Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 7 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (004), σελ. 35-4 Η ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΗ l ΑΡΙΣΤΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΜΙΑ ΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΤΙΣ ΕΥΤΕΡΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ Ιωάννης Κ. ηµητρίου Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών, Πανεπιστήµιο Αθηνών ΠΕΡΙΛΗΨΗ Έστωσαν δεδοµένα από µια µονοµεταβλητή διαδικασία που υποδεικνύουν ότι η υποκείµενη συνάρτηση είναι κυρτή / κοίλη, αλλά λόγω σφάλµατος τα δεδοµένα έχουν απολέσει την ιδιότητα αυτή. Θεωρούµε το πρόβληµα υπολογισµού µιας προσαρµογής των δεδοµένων που ελαχιστοποιεί το άθροισµα των απολύτων τιµών των σφαλµάτων υπό τη συνθήκη ότι οι δεύτερες διηρηµένες διαφορές της προσαρµογής αλλάουν πρόσηµο το πολύ µία φορά. Αυτό σηµαίνει ότι η κατά τµήµατα γραµµική παρεµβάλλουσα της προσαρµογής είναι κυρτή / κοίλη. Αποδεικνύοµε ότι υπάρχει µια άριστη προσαρµογή της οποίας ο υπολογισµός µπορεί να αναχθεί στην επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού που ορίονται σε δύο ξένα µεταξύ τους υποσύνολα διαδοχικών δεδοµένων.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παρουσιάοµε έναν υπολογισµό εξοµάλυνσης δεδοµένων που είναι κατάλληλος αν η υποκείµενη συνάρτηση είναι κυρτή / κοίλη και αν τα δεδοµένα περιέχουν έκτοπα σηµεία λόγω σφάλµατος. Μια χρήσιµη ιδιότητα της υποκείµενης συνάρτησης είναι ότι δείχνει αρχικά αύξουσες και κατόπιν φθίνουσες αποδόσεις, γεγονός που αποτελεί τυπικό γνώρισµα πληθώρας διαδικασιών από την οικονοµία, τη φυσιολογία, τη φυσική, τη βιολογία κλπ. Εξαρτώµενη από το περιβάλλον, µια κυρτή / κοίλη συνάρτηση µπορεί να εµφανισθεί µε ονόµατα όπως value curve, utlty fucto, judgmetal probablty dstrbuto, come patter, dstrbuto cost, oxyge dssocato curve, reactor stablty codtos, gray-level or color trasformato fucto, growth model, logstc curve κλπ (βλπ, παραδείγµατος χάριν, Cheroff & Moses 986:Ch.4, Fabrycky, Thuese & Verma 998:Ch.7, Gordao, Wer & Fox 977, Gozalez & Wtz 987, 35
Kafarov 976, Ldley 985:Ch.5, Raffa 970:Ch.7, Vara 99, vo Wterfeldt & Edwards 986:Ch.7,, Watso & Buede 989:Ch.7, West 985). Παραδείγµατος χάριν, έχει υποδειχθεί ότι µια καµπύλη χρησιµότητας είναι κυρτή για µικρά περιουσιακά στοιχεία και κοίλη για µεγαλύτερα (Ldley 985). Στο κυρτό τµήµα αυτής της καµπύλης παρατηρούµε αύξουσα ενώ στο κοίλο φθίνουσα οριακή χρησιµότητα. Η µέθοδος που προτείνοµε παρακάτω κατασκευάει από τα δεδοµένα µια συνάρτηση χρησιµότητας µε την εν λόγω ιδιότητα. Έστω το πλήθος παρατηρήσεων µε τιµές τις { ( x, ϕ ) : =,,..., }, όπου οι τετµηµένες { x : =,,..., } είναι σε αυστηρά αύξουσα διάταξη και οι τεταγµένες { ϕ : =,,..., } είναι µετρήσεις από µια συνάρτηση f (x) επί των x. Υποθέτοµε ότι η f (x) επιτρέπει το πολύ µία αλλαγή προσήµου στη δεύτερη παράγωγό της, αλλά οι µετρήσεις περιέχουν µερικά µεγάλα σφάλµατα. Ως συνέπεια των σφαλµάτων η κυρτή / κοίλη ιδιότητα της (άγνωστης) υποκείµενης συνάρτησης έχει απολεσθεί. Από τις παρατηρήσεις { ϕ : =,,..., } θα υπολογίσοµε αριθµούς { y : =,,..., } ως τιµές της άγνωστης κυρτής / κοίλης συνάρτησης που θα είναι πλησιέστερα από τις παρατηρήσεις στις πραγµατικές αλλά άγνωστες τιµές { f( x ) : =,,..., }. Την έννοια «πλησιέστερα» και τις ιδιότητες κυρτότητας / κοιλότητας που ικανοποιούν οι αριθµοί y τις προσδιορίοµε παρακάτω. Συγκεκριµένα, αντιµετωπίοµε τα δεδοµένα και τις λείες τιµές ως συνιστώσες των -διανυσµάτων ϕ και y, και θεωρούµε το πρόβληµα υπολογισµού του y ελαχιστοποιώντας το άθροισµα των απολύτων τιµών των σφαλµάτων (προσέγγιση µε l orm) φ y = w, φ y (.) = όπου τα βάρη w ικανοποιούν τις σχέσεις w 0, =,,...,, υπό τους περιορισµούς ότι οι δεύτερες διηρηµένες διαφορές των λείων τιµών y y y[ x, x, x+ ] = + ( x x)( x x+ ) ( x x )( x x+ ) (.) y+ +, =,3,...,. x x x x ( )( ) + + αλλάουν πρόσηµο το πολύ µία φορά. Περαιτέρω, χωρίς απώλεια της γενικότητας, µπορούµε να υποθέσοµε τη συνθήκη w = =, διαφορετικά τα βάρη cw δίνουν την ίδια άριστη λύση για κάθε σταθερά c > 0. Καλούµε εφικτό οποιοδήποτε -διάνυσµα που ικανοποιεί τους περιορισµούς και υποθέτοµε, χωρίς απώλεια της γενικότητας, ότι η πρώτη µη µηδενική διαφορά είναι θετική. Αποδεικνύεται εύκολα ότι η κατά τµήµατα γραµµική παρεµβάλλουσα των συνιστωσών ενός εφικτού διανύσµατος είναι µια κυρτή / κοίλη καµπύλη. Επίσης µπορεί να αποδειχθεί ότι αν τα δεδοµένα δεν περιέχουν σφάλµα, τότε ο αριθµός 36
των αλλαγών προσήµου στην ακολουθία { yx [, x, x+ ]: =,3,..., } δεν είναι µεγαλύτερος του αριθµού των αλλαγών προσήµου της f ( x ), x [ x, x ]. Πλέον του σιγµοειδούς σχήµατος στα δεδοµένα που προκαλεί αµέσως την προσοχή του παρατηρητή, αναφέροµε δύο ιδιότητες της τεχνικής παλινδρόµησης που προτείνοµε. Πρώτον, η υπολογιστική διαδικασία είναι προβολή, διότι αν τα δεδοµένα ικανοποιούν τους περιορισµούς τότε τα δεδοµένα παρέχουν τη ητούµενη προσέγγιση. εύτερον, η παλινδρόµηση ορίει µια µη παραµετρική διαδικασία, όπου η απολεσθείσα ιδιότητα επιβάλλεται ως περιορισµός στον υπολογισµό βελτιστοποίησης που αναλαµβάνει τη λείανση των δεδοµένων. Αυτό είναι σε αντιδιαστολή προς οποιαδήποτε παραµετρική τεχνική, όπου ο χρήστης επιλέγει εκ των προτέρων κάποια συνάρτηση, όπως, παραδείγµατος χάριν, µια logstc ή µια καµπύλη sple, και προσπαθεί να υπολογίσει άριστες τιµές για τις εµπλεκόµενες παραµέτρους. Αποδεικνύοµε