ΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α Όχι βιαστικά, όχι αργά. Στο ρυθµό σου.. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο R µε συνεχή δεύτερη παράγωγο που ικανοποιεί τις σχέσεις f() f () και f ()f() + (f ()) f()f () για κάθε R. f ()f () Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h() είναι σταθερή Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. i Αν g συνεχής συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το [, ], δείξτε ότι η εξίσωση g(t) dt έχει µία µόνο ρίζα στο διάστηµα (, ). + f (t) f ()f () f ()f () H h είναι παραγωγίσιµη στοr µε h () ( ) h() c Για f ()f () c f()f () c. () f ()f () + (f ()) f ()f () [f ()f () + (f ()) f ()f ()] για κάθε R, άρα h() c έχουµε f()f () c c c οπότε Η () γίνεται f()f () f()f () (f ()) ( ) f () + c () Για έχουµε f () + c + c c Η () γίνεται f () f() ± Επειδή η f είναι συνεχής και δεν µηδενίζεται, θα έχει σταθερό πρόσηµο. Και αφού f() >, θα είναι και f() > για κάθε R, άρα f() i.
Θεωρούµε τη συνάρτηση φ() g(t) dt + f (t) g(t) dt t + ( ) g(t) t dt, [, ] + g(t) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [, ] άρα και η. t + Άρα το ολοκλήρωµα είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση, άρα και συνεχής. Εποµένως η φ είναι συνεχής στο [, ] σαν πράξεις συνεχών (3) φ() < (4) φ() g(t) t dt + (5) όµως g(t) g(t) t t + + < (6) g(t) < t + g(t) dt t + g(t) t dt dt + < g(t) t dt < + ( 4 ) g(t) t dt > + φ() > (7) Από τις (3), (4), (7) µε θεώρηµα Bolzano, θα υπάρχει ξ (, ) ώστε φ(ξ). Για τη µοναδικότητα : g() Είναι φ () > λόγω της (6). + Εποµένως η φ είναι γνησίως αύξουσα, άρα η ρίζα είναι µοναδική Έχε υπόψη σου: Σε ηµιτελή παρουσίαση άσκησης, τίποτα δε βαθµολογείται αρνητικά. Παρουσιάζουµε κάθε σκέψη που κατέβασε η κούτρα µας
3. Για συνεχή συνάρτηση f : Να βρείτε την τιµή f() R R, δίνεται ότι Να δείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο ο f () + 5 ηµ i Αν h() f(), να δείξετε ότι οι εφαπτόµενες των C f, C h στα σηµεία Α(, f()) και Β(, h()) αντίστοιχα, είναι παράλληλες. Θέτουµε f () + g() ηµ (), οπότε g() 5 Κοντά στο, η () f() g()ηµ + () Αλλά, f είναι συνεχής f() ( ( ) ) f () g ηµ + 5 + f() f () ( ) f () f () f () g() ηµ + ηµ g() + Όµως ηµ g() ηµ g() 5 Και (3) f () f () f () i h() h() f () f () δηλαδή h () f () Εποµένως οι εφαπτόµενες στα Α(, f()), (3) Β(, h()) είναι παράλληλες Σε διαγώνισµα: Αν δεν προλαβαίνουµε να παρουσιάσουµε τη λύση, την περιγράφουµε
4 3. ίνεται η συνάρτηση f() λ, λ > είξτε ότι είναι γνησίως αύξουσα είξτε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης της C f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y λ. Βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου επαφής Μ i είξτε ότι το εµβαδόν Ε(λ) του χωρίου που ορίζεται από τη C f, την εφαπτοµένη στο Μ και τον άξονα y y είναι Ε( λ ) λ λ Ε( λ) iν) Να υπολογίσετε το όριο λ + +ηµλ. Είναι D f R, αφού η f είναι εκθετική. f () λ λ > f γνησίως αύξουσα Εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Μ( o, f( o )) : y f( o ) f ( o )( o ) o y λ o λ λ ( o ) o y λ λ o λ λ o o + λ Επειδή η εφαπτοµένη αυτή διέρχεται