν σο εμήο: ( e 'cosd [ e cos] e (cos' d e cos e cos( e si d ( ( e e b b ( e 'si d [ e si ] e (si ' d e si e si( e cosd Σπλεπώο ( ( e e b b ( ( e ( e b ( ( e ( e Άξα ε ζεηξά Fouie ηεο f είλαη ε: e e ( (cos si γ Ζ ζπλάξηεζε f είλαη ά ηκήκαηα ζπλερήο ζύκθσλα κε ην εξώηεκα (α επηπιένλ έρεη ζπλερή θξαγκέλε παξάγσγν ζην (π π Σπλεπώο κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ζρέζε ( ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ ΔΑΠ «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» λα ζπκπεξάλνπκε όηη ε ζεηξά Fouie ηεο ζπγθιίλεη γηα =π ζηελ ηηκή
( f ( f ( (lim f ( lim f ( ( e e Θέηνληαο άξα =π ζηε ζεηξά ηνπ εξσηήκαηνο (β βξίζθνπκε e e ( e e (cos si Σπλεπώο αθνύ cos si ( βξίζθνπκε e e e e 777 Άζκηζη ( μον Έζησ ν ηεηξαγσληθόο πίλαθαο A α ( μον Να βξεζνύλ ην ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν νη ηδηνηηκέο ηα ηδηνδηαλύζκαηα ηνπ πίλαθα A β ( μον Δίλαη ν πίλαθαο A δηαγσλνπνηήζηκνο; Δάλ λαη λα βξεζεί έλαο αληηζηξέςηκνο πίλαθαο P ηέηνηνο ώζηε A PDP όπνπ ν D είλαη έλαο δηαγώληνο πίλαθαο Λύζη α Τν ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν ηνπ πίλαθα A δίλεηαη από ηε ζρέζε (αλαπηύζζνληαο ηελ νξίδνπζα σο πξνο ηελ πξώηε ζηήιε: ( det( A I A ( ( ( (( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Οη ηδηνηηκέο ηνπ πίλαθα Α είλαη νη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο A ( Δπνκέλσο είλαη νη εμήο: Γηα λα βξνύκε ηα αληίζηνηρα ηδηνδηαλύζκαηα ζα κειεηήζνπκε ηα ζπζηήκαηα: A i i Έρνπκε: Α Γηα ηελ ηδηνηηκή ην αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα πξνθύπηεη από ηε ιύζε ηνπ παξαθάησ ζπζηήκαηνο:
A R Καηά ζπλέπεηα ην ζύλνιν ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ ηδηνηηκή είλαη ην: V : R \ {} : R \ {} Θεσξνύκε ην δηάλπζκα v από ην ζύλνιν V σο αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα ηεο ηδηνηηκήο Β Γηα ηελ ηδηνηηκή ην αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα πξνθύπηεη από ηε ιύζε ηνπ παξαθάησ ζπζηήκαηνο: A R Καηά ζπλέπεηα ην ζύλνιν ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ ηδηνηηκή είλαη ην: V : R \ {} : R \ {} Θεσξνύκε ην δηάλπζκα v από ην ζύλνιν V σο αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα ηεο ηδηνηηκήο Γ Γηα ηελ ηδηνηηκή ην αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα πξνθύπηεη από ηε ιύζε ηνπ παξαθάησ ζπζηήκαηνο: A R Καηά ζπλέπεηα ην ζύλνιν ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ ηδηνηηκή είλαη ην: V ζύλνιν : R \ {} : \ {} Θεσξνύκε ην δηάλπζκα V σο αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα ηεο ηδηνηηκήο R v από ην β Σύκθσλα κε ηε Βηβιίν ΔΑΠ ζει 8 Παξαηεξήζεηο επεηδή ν πίλαθαο Α έρεη δηαθεθξηκέλεο ηδηνηηκέο είλαη δηαγσλνπνηήζηκνο κε πίλαθα νκνηόηεηαο Ρ ν νπνίνο πξνθύπηεη αλ βάινπκε ηα αληίζηνηρα ηδηνδηαλύζκαηα σο ζηήιεο Έηζη έρνπκε: 7
8 ( v v v P αληίζηνηρν ( dig D Δύθνια επαιεζεύεηαη όηη PDP A Άζκηζη ( μον Έζησ ε γξακκηθή απεηθόληζε R R : f κε πίλαθα αλαπαξάζηαζεο σο πξνο ηελ θαλνληθή βάζε ηνπ R ηνλ A ην δηάλπζκα v R ( Να βξεζεί γηα πνηεο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ ην v αλήθεη ζην Imf Σε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο πνπ απηό ζπκβαίλεη λα βξείηε όια ηα αληίζηνηρα ( R γηα ηα νπνία v ( f Λύζη Ζ ζπλζήθε v ( f είλαη ηζνδύλακε κε ηελ δειαδή κε ην γξακκηθό ζύζηεκα: ( Σπλεπώο ην v αλήθεη ζην Imf αλ κόλν αλ ην παξαπάλσ ζύζηεκα είλαη ζπκβηβαζηό νη δε αληίζηνηρεο ιύζεηο ηνπ απνηεινύλ ηα δεηνύκελα ( R Γεκηνπξγνύκε ηνλ επαπμεκέλν πίλαθα ηνπ ζπζηήκαηνο:
9 ( Ab Από ηνλ παξαπάλσ θιηκαθσηό πίλαθα πξνθύπηνπλ ηα εμήο: Τν ζύζηεκα έρεη κηα αθξηβώο ιύζε αλ δειαδή Τν ζύζηεκα έρεη άπεηξεο ιύζεηο όηαλ δειαδή Τν ζύζηεκα δελ έρεη ιύζε όηαλ δειαδή όηαλ Σπλεπώο ην v αλήθεη ζην Imf αλ κόλν αλ είηε ή Σηελ πξώηε πεξίπησζε πνπ (πεξίπησζε ( ππάξρεη κνλαδηθό ( R κε v ( f βξίζθεηαη σο εμήο: Από ηελ (α έρνπκε ην ζύζηεκα ( ( Με αληηάζηαζε μεθηλώληαο από ην έρνπκε: Άξα ην δεηνύκελν (κνλαδηθό δηάλπζκα είλαη ην ( ( Σηελ δεύηεξε πεξίπησζε πνπ (πεξίπησζε ( ππάξρνπλ άπεηξα ( R κε v ( f βξίζθνληαη σο εμήο: Γηαγξάθνληαο ηελ ηειεπηαία εμίζσζε από ηo ζύζηεκα ( έρνπκε ην ζύζηεκα: ( νπόηε ηα δεηνύκελα (άπεηξα ( είλαη ηα ( ( ( ( R Άζκηζη ( μον α ( μον Να εμεηάζεηε σο πξνο ηε ζύγθιηζε ηηο παξαθάησ ζεηξέο: i ii 7 β ( μον Να ππνινγίζεηε ηα παξαθάησ όξηα
si si i lim ii lim ( Τπόδειξη: Γηα ην βii κπνξείηε είηε λα ρξεζηκνπνηήζεηε ηελ ηαπηόηεηα A B ( A B( A A B AB B ή λα ζέζεηε y λα εθαξκόζεηε θαλόλα L Hospitl Λύζη (! (! α i Δθόζνλ ζα εθαξκόζνπκε ην θξηηήξην ηνπ ιόγνπ γηα!(!!(! Έρνπκε (! (!(! (!!(! ( ( ( ( (! (!(!(! ( ( ( (!