για τις οποίες ισχύει ( )

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

2 . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα για τις οποίες ισχύει 5,ώστε να ισχύει f g g () f. γ) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτοµένη στη γραφική παράσταση της g που να είναι παράλληλη στον άξονα. α) Αρκεί για g g ( ) ( ) () g g f g f g g( ) g( ) () Θέτω: κ + + κ + > κ κ 4 5 " " κ " " () κ( ) κ( ) β) Για την κ κ κ( ) κ() < θ. Β θ κ θ κ() () κσυν [,] θ 5 f g( θ) θ θ g( θ) κ( θ) f g( θ ) κθ + g( θ) f g( θ) g( θ) Για το g(θ): υπάρχει : g( θ ) Άρα f, άρα : f, : γ) Έστω ότι υπάρχει εφαπτοµένη της C // στον, δηλαδή θ : g ( θ) () ( ) + + () + 5 ( f g ) ( ) ( g ) θ f g g g g g ( θ ) f g( θ ) g ( θ ) 5θ + + g ( θ ) f g( θ ) 5θ + + 5θ + άτοπο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

3 . Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g: ώστε: f() + f() f(6) g() + g() g(6)(). Να αποδείξετε ότι υπάρχει [,6], ώστε: f g. () ( f g ) ( f g ) ( f g ) () () + () () (6) (6) () Έστω: h f g συνεχής στο [,6 ], άρα σύµφωνα µε θεώρηµα µέγιστηςελάχιστης τιµής m h M, για καθε [,6] [ ] [ ], 6 m h() M, 6 m h() M... 6, 6 m h(6) M [ ] 6m 6M m M ( + ) () 6 m h() + h() h(6) 6M Άρα το είναι ανάµεσα στη µέγιστη και στην ελάχιστη τιµή της h, άρα είναι τιµή της h, δηλαδή [ ] υπαρχει,6 : h f g. ίνεται µία συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα [ a, β ] τέτοια ώστε να ισχύει f( a) f( β ) >. ίνεται επιπλέον ότι υπάρχει µοναδικός αριθµός ( a β ) f ( ). είξτε ότι για κάθε [ a, β ] ισχύει f f( a). ώστε, Αφού θέλω για κάθε [ a, β ] [ ] θ a, β : f( θ) f( a) < να ισχύει f f( a), τότε έστω ότι υπάρχει Όµως, f( a) f( θ ) f( a) < f συνεχης στο [ a, θ ] f( θ) f( β) < θ. Β. ( a ) ξ, θ : f( ξ ) [, ] f β > θ. Β. ξ [ θ β) f ξ f( θ ) f( a) < f συνεχης στο θ β Άρα η f έχει δύο ρίζες διαφορετικές στο ( a, β ), άτοπο., ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

4 4. Για µια συνεχή συνάρτηση f :[, ] a β δεχόµαστε ότι: f ( β ) > β. Να δείξετε ότι: «αν β f d α < β α, τότε η εξίσωση f έχει λύση». Το β α θυµίζει: β α β d α Θέτω: g f Αρκεί να υπάρχει [ β ] a, : g( ) f( β) > β f( β) β > g( β) > β a f d< a f d< β β β α α β β β f d < d ( f ) d < α α α β gd < α Αφού g: συνεχής και το ορισµένο ολοκλήρωµα είναι αρνητικό, τότε η g θα έχει τουλάχιστον µία αρνητική τιµή στο [ a, β ]. (Γιατί αν όλες οι τιµές ήταν θετικές, τότε και το ολοκλήρωµα θα ήταν θετικό, άτοπο). Άρα, [ a ] υπαρχειξ, β : g( ξ ) < g( β) g( ξ) < θ. Β. υπαρχει ( ξ, β ) ( a, β ): g g συνεχης στο ξ β [, ] 5. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, ] κάθε [ a, β ] ( a, β ) a β και f για. Αν f( a) f ( β ) f( β ) f ( a) (), να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε: f( ξ ) f ( ξ ) >. υπάρχειη f f παραγωγ ίσιµη f συνεχής f παραγωγ ίσιµη f συνεχής (παντα στο [ a, β ] ) f f συνεχής f διατηρεί πρόσηµο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

