Γ Λυκείου. 4 ο ΓΛΧ. M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] και Στοιχεία Στατιστικής 15.07

Γ Λυκείου ο ΓΛΧ 0 06 M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] και Στοιχεία Στατιστικής.07

Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Γενική Παιδεία Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Έκδοση.07 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd Χανιά 0 Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.0 Βρ συναρτήσεων Α) f() log(9 ) Β) Β f() Γ) f Ε) f Ζ) f e.0 Να συναρτήσεω k r.0 Να των: Α) f.0 Να όταν: Α) Β) f.0 Να με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων A) Γ) f.06 Η ρείτε τα πεδία ορισμού των α βρείτε τα πεδία ορισμού των f ων: ln f() α β τα σημεία, και,0. Να βρεθούν οι α, β και να λυθεί η ανίσωση ln α γίνουν οι γραφικές παραστάσεις Γ) f e Ε) s ln α ορίσετε τις συναρτήσειςς f g, f g ln α βρείτε τα κοινά σημεία των αξόνωνν γραφική παράσταση τηςς συνάρτησηςς Δ) f Στ) g Η) f() φ() ln t εφ ημη ημ log( log ) Β) p Δ) g Ζ) g και g, α,β R f() 0 Γ f ² ln f,, και g ημ f B f e ημ, διέρχεται απόό.07 Να βρεθούν β τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και κ g ώστε η C να διέρχεται από το M,.09 Αν f, ναα βρεθεί η απόσταση των σημείων Α,,f() και Β,f( ).0 Αν f. Για μια μ συνάρτηση f ισχύει f f, R να βρείτε τα f f y λ λ και y είναι παράλληλες.08 Αν f Να Ν βρεθεί το πεδίο π ορισμού της f και να αποδείξετε ότι f α α,β D f h e λ f. Για μια μ συνάρτηση f ισχύει f. Να βρείτε β το λ R αν οι ευθείες. Δίνεται η συνάρτ. Nα εξετάσετε ε τηνν μονοτονία των συναρτήσεων f g ln α τότε να βρεθεί το α f f() και κ f f(), 0. Να βρείτε το f ι f β τότε να αποδείξετε ότι τηση α β f για κάθε αβ k, μ 0, f ο f log. >0

Ανάλυση Όρια - Συνέχεια.6 Nα A) Γ).7 Nα Α).8 Nα.9 Nα Α) Γ) π 9 m m συν ημ.0 Nα Α) Γ) 7 6. Nα Α) Γ) 0. Nα Α) Γ) α υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: t t t 6 m Β) t (t )(t ) α υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Α) Β) 6 8 Γ) Δ) α υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 9 α υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Β) 6 α υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Β) α υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 0 ( ) B) 9 7 0 Δ) Β) Δ) Δ) Δ) Β) 6 0 Δ). Nα υπολογίσετε υ τα παρακάτω όρια: Α) Β) 6 Γ) ) 9 Δ). Nα υπολογίσετε υ τα παρακάτω όρια: 7 Α) ² ² Β) 0 ² Γ) ) Ε) ) Γ) ) Α) Γ) ).8 Αν f Α) Α Να βρεθεί β το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 7 Α) Β) 0 7 ² 7 8 7.6 Nα υπολογίσετε υ τα παρακάτω όρια: 0 Α) Β) ( ) 0.7 Nα υπολογίσετε υ τα παρακάτω όρια: 9 9 Δ) Στ) Γ) 6 f() τότε α α Β) ) Να βρεθεί β ο πραγματικός αριθμός α Β) ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο 0 http://users.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Πράγωγος Κανόνες παραγώγισης.9 Ν α βρείτε τις πρώτες παραγώγους τωνν συναρτήσεων: ln A) f B) f Δ) ln f ημ συν Στ) f Η) f.0 Να e α συναρτήσεων: Α) f Γ) f Ε) f Στ) α f, α R ` e. Να συναρτήσεων: e A) f e Γ) f Ε) f Ζ) f. Να ln(² e) ημ συν Στ) f ημ συν συναρτήσεων: Α) f ημ συν Β) f Δ) f ln e. Να συναρτήσεω ημ e ημ, α R Θ) f α βρείτε τις πρώτες παραγώγους των α βρείτε τις πρώτες παραγώγους των α βρείτε τις πρώτες παραγώγους των e α βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των ων f Γ) f Ε) f Ζ) f Β) f ημσυνθ, θ R Δ) f( () e ημθ, R Γ) f Ε) f Ζ) f B) f Δ) f Η) f ln ημ συν ln και g() ) ln(ημ) ln ημ εφ e e εφ e συνν lnln e συναρτήσεις στο σ R και ισχύει: R, να αποδείξετε ότι f g () g g() g R A) Nα αποδείξετε α ότι f () f( ) B) Λύστε την εξίσωση f() f () e Να βρείτε: Τιςς τιμές του α,, ώστε να ισχύει η σχέση ώστε να ισχύει P0, P 6, P 0.8 Η θέση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση κ δίνεται συναρτήσει του χρόνου t από τον τύπο Α) Τη μέση ταχύτητα του κινητού στο, Β) ) Τη στιγμιαία ταχύτητάά του όταν t.9 Αν f όριο όριο. Αν f,g f είναι παραγωγίσιμεςς e h0. Έστωω η συνάρτηση f() e.6 Έστωω η συνάρτη f f.7 Βρείτε πολυώνυμο P δευτέρου βαθμού f h f h0 h.0 Αν f 0 f. Αν f. Να υπολογίσετε ταα όρια e, h h f, για α κάθε R. να υπολογίσετε το e να υπολογίσετε το e e f ln βρείτε το 0 e 0 e,, f() g() e f() f() ση f με f 0 e, α e, α R. S t t t. Να βρείτε:

6 Ανάλυση Παράγωγος Εφαπτομένη. Να παράστασης της συνάρτησης f στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον Α) f(). Αν να βρείτε τα α, β έτσι ώστε η γραφική παράστασηη της g να έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξοναα των στα σημεία με τετμημένες 0 και,. Αν f βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f, που είναι παράλληλες στην ευθεία.6 Έσ R. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C, που σχηματίζει με τον γωνία. f.7 Δίνεται η f Α) Τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη (ε) της C f στο σημείο της A,f(),με τον άξονα. Β) Το σημείο όπου η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στο.8 Έσ f() 0 βρείτε τα σημεία όπου η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, έχει κλίση ίση με το ρυθμό μεταβολής της παραγώγου f στα σημεία αυτά. Β) Στο σημείο (τουυ α ερωτ.) μεε τη μικρότερη τετμημένη να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης...9 Δίν f αe Α) τα α,β ώστε η εφαπτομένης της C στο σημείοο α βρείτε τα σημεία της γραφικής 6 Β) f g() y. 0, να είναι παράλληλη στην y Β) την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης στω η συνάρ στω η συνάρτηση Γ ln α β ln( ),, ρτηση όταν Γ) f f, ln. Να βρείτε : e νεται η συνάρτηση f με β R, α,β R. Nα βρείτε, R, να f f α,β ώστε η y να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης τηςς f στο σημείο της με τετμημένη. γραφικής παράστασης της σημεία που τέμνει τους άξονες είναι παράλληλες. Αν προσδιορίσετεε τα α, β R A, 0 να ανήκει στη γραφική παράσταση C της f και η εφαπτομένη τηςς C στο σημείο Α να έχει συντελεστή διεύθυνσης τονν αριθμό. παραγωγίσιμηη στο R και Να βρείτε τηνν εξίσωση τηςς εφαπτομένης στη γ.π. τη f : 0, R με f ln. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A,f(). είναι εφαπτομένη της C f στο o 0.0 Δίνεται η συνάρτηση f με α β, α,β R. Να υπολογίσετε τα. Να αποδείξετε α ότι οι εφαπτομένες της. Έστωω ότι η συνάρτηση f είναι ης g f ln() στο o. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση. Έστωω η 0. Αν η f εκφράζειει την απόσταση των σημείων Α και Β, να βρείτε την εφαπτομένη της C στο Μ,f() f α f f f στα β 9, να ώστε το σημείο είναι e f f e. lnn α β. Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε η y να.6 Έστωω τα σημεία Α ln,0 κ και B 0,e,