(! άξα ( ( ( ( lim lim 7 ( ( ( ( Σπλεπώο ε ζεηξά ζπγθιίλεη ii Θέηνληαο 7 b έρνπκε 7 7 b Θα ζπγθξίλνπκε άξα ηελ ζεηξά κε ηελ c ε νπνία γλσξίδνπκε όηη απνθιίλεη εθαξκόδνληαο ηo γεληθεπκέλν θξηηήξην ζύγθξηζεο ζεηξώλ (βι παξάγξαθν ηνπ θεθαιαίνπ Σεηξέο ηνπ ΣΔΥ Λνγηζκόο ζηηο ζεηξέο κε γεληθνύο όξνπο b c 7 Έρνπκε b c b lim lim Σπλεπώο ε δνζείζα ζεηξά c απνθιίλεη β i ( ορ ηπόπορ Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνλ θαλόλα L Hospitl παξαγσγίδνληαο αξηζκεηή παξνλνκαζηή κέρξη λα θηάζνπκε ζε γλσζηό ή εύθνια ππνινγίζηκν όξην Θέηνληαο άξα f ( f ( si si g( έρνπκε lim f ( lim g( άξα ην lim g( είλαη απξνζδηόξηζηε κνξθή Έρνπκε f '( cos cos g'( lim f '( lim g'( άξα
f '( ην lim είλαη απξνζδηόξηζηε κνξθή f ''( si 8si g''( g'( f ''( άξα ην lim είλαη απξνζδηόξηζηε κνξθή g''( f '''( cos cos g'''( άξα f '''( cos cos lim lim g'''( Σπλεπώο εθαξκόδνληαο ηνλ θαλόλα L Hospitl ηξεηο θνξέο ζπκπεξαίλνπκε όηη ην όξην f ( lim ππάξρεη είλαη ίζν κε g( ( ορ ηπόπορ Φξεζηκνπνηώληαο ηνλ ηύπν ηνπ Tylo γηα ηελ ζπλάξηεζε si έρνπκε ( si (!! ζπκπεξαίλνπκε όηη ( ( ( si si ( (!! άξα si si! si si lim (! ii ( ορ ηπόπορ Θέηνληαο A B έρνπκε άξα lim lim lim ( ( ( A B ( ( A B( A ( A B AB B ( ορ ηπόπορ Τν όξην είλαη απξνζδηόξηζηε κνξθή ( ηελ νπνία κεηαηξέπνπκε ζε σο εμήο:
lim ( lim Σηε ζπλέρεηα εθηεινύκε ηελ αληηάζηαζε y εθαξκόδνπκε ηνλ θαλόλα L Hospitl (ή βξίζθνπκε ηελ παξάγσγν ζην ηεο αληίζηνηρεο ζπλάξηεζεο έρνπκε lim ( lim ( lim y y ( y y ' y lim lim lim y y y / y ( y' ( y y Άζκηζη ( μον α Έλα ζπξηάξη πεξηέρεη έμη δηαθνξεηηθά λνκίζκαηα ηα Ν Ν Ν Ζ πηζαλόηεηα λα εκθαληζηνύλ γξάκκαηα αλ ζηξίςνπκε ην λόκηζκα Ν είλαη ίζε κε (πρ ην λόκηζκα Ν έρεη ζηηο δύν όςεηο θνξώλα ην Ν έρεη ζηηο δύν όςεηο γξάκκαηα θιπ Γηαιέγνπκε ζηελ ηύρε έλα λόκηζκα από ην ζπξηάξη ην ζηξίβνπκε δύν θνξέο Θεσξνύκε σο Α ην ελδερόκελν ζηελ πξώηε ξίςε λα εκθαληζηνύλ γξάκκαηα σο Β ην ελδερόκελν ζηε δεύηεξε ξίςε λα εκθαληζηεί θνξώλα (i ( μον Να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα λα έρνπκε δηαιέμεη ην λόκηζκα Ν (γηα θαζεκία από ηηο ηηκέο εάλ είλαη γλσζηό όηη ζηελ πξώηε ξίςε εκθαλίζηεθαλ γξάκκαηα (ii ( μον Να βξείηε λα ζπγθξίλεηε ηηο πηζαλόηεηεο P(Β Α Ρ(Β Δίλαη ηα ελδερόκελα Α Β αλεμάξηεηα; Μπνξείηε λα εξκελεύζεηε ην απνηέιεζκα; Τπόδειξη: Θεσξείζηε ην ελδερόκελν Δ λα δηαιέμακε ην λόκηζκα Ν = εθαξκόζηε Θεώξεκα Οιηθήο Πηζαλόηεηαο ηνλ ηύπν ηνπ Byes β Ζ πνζόηεηα δηνμεηδίνπ ηνπ άλζξαθα πνπ παξάγεηαη ζε κηα ρεκηθή αληίδξαζε είλαη ηπραία κεηαβιεηή κε ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο: όπνπ br κέζε ηηκή ίζε κε g αλ ( αλ f b i ( μον Να πξνζδηνξίζεηε ηα b ηε δηαζπνξά ηεο παξαπάλσ ηπραίαο κεηαβιεηήο ii ( μον Να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα λα παξήρζεζαλ ην πνιύ g δηνμεηδίνπ ηνπ άλζξαθα αλ είλαη γλσζηό όηη παξήρζεζαλ ηνπιάρηζηνλ g