5 4 f f( a) f( β ) () f( a) f ( β) f( β) f ( a) () f ( a) f ( β ) f f στο β,g παραγωγίσιµη άρα: Θέτω: g [ a, ] f f f f f f f g g () f f ga f( a) f ( a) () f ( β ) g( β ) f ( β ) gσυνεχης στο α β ga g( β ) [, ] θ. Roll. gπαραγωγισιµη στο α, β υπ άρχει α, β : g ( ) ga g( β ) () f ( f( ) f ( ) υπάρχει a, : ( β ) ( f ( ) ( f ) ( > f ( f( ) f ( ) f( ) f ( ) > ξ 6. ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο ώστε να ισχύει f( + κ) + f (), για κάθε, όπου * κ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει άπειρες πραγµατικές λύσεις. () f( κ + κ) + f( κ) f( κ) f () f( + κ + κ) + f( + κ) f( + κ) f( + κ) () κ + κ f( + κ ) f () κ () f κ + κ + f κ f( κ) + f( κ) f + f( κ) f( κ) f () (),() f( κ) f f( + κ) (4) Άρα η f ( ) περιοδική µε περίοδο T κ. f() f( κ ), άρα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

6 5 [, κ ] θ. Roll. f συνεχής στο f παραγωγίσιµη στο, κ υπαρχειξ, κ : f ( ξ) f() f( κ) (4) f ( κ)( κ) f f ( + κ)( + κ) f ( κ) f f ( + κ) Άρα η f περιοδική µε περίοδο T κ. Όµως, η f έχει στο (, κ ) ρίζα, δηλαδή σε µία περίοδο έχει ρίζα, άρα και σε κάθε άλλο διάστηµα πλάτους κ θα έχει ρίζα (λόγω περιοδικότητας). Άρα η f έχει άπειρες λύσεις, µία τουλάχιστον στο πλάτος κάθε περιόδου. 7. Έστω f συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, 4 ]. Αν f(), f() >, f() < και (4) 4 f ( ). f, να αποδείξετε ότι υπάρχει, 4 τέτοιο ώστε f () f (4) 4 Με οδηγεί να θέσω: g f ( ), άρα g f g() f() g(4) f(4) 4 g() f() > g() f() < g() g() < g συνεχης g συνεχής [,] [, θ ] θ. Βolzano. υπάρχειθ, : g( θ ) θ. Roll. g παραγωγίσιµη, θ υπάρχειξ, θ : g ( ξ ) g() g( θ ) g συνεχης θ [,4] θ. Roll. g παραγωγισιµη θ,4 υπαρχει ξ θ,4 : g ( ξ ) g( θ ) g(4) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

7 6 g συνεχης ξ ξ [, ] θ. R. g παραγωγισιµη ξ, ξ υπ άρχει ξ, ξ,4 : g ( ) g ( ξ ) g ( ξ ) 8. Έστω a, β, γ ώστε a + β + γ. Να αποδείξετε ότι β αγ β αγ : θυµίζει ιακρίνουσα α γ 4 β β αγ. Θέτω: a γ α γ f + β + µε β 4 Θέτω: a F + β + γ, αρχική της f ( ). 6 F() a β γ a+ β + γ F() F() F() F συνεχης F() F() [,] (,) F παραγωγισιµη θ. R. υπάρχειξ ( ενα τουλάχιστον ), : F ( ξ ) υπ άρχει ξ ( ενα τουλάχιστον ), : f ( ξ ) Όµως η f ( ) είναι τριώνυµο και έχει τουλάχιστον µία ρίζα, άρα α γ 4 β β aγ 9. ίνεται συνάρτηση f : µιγαδικών αριθµών A { i f, } παραγωγίσιµη στο καθώς και το σύνολο των +. Αν οι µιγαδικοί κ( i), λ( i) + + ανήκουν στο Α, όπου κλ>, µε κ λ, να αποδείξετε ότι υπάρχει θ έτσι ώστε: f( θ ) f ( θ ). κ ( + i) A άρα, υπαρχει : + if( ) κ ( + i) + if( ) κ + κi κ f( ) () f( ) κ λ ( + i) A άρα, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

8 7 λ υπαρχει : if( ) ( i) f( ) () + λ + f λ f( ) f f (), () f Θέτω: f g f f f f g g () ( ) g g f( ) f( ) g g [, ] g συνεχης θ. Roll () g παραγωγισιµη(, ) υπ άρχειθ ( ξ, ξ) : g ( θ ) f ( θ ) f( θ ) g g. Έστω f : παραγωγίσιµη συνάρτηση µε f f ( ) () για κάθε. Αν f (), να αποδείξετε ότι: α) f f( ) για κάθε β) f για κάθε γ) Η C f εφάπτεται στην ευθεία ε : y + α) () f ( ) f ( ) () (),() f f ( ) f( ) f f f( ) f f ( ) f f( ) + f ( f( ) ) ( f f( ) ) για καθε f f( ) c f() f( ) c c, άρα f, f( ) Άρα, f f () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