από το σηµείο Ο(, ), θα έχουµε o λ λ o o + λ o λ ( λ o + ) o λ Οπότε η εξίσωση της εφαπτοµένης γίνεται y λ g() λ το δε σηµείο επαφής Μ είναι Μ, f ( ) λ λ M, λ i Tο διάστηµα ολοκλήρωσης είναι το,, στο οποίο λ y η διαφορά f () g() λ λ είναι συνεχής Επειδή δε f () λ λ >, η f είναι κυρτή. Εποµένως η C f είναι ψηλότερα από την εφαπτοµένη στο Μ, οπότε f () g(). Το ζητούµενο εµβαδόν είναι λ λ λ λ λ Ε(λ) ( λ)d λ λ λ λ λ λ iν) λ + ( ) +ηµλ λ Ε λ λ λ λ λ λ λ + +ηµλ λ( ) λ + 4 + ηµλ λ + 4 ηµλ + λ λ O Μ λ ()
5 Είναι 4 λ + λ () ηµλ λ Είναι > (4) λ λ ηµλ λ λ αλλά λ λ + λ + λ ηµλ Από το κριτήριο παρεµβολής θα είναι και λ + λ (3) Λόγω των (), (3), (4) η () γίνεται λ + λ Ε λ ( ) +ηµλ + Γενικά: Σε περίπτωση αδιέξοδου, χρησιµοποιείστε Θ.Μ.Τ
6 4. Έστω η συνάρτηση f() + ( ), Να αποδείξετε ότι είναι Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης f - i Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f - µε την ευθεία y. iν) Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περιέχεται µεταξύ των C, C. Η f είναι συνεχής στο Α [, + ) µε f () ( ) > για κάθε > Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), άρα και Αφού η f είναι, αντιστρέφεται. f() και f() + [ + ( ) ] + Άρα f - : [,+ ) [,+ ) Για τον τύπο της f - : y f() y + ( ) Συνεπώς : f - () + i f() + f (Α) [,+ ) + ( ) y y y + y + ( ) 5 + 6 ή 3 Τα κοινά σηµεία των C f, y είναι τα (, ), (3, 3) Επειδή η ευθεία y είναι άξονας συµµετρίας των C f, f τα κοινά των C f, y. iν) Το διάστηµα ολοκλήρωσης είναι το [, 3] Πρόσηµο της διαφοράς f() στο [, 3] : f() 5 + 6 ή 3 f C, τα ίδια σηµεία είναι f Άρα στο διάστηµα [, 3] είναι f(), πράγµα που σηµαίνει ότι η C f είναι χαµηλότερα από την y, και λόγω της συµµετρίας η f C θα είναι ψηλότερα από την y, επoµένως ψηλότερα και από την C f, δηλαδή f - () f(). Το ζητούµενο εµβαδόν είναι ( ) ( ) 3 Ε f ( ) f( ) d ( ) + 3 d y O y C f 3 C f -
7. 3 ( + ( + )) 3 ( + + ) 3 ( + 4 4 ) d 4 4 d 4 4 d 3 (( ) + 4 4)d 3 + 3 ( ) + 4 4 τετραγωνικές µονάδες 3 + 3
8 5. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, z, z 3 τέτοιοι ώστε z z z 3 και z + z + z 3 Να δείξετε ότι z z z 3 z z z z z 4 και R(zz ) i Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z, z, z 3 και το είδος του τριγώνου που έχει κορυφές αυτές τις εικόνες. Αρκεί να αποδείξουµε ότι z z z 3 z Οπότε αρκεί Αλλά z + z + z 3 z z z 3 z z 3 z z 3 + z + z 3 z + z 3 z 3 + z z + z 3 z 3 + z (z + z 3 )( z + z3 ) (z 3 + z )( z3 + z ) (z + z 3 )( z + z3 ) (z 3 + z )( z3 + z ) 4 z z + z z 3 + z 3 z + z 3 z 3 4 z 3 z 3 + z 3 z + z z 3 + z z 4 z + z 3 4 z 3 + z 4. + 4. + που ισχύει Οµοίως αποδεικνύεται ότι z 3 z z z z z z + ( z ) z + z +, δηλαδή z z z z 4 (z z )(z z ) 4 i (z z )(z z ) 4 zz zz z z + z z 4 z zz zz + z 4 z z z z + 4 z z + z z z z + z z R(zz ) R(zz ) z z 4
9 Επειδή z z z 3, ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των αριθµών z, z, z 3 είναι κύκλος µε κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ. Λόγω της σχέσης z z z 3 z z z οι εικόνες των z, z, z 3 ισαπέχουν µεταξύ τους, οπότε το τρίγωνο, που έχει κορυφές αυτές τις εικόνες, είναι ισόπλευρο.