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 7 Μονοτονία - Ακρότατα.7 Να α μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρόταταα κάθε μια από τις συναρτήσεις: Α) f 8 Β) g( ) Γ) f ( ) e.8 Να τα ακρόταταα κάθε μια από τις συναρτήσεις: Α) f 6 Β) f e Γ) f.9 Έσ α R Α) Αποδείξτε ότι B) Να βρείτε το α ώστε η εφαπτόμενη στο σημείο,f() να είναι παράλληλη στον. Γ) Για την τιμή του α που βρήκατε, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα..60 Δί f κ θέση o.6 Ανν f α α βρείτε τους αριθμούς α,β R για τους οποίουςς ισχύει f f 0. Β) Ανν α= και β= 0, τότε να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f..6 Δίν βρείτε τα ακρότατά της αποδείξετε ότι e.6 Ανν α μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και ln στω η συνάρτ f ίνεται η συνάρτηση f με λ, R, κ, λ R. τοπικό ακρότατο ίσο με β τότε και q θετικές σταθερές, να αποδείξετε ότι το V p έχει τη μέγιστη τιμή του όταν r. q νεται η συνά Vr Δ) f() τηση f f f άρτηση e α f e e e, R 00p(ln r) 00qr, όπου p e α βρείτε τα κ, λ ώστε η f να έχει στη. θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι η μελετήσετε τηνν f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Β) ) Αν 0 α β, να αποδείξετε ότι ό ln αβ βρείτε τα ακρότατά της Β) ) Να αποδείξετε ότιι e e παράστασης της τ συνάρτησ εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης; μελετήσετε τηνν f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β) ) Να αποδείξετε ότιι 06 0 μελετήσετε τη μονοτονία της τ f Β) ) Να αποδείξετε ότιι e μελετήσετε τηνν f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Β) ) Να αποδείξετε ότιι f Να βρείτε για ποια τιμή του λ η ελάχιστη τιμή της f.6 Έστω.6 Δίνεται η συνάρτη α β αβ ω f αe.66 Δίνεται η συνάρτη.67 Σε ποιο π σημείο της γραφικήςς.68 Δίνεται η συνάρτη.69 Έστω η συνάρτηση.70 Έστω η συνάρτηση.7 Έστω η συνάρτησηη λ λ, λ R. παίρνει τη μέγιστη μ τιμήή της. βe, όπο ελάχιστη τιμή της f είναι αβ. ηση f ηση f σης f ηση f η f 0 e e η f α e lnn ee ln η ln. e, β ου α,β e e α β e 06, R

8 Ανάλυση Προβλήματα.7 Σώ ακολουθώντας τη συνάρτηση θέσης t t 6t 9t (t σε sec, σε m) Α Ποια η ταχύτητα και η επιτάχυνση όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση m; Β Πότε το σώμα έχει μηδενική ταχύτητα. Ποια η θέση και η επιτάχυνση αυτή τη τ στιγμή; Γ. Ποιο διάστημα διένυσε το σώμα τα πρώτα sec της κίνησης του;.7 Οι αυτοκινήτουυ δίνονται από τη συνάρτηση 0000 f(t) 0, όπου t t e 0 0,0 είναι ο χρόνος σε μήνες από την έναρξη των πωλήσεων. Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός αύξησης των συνολικών πωλήσεων γίνεται μέγιστος καθώς και τη μέγιστηη τιμή του..7 Να τρίγωνα, που είναι εγγεγραμμένα σεε κύκλο ακτίνας R, το ισόπλευρο έχει μεγαλύτερο εμβαδό..7 Εν km με σταθερή ταχύτηταα km/h. Τα καύσιμα κοστίζουν 0,8 /lt και καταναλώνονται με ρυθμό lt/h. Αν τα υπόλοιπα έξοδα του 00 φορτηγού ανέρχονται σε 9 την ώρα, τότε: Α) να εκφράσετε το κόστος τηςς διαδρομής αυτής ως συνάρτηση της ταχύτητας, Β) βρείτε την ταχύτητα που πρέπει να έχειι το φορτηγό, ώστε τα έξοδά του να είναι ελάχιστα, Γ) πόσα είναι τα ελάχιστα αυτά έξοδα;.76 Δίν ώμα κινείται σε οριζόντιοο άξονα ι συνολικές πωλήσεις ενός μοντέλου α αποδείξετε ότι από όλα τα ισοσκελήή να φορτηγό διανύει καθημερινά 00 νεται η ευθεία y. Να βρείτεε το σημείο της ευθείας αυτής το οποίοο απέχει από το σημείο A 9, τη μικρότερη δυνατή απόσταση..77 Απ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 6m ποιο είναι εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο...78 Απόό όλα τα ορθογώνια με περίμετρο cm βρείτε εκείνο με το μεγαλύτερο εμβαδόν. ε παραβολής y στην ευθεία y..80 Βρείτε την ευθείαα που διέρχεται από το σημείο, και σχηματίζει με τους ημιάξονες Ο και Oy τρίγωνο ελαχίστου εμβαδού..8 Η θέση ενός υλικού σημείου που βάλλεται, με φορά φ προς ταα πάνω, από το έδαφος δίνεται από τον τύπο y t t 0 t (t ο χρόνος σε sec) βρείτε β την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου όταν t sec. Τι συμπεραίνετε για την κίνησή του τη στιγμή αυτή; Β) ) Να βρείτε β την αρχική ταχύτητα του σημείου και τοο μέγιστο ύψος στο οποίοο φτάνει. Γ) ) Σε ποια π στιγμή το ύψος του είναι 7 m.79 Να βρεθεί β το πλησιέστερο σημείο της.8 Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα τ AB μήκους 0 m του οποίου τα άκρα A και B ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές m ταχύτητα u και η θέση του στον άξονα sec O δίνεται από την συνάρτηση S t ut,t 0, ( t ο χρόνος σεε sec) βρεθεί β το εμβαδό E t του τριγώνου OAB ως συνάρτηση του t Β) ) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του E t τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του OA είναι 6 m; Oy και O αντίστοιχα. α Το σημείο B κινείται με

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 9 Γενικές Ασκήσεις στις Συναρτήσεις.8 Έστω η συνάρτηση f με f() ) e σημεία: A(,e ) και B(,e) : βρεθεί ο τύπος της βρεθεί το σημείο τομής της C με τονν άξονα yy τριγώνου που ορίζει αυτή με τους άξονες. Δ) Δείξτε ότι f"() f () f() Ε) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτόμενης για Στ).8 Αν Να υπολογίσετε το παράλληλη στην ευθεία βρείτε τον αποδείξετε ν η εφαπτομέ e 0 ένη y 0 f ότι η ε εφάπτεται στη α β f e τότε: με α,β R, της οποίας η γραφική γ παράσταση διέρχεται από τα Γ) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C στο παραπάνω σημείο καθώς και το εμβαδόν του f ε στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f:r R C g με g στο f στο σημείο της B 0,g(0) A,f() είναι.8 Διν νεται η συναρτηση f() ln(). Να βρείτε : Α) Τα σημεια όπυ η C τεμνειι τους αξονεςς και το διάαστημα στο οποιο ο η e Γ) Να βρεθει το f f C είναι πανω από την y=e f Δ) Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης της C που είναι παράλληλη στην y f e.86 Έσ A) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της A,f(). B) Nαα βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της τ f..87 Έν sec) να δίνεται από τον τύπο Α) την ταχύτητα του κινητού τη τ χρονική στιγμή t Β) τις χρονικές στιγμές που το σώμα είναι ακίνητο και την απόσταση των θέσεων τις στιγμές αυτές.88 Θεωρούμε τη συνάρτηση g µε τύπο f f στω ότι f να σώμα κινείται ευθύγραμμα πάνω σε άξονα ώστε η θέση τουυ την τυχαία χρονική στιγμή t (σε f f. είναι παράλληλη στην ευ συνάρτησης g στο σημε e, R t υθεία είο B,g() t t t σε μέτρα (m). Να βρείτε: g ε : y, να αποδείξετε ότι η εφαπτομένηη της γραφικής παράστασης της, είναι παράλληλη στον B) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία εφάπτεται στη f f f, 0, άξονα. C g της g, f 0,, A) Αν η εξίσωση της εφαπτομένηςς της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A,f() στο σημείο Γ,g().

0 Ανάλυση.89 Η πλευρά ΑΔ ορθογωνίου οικοπέδου ΑΒΓΔ μεταβλητών διαστάσεων συνορεύει με ένα ποτάμι. Ο ιδιοκτήτης πρόκειται να περιφράξει τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ. Το κόστος για τις πλευρές ΑΒ, ΓΔ είναι ευρώ ανά μέτρο, ενώ για την ΒΓ είναι ευρώώ ανά μέτρο. Πώς πρέπει να επιλεγούν οι διαστάσεις του οικοπέδου ώστε αυτό να έχει το μέγιστο εμβαδόν, με δεδομένο ότιι ο ιδιοκτήτης θα διαθέσει 0 ευρώ για την περίφραξη;.90 Δίν Α) την εξίσωση της εφαπτομέν Β) τα α,β ώστε η.9 Δίν f() Α. Να υπολογίσετε το όριο 9 f'() Β. Να υπολογίσετε την τιμή του κ R ώστε η g να είναι συνεχής στο σ =9 o Γ. Με διαστάσεις και f() κατασκευάζουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να εκφράσετεε την περίμετρο Π και το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ο ως συνάρτηση του. Δ. Να βρεθεί το πεδίο ορισμούύ αυτών τωνν συναρτήσεων. Ε. Να βρεθεί για ποιά τιμή του η περίμετρος γίνεται μέγιστη. Στ..9 Δίν Να βρεθεί για ποιά τιμή του το εμβαδόν γίνεται μέγιστο. βρείτε το πεδίο ορισμούύ της f, την f και την f βρείτε τη μονοτονία της f Γ) Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης τηςς C f στην αρχή των αξόνων Δ) Να προσδιορίσετε το πρόσημο της f Ε) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και δείξτε ότι η f έχειι ολ. ελάχιστοο το οποίο να βρείτε Στ).9 Μί νονται οι συναρτήσεις f ln νης ε να εφάπτεται στη C στο σημείο της B,g( ). νεται η συνάρτηση f() ln( ) ln(). 6 ία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π κάθε μονάδας προϊόντος συναρτήσει του πλήθους των μονάδωνν παραγωγής σύμφωνα με τον τύπο: και g α β, α,β R. Να βρείτε: ε της C στο σημείο της A,f( () νεται η συνάρτηση f() 9, R και η συνάρτηση g Να λύσετε την εξίσωση ln( ) ln( ) g f μονάδα προϊόντος είναι 0 και επιπλέον η βιομηχανία πληρώνει φόρο 6 για κάθεε μονάδα προϊόντος. Να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος θα πρέπει π να παράγει η βιομηχανία ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος. Ε) Να αποδείξετε ότι ln( ) ln( ) για κάθε >. 6 6 Π() 9 f() f'() t t t t t, 9, 9. Το κόστος παραγωγής ανά