9 8 β) () f( ) f () f f f για καθε f C f : f() C C Άρα f A f το σηµείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: f ( ), γ) Έστω (, ). f ε : y f( ) f ( ) y f ( ) f ( ) + f( ) Όµως, ε : y +. Πρέπει ε ε f ( ) f ( ) + f( ) ισχύει Άρα η y + εφάπτεται στο (, ) (,). Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο [ a, β ] και παραγωγίσιµη στο ( α, β ) µε f( a) f( β ). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ,..., ξ ( a, β) f ( ξ ) + f ( ξ ) f ( ξν ) () ν, ώστε Επειδή θέλω ν τιµές i καθένα. ξ για να ισχύει η () χωρίζω το [, ] a β σε ν διαστήµατα πλάτους β α το ν Πρέπει: β β α α β + α ν ν ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

10 9 β α β α β α ν ν β α β α + α β ν ν β α β α ν ν ν ν ν ν ν Η f σε καθένα από τα ν αυτά κλειστά διαστήµατα είναι συνεχής. Η f σε καθένα από τα ν αυτά ανοικτά διαστήµατα είναι παραγωγίσιµη σύµφωνα µε θ.μ.τ. β α f( a+ ) f( a) β α ξ aa, : f ν + ξ ν β α ν β α β α f( a+ ) f( a+ ) β α β α ξ a, a : f ( ) ν ν + + ξ ν ν β α ν β α β α f( a+ ) f( a+ ) β α β α ξ a, a : f ( ξ) ν ν + + ν ν β α ν... β α f( β) f( a+ ν β α ( ) ) ξν a+ ( ν ), β : f ( ξν) ν ν β α ν + f ( ξ ) + f ( ξ ) f ( ξ ) ν β α β α β α β α f a+ f( α) + f α + f a f( β) f a+ ( ν ) ν ν ν ν β α ν f( β ) f( a) f ( ξ) + f ( ξ) f ( ξν ) β α β α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

11 . ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, ] a β, τέτοια ώστε f ( β ). Αν f ( β ) >, να αποδείξετε ότι υπάρχει διάστηµα [ a, β ] στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα. υπάρχει f f παραγωγισιµη f συνεχης f παραγωγισιµη f συνεχης f f β f ( β ) f f ( β ) > lim > lim > β β β β Άρα η f > κοντά στο β. β ηλαδή υπάρχει δ : για καθε ( β δ, β) ηλαδή ( β δ, β) > να ισχύει να ισχύει f < αφού β και επειδή η f είναι συνεχής, έχω f για καθε [ β δ, β ] f >. β. <, δηλ. f < ( β δ, β). ίνεται το ολοκλήρωµα I π π ηµ d. Να αποδειχθεί ότι: + π ηµ i) I d π + και ii) I π i) Θέτω: π π y ( γενικά a+ β y) Άρα y d dy dy d π π y y π π π y y π Άρα ( ηµ y) π ηµ π ( y) ηµ ( y) π y I d dy dy π y π + + π + y y π yηµ y π y ηµ y π ηµ dy dy d π y y + π + π + y ii) I I π π π π ηµ d + + I ηµ d + π π ηµ + ηµ d + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

12 π ηµ ( + ) π I d I ηµ d π + π π π π I ( συν ) d I ( συν ) ( συν ) d π I π συνπ ( π ) συν ( π ) + συν d [ ] I π ( ) + π ( ) + ηµ π I π + π + ηµπ ηµ ( π) I π I π π π π π π 4. Να αποδειχθεί ότι: I συν π / ( ηµ ) π d. ηµ συν ( συν ) + ( ηµ ) 4 Θέτω: π y d dy dy d π π y y π π π y y π ηµ ηµ y συνy π συν συν y ηµ Άρα, π / ηµ y ( συν y) y ( ηµ y) + ( συν y) συν ηµ y ( dy) I I π / ηµ y ( συν y) y ( ηµ y) + ( συν y) συν ηµ y dy I π / ηµ ( συν ) π / συν ( ηµ ) ( ηµ ) + ( συν ) ( ηµ ) + ( συν ) συν ηµ ηµ ( + ) συν π / ηµ + συν συν + ηµ I όµως I d συν ηµ π / π π I d I I 4 συν ηµ d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