6. + Έστω η συνάρτηση f () ln Να βρείτε το πεδίο ορισµού και τι σύνολο τιµών της f. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει ακριβώς δύο ρίζες. i Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g() ln στο σηµείο Α(α, lnα) µε α > και η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h() στο σηµείο Β(β, β ) ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθµός α είναι ρίζα της εξίσωσης f(). iν) Να αιτιολογήσετε το ότι οι C, C έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόµενες. Για να ορίζεται η f πρέπει να ισχύουν και > g h και > Άρα Α f (, ) (, + ) H f είναι παραγωγίσιµη στο Α f µε f () + < ( ) ( ) Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα σε κάθε ένα από τα διαστήµατα (, ), (, + ). + f () ln ( ) ( ) + f () f () + f () + + ln + ln + + + + ln + + + - ln (+ ) + Οπότε: Όταν (, ), το σύνολο τιµών της f είναι το (, + ). Όταν (, + ), το σύνολο τιµών της f είναι το (, + ) Άρα το σύνολο τιµών της f είναι το f(α) (, + ) (ας πούµε δύο φορές) Όταν ο διατρέχει το διάστηµα (, ) αποδείχθηκε ότι ο f() διατρέχει το (, + ) και αφού (, + ), η εξίσωση f() έχει ρίζα στο (, ), µοναδική λόγω της µονοτονίας. Οµοίως όταν ο διατρέχει το διάστηµα (, + ) i Αρκεί να αποδείξουµε ότι f ( α ), δηλαδή α+ lnα α
Η εξίσωση της εφαπτοµένης στο Α είναι y lnα ( α) α Η εξίσωση της εφαπτοµένης στο Β είναι Οι (ε ), (ε ) ταυτίζονται iν ) y α + lnα (ε ) y β β ( β) y β β β + β (ε ) α β και lnα β β + β β lnα και lnα β β + β β lnα και lnα lnα -lnα + -lnα β lnα και lnα lnα + α α β lnα και αlnα α lnα + β lnα και αlnα lnα α + β lnα και lnα (α ) α + α+ β lnα και lnα α α+ β lnα και α - lnα Οι C, g C έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόµενες h η εξίσωση f() έχει ακριβώς δύο ρίζες που ισχύει από το ( (i
7. Έστω f συνάρτηση συνεχής στο R, τέτοια ώστε + 3 f ()d f () για κάθε R + 3 Να βρείτε τον τύπο της f Να δείξτε ότι f(t) f() για κάθε t [, + ], όπου > i α) Αν για τις συνεχείς συναρτήσεις h, g ισχύει h() g() στο [α, β], β β να αποδείξετε ότι h()d g()d β) Να βρείτε το όριο Θέτουµε + 3 f ()d α α + + f (t)dt c () Η υπόθεση γίνεται c () () f () + 3 + 3 + c d c + 3 - ( ) + c +3 d c d+ c + 3d c ( ) d+ c 3 d + c c ( ) 3 d+ + 3 d c () f() + c ( ) 3 + 3 + c c c + 3 c f() + 3 Αρκεί να αποδείξουµε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, t] Είναι f () ( + 3) + 3 <, άρα f γνησίως φθίνουσα Προσέξτε αυτή τη διαδικασία + c ()
3 i α) h() g() f() g() β) < t + β (f () g()d α β f ()d g()d α α β f ()d g()d α α β β ( f() f(t) f( + ) (+ ) + 3 f(t) + 3 Η µονοτονία στην απόδειξη ανισότητας µε βάση το (α) + dt (+ ) + 3 + f (t)dt + dt + 3 (+ ) + 3 (+ ) + 3 + dt + f (t)dt + f (t)dt + 3 + 3 + dt Όµως + + 3 + και Οπότε από το κριτήριο παρεµβολής θα είναι και (+ ) + 3 + + + f (t)dt +