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ.0 Να ΠΙΝΑΚΑΣ i ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ i - 0 ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ i ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ i - - 0 ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ i ν i 6 ΑΘ α συμπληρωθούν οι πίνακες ν i 8 0 ν i 60 ν i ν i 8 N i 0 f i f i 0, 0,6 f i f i 0,0 f i 0,0 0, F i f% i f % i f% i 0 f % i 0 f % i 0 F% i 6 60 ΠΙΝΑΚΑΣ 6 i - 0 ΑΘΡ 0 ΠΙΝΑΚΑΣ 7 i ΠΙΝΑΚΑΣ 8 i ΠΙΝΑΚΑΣ 9 ΠΙΝΑΚΑΣ 0 ν 7 8 ΑΘΡ i 0 0 0 ν i 0 0 ΑΘ ν i 0 0 0 0 Σ i ν i 8 Σύν ν i 6 i f i 0, f i f i f i f% i 0, 0 f% i 0 f% i Ν i 0, 0 0, N i N i 60 N i 0, N i F i 0 0,9 F i 0,67 F i% 0 Fi 0,60 f % i% i 0 F i F% i F% F% i 0

Στατιστική.0 Σε Οι 0 μαθητές έχουν κανένα ή ή ή ή αδέρφια Οι 8 έχουν τουλάχιστον αδερφό Οι 9 έχουν το πολύ αδέρφια Πέντε οικογένειες των μαθητών έχουν ή παιδιά Το % των οικογενειών την μαθητών έχουν τουλάχιστον παιδιά Να κάνετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων: ν, f, f %, N, F, F %.0 Σε 8 ημέρες είχαν θερμοκρασία το πολύ Το 8% του πλήθους των ημερών η θερμοκρασία ήταν τουλάχιστον Το πλήθος των ημερών με θερμοκρασία α ήταν διπλάσιο του πλήθους των ημερών με θερμοκρασία Το % του πλήθους των ημερών η θερμοκρασία ήταν ή Να κάνετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων: ν, f, N, F, f %, F %.0 Έσ και f i, i,, να βρεθεί (i ).0 Έσ f,f,f,f.06 Έσ Α) Αν ν i i, i,, να βρεθεί ο ν Β) Αν f.07 Έσ δείγμα μεγέθους ν. Αν βρεθεί ο κ Β) Για κ να βρείτε την F %.08 Έσ i δείγμα μεγέθους ν. Αν ισχύει F% i, i,,..., τότε: κ βρεθεί ο κ μια τάξη Λυκείου όπου δεν υπάρχουν συμμαθητές που να είναι αδέρφια: μια πόλη η μικρότερη θερμοκρασία επί 0 συνεχείς ημέρες ήταν ή 0,,, και 6 στω,,...., οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς την οποία εξετάζουμεε ένα δείγμα μεγέθους ν στω,, στω,, i ν i, οι τιμέςς μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος. Α οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους ν i, i, να βρεθεί την f στω,,...,, με... οιι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς την οποία εξετάζουμε ένα ισχύει f i η f i κ, i,,..., στω,,...,, με... οιι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς την οποία εξετάζουμε ένα Β) Για i i i i i i i i i Γ) Αν i i i N 0 να κ να βρείτε την f 0 Αν f f f f να βρείτε τις βρείτε το μέγεθος του δείγματος.

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γραφικη παρασταση κατανομης συχνοτητων.09 Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητών σε ένα μάθημα φαίνεται στο σ διπλανό πίνακα. Να κάνετε το διάγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο σχετικών συχοτήτων Βαθμός 6 7 8 Πλήθος φοιτητών 7.0 Στ ο διπλανό πίνακα φαίνονται τα βιβλία που έχει μια βιβλιοθήκη. Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων και κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτωνν Είδος βιβλίων Ιστορικά Λογοτεχνικά Μαθηματικά Ταξιδιωτικά Εγκυκλοπαιδικά Πλήθος βιβλίων 0 6 8. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνονται οι εξαγωγές της χώρας μας αξίας 97.000.0000 euro κατά το έτος 980 ανάλογα με το μέσο μεταφοράς. Η γωνία του κυκλικού τομέαα για μέσο μεταφοράς θαλασσίως είναι 80. Το % της αξίας των εξαγωγών έγινεε σιδηροδρομικώς. Οι μεταφορές μ που έγιναν οδικώς ήταν τετραπλάσιες σε αξία από αυτές που έγιναν αεροπορικώς. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων.. Σε επιχείρησης ένα κυκλικό διάγραμμαα παριστάνεται το μορφωτικό επίπεδοο των 00 εργαζομένων μιας σε τέσσερις κατηγορίες. Α Κατηγορία: Απόφοιτοι Γυμνασίου Λυκείου Γ Κατηγορία: Πτυχιούχοι Ανωτάτης Εκπαίδευσης Δ Κατηγορία: Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου. Κάθε εργαζόμενος ανήκει σε μία μόνον από τις κατηγορίες αυτές. Στην Α κατηγορία ανήκει το % των εργαζομένων της επιχείρησης. Η γωνία γ του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στους εργαζόμενους της Δ κατηγορίας είναι 8. Οι εργαζόμενοι της επιχείρησης της Β κατηγορίας είναι εξαπλάσιοι των εργαζομένων της Γ κατηγορίας. Α. Να υπολογίσετε τον αριθμό των εργαζομένων κάθε κατηγορίας. Β. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμαα σε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. Β Κατηγορία: Απόφοιτοι. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα, παριστάνεται το χρώμα μαλλιών Χρώμα μαλλιών ν i f% i α i 900 ατόμων. Το 0% των ατόμων έχουν μαύρα μαλλιά. Η γωνία του Κόκκινα κυκλικού τομέα για τα καστανά μαλλιά είναι α. Τα άτομα με ξανθά μαλλιά είναι διπλάσια από αυτά με κόκκινα μαλλιά. Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα και να κατασκευάσετε το ο Μαύρα Καςτανά Ξανθά Σύνολο: ραβδόγραμμα συχνοτήτων.. Ο α αριθμός των ετήσιων επισκέψεων ενός δείγματος 80 μαθητώνν μιας περιοχής στα διάφορα μουσεία της χώρας δίνεται από το διπλανό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Να βρείτε: Α το ποσοστό επί τοις εκατό των τ μαθητώνν που κάνει ακριβώς δύο επισκέψεις ετησίως, Β τον αριθμό των μαθητών που κάνει δύοο τουλάχιστον επισκέψεις ετησίως. http://users.sch.gr/mipapagr

Στατιστική Ομαδοποίηση Παρατηρήσεων. Να κλάσεις ίσου πλάτους α συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες στους οποίους έχουμε ομαδοποιήσει τρία δείγματα σε Κλάσεις.... - - - - 6 8 -....-.. -..-.. -. - - 7-....6 Η βαθμολογία 0 μαθητών σε ένα διαγώνισμα φαίνεται στο διπλανό πίνακα: κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικώνν σχετικών συχνοτήτων % βρείτεε το βαθμό κάτω από το οποίο έχει: α) β) i Το 0% των μαθητών Το 0% των μαθητών. Κλάσεις.... i Γ)Το ποσοστό των μαθητών που έχειι γράψει: τουλάχιστον Κλάσεις.... i Βαθμός, 0,,8 8,,6 6,0 μαθητές 8 6 0.7 Στ ο σχήμα είναι το πολύγωνο συχνοτήτων των ομαδοποιημένων πωλήσεων σε δεκάδες χιλιάδες euro που έγιναν από τους πωλητές μια εταιρείας σε ένα έτος. i) Πόσοι είναι οι πωλητές; ii) Να κατασκευάσετε: α)το ιστόγραμμα συχνοτήτων β)το πολύγωνοο αθροιστικών συχνοτήτων iii) Πόσοι πωλητές έκαναν πωλήσεις κάτω από: α) 60000 euro; β) 0000 euro; γ) 0000 euro; αριθμός πωλητών 000 90 80 70 60 0 0 0 0 0 0 - πωλήσεις 7 9.8 Στ ο σχήμα έχουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων μιας βαθμολογίας μαθητών Να βρείτε: i) Το βαθμό κάτω από τον οποίο πήρε: α) το 70% των μαθητών β) το 0% των μαθητών ii) Το ποσοστό των μαθητών που πήρε βαθμό μέχρι 00 90 80 70 60 0 0 0 0 0 0 μαθητές 0 8 6 0 βαθμολογία.9 Το από τις ευθείες y και y. A) Να βρεθεί το πλήθος του τ δείγματος. B) Να βρεθεί το πλάτος και τα άκρα κάθε κλάσης. Γ) Να βρεθεί η συχνότητα κάθε κλάσης..0 Έν ο πολύγωνο συχνοτήτων μιας ομαδοποιημένης κατανομής με ισοπλατείς κλάσεις αποτελείται να δείγμα ομαδοποιήθηκε σε κ κλάσεις, ίσου πλάτους c. Δίνεται το πολύγωνο f i % το οποίο έχει σχήμα τριγώνου. A) Να εκφράσετε το c συναρτήσει του κ. B) Να βρείτε τα c, κ. Γ) Αν f%, να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα f i %.