13 5. Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο, µε > για κάθε. Να f αποδείξετε ότι η εξίσωση Θέτω: g f + f +, έχει ακριβώς µία λύση στο. Αρκεί η εξίσωση g να έχει µοναδική λύση στο. Επειδή > > f f f > f > Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο. g f + Επειδή f f g > + > + > + Όµως + > (τριώνυµο µε < ) τότε g >, άρα g στο. Για h f > h > h() f > f() f > + f(), + Όµως lim + +, άρα lim f + + Για h < h < h() f < f() f < + f() lim, άρα lim f Έχω g στο άρα g( ) g( ) ( lim f, lim f ) g συνεχής στο g( ) + g( ) άρα η g έχει µοναδική ρίζα στο λόγω µονοτονίας της g. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

14 6. ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [ a, β ] καθώς και οι µιγαδικοί αριθµοί της µορφής Z + i f, W i f αποδείξετε ότι υπάρχουν θ, θ ( a, β ) +, όπου [ a, β ] Im( Za) Im( Zβ ) f ( a) f ( β ) () Αρκεί: Wθ+ Wθ Wθ+ Wθ θ+ if ( θ) + θ + if ( θ) θ if ( θ) + θ if ( θ) ( f ( θ) + f ( θ) ) i ( f ( θ) f ( θ) ) i f ( θ) + f ( θ) f ( θ) f ( θ) f ( θ ) + f ( θ ) f ( θ ) + f ( θ ). Αν ισχύει Im( Za) Im( Zβ ), να, τέτοια ώστε Wθ + Wθ Wθ+ Wθ. a + β f f( a) a+ β a+ β a + β f συν,,,, (, ): ( a β θ a a β f θ) θ. Π. β α a+ β a+ β a + β f παραγ a,,, β f( β ) f a + β θ, β ( a, β) : f ( θ ) β α a+ β a+ β + f f( a) + f( β ) f ( f β f a f θ) + f ( θ) β α β α f( β) f( β) β α β α 7. Αν a > και η εξίσωση a έχει θετική λύση, να βρεθεί η µικρότερη τιµή του α. Έστω > η θετική λύση της εξίσωσης, τότε a ln ln a ln ln + ln a / / lna ln + ln a ln ln a ln a (ln ) Θέλω τη µικρότερη τιµή του α, άρα αρκεί να βρω την µικρότερη τιµή του Θέτω: f (ln ) D f (, + ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ (ln ).

15 4 (ln ) (ln ) f (ln ) (ln + ) [ ] (ln ) f ln (ln ) (ln ) ln ln f f f f() f < f > f() f f() Άρα min f f() min f. Άρα (ln ) min a. f 6a + a+ 9, όπου a 8. Έστω η συνάρτηση f µε τύπο συν σταθερά. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο σηµείο, τότε: 7a ηµ + a + 9 α) Να αποδείξετε ότι: ( a 8) β) Αν, να βρεθεί ο α. α) f ελάχιστο στο θ. Frmat το εσωτερικό του f ( ) () στο παραγωγ ίσιµη f a+ a+ a+ a + 7 συν 9 ηµ 9 9 f 7a ηµ a + 9 συν a + 9 a + 9 7a ηµ a+ 9 a + 9 7a ηµ ( a+ 8) a + 9 β) ηµ ( a ) 7a + 8, ισχύει. a + 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

16 5 7a ηµ ( a + 8) a + 9 7a a + 9 a + 9 a + 9 ισχύει για κάθε a a + 9 7a 7a 9. Έστω οι πραγµατικοί αριθµοί a, b, c, d έτσι ώστε: () a+ b c+ d < () d > () a+ b+ c+ d < Να δειχτεί ότι b ac. (Υπόδειξη: Να θεωρηθεί το πολυώνυµο ρίζες στα διαστήµατα (, ) και (, )). f a b c d και να δειχτεί ότι έχει f a b c d f a b c f( ) a+ b c+ d < f( ) f() < f() d > f() d > f() f() < f() a+ b+ c+ d > [, ] f συν θ. Β. ξ (, ): f ( ξ) f( ) f() < [,] f συν θ. Β. ξ (, ): f ( ξ) f() f() < f συν ξ ξ [, ] θ. R. fπαρ ξ, ξ ξ ξ, ξ : f ( ξ ) τουλάχιστον ένα ξ f( ξ ) f( ξ ) Η f είναι τριώνυµο, έχει τουλάχιστον µία ρίζα, άρα ( b) 4 a c 4b ac b ac ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