στην Ενότητα ότι οι συνιστώσες της παλινδρόµησης που δίνουν το κυρτό ή το κοίλο τµήµα της, µπορούν να ληφθούν ανεξάρτητα αλλήλων από την επίλυση ξεχωριστών προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού. Περαιτέρω, δείχνοµε πώς αυτή η ιδιότητα χρησιµοποιείται στην ανάπτυξη ενός αποτελεσµατικού αλγόριθµου για τον υπολογισµό λείων τιµών. Το αντίστοιχο πρόβληµα όπου η (.) αντικαθίσταται από τη sup orm φ y = max φ y, (.3) έχει µελετηθεί από τους Culla ad Powell (98), ενώ το αντίστοιχο πρόβληµα που χρησιµοποιεί το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων, φ y = ( φ y), (.4) = έχει µελετηθεί από τον Demetrou (004). Η ελαχιστοποίηση των εκφράσεων (.), (.3) και (.4) είναι η λύση που δίνει η µέθοδος µέγιστης πιθανοφάνειας σε ανεξάρτητες παρατηρήσεις που τα σφάλµατα ακολουθούν αντίστοιχα τις κατανοµές Laplace, οµοιόµορφη και κανονική. Οι µέθοδοι l γενικώς ταιριάουν σε κατανοµές µε µακρές ουρές, όπως η Cauchy ή η Laplace, και έχουν την αξιοσηµείωτη ιδιότητα ότι αγνοούν τα έκτοπα σηµεία στα δεδοµένα (ανθεκτικότητα). Αυτό συµβαίνει διότι µια l άριστη προσέγγιση y * εξαρτάται * από τα δεδοµένα µέσω των προσήµων των διαφορών ( φ y ), ούτως ώστε αν µια διαφορά υπερβαίνει ένα ποσό, τότε αυτή η διαφορά αγνοείται στον l υπολογισµό (βλπ, παραδείγµατος χάριν, Watso 980).. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Αποδεικνύοµε ένα θεώρηµα χαρακτηρισµού για το πρόβληµα της Ενότητας. Έστω y ( j), j [, ], ένα -διάνυσµα y που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση (.) υπό τους περιορισµούς 37
yx [, x+, x+ ] 0, =,,..., j yx [, x, x ] 0, = j, j,...,. + + (.) Εποµένως, ένα εφικτό διάνυσµα y ικανοποιεί τους περιορισµούς (.), και είναι κοίλο αν έχοµε j= στους περιορισµούς, οπότε αγνοούµε την πρώτη γραµµή της (.), και κυρτό αν έχοµε j=, οπότε αγνοούµε τη δεύτερη γραµµή της (.). Ονοµάοµε έναν ακέραιο [, ] άριστο αν-ν φ y( ) = m φ y( j). (.) j Σ αυτή την περίπτωση είναι και το y ( ) άριστο. Συνήθως αναµένοµε να είναι ο αυστηρά εντός του διαστήµατος [,], οπότε προηγείται του µια περιοχή µε κυρτές τιµές και έπεται αυτού µια περιοχή µε κοίλες τιµές. Έστωσαν µ ( ) και M ( ) ο ελάχιστος και o µέγιστος ακέραιος έτσι ώστε να ισχύει µ ( ) < M( ) και τα σηµεία ( x,y ( )), µ ( ) M( ) να είναι συγγραµµικά. Χωρίς απώλεια της γενικότητας υποθέτοµε ότι µ ( ) > και M ( ) <, διότι διαφορετικά το y( ) εκφυλίεται σε ένα κυρτό ή κοίλο διάστηµα και η ιδιότητα διαχωρισµού είναι τετριµµένη. Τότε το επόµενο λήµµα αποδεικνύει ότι κάθε ακέραιος στο διάστηµα [ µ ( ) +, M ( )] είναι άριστος. Λήµµα Έστω [, ] ακέραιος που ικανοποιεί τη συνθήκη (.) και έστω µ ( ) και M( ) ο ελάχιστος και ο µέγιστος ακέραιος αντίστοιχα