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Μέση τιμή.0.... Οι ι χρόνοι που κάνουν οι μαθητές ενός σχολείου να πάνε από τοο σπίτι στο σχολείο είναι από έως 0 λεπτά. Το 0% κάνει χρόνους κάτω από 8 λεπτά το 0% κάνει χρόνους κάτω από λεπτά και το % τουλάχιστον 6 λεπτά. Να βρείτε το μέσο χρόνοο των μαθητών.. Στ ο διπλανό πίνακα φαίνεται η βαθμολογία 0 φοιτητών σε ένα μάθημα. Να βρείτε τα α, β αν η μέση βαθμολογία είναι,9. Μι βρείτε το μέσο μισθό όταν: α) β) γ) πάρει σύνταξη ένας με μισθό 90 και προσληφθούν τρειςς με μισθό 80 ο καθένας Β) Αν προσληφθεί ένας εργαζόμενος, ποιος πρέπει να είναι ο μηνιαίος μισθός ς του ώστε ο μέσος μηνιαίος μισθός όλων να είναι 0. Σε ότι οι 0 παρατηρήσεις από αυτές είχαν εσφαλμένα υπερεκτιμηθεί κατά μονάδες κάθε μια ενώ οι 9 από τις υπόλοιπες είχαν υποεκτιμηθεί κατά 0 μονάδες η κάθε μια. Να βρείτε τη σωστή μέση τιμή των παρατηρήσεων αυτών.. Μι βαθμών των αγοριών ήταν, ενώ των κοριτσιών ήταν, 87. Αν η μέση τιμή τωνν βαθμών όλων των παιδιών ήταν,, να βρεθεί το πλήθος των κοριτσιών..6 Σε πήραν αύξηση στο μηνιαίο μισθό 00 ο καθένας, ενώ στο τμήμα Bπήραν αύξηση στο μισθό, 0 ο καθένας. Αν η μέση τιμή όλων των μηνιαίων μισθών αυξήθηκε κατά 70, να βρείτε πόσοι είναι οι εργαζόμενοι του κάθε τμήματος..7 Σε A) Το 0% των υπαλλήλων έχει μέσο μισθόό 800.Αν ο μισθός αυτών των υπαλλήλων αυξηθεί ώστε να γίνει ίσος με τη μέση τιμή, ποια θα είναι η νέα μέση τιμή του μισθού ; B) Για λόγους μείωσης του κόστους απολύεται το % των υπαλλήλων της εταιρίας. Οι υπάλληλοι αυτοί έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 8000. Να βρεθεί η νέα μέση τιμή του μισθού μ. Γ ).8 Έν μισθό 600 ια βιοτεχνία έχει 0 εργαζόμενους με μέσο μηνιαίο μισθό 00. ένας εργαζόμενος με 00 μισθό πάρει σύνταξη. προσληφθούν δύο εργαζόμενοι ακόμη με μισθό 80 ο καθένας. 0 παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X βρήκαμε μέση τιμή 60. Διαπιστώθηκε όμως στο τέλος ια τάξη έχει αγόρια και άγνωστο αριθμό κοριτσιών. Σε ένα διαγώνισμα η μέση τιμή των μια επιχείρηση είναι 0 εργαζόμενοι στα τμήματα A και B. Οι εργαζόμενοι στο τμήμα A μια εταιρία οι 00 υπάλληλοι έχουν μέσο μισθό 00. Αν σε όλους τους υπάλληλους δοθεί αύξηση,% ποια η νέα μέση τιμή του μισθού ; να εργοστάσιο απασχολείί υπαλλήλους στο Τμήμα A με μέσο μηνιαίο μισθό 90, 6 υπαλλήλους στο Τμήμα Β με μέσο μηνιαίο μισθό 800 και υπαλλήλους στο Τμήμα Γ με μέσο μηνιαίο. Να βρεθεί ο μέσος μηνιαίος μισθόςς όλων των υπαλλήλων. Αν προσληφθούν υπάλληλοι στο Τμήμα A, στο Τμήμα Γ και οι μέσες τιμές τωνν μισθών στα δύο αυτά τμήματα δεν μεταβληθούν, να βρεθεί η νέα μέση τιμή. Βαθμός 6 8 Φοιτητές α 8 β http://users.sch.gr/mipapagr

6 Στατιστική.9 Η μέση τιμή 00 αριθμών είναι καιι η μέση τιμή των 60 πρώτων από αυτούς είναι 6. Να βρεθεί η μέση τιμή των υπολοίπων.;.0 Σε βαθμολογίαα 7, το δεύτερο 7 μαθητές και μέσηη βαθμολογία 8, το τρίτο μαθητές και μέση βαθμολογίαα 7, Να βρεθεί η μέση βαθμολογία των μαθητών της Πρώτης τάξης. Ο μ Επειδή συγκριτικά με τους μέσους όρους άλλων μαθημάτων η βαθμολογία θεωρήθηκεε χαμηλή, ο καθηγητής αποφάσισε να δώσει μια μονάδα σε όλους τους μαθητές, εκτός από δυο μαθητές μ που είχαν εικοσάρια. Ποια είναι τώρα η νέα μέση τιμή της βαθμολογίας. Οι διαγωνίσματα. Δίνεται ότι το εύρος των τ βαθμών είναι, η διάμεσος και η μέση τιμή 6. βρείτε τους βαθμούς του μαθητή. Β) Αν οι συντελεστές βαρύτητας των βαθμών είναι 0, 0,7 και 0,88 αντίστοιχαα να βρείτε το μέσο όρο των βαθμών του μαθητή.. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων t,t,....,t ν μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθουςς ν είναι. Να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων: Α) t λ,t λ,...,, tν λ Β) λt, λt,..., λt ν Γ) λt κ, λtt κ,..., λtν κ. Σ ένα Λύκειο τα τρία τμήματα της Πρώτης Τάξης έχουν: Το πρώτο μαθητές και μέση μέσος όρος βαθμολογίαςς ου τετραμήνου 0 μαθητών ενός τμήματος στη στατιστική είναι,. ι αριθμοί α, β, 7, γ έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά και είναι οι βαθμοί ενός μαθητή σε τέσσερα ένα Λύκειο φοιτούν 000 μαθητές και η μέση βαθμολογία τους στα Μαθηματικά στο Α τετράμηνο ήταν. Στο Β τετράμηνο, ένας ορισμένος αριθμός μαθητών αύξησε τη βαθμολογία του τ κατά μονάδες ο καθένας, ενώ οι υπόλοιποι μείωσαν τηη βαθμολογίαα τους κατά μονάδες ο κάθε μαθητής. Να βρείτε πόσοι μαθητές βελτίωσαν τη βαθμολογία τους και πόσοι την χειροτέρευσαν, ανν γνωρίζουμε ότι η μέση βαθμολογίαα όλων στο Β τετράμηνο έγινε έ 7.. Έν.6 Αν να δείγμα έχει μέγεθος ν 8, ν είναι i και i= i i= 8 i ( 6) 7 και S. Να Ν βρείτε η i, να α υπολογίσετε τα i i= 0 και και το i= i 8 i i..7 Σ.8 Να Στη διπλανή κατανομή να υπολογίσετε τη μέση τιμή α υπολογίσετε το πλήθος ν των παρατηρήσεων η μέση τιμή τους είναι ln00 ν ln, ln, i v i 9 ln,,ν ν ln, αν ν

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 7 Διάμεσος.9 Να α βρείτε τη διάμεσο των χρόνων φαίνονται στους παραπάνω πίνακες. ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόνoς 8 9 0 Μαθητέ 7 8 7 ς ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόνος Μαθητές 8 7 9 6 00 0 ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόνος Μαθητές 8 0 9 0 0 ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόνος Μαθητές 8 0 9 0 0 0 0.0 Να α βρείτε τη διάμεσο των βαθμών των μαθητών της Α Λυκείουυ του κάθε τμήματος που πήραν σε ένα διαγώνισμα αν τα πολύγωνα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων είναι τα παρακάτω Fi% 00 90 80 70 60 0 0 0 0 0 0 0 8 6 0 βαθμός Fi% 00 90 80 70 60 0 0 0 0 0 0 0 8 βαθμός 6 0 Fi% 00 90 80 70 60 0 0 0 0 0 0 6 9 8 βαθμός. Αν ν η μέση τιμή πέντε αριθμών είναι διπλάσια της διαμέσου δ αυτούς είναι οι 0,,,, να βρείτε τον πέμπτοο αριθμό. με 0 δ και οι τέσσερις από.... Στ ο διπλανό πίνακα φαίνονται οι τιμέςς μιας μεταβλητής Χ με τις αντίστοιχες αθροιστικές σχετικές συχνότητές τους. Να βρείτε τους α, β, γ αν η διάμεσος είναι 6 και η μέση τιμή,,. Σ έ σε 00 ερωτήσεις. Η βαθμολογία είναι ή 0, ανάλογα αν ο μαθητής απαντάει ή όχι στην ερώτηση. Ο επόμενος πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα της βαθμολογίας εκτιμήσετε γραφικά τη διάμεσο. εκτιμήσετε το ποσοστό των μαθητών που έγραψαν από 80 ως 0. Οι. Το μαθητής δεν έχει ανάστημα μικρότερο των 60 cm. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος δ τουυ δείγματος δεν υπερβαίνει τα 80 cm..6 Δίν.7 Το ανάστημα μικρότερο των 60 cm. Να αποδείξετεε ότι η διάμεσος του δείγματος δεν υπερβαίνει τα 80 cm..8 Να ένα τεστ πήραν μέρος 00 μαθητές προκειμένου ο καθένας ναα απαντήσει ι παρατηρήσεις ενός δείγματος είναι, 8,,, α,, και κ έχουν δ 8. Βρείτε τη και το α ο μέσο ύψος των 0 μαθητών και μαθητριών μιας τάξης είναι 70 cm Υποθέτουμε ότι κανένας νεται ο αριθμός α R και επιπλέον 8 διαδοχικοί περιττοί ακέραιοι. Αν η μέση τιμή του τ δείγματος (των 9 αριθμών) είναι 6 κ αι ισχύει ο μέσο ύψος των 0 μαθητών μιας τάξης είναι 70 cm Υποθέτουμε ότι κανένας μαθητής δεν έχει α βρείτε το α 0,, ώστε οι αριθμοί α -, α, α, α α 0,,80, να βρεθεί η διάμεσος του δείγματος Βαθμοί, να έχουν διάμεσο δ i F% i 0 0 α 7 β 9 γ 60,80 80,00 00,0 0,0 0,60 60,80 Συχνότη 0 6 0 http://users.sch.gr/mipapagr