17 6. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f :, [ ], για την οποία ισχύει: ( f f ) d. ( f f ) d f f d f f + d f d d 4 f d d f d 4 f f d f f. ίνεται η συνάρτηση f µε f,. + α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση F µε αν f( ) >. F f( t) dt είναι γνησίως αύξουσα στο, β) Να λυθεί η εξίσωση f () tdt. ηµ α) f() t συνεχής f() t dt παραγωγισιµη F f > F στο β) ηµ ηµ f () tdt f() tdt+ f() tdt F F( ηµ ) + F F F( ηµ ) ηµ µοναδικό ισχύει ηµ Και η ισότητα ισχύει µόνο για ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

18 7 Β τρόπος f () () tdt f t > ηµ ηµ. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο: f ( + ) + α) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να αποδειχθεί ότι είναι: f( ) > για κάθε. β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων M ( a, β ) για τα οποία ισχύει y y 4 f() t dt α) f + + ( ) f f ( + ) ( + ) ( ) ( + ) f + (,) (,] f < f στο (, ) [, ) + f > f στο + f f f() f f() f 6 f Άρα f > < f > f() β) y y 4 f () t > () 4 f tdt y y + 4 y y A 4, B, Γ + 4Γ 6+ 4 > κκλος A B ύ A B K, K, R R 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

19 8. ) Να αποδειχθεί ότι για µια συνάρτηση f : ισχύει: f f f c, όπου c σταθερά. ) α) Να βρεθεί η θετική και παραγωγίσιµη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f() t f ( + ) + dt () + t β) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία και να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση (c) διαθέτει δύο σηµεία καµπής τα οποία ας σηµειώσουµε µε Α και Β. γ) Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που οριοθετείται από την (c) και το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. ) f f f f f f f f ( ) f ( ) ( ) f c f c Επαλήθευση: f c άρα f f ) f() t ή f f( t) συνεχ ς + t () + dt + + t f() t dt παραγ + t f f( t) f f + dt + t () f c + () f() ( + )( + ) f() f () Άρα c c c + f άρα f ( + ) + f ( + ) + f ( + ) f ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

20 9 Και η ισότητα ισχύει για µόνο, άρα f στο. f ( ) + ( ) ( + + ) f f ή ( f ) (, f () ). στο Α, σ. κ στο Β σ κ yb ya AB : y ya ( A) y f ( )... Στο διάστηµα ανάµεσα στα σ.κ. Α, Β η f είναι κοίλη, άρα C AB f AB B A f E f AB d f AB d Θεωρούµε τη συνάρτηση f που ορίζεται από τον τύπο:. t f dt, για κάθε t ) Να καθοριστούν οι τιµές της µεταβλητής για τις οποίες είναι f ln. ) Να προσδιοριστεί (εφόσον υπάρχει) το όριο: t t lim dt. + ) Θέτω: g f ln. Αρκεί να λύσω την g. g f µε g () g g g() g < g < g() g < Άρα η g έχει λύση µόνο για. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

21 ) dt t t t t t t t f lim dt lim dt lim dt lim t lim t t t συνεχής dt dt ή t παραγ t συνεχ ς t Για έχω f ln Επειδή lim ln + τ ότε lim f Άρα, f f lim lim lim lim + + ( ) Αν f συνεχής στο [, ], να βρείτε την ελάχιστη τιµή της παράστασης f f( y) dy d f d. ( ) ( ) f f( ydy ) d f( d ) f f( ydy ) d f( d ) f ( y) dy f d f d f d f d f d ( f d κ) κ κ κ κ κ Τριώνυµο µε a >, άρα η ελάχιστη τιµή είναι: ( ) 4 4a Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο και + g ftdt, να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο. + g f() t dt+ f() t dt g f + f( + ) f Γ ια < + f > f( + ) f( + ) f < g <, άρα g στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

22 7. Η γραφική παράσταση ( C f ) µιας συνεχούς συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα των στο διάστηµα από έως α. Η επιφάνεια που ορίζεται από την καµπύλη ( C ), τον άξονα των και τις ευθείες και a έχει εµβαδόν: a >. E a +, για κάθε ) Να βρεθούν όλες οι ασύµπτωτες που διαθέτει η γραφική παράσταση της f. f ) Να βρεθεί το + lim f ( tdt ). + a a a E a + E + + d d + Άρα η εξίσωση είναι: f συνεχής στο. + Όχι κατακόρυφες lim f lim lim ) Άρα η y οριζόντια στο + lim f lim lim + + Άρα η y οριζόντια στο. ) α τρόπος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