στο [, ] τέτοιοι ώστε µ ( ) < M ( ) και y( )[ x j, x j+, x j+ ] = 0, j = µ ( ), µ ( ) +,..., M ( ). Τότε ισχύουν οι εξισώσεις φ y( j) = φ y( ), j = µ ( ) +, µ ( ) +,..., M( ). Απόδειξη Έστω j ένας ακέραιος στο [ µ ( ) +, M ( )]. Τότε το διάνυσµα y( j), ενόψει των ανισοτήτων (.), ικανοποιεί τους ίδιους περιορισµούς µε το y( ). Επειδή το y( j) επιλύει ένα πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού (βλπ στον Wager (959) µια γενική απόδειξη ότι το πρόβληµα της γραµµικής διακριτής l προσέγγισης µπορεί να τυποποιηθεί ως πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού και στον Watso (980) σχετική βιβλιογραφία) και επειδή το y( ) είναι άριστο, έπεται ότι το y( j) είναι επίσης άριστο. Τότε, αµφότερα τα y( j) και y( ) δίνουν την ίδια τιµή στην (.). Η απόδειξη του λήµµατος είναι πλήρης. Έπεται από το Λήµµα και τον ορισµό των y ( ), µ ( ) ad M ( ), ότι ένα άριστο µπορεί να επιλεγεί στο διάστηµα [ µ ( ) +, M( )] έτσι ώστε y( )[ x, x, x+ ] < 0 (.3) ή =. Στη δεύτερη περίπτωση η ητούµενη l άριστη προσέγγιση είναι απλώς κυρτή και ο ισχυρισµός µας για την ιδιότητα του διαχωρισµού είναι αληθής. Στην πρώτη περίπτωση η ανισότητα (.3) εξασφαλίει µια σπουδαία συνθήκη για το 38
Θεώρηµα παρακάτω, η οποία θεµελιώνει το αξιοσηµείωτο αποτέλεσµα ότι σ έναν άριστο ακέραιο και οι δύο περιορισµοί y )[ x, x, x ] 0 ad y )[ x, x, x ] 0 ( ( + µπορούν να αποκλειστούν από τον υπολογισµό που παρέχει το y ( ) χωρίς να αποκλεισθεί η εφικτότητα του y ( ). Θεώρηµα Έστω ένας ακέραιος στο [, ] τέτοιος ώστε το y ( ) ικανοποιεί τη (.) και είτε = είτε η συνθήκη y( )[ x, x, x+ ] < 0 ικανοποιείται. Τότε οι συνιστώσες { y ( ) : =,,..., } επιλύουν το πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού ελαχιστοποίησε την = w φ y υπό yx [, x, x+ ] 0, =,3,...,, (.4) εκτός και αν 3 οπότε δεν υπάρχουν περιορισµοί, και οι συνιστώσες { y ( ) : =, +,..., } επιλύουν το πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού ελαχιστοποίησε την = + w φ y υπό yx [, x, x+ ] 0, = +, +...,, εκτός και αν + οπότε δεν υπάρχουν περιορισµοί. (.5) Απόδειξη Οι περιπτώσεις και = είναι τετριµµένες. Εποµένως υποθέτοµε ότι [ 3, ] και θα καταλήξοµε σε αντίφαση υποθέτοντας ότι το Θεώρηµα δεν ισχύει. Έστω { y : =,,..., } µια λύση του προβλήµατος (.4) και έστω y = y ( ), for = +, +...,. Τότε, το ỹ δίνει την ανισότητα φ y < φ y( ). (.6) Αν το ỹ τυχαίνει να ικανοποιεί τους περιορισµούς, τότε το ỹ αντιφάσκει στην αριστότητα του y ( ). Άρα η ακολουθία { y ( ) : =,,..., } είναι µια λύση του προβλήµατος (.4), και µε ένα παρόµοιο επιχείρηµα η { y ( ): =, +,..., } είναι µια λύση του προβλήµατος (.5). Σ αυτή την περίπτωση η απόδειξη του θεωρήµατος είναι πλήρης. Υποθέτοµε τώρα ότι το ỹ παραβιάει τον ( ) -στό περιορισµό δίνοντας yx [, x, x+ ] > 0. (.7) + ιότι, αν yx [, x, x ] 0, τότε το ỹ θα ήταν εφικτό, ανεξαρτήτως του προσήµου της διαφοράς y [ x, x, x] και ενόψει της (.6) θα έδινε µια καλύτερη προσέγγιση από το y ( ) που είναι αντίφαση. 39