8 Στατιστική Τυπική Απόκλιση.9 Οι Χρόνος Μαθητές ι χρόνοι αναμονής σε στάση λεωφορείων 0 ατόμων φαίνεται, 6 στο διπλανό πίνακα. Να βρείτε την τυπική τ απόκλιση., 8,77 7,99 να δείγμα μεγέθους ν έχει μέση τιμή και τυπική απόκλιση s. Παίρνουμε την μέση τιμή ως.0 Έν μία νέα τιμή της μεταβλητής και δημιουργούμε ένα δείγμα μεγέθους ν 6. Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του νέου δείγματος.. Ρω κυμαίνοντανν από 0 έως και 0. Οκτώ μαθητές απάντησαν κάτω από, είκοσι μαθητές κάτω από 8, τέσσερις μαθητές πάνω από 6 και δέκα πάνω από. Αν για τους που διαβάζουνν ποιο πολύ τους δοθεί μια λογοτεχνική σειρά δωρεάν, πόσα τουλάχιστον βιβλία πρέπει να έχει διαβάσει κάποιος για να κερδίσει;. Η για τις δεκαεννέα τιμές ισχύει. Αν ωτήθηκαν 0 μαθητές ενός Λυκείου πόσα λογοτεχνικά βιβλίαα έχουν διαβάσει. Οι απαντήσεις μέση τιμή και η διακύμανση των 0 τιμών ενός δείγματος είναι 6 και s, αντίστοιχα. Αν 9 i ν για ένα σύνολο παρατηρήσεων ισχύει ότι 79, να βρεθεί η εικοστή τιμή. i ν i i 88, s 7,, ναα βρεθεί το v. H τ τυπική απόκλιση μιας μεταβλητής Χ είναι ίση με το μηδέν. Αν t, t,...,t η μέση τιμή, δείξτε ότι t t... t =. ι v ν v είναι οι τιμές της και. Έσ τυπική απόκλιση s =, ενώ οι υπόλοιπες έχουν μέση τιμή = 0 και s =. Να βρείτε: Α) τη μέση τιμή του συνόλου, Β) την τυπική απόκλιση s του συνόλου..6 Θε πλήθος αριθμών που έχουν διακύμανση s και την ίδια μέση τιμή. Ναα αποδείξετε ότι: Α. Η μέση τιμή τω.7 Τέσ στω t, t,,t00 οι τιμές μιας μεταβλητής. Οι πρώτες 0 παρατηρήσεις έχουν μέση τιμή εωρούμε α το πλήθος αριθμών που έχουν διακύμανση s καιι μέση τιμή. Όμοια θεωρούμε α το A) Να αποδείξετε ότι και w B) Αν η διακύμανση των τεσσάρων αριθμών είνα να βρείτε τους αριθμούς y και z. Γ) Aνν στους παραπάνω τέσσερις αριθμούςς προσθέσουμε και άλλους 6 αριθμούς τους 6 6,,,,, 6 τέτοιους ώστε i 8 κ και i να βρείτε την μέσηη τιμή και την τυπική απόκλιση των 0 αριθμών. ων α α αριθμών είναι ι και η διακύμανση τους είναι σσερις αριθμοί,y,z,w με y z w έχουν μέση τιμή, διάμεσο καιι εύρος. i i s α s α αs α = 0 με

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 9 CV.8 Σε.9 Έν ένα δείγμα ισχύει ότι s 0. Να βρείτε το συντελεστή μεταβολής. 0 να σύρμα μήκους 0 cmc κόβεται σε δέκα κομμάτια με μήκη,,..., Αν i 90, να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των τ,,...., 0. η 0 i.60 Οι ι βαθμοί των μαθητών ενός τμήματοςς έχουν μέση τιμή και CV 0,. Αν πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος; ν i i 060.6 Στ ο διπλανό σχήμα δίνεταιι το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων της βαθμολογίας μιας ομάδας μαθητών σε ένα μάθημα. Η βαθμολογία κυμαίνεται από 0 έως 0. Δίνεται ότι 0 μαθητές έχουν βαθμό μικρότερο του 6. αποδείξετε ότι ο αριθμός των μαθητών είναι 80 βρείτε τη διάμεσο. Γ) Να εξετάσετε αν το δείγμα των 80 μαθητών είναι ομοιογενές ως προς την βαθμολογία. Fi% 00 90 80 70 60 0 0 0 0 0 0 0 8 βαθμολογία 6 0.6 Σε Α. Αν οι εργάτες είναι τετραπλάσιοι σε αριθμό από τα στελέχη της εταιρείας,να βρείτε το μέσο μισθό των υπαλλήλων (εργατών και στελεχών) της εταιρείας. Β. Θεωρούμε ότι η εταιρεία έχει ν υπαλλήλους με μισθούς,όπου i υ i,,...,vv. α) 600000 ευρώ,τότε να βρείτε τον αριθμό των υπαλλήλων που απασχολεί η εταιρεία. β) γ) Η εταιρεία αποφασίζει να αυξήσει κατά α ευρώ τους μισθούςς των εργατών,έτσι ώστεε ο νέος μέσος μισθός των υπαλλήλων,να μην υπερβαίνειει τα 900 ευρώ. Να βρείτεε την μέγιστηη αύξηση,που μπορεί να κάνει η εταιρεία..6 Τα μαθητές. Σε ένα κοινό διαγώνισμα, η τυπική απόκλιση της βαθμολογίας των τ μαθητώνν του τμήματος A είναι S,και του B είναι S,,ενώώ η μέση βαθμολογία των δύο τμημάτων είναι η ίδια. α A) Από τις βαθμολογίες των δύο τμημάτων, ποια έχει τη μεγαλύτερη ομοιογένεια; B) Να βρείτε την τυπική απόκλιση της βαθμολογίας όλων των μαθητών της τάξης αυτής..6 Θε, Μ τον σταθμικό μέσο του δείγματος με αντίστοιχους συντελεστές στάθμισης 0,α 0,β μια εταιρείαα ο μηνιαίος μισθός των εργατών είναι 70 ενώώ των στελεχών είναι 00 Αν η τυπική απόκλιση των τ μισθών είναι 0 ευρώ και το άθροισμα των τετραγώνωνν τους είναι Να εξετάσετε αν υπάρχει ομοιογένεια στους μισθούς των υπαλλήλων. α δύο τμήματα της Γ τάξη ενός λυκείου έχουν:το τμήμα A έχει 8 μαθητές και το τμήμα B εωρούμε το δείγμα α, β, γ, δ με α β γ δ. Ονομάζουμε μ τον αριθμητικό μέσο του δείγματος 0,γ ι β s α βγ δ να βρείτε τα μ,s,cv 0,δ και s τη τυπική απόκλιση του δείγματος. Αν μμ και http://users.sch.gr/mipapagr