Λύζη α Έζησ Δ ην ελδερόκελν λα δηαιέμακε ην λόκηζκα Ν = Τα ελδερόκελα Δ Δ απνηεινύλ δηακέξηζε ηνπ δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ρ(Δ =/ επηπιένλ καο δίδεηαη όηη P ( A E Αθνύ ε δεύηεξε ξίςε γίλεηαη κε ην ίδην λόκηζκα ζπκπεξαίλνπκε όηη P ( B E αθνύ από ηε ζηηγκή πνπ έρνπκε δηαιέμεη ην λόκηζκα ηα δύν απνηειέζκαηα ησλ ξίςεσλ είλαη αλεμάξηεηα έρνπκε επίζεο: ( ( P ( A B E (i Δδώ καο δεηείηαη λα βξνύκε ην P( E A Φξεζηκνπνηώληαο ην Θεώξεκα Οιηθήο Πηζαλόηεηαο έρνπκε P (A άξα από ηνλ ηύπν ηνπ Byes P(A E P(E ( P(A E P(E P( E A P(A Έηζη P ( E A (πξνθαλώο αθνύ ήξζαλ γξάκκαηα δελ κπνξεί λα είρακε δηαιέμεη ην λόκηζκα Ν κε ηηο δύν θνξώλεο P ( E A P ( E A (ii Όπσο ζην (α έρνπκε P (B P(B E P(E P ( E A ( P ( E A P ( E A ( ( P (A B P(A B E P(E ( Άξα P(B A P ( B A P(A Παξαηεξνύκε ηώξα όηη P( B A P(B Άξα ηα ελδερόκελα Α Β δελ είλαη αλεμάξηεηα κάιηζηα ε πξαγκαηνπνίεζε ηνπ Α κεηώλεη ηελ πηζαλόηεηα πξαγκαηνπνίεζεο ηνπ Β Απηό ζπκβαίλεη δηόηη ην λα έξζνπλ ζηελ πξώηε ξίςε γξάκκαηα καο δίλεη θάπνηα πιεξνθνξία γηα ην πνην κπνξεί λα είλαη ην λόκηζκα πνπ
επηιέμακε όπσο θαίλεηαη από ηηο δηάθνξεο πηζαλόηεηεο πνπ βξήθακε ζην εξώηεκα (i Πρ απνθιείεηαη λα είλαη ην λόκηζκα Ν κε ζρεηηθά κηθξή πηζαλόηεηα είλαη ην Ν θνθ Σπλεπώο ε δεύηεξε ξίςε ηνπ ηδίνπ λνκίζκαηνο επεξεάδεηαη κάιηζηα πξνο ηελ εύζπλζε λα μαλαέξζνπλ γξάκκαηα δειαδή κεηώλεηαη ε πηζαλόηεηα λα ζπκβεί ην Β β i Έζησ X ε ηπραία κεηαβιεηή πνπ παξηζηάλεη ηελ ελ ιόγσ πνζόηεηα δηνμεηδίνπ ηνπ άλζξαθα Αθνύ ε f είλαη ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο ζα πξέπεη λα έρνπκε f ( R άξα b f ( d άξα f ( d d Τν αληίζηνηρν αόξηζην νινθιήξσκα είλαη b b b d b l b b θαζώο ην lim l lim όηαλ ην b+> ζπκπεξαίλνπκε όηη πξέπεη λα έρνπκε b< άξα Δπίζεο b d lim y b b y lim y b E[ X ] f ( d d b ( y b b άξα όπσο παξαπάλσ ζπκπεξαίλνπκε όηη πξέπεη λα έρνπκε b< Έρνπκε άξα Δπίζεο E [ X ] b d lim y b b y lim y ( b ( b b f ( d d b ( y b b d lim νπόηε V [ X ] E[ X ] E[ X ] ( ii Εεηείηαη ε δεζκεπκέλε πηζαλόηεηα P( X X Έρνπκε P ( X d lim y y y 8 7 P({ X } { X } P( X d 8 Σπλεπώο έρνπκε P({ X } { X } 7/ 7 P( X X PX ( /8 8 y