Θεωρούµε το -διάνυσµα gθ ( ) = y ( ) + θy ( y ( )) και τη συνάρτηση φ g( θ), < θ <, όπου θ είναι µια πραγµατική µεταβλητή. Πρόκειται για µια συνεχή, κατά τµήµατα γραµµική συνάρτηση του θ που λαµβάνει το ελάχιστό της όταν θ = 0, διότι το y ( ) είναι άριστο. Αν η θ αυξηθεί από το µηδέν, τότε λόγω των (.3) και (.7), η εφικτότητα του gθ ( ) διατηρείται έως ότου ληφθεί µια τιµή της θ στο διάστηµα (0,), έστω θ o, η οποία ικανοποιεί την εξίσωση gθ ( 0)[ x, x, x+ ] = 0. Απ αυτή την εξίσωση, την κυρτότητα της στάθµης. και την ανισότητα (.6), λαµβάνοµε τις σχέσεις φ g( θ) θ φ y + ( θ) φ y( ) < φ y( ), θ (0, θ ] o, που αναιρούν την αριστότητα του y ( ), άτοπο. Ένα παρόµοιο επιχείρηµα για την ακολουθία { y ( ): =, +,..., } συµπληρώνει την απόδειξη του θεωρήµατος. Το Θεώρηµα αποδεικνύει ότι µια l άριστη κυρτή / κοίλη προσέγγιση συνίσταται από δύο ξεχωριστά τµήµατα: ένα l άριστο κυρτό και ένα l άριστο κοίλο τµήµα. Έπεται ότι αφού προσδιορισθεί µια άριστη τιµή, η άριστη τιµή της συνάρτησης (.) είναι το άθροισµα w φ y α β + = w φ y = = +, (.8) όπου α είναι η ελάχιστη τιµή της στο πρόβληµα (.4) και β + είναι η ελάχιστη τιµή της w φ y = + στο πρόβληµα (.5). Μια µέθοδος υπολογισµού της άριστης προσέγγισης υποδεικνύεται από τον τύπο (.8). Επειδή ο ακέραιος δεν είναι γνωστός εξ αρχής, αναητούµε έναν ακέραιο που ελαχιστοποιεί το άθροισµα α, + β+ Z, (.9) όπου το σύνολο Ζ ορίεται ως εξής. Κατ αρχήν το Ζ περιέχει τους ακέραιους και που επιτρέπουν ένα κοίλο τµήµα στα τελευταία σηµεία και ένα κυρτό τµήµα στα πρώτα σηµεία αντίστοιχα. Θέτοµε το [, ] στο Ζ αν ικανοποιείται το ακόλουθο κριτήριο: Έστωσαν { y : =,,..., } οι συνιστώσες του y που επιλύουν το πρόβληµα (.4) και { y : = +, +,..., } οι υπόλοιπες συνιστώσες του y που επιλύουν το πρόβληµα (.5). Εποµένως α + β + είναι το άθροισµα w φ y =. Τότε περικλείοµε το [, ] στο Ζ αν και µόνον αν η ανισότητα yx [, x +, x + ] < 0 ικανοποιείται, το οποίο επιβεβαιώνει την εφικτότητα του y όπως θα δούµε ακολούθως. Πράγµατι, το γεγονός ότι το συγκεκριµένο κριτήριο αγνοεί το πρόσηµο της διαφοράς yx [, x, x + ] εξηγείται κατά τον εξής τρόπο. Αν yx [, x, x + ] 0, τότε η ακολουθία { y : =,,..., + } είναι κυρτή, ενώ η ακολουθία { y : =, +,..., } είναι κοίλη µε επικάλυψη στο διάστηµα [ x, x + ]. Αν yx [, x, x + ] < 0, τότε η ακολουθία { y : =,,..., } είναι κυρτή, ενώ η ακολουθία 40