0 Στατιστική Y cx c.6 Οι s. Να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των παρατηρήσεων y, y,..., y ν που προκύπτουν από τις,,..., ν αν ελαττώσουμε κάθε μια κατά 0% % και μετά προσθέσουμε σε κάθε μια το,6.66 Έσ μέση τιμή 8 και τυπική απόκλιση. Να βρείτεε το συντελεστή μεταβολής των τεταγμένων των σημείων A, A,...,A..67 Έσ βρείτε πόσες μονάδες -τουλάχιστον- πρέπει να αυξήσουμε την κάθε μια από α τις παρατηρήσεις ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές..68 Τα εργοστάσιο σχηματίζουν το διπλανό πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. Να βρείτε: τη διάμεσο, τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής ύστερα από χρόνια..69 Η αντίστοιχα. Αν για τις εννέα τιμές ισχύει ότι: Β) πόσες μονάδες τουλάχιστον πρέπει να αυξηθεί κάθε τιμή του δείγματος ώστε να γίνει ομοιογενές.70 Οι Α) να βρεθεί η μέση σημερινή τους ηλικία Β) πριν πόσα χρόνια από σήμερα το δείγμα των ηλικιών τους ήτανν για πρώτη φορά ομογενές; Γ) αν το άθροισμα των τετράγωνων των σημερινών ηλικιών είναι 60 να βρεθεί το πλήθος των ατόμων.7 Δεί ι παρατηρήσεις,,..., ν ενός δείγματος μεγέθους ν έχουνν μέση τιμή και διασπορά στω ευθεία (ε): y=-+ και τα σημεία της A, A,...,A 9 με τετμημένες τ,,..., 9 που έχουν 9 στω,,...., ν οι παρατηρήσεις ενός δείγματος που έχουν μέση μ τιμή και διακύμανση. Να α χρόνια εργασίας ενός δείγματος εργαζομένων σε ένα μέση τιμή και ο συντελεστής μεταβολής των 0 τιμών ενός δείγματος είναι 80 και CV % 9 i 97 να βρείτε: Α) i ι σημερινές ηλικίες κάποιων ατόμων έχουν CV 0,0 ενώ πριν από 6 χρόνια είχαν CV % ίγμα μεγέθους 0 έχει εύρος R, μέσηη τιμή μ, τυπική απόκλιση s και οι τιμές του κατά αύξουσα σειρά είναι :, s,, μ, μ, μ, μ, 0,, μ R αποδείξετε ότι μ δ βρείτε τα μ, s, R Γ) Να α βρείτε τον ελάχιστο φυσικό κ που αν προστεθεί σε κάθε μια από τις παρατηρήσεις του παραπάνω δείγματοςς αυτό θα μετατραπεί σε ομοιογενές. Ni 80 70 60 0 0 0 0 0 0 0 6 88 0 χρόνια εργασίας τη δέκατη τιμή.7 Δίν νεται ότι F % 0 και το παρακάτω πολύγωνο συχνοτήτων από α ιστόγραμμαα Α Να συμπληρωθεί ο πίνακας κατανομής. Β Να βρεθούν μέτρα απόλυτης διασποράς. Γ Να βρεθούν μέτρα σχετικής διασποράς. Δ Να εξετασθεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές.

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κανονική κατανομή.7 Οι παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες του 0 και το 8% μεγαλύτερες του να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων από 0 εως.7 Η βαθμό το πολύ και μαθητές τουλάχιστον 6. Να βρείτε πόσοι μαθητές έχουν βαθμό από 8 έως 6 και να να εξετάσετε αν το δείγμα των βαθμών είναι ομοιογενές..7 Τα κατανομή. Δέκα άτομα φοράνε παπούτσια με νούμερο τουλάχιστον και κ 6 άτομαα το πολύ 7. Να βρείτε πόσα άτομα φοράνε παπούτσια από νούμερο 77 έως.76 Οι παρατηρήσεις είναι μικρότερες του 8 και 8 μεγαλύτερες του 6. βρείτε κατά προσέγγιση το εύρος του δείγματος. εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων είναι ομοιογενές..77 Έσ περίπου- R 6 και CV 0% υπολογίσετε το ποσοστό των ατόμων που η τιμή τους είναι μεταξύ μ και αποδείξετε ότι αν οι τιμές της Χ αυξηθούν κατά ω 0, ο CV θα μειωθεί Γ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του ω, ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές..78 Έν Αν 0 i.79 Η.80 Έν i ι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X ακολουθούν την κανονικήή κατανομή.. Αν το,% των βαθμολογία 00 μαθητών σε ένα διαγώνισμα είναι περίπου κανονική. Εκατό μαθητές έχουν α νούμερα των παπουτσιών ενός δείγματος 00 ατόμων ακολουθούν περίπου την κανονική ι παρατηρήσεις μια μεταβλητής X μεγέθους 800 ακολουθούνν την κανονική κατανομή. Είκοσι στω μεταβλητή Χ η οποία παίρνει θετικές τιμές, ακολουθεί την κανονική κατανομή και έχει εύρος να δείγμα έχει μέγεθος ν= =0 και η μεταβλητή ακολουθεί την κανονική κατανομή., και 0 i,86 τ i τότε να βρείτε το συντελεστή CV διάρκεια ζωής (σε χιλιάδες ώρες) ενός δείγματος 8000 ηλεκτρικών συσκευών που παράγει μια μηχανή, όταν λειτουργεί κανονικά, ακολουθεί κανονική ή περίπου κανονική κατανομή. Η διάμεσος του δείγματος είναι 0 και 00 ηλεκτρικές συσκευές έχουν ζωή τουλάχιστον εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Γ) Θεωρούμε μια συσκευή ελαττωματική όταν έχει διάρκεια ζωής κάτω κ από 77. Αν στο δείγμα βρέθηκαν ηλεκτρικές συσκευές που έχουν διάρκεια ζωής κάτω από 77, εξετάστε αν η μηχανή έχει βλάβη. να μηχάνημα κατασκευάζει βίδες. Όταν το μηχάνημα λειτουργεί σωστά, η κατανομή συχνοτήτων των βιδών ως προς το μήκος τους, είναι κανονικήή με μέση τιμή (σε cm) και τυπική απόκλιση s (σε cm). Αν το 9% περίπου των βιδών που κατασκευάζει τοο παραπάνω μηχάνημα έχουν μήκος μεταξύ,6 cm c και 6, cm τότε βρείτε το ποσοστό των βιδών που έχει μήκος μεταξύ,8 cmm και 6 cm Β) Αν μία βίδα έχει μήκος μικρότερο ή ίσοο των, cm ή μεγαλύτερο ή ίσο τωνν 6,6 cm τότε θεωρείται ελαττωματική. Να βρείτεε το ποσοστό των ελαττωματικών βιδών. Γ) Σε ποιοτικό έλεγχο 0000 βιδών που κατασκευάζει το μηχάνημα, βίδες βρίσκονται ελαττωματικές. Η πρόταση: «Το μηχάνημα παρουσιάζει πρόβλημα λειτουργίας» είναι Σωστή ή Λάθος; http://users.sch.gr/mipapagr

Στατιστική ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα.0 Σ (Λ). Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του τ πειράματος στις ακόλουθες περιπτώσεις: (μαςς ενδιαφέρει το χρώμα) Α) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι. Β) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι, το τοποθετούμε ξανά στο κουτί και μετά επιλέγουμε άλλο ένα Γ) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι και μετάά επιλέγουμεε άλλο ένα (χωρίς επανατοποθέτηση) )..0 Μ.0 Δύ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.0 * Ρ ένα κουτί υπάρχουν ομοιόμορφα μολύβια κόκκινο (Κ), πράσινο (Π), μαύρο (Μ), λευκό Μια δισκογραφική εταιρεία ελέγχει ταα compact disks (CD) πουυ παράγει. Ο έλεγχος σταματά όταν βρεθούν ελαττωματικά CD ή όταν έχουν ελεγχθεί CD. Να βρείτε: Α) Το δειγματικό χώρο Ω. Β) Τα ενδεχόμενα: α) Ακριβώς ελαττωματικά CD, β) τουλάχιστον ελαττωματικά CD, γ) το πολύ ελαττωματικά CD. ύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει σε δύο αγώνες στη σειρά ή σε δύο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς. Να βρείτε: α) Το δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων των αγώνων της συνάντησης. β) Τα ενδεχόμενα: i) Ακριβώς μία νίκη της ομάδας Ο, ii) τουλάχιστον μίαα νίκη της ομάδας Ο. γ) Πόσους αγώνες το πολύ θα είχε μία τέτοια ποδοσφαιρική συνάντηση; δ) Τι παρατηρείτεε για τα ενδεχόμενα β(ii) και β(iii); Ρίχνουμε μια φορά έναν κύβο ο οποίος έχει καθέναν από τουςς αριθμούς,,, γραμμένους αντίστοιχα ανά δύο έδρες του και καταγράφουμεε το αποτέλεσμα. Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος αυτού είναι: Α. Ω = {}. Β. Ω = {,, }. Γ. Ω = {,,,,,}. Δ. Ω = {,,,,,,,,,,,,,,,}. Ε. {,,,,,,,}..0 * Ε.06 * Έ αποτέλεσμα της ρίψης είναι ο αριθμός τότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α. Α Β. Β. Α. Γ. Β. Δ. Α Β. Ε. Β Α. Α.07 * Τ Ελέγχουμε διαδοχικά βιβλία μέχρι ναα βρούμε ένα κακοτυπωμένο (Κ) ή δύο σωστά τυπωμένα (Σ). Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι Α. Ω = {Κ, Σ} }. Β. Ω = {ΚΚ, ΚΣ}. Γ. Ω = {ΚΚ, ΣΣ}. Δ. Ω = {Κ, ΣΚ, ΣΣ}. Σ Ε. {Κ,ΣΣ}. Έστω Α = {,, } και Β = {,, 6} δύο ενδεχόμενα της ρίψης ενός ζαριού μια φορά. Αν το Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης και α έναα αποτέλεσμαα του πειράματος αυτού. Η φράση «τοο Α πραγματοποιείται» διατυπωμένηη σε γλώσσα συνόλων είναι ισοδύναμη με την Α. α Α. παραπάνω. Β. α Α - Β. Γ. α Α Β. Δ. α Α. Α Ε. κανένα από τα τ