4 8. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : [, ] R και η Μεγάλης g() f (t)dt + f (t)dt δυσκολίας, [, ] t t Αν f dt 6 και το εµβαδόν Ε του χωρίου που ορίζεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες, είναι ίσο µε, τότε f 6 δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ο (, ) ώστε f ( o ) o µελετήστε την g ως προς τη µονοτονία και βρείτε τα τοπικά ακρότατα αυτής i υπολογίστε το g()d t t t f dt 6 t f dt 6 () t Θέτουµε u οπότε du dt Όταν t τότε u και όταν t τότε u Η () γίνεται ( ) u f u du 6 uf (u)du 6 () Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης f() 6 στο διάστηµα (, )»» f() 6»»»» f() 6»» β f ct dt οδηγεί α σε αλλαγή µεταβλητής Το ( ) Θεωρούµε τη συνάρτηση φ() tf (t)dt 6, [, ] Τότε φ () f() 6 Πάµε για Roll φ() tf (t)dt 6 6 φ() tf (t)dt 6 Άρα φ() φ() () 6 6 6 Εποµένως για τη συνάρτηση φ, ισχύει το θεώρηµα Roll στο διάστηµα [, ], οπότε υπάρχει ρίζα της φ () f() 6 στο (, )
5 g() f (t)dt + f (t)dt g () f() + f() g () f() (3) Επειδή η f είναι συνεχής µε f(), θα διατηρεί σταθερό πρόσηµο. Και επειδή 6 f ( o ) >, θα είναι f() > για κάθε [, ] o Εποµένως g () >, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] Οπότε g min g() f (t)dt και g ma g() f (t)dt (4) Όµως Ε f (t)dt (4) g min και g ma i g()d g()d [ g() ] g ()d (3) g() f ()d [ ] g() f ()d [ ] () g() g() 6 + Μη φοβάστε τα µεγάλα νούµερα, δεν προσθέτουν δυσκολία
6 9. Έστω η συνάρτηση f (), [, ] + 4 Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών της. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται, και θεωρώντας ότι η f είναι συνεχής f ()d δείξτε ότι f ()d + 8 Είναι f () > για κάθε [, ). ( + 4) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, ] f min f() και f ma f() f () + 4 Σύνολο τιµών της f : f(α), ιαδικασία για την ολο- κλήρωση της αντίστροφης Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], είναι και οπότε αντιστρέφεται. f ()d Για το ολοκλήρωµα Ι θέτουµε f - () u f(f - ()) f( u) f(u) () οπότε και d f (u) du Νέα άκρα ολοκλήρωσης : u Όταν, η () f(u) u u + 4 Όταν, η () f(u) u u + 4 u u u + 4 Άρα Ι Το άθροισµα : uf (u)du f ()d f ()d f ()d + f ()d + f ()d f ()d + [ f () ] f ()d f()
7 3. ίνεται η συνάρτηση f () +, R Να αποδείξετε ότι f () + Να βρείτε την πλάγια ασύµπτωτη της f στο i Να αποδείξετε ότι iν) Να αποδείξετε ότι f () + λ + + + f () f () + + f () d ln( + ) + ( + ) + ( + ) ( + )( + + ) + + β ( f () ) + + + + λ ( ) + ( κοντά στο ) + + + + ( )( ) + + + + + + ( ) + Εποµένως πλάγια ασύµπτωτη στο είναι η ευθεία y i f () + f () f () f () + + + + ( + )
8 f () + f() f () + + f() iν) Είναι f(), διότι αν για κάποιο ήταν f(), τότε Προσέξτε αυτή τη διαδικασία + + + που είναι άτοπο Από (i έχουµε Οπότε d + f () + + f () f () d f () ln f () ln f() + ln f() f () f () + ln( ) + ln ln( ) ln + ln ( )( + ln( + ) )