{ y : =,,..., } είναι κοίλη µε επικάλυψη στο διάστηµα [ x, x], οπότε ως ορίοµε τον ακέραιο. Παραδείγµατος χάριν, αν = 5, x =, =,,...,5, w =, =,,...,5, και ϕ = 7, ϕ = 4, ϕ 3 = 5, ϕ 4 = 4, ϕ 5 = 5, τότε η επιλογή y = ϕ αποκλείεται από το γεγονός ότι οι διαφορές ϕ [ x, x, x3], ϕ [ x, x3, x4] και ϕ [ x3, x4, x5] εναλλάσσουν τα πρόσηµα. Εποµένως, για την εύρεση ενός άριστου διανύσµατος, εφαρµόοµε την προηγούµενη µέθοδο υπολογίοντας τις συνιστώσες των διανυσµάτων που εµφανίονται στους όρους του αθροίσµατος (.8) για =,,...,5. Για =, έχοµε ως συνιστώσες του y τις {7} και {4,5,5,5}, ως αποτέλεσµα των υπολογισµών των όρων a και β αντίστοιχα, και οι οποίες συνιστούν µια κυρτή / κοίλη προσέγγιση µε w φ y = =. Πράγµατι, επειδή ϕ [ x3, x4, x5] >0, ο περιορισµός yx [ 3, x4, x5] 0 που εµφανίεται στο β πρέπει να ισχύει εξισωτικά, πράγµα που συνεπάγεται τις άριστες τιµές y 3 = y 4 = y 5 = 5, οι οποίες περαιτέρω δίνουν τις ανισότητες yx [, x, x 3] > 0 και yx [, x3, x 4] < 0. Για =, έχοµε πάλι τη λύση που παρέχει η περίπτωση =. Για = 3, οι συνιστώσες του y είναι {7,4,5} και {4,5} ως αποτέλεσµα των υπολογισµών των όρων a 3 και β 4 αντίστοιχα, παρέχοντας y = ϕ. Για = 4, οι συνιστώσες του y είναι {7,4,4,4} και {5} και η (.) έχει την τιµή w φ y = =, όπως µπορεί να δειχθεί µε ανάλογο συλλογισµό προς την περίπτωση =. Τέλος για = 5, έχοµε πάλι τη λύση που παρέχεται όταν = 4. Εποµένως, υπάρχουν δύο άριστες λύσεις που λαµβάνονται για = ή και = 4 ή 5 στην (.8). Είδαµε ότι οι συνιστώσες του διανύσµατος y που ελαχιστοποιεί τη φ y υπό τους περιορισµούς κυρτότητας / κοιλότητας αποτελούνται από τα ξεχωριστά τµήµατα { y : =,,..., } και { y : = +, +,..., } που λαµβάνονται ως λύσεις των προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού (.4) και (.5) αφού πρώτα προσδιορισθεί ένας άριστος ακέραιος. Οι συνιστώσες αυτές πρέπει να ικανοποιούν τη συνθήκη yx [, x +, x + ] < 0, αλλά αυτό δεν γίνεται γνωστό παρά µόνον εφόσον αµφότερες οι παραπάνω ακολουθίες είναι διαθέσιµες. Ένα κρίσιµο γνώρισµα της τεχνικής µας εποµένως είναι το εξής. εν είναι απαραίτητο να αποθηκεύσοµε παρά µόνο τις συνιστώσες { y, y +, y + } εκείνου του διανύσµατος y που λαµβάνεται για την τρέχουσα τιµή του στο [, ] από την επίλυση των προβληµάτων που δίνουν τα α και β +. Προφανώς, µόνον οι τρεις αυτές συνιστώσες είναι απαραίτητες για τον έλεγχο της συνθήκης yx [, x +, x + ] < 0, αλλά αν µια λύση των προβληµάτων (.4) ή (.5) δεν είναι µοναδική, χρειάεται προσοχή ώστε το σύνολο Ζ να µην αποκλείσει κάποιες τιµές κατά την εύρεση του. Συγκεκριµένα, αποθηκεύοµε τα χαµηλότερα y και y +, και το ψηλότερο y + από τις λύσεις των προβληµάτων (.4) και (.5), πράγµα που εξασφαλίει τη συνθήκη εφικτότητας yx [, x +, x + ] < 0. 4