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ερωτήσεις «Σωστό - Λαθος».08 Ο Οι παρακάτω σχέσεις αναφέρονται στο διπλανό διάγραμμα του Venn. Χαρακτηρήστε κάθε μια από αυτές ως (Σ) ή (Λ) Α Β Β Α Γ Β Δ Γ Γ Δ Α Γ Δ Β Γ Δ Α Β Γ = Β Β Γ Δ = Α Α Β = Β Α Β = Β (Γ Δ) Α = Α (Γ Δ) Α = Β Β Δ = Δ (Γ Β) Α = Γ Ω A B Γ Δ.08... Ερωτησεις συμπληρωσης.09 Συ υμπληρώστε τον πίνακα βάζοντας στη στήλη Β τον χαρακτηρισμό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Όπου βάλατε Λ (λάθος) συμπληρώστε στη στήλη Γ τη σωστή σχέση διορθώντας το δεξιό μέλος της αντίστοιχης ισότητας. Α Α = A Α = Α Α = Α Α Α = Ω Α Α = Ω = Ω (Α ) = Ω Α Β = Β Α = Ω Αν Α Β τότε Α Β = Β Α Α = Ω Α Α = (Α ) = Α Αν Α Β τότε Α Β = Α Ερωτήσεις αντιστοίχισης.0 Σ Στη στήλη Α του πίνακα γράφονται ισχυρισμοί για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος. Στη στήλη Β γράφονται ισοδύναμοιι ισχυρισμοί διατυπωμένοι στη γλώσσα των συνόλων (w ένα αποτέλεσμαα του πειράματος αυτού). Αντιστοιχίστε κατάλληλαα κάθε στοιχείo της στήλης Α με ένα μόνο της στήλης Β. Στήλη Α Το Α δεν πραγματοποιείται. Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται. Πραγματοποιούνται συγχρόνως και το Α και το Β. Το Α πραγματοποιείται. Κανένα από ταα Α και Β δεν πραγματοποιείται. 6 Πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β. 7 Το Β πραγματοποιείται 8 Πραγματοποιείται μόνο το Α. 9 Πραγματοποιείται μόνο το Β. Α) w A Β) w (A B ) Γ) w ( A - Α) Δ) w (A Β) Ε) w (A Β) Ζ) w A Η) w (A B) Θ) w (Α Ι) w Β Κ) w (Α Λ) w (Β Β ) (Α Β) Β ) Α ) Μ) w (B A) Ν) w (A B) Ξ) w (A Β) Στήλη Β http://users.sch.gr/mipapagr

Πιθανότητες ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ισοπίθαναα ενδεχόμενα. Έσ στω τα σύνολα: Ω,,,,, Α ωω/ω, B ω Ω /ω περιττός. Αν εκλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε τις πιθανότητες να ανήκει: Α) στο Α και όχι στο Β Β) σε ένα το πολύ από τα Α και Β. Ρίχ χνουμε δύο ζάρια μαζί Να βρείτε τηνν πιθανότητα να φέρουμε 6 στο έναα και στο άλλο. Έσ στω το σύνολο Ω,0,,. Εκλέγουμε τυχαία ένα λ Ω, να βρείτε την πιθανότητ τα του ΡΑ όπου: Α το ενδεχόμενο η εξίσωση λ 0 έχει δύο ρίζες άνισες. Σε πιθανότητα βρείτε: Α) το πλήθος όλων των μαθητών του Λυκείου Β) Γ) ένα Λύκειο οι μαθητές της Α τάξης είναι. Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του Λυκείου η να είναι μαθητής της Α τάξης τ είναι 0,6 και η πιθανότητα να ν είναι της Β τάξης είναιι 0,. Να το πλήθος των μαθητών της Β τάξης την πιθανότητα να είναι ένας μαθητής που εκλέξαμε τυχαία μαθητής τηςς Γ τάξης.. Η Α τάξη Λυκείου έχει 0 αγόρια και κορίτσια. Το 0% των αγοριών και τα των κοριτσιών επέλεξαν το βόλεϋ. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. Αν η πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην επέλεξε το βόλεϋ είναι 0, να βρείτε: Την πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην μ επέλεξε βόλεϋ.6 Έν να κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες. Βγάζουμε διαδοχικά δ δύο σφαίρες. Να βρεθεί η πιθανότητα: : Α) να είναι δύο κόκκινες Β) να είναι η πρώτη άσπρηη και η δεύτερη κόκκινη Γ) να είναι και οι δύο άσπρες.7 Σ Στο διπλανό πίνακα έχουμε τη βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητών σε ένα μάθημα. Αν εκλέξουμε τυχαία ένα έ φοιτητή να βρείτε την πιθανότητα να έχει βαθμό: Α) 8 Β) Το πολύ 6 Γ) Τουλάχιστον Δ) ή 7 Βαθμός 6 7 Φοιτητές 6 8.8 Σ Στο διπλανό πίνακα έχουμε τις απουσίες των μαθητών ενός τμήματος. Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του τμήματος να βρείτε την πιθανότητα να έχει: Α) λιγότερο από 0 απουσίες Β) Τουλάχιστον 0 απουσίεςς Γ) Κάτω από απουσίες Δ) Τουλάχιστον απουσίες. Απουσίες 0,0 0,0 0, 0 0, 0 Μαθητές 0 0

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Λογισμός Πιθανοτήτων.9 Έσ i) PA B στω Α, Β ενδεχόμενα ενόςς δειγματικούύ χώρου Ω. Να αποδειχθεί ότι: PAP A B, P A BPB PAB. ii) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα ενδεχόμενα A, B P A.0 Αν P Α P Β. Αν τότε βρείτε τις πιθανότητες. Θε PA, P A B. Αν να υπολογίσετε την πιθανότητα P A. Αν ν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν Α να βρεθ ν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν P A B, εωρούμε τα ενδεχόμενα A,B ενός πειράματος τύχης, με πιθανότητες τέτοιες ώστε: P A B, υπολογίσετεε την πιθανότητα P Β Α θούν οι πιθανότητες P A P A B και P A.. Να βρείτε τις πιθανότη ν για δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύου A B ν για δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύου A, B P Β, P ητες: P A, P B, P A B. Α Β και P Α Β. είναι PB Β, PA P Β και υν: PA B, PA υν: PA P A, PB,, PA B P A B. P Β, να 6 0. Αν να βρείτε τις Ρ(Α ) Ρ(Α) 6 P A και P A.6 Αν υπολογίσετεε την πιθανότ.7 Αν P A ν για δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει τητα P Β ν για δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει : P A B ότι: ΡΑΒ να P A P Α, P Β και P A B να υπολογίσετε τις πιθανότητες P Α Β, P Β, PA B Α.8 Δύ βρεθεί η πιθανότητα του καθενός.9 Εσ και ΡΒ P A B β. Να βρεθούν οι πιθανότητες: ύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενόςς δειγματικού χώρου έχουν γινόμενο πιθανοτήτων 9. Να στω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ο ισχύουν A B Ω P A B B PA P A A B Ω, ΡΑ α, http://users.sch.gr/mipapagr

6 Πιθανότητες.0 Αν PA B ν A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικούύ χώρου Ω και ισχύουν P AB AB 6, να βρείτεε την πιθανότητα P A B. και. Αν και P A Β ν A,B είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου, να βρείτε τις Α) PA Β Β) P A Γ) P B Δ) P A Β Ω και ισχύουν οι ισότητ Ε) P A A Β P A 6 τες P A 6 6,. Δίν P(A B), P(A B) και P B A. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να 0 πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β.. Δίν. Να διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε τα ενδεχόμενα Α,Β είναι ισοπίθανα.. Έσ ισχύει ότι: Ρ Α Ρ Α Ρ Α Ρ Β. Να αποδείξετε ότι το Α είναι βέβαιο ενδεχόμενο και το Β αδύνατο..6 Έσ νονται δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποίαα ισχύουν: νονται τα ενδεχόμενα A,B,Γ του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει : P(A B) P(A B) 0, και PA 0,8. Να βρείτε την P B. α αποδείξετε ότι αν οι πιθανότητες P(A), P A B,P(B), είναι με τη σειρά που δίνονται, στω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με μη μηδενικές πιθανότητες, για τα οποία στω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ο ισχύειι ότι η πιθανότητα:: Να πραγματοποιείται το Α είναι, Να μην πραγματοποιείται το Β είναι και ναα πραγματοποιούνται συγχρόνως και τα δύο είναι 6. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται: : Α) ένα τουλάχιστον από τα Α Γ) κανένα από τα Α και Β Ε) μόνο ένα από τα Α και Β και Β Β) το πολύ ένα απόό τα Α και Β Δ) μόνο το Α ΣΤ) Το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β.7 Έσ P A B. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων. 6 Α) Γ. «Πραγματοποιείται ένα μόνο από ταα A και B». Β) Δ: «Δεν πραγματοποιείται ούτε το A ούτε το B»..8 Έσ στω Α, Β ενδεχόμενα ενόςς δειγματικούύ χώρου Ω τέτοια, ώστε Ρ Α στω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ο ισχύειι ότι: Ρ Α Β ΡΒ. Να βρείτε την πιθανότηταα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β, Ρ Β καιι και

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 7.9 Αν ν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε P A B P A P B, να αποδειχθεί ότι: Α) P A BPA P B Β) P A B PA P B.0 Έσ στω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ο ισχύειι ότι η πιθανότητα: Να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α καιι Β είναι Να πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β είναι Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα το πολύ από τα Α και κ Β. Στη η Γ τάξη ενός Λυκείου το τ 0% των μαθητών ασχολείται με το ποδόσφαιρο, το 0% με το μπάσκετ και το 0% με το ποδόσφαιρο και με τοο μπάσκετ. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρεθεί η πιθανότητα: : μην ασχολείται με το μπάσκετ μην ασχολείται ούτε μεε το ποδόσφαιρο ούτε με το μπάσκετ Γ) Να ασχολείται με το μπάσκετ και να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο Δ) Να ασχολείται με ένα το πολύ από τα παραπάνω αθλήματα.. Απ πό τους 0 μαθητές της Γ τάξης ενόςς Λυκείου οι 0 ασχολούνται με το ποδόσφαιρο,, οι 0 με το μπάσκετ και καθένας ασχολείται με το τ ποδόσφαιρο ή το μπάσκετ. Επιλέγουμε τυχαία α ένα μαθητή, να βρεθεί η πιθανότητα: : μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο ασχολείται με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ Γ) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο αλλάά όχι με το μπάσκετ. Στη η Γ τάξη ενός Λυκείου υπάρχουν αγόρια και 0 κορίτσια. Τα των αγοριών συμμετείχαν στην πενθήμερη εκδρομή της τάξης τους. τ Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. Να Ν βρείτε τηνν πιθανότητα: είναι αγόρι και να μην έχει πάει εκδρομή είναι κορίτσι ή να μην έχει πάει εκδρομή.. Σε ένα σχολείοο το 0% των μαθητών έχει κινητό τηλέφωνο ή δεν έχει Η/Υ και το % των τ μαθητών έχει κινητό και Η/Υ. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν η πιθανότηταα να έχει κινητό και να μην έχει Η/Υ είναι, να βρείτε την πιθανότητα να μην έχει Η/Υ ούτε κινητό.. Η Β τάξη ενός Λυκείου έχειι 0 αγόρια και κορίτσια. Τα των αγοριών και το 0% των κοριτσιών πήγαν την προηγούμενηη μέρα σε μια συναυλία. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. ά Αν η πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην έχει πάει στην συναυλία είναιι 0%, να βρείτε την πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην έχει πάει στην συναυλία. http://users.sch.gr/mipapagr

8 Πιθανότητες Παραμετρικές.6 Αν ΝΑ ν Ω δειγματικός χώρος ενός ε πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά α ενδεχόμενα με Ν Ω 0 και, P B, με A, B συμπληρωμα ατικά ενδεχόμενα, να βρεθούν τα P A 6 A και PB..7 Αν ν A,B ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενόςς δειγματικού χώρου Ω αποδείξετε ότι λ με PA λ, PB 7λ 6λ, να.8 Εν του κ με κ,,,...,6. Να βρείτεε τη πιθανότητα εμφάνισης κάθε αριθμού..9 Έσ PA PB τέτοιος ώστε PA, PΒ.0 Έσ ενδεχομένωνν του ικανοποιούν τις σχέσεις P P. Έσ ω,ω,ω και οι πιθανότητες P(ω ),P(ω ).. `Εσ Να υπολογίσετε τις πιθανότητες:. Έσ P κ 7 7 να μη αμερόληπτο ζάρι είναι έτσι φτιαγμένο ώστε η εμφάνιση κάθε αριθμο στω Ω ένας δειγματικός χώρος και A,B,Γ ενδεχόμενά του ξένα ανά δύο,, ώστε PΓ όπου PA, PΒ, PΓ οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α,Β,Γ και υπάρχει θ 0 ε PA, P Β PΓ και στω Ω ω,ωω,ω ένας δειγματικόςς χώρος του οποίου οι πιθανότητες P ω, i,, των απλών αριθμός. Να βρεθούν: Α) οι πιθανότητες P ω,p ω,p ω, Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α ω,ω,, Β ω,ω στω Ω ω, ω,ω,ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενά του Α= και Β=ω, ω στω ο δειγματικός χώροςς Ω 0,,,,...,0 και οι πιθανότητες στω ν θετικός ακέραιος και ο δειγματικός χώρος Ω,,,....,ν. Δίνονται οι πιθανότητες κ, P Β θ κ,,,,..., ν. Να υπολογίσετε PAB.. Αν ισχύ Β) Γ) Ρ P Γ ω θ ύουν : ΡΑ, 0 και την πιθανό την πιθανό και ω P Γ P Α θ, να ν υπολογίσετε τις πιθανότητες 7P ω κ θ και κ Ρ Β και κ Ρ Α, όπου A 0,,,...,0 Α) την πιθανότητα ότητα PA ότητα PΒ 6Pω P ω ι όταν Α,, του ενδεχομένου P ω, Α Β και ΑΒ. P κ P0, ού i Β Ω / κ να είναι ανάλογη θ, όπου θ φυσικός κ P(ω ), να βρεθεί ο κ R * κ κ, κ,,..,0

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 9 Ανισότητες. Αν Α) 0 P(A)P(A ) Β) P(A) P(A ) Δ) P( (A B) P(A) P(A Β) P(A) P(Β) ΡΑ E) P(A B) P( A) P(B) P(A B). Έσ Α) Τα ενδεχόμενα A και B δεν είναι ασυμβίβαστα.6 Έσ P A B.7 Έσ ν Α,Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι: στω A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ενός πειράματος τύχης ς για τα οποία ισχύει, PA 6 P B. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων A B, A B 7 στω A,B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) 0,, P( (B) 0,78. εξετάσετε αν τα A,B είναι ασυμβίβαστα Β) Β Γ) P(AA B) P(A)P(B) P((A Β)). στω A,B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A), P(B). Αποδείξτε ότι: Β) 6P(A B) Να αποδείξετε ότι: 0,P(AB) 0,.8 Έσ στω Α, Β ενδεχόμενα ενόςς δειγματικούύ χώρου με Ρ Α, Ρ ΑΒ. Δείξτε ότι ΡΒ.9 Έσ τα A,B δεν είναι ασυμβίβαστα.60 Έσ P(A B) 6.6 Έσ στω A,B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A), P(B ). Να αποδείξετε ότι στω A,B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A), P(B ). Να αποδείξετε ότι: στω A,B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) P(B) και P(A ) P(B). Να αποδείξετε ότι: P(A 6 B) 6.6 Έσ στω Α,Β,Γ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε Γ Α Β. Να αποδειχθεί ότι Α) ΡΡ Γ Ρ Α Β Ρ ΑΒ Ρ Α Β Β) ΡΑΒ Ρ Α Ρ Β Γ.6 Αν 0 α β.6 Αν P B. ν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν P A α καιι P(Β) β, όπου, να αποδειχθεί ότι β α ΡΑΒ ν A, B συμπληρωματικά ενδεχόμεναα και ΡΑ Β P. A 8 9P A PB, να βρεθούν ο PA και οι http://users.sch.gr/mipapagr

0 Πιθανότητες Γενικές ασκήσεις στις πιθανότητες.6 Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες. Βγάζουμε διαδοχικά δ δύο σφαίρες. Να βρεθεί η πιθανότητα Α) να είναι δύο κόκκινες Β) να είναι η πρώτη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη άσπρες Γ) να είναι και οι δύο.66 Σε διακοπές σε μια έρευνα που έγινε μεταξύ των μαθητών μιας τάξης έδειξε ότι Το 0% θα πάει το καλοκαίρι «νησί», Το 0% θα πάειι το καλοκαίρι διακοπές σε «βουνό»το 0% θα πάει διακοπέςς το καλοκαίρι σε «νησί» και σε «βουνό» ενώ τρείς μαθητές δεν θα πάνε πουθενά. Πόσα άτομα έει η τάξη; τ.67 Μέ Επιλέγουμε την μία μπάλα μετά από την άλλη μέχρι να μείνουν στο κουτί μπάλες τουυ ίδιου χρώματος. Να βρείτε : Α) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: Οι μπάλες που επιλέξαμε ήταν του ίδιου χρώματος. Β: «Στο κουτί έμεινε μόνο μία μπάλα.» Γ: Από τις μπάλες που επιλέξαμε οι κόκκινες ήταν περισσότερες ς από τις άσπρες..68 Έσ έσα σε ένα κουτί υπάρχουν μπάλεςς από τις οποίες οι είναι άσπρες και οι κόκκινες. Β) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α Β,Β Γ,Γ Α, Α Β. στω A,B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν οι πιθανότητες π ΡΑ, ΡΑ, ΡΑ Β είναι ρίζες της εξίσωσης: 0, να βρείτε την τ πιθανότη ητα ΡB Β.69 Σε ένα εκτροφείο αλόγων υπάρχουν νν θηλυκά και ν ν αρσενικά άλογα με ν Ν *. Επιλέγουμε στην τύχη ένα άλογο. Να βρείτε πόσα θηλυκά και πόσα αρσενικά άλογα υπάρχουν στο εκτροφείοο έτσι ώστε η πιθανότητα το άλογο που επιλέξαμε να είναι θηλυκό, να είναι η μέγιστη..70 Έσ ότι PA B στω A,B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ότι ισχύει PA PB. με P(A B) και P(A) P(B). Nα δειχθεί.7 Έσ στω A, B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρουυ Ω, ενός πειράματος τύχης με μη μηδενικές πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων. Αν P A PAB και PB PA B, να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α καιι Β είναι συμπληρωματικά..7 Έσ στω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ώστε: PA PA λ και e ΡΒln κ όπου κ Ν*, λ Ν. Να αποδείξετε ότι κ, λ 0 και ότι ln PA B.7 Έσ στω A, B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρουυ Ω, ενός πειράματος τύχης με μη μηδενικές πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων. Αν P B PA B και PB PA B. Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα A καιι B είναι συμπληρωματικά..7 Έσ στω A, B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρουυ Ω, ενός πειράματος τύχης. Να αποδείξετε ότι αν PA B P AB τότε P A PB e e ln