Περιγράψαµε έναν αλγόριθµο ελαχιστοποίησης της φ y υπό µία αλλαγή προσήµου στις δεύτερες διαφορές των λείων τιµών. Ο αλγόριθµος ανάγει τη λύση του προβλήµατος στην επίλυση - δοµηµένων προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού τύπου (.4), αλλά επ αυτών δεν έχοµε αναφερθεί. Το πρόβληµα που παρουσιάσαµε εµφανίεται για πρώτη φορά και ακόµη δεν έχοµε υλοποιήσει τον αλγόριθµο που προτείνοµε. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κριτή για τις εύστοχες παρατηρήσεις του και την υπόδειξη του αριθµητικού παραδείγµατος στο δεύτερο εδάφιο. ABSTRACT We are gve measuremets from a uvarate process, whch suggest that a potetal shape of the uderlyg curve s covex / cocave. Due to ucertaty, the measuremets clude radom errors ad the covex / cocave property has bee lost. We address the problem of makg the least sum of modul chage to the measuremets so that the secod dvded dffereces of the smoothed values chage sg oce, but the sg chage s also a ukow of the optmzato calculato. We prove that the smoothed values cosst of oe best l covex ad oe best l cocave secto that do ot teract wth each other, so they ca be calculated by two depedet lear programmg calculatos. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Cheroff, H. ad L.E. Moses (986): Elemetary Decso Theory. Dover Pub., Ic., NY. Culla, C.P. ad M.J.D. Powell (98): Data smoothg by dvded dffereces. I Numercal Aalyss, Proc. Dudee 98 (G.A. Watso, ed.). LNIM 9, Sprger-Verlag, Berl, 6-37. Demetrou, I.C. (004): Least squares covex - cocave data smoothg. Computatoal Optmzato ad Applcatos, 9, 97-7. Fabrycky, W.J., G.J. Thuese, ad D. Vera (998): Ecoomc Decso Aalyss, 3rd Edto. Pretce Hall, New Jersey. Gordao, F. R., M.D. Wer ad W.P. Fox (997): A Frst Course Mathematcal Modelg. Brooks/Cole Pub. Co., Lodo. Gozalez, R. C. ad P. Wtz (987): Dgtal Image Processg, d Edto. Addso-Wesley Pub. Co, Mass. Kafarov, V. (976): Cyberetc Methods Chemstry ad Chemcal Egeerg. MIR Pub., Moscow. Ldley, D.V. (985): Makg Decsos, d Edto. J. Wley ad Sos, Lodo. Raffa, H. (970): Decso Aalyss, Itroductory Lectures o Choces uder Ucertaty. Addso-Wesley Pub. Co., Massachusetts. Vara, H.R. (99): Mcroecoomc Aalyss. W.W. Norto & Compay, NY. vo Wterfeldt ad W. Edwards (986): Decso Aalyss ad Behavoral Research. Cambrdge Uversty Press, Cambrdge, Eglad. Wager, H.M. (959): Lear programmg techques for regresso aalyss. J. Amer. Stat. Assoc., 54, 06-. Watso, G.A. (980): Approxmato Theory ad Numercal Methods. J. Wley & Sos, Chchester. Watso, S.R. ad D.M. Buede (989): Decso Sythess. The Prcples ad Practces of Decso Aalyss. Cambrdge Uversty Press, Cambrdge, Eglad. West, J.B. (985): Respratory Physology the essetals, 3rd Edto. Wllams & Wlks, Baltmore. 4