23 + + + lim f( t) dt lim t dt lim t ( ( ) ) ( ) + lim lim ( ) ( ) lim lim lim β τρόπος () f t συνεχής στο [ +, ] [ ] t t + t t + t () t t + t f t + > t + t + t + t + t + f() t στο, + Άρα από θεώρηµα µέγιστης- ελάχιστης τιµής m f() t M (), όπου m f, M f( + ) λόγω µονοτονίας () mdt f ( t) dt Mdt + ( ) ( ) m + f t dt M m f() t dt M f f() t dt f( + )() lim f lim () + lim f ( tdt ) + ΚΠ.. + lim f( + ) lim ( ) 8. ίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο για την οποία ισχύει f <, για κάθε. Αποδείξτε ότι: f(4) f() < 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

24 f < f < f < Θέτω: g f Έχω g < [ ] (, 4) gσυν, 4 θ. ΜΤ. g (7) < g(4) g() g(4) g() ξ (, 4 ): g (7) < g(4) g() < g παρ 4 4 f(4) f() + < f(4) f() < 8 f(4) f() < 6 9. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z, αν ισχύει ln z z. ln z z ln z + z () Θέτω: f ln + D (, + ) f + > f στο, + Παρατηρώ f () ln + ln f Άρα, ρίζα και λόγω µονοτονίας µοναδική, άρα f " " f() f() ln z + z f() f( z) z Κύκλος κέντρου (,), ακτίνας.. Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει f () και, ( ) f ' 5+ 6, για κάθε. Να βρείτε τον τύπο της f.. Έστω ότι μια συνάρτηση f πληροί τις δοσμένες συνθήκες. Τότε για κάθε με θα έχουμε: ( )( ) 5+ 6 f ' f ' f ' + c, < f ' ' f ' + c, > Λόγω συνέχειας στο, αφού είναι παραγωγίσιμη στο, βρίσκουμε ότι c c cκαι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

25 4 επειδή f (), βρίσκουμε ότι c Συνεπώς:. Εξάλλου, επειδή η f είναι συνεχής στο, έχουμε: f +,για κάθε πραγματικό αριθμό f () lim f. Για το όριο θεωρούμε ότι το είναι κοντά στο, για παράδειγμα ότι: (, ) (,), οπότε και συνεπώς f() lim f lim( + ). Συμπεραίνουμε ότι τότε:. f +, για κάθε Όπως βρίσκουμε εύκολα, η συνάρτηση που βρήκαμε πληροί τις δοσμένες συνθήκες και άρα είναι η μοναδική. B. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο για την οποία ισχύει: f και u f () t dt du, για κάθε. Υπολογίστε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον και τις ευθείες και. u Θέτω: ( ) g f ( t) dt du + µε g () και g f( t) dt () f E f d f d E f( t) dt () Η g στο παραγωγ ίσιµη. θ. Frmat () Η g στο ακρότατο αϕού g g() g () ftdt Το εσωτερικό του () E E τ. µ.. ίνεται η συνάρτηση f α) Να βρεθεί η µονοτονία της f. µε >. β) Να βρεθεί το + lim f ( tdt ). + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

26 5 α) 4 f > > f 4 + f t συνεχής στο [, ] β) () + και f Άρα θεώρηµα µέγιστης-ελάχιστης τιµής (µε m f και M f( + ) ) m f() t M mdt f() t dt Mdt + ( ) ( ) + m + f t dt M + f f( t) dt f( + ) lim f... + ΚΠ lim f( t) dt + lim f( + ) Όµοια µε 7 αλλά εδώ δεν µπορώ να δουλέψω µε τον α τρόπο γιατί δεν ξέρω το ολοκλήρωµα της f ( ).. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο σηµείο, για την οποία ισχύει: f ln (), για κάθε >. Αποδείξτε ότι: f (). η περίπτωση Αν f παραγωγίσιµη, τότε θα θέσω: g fln + µε g () και άρα g g() > g f ln + f () Η g στο ακρότατο θ. Frmat () Στο παραγωγ ίσιµη g () f () ln + f() f() Τ ο εσωτερικό στο, + η περίπτωση Αν f όχι παραγωγίσιµη, τότε δεν µπορώ να εφαρµόσω Frmat. Για > ln> ln ln> ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

27 6 fln () f () ln ln ln lim lim ln () lim f lim lim f (4) ln Για < ln< ln ln< fln () f ln ln ln lim f lim lim f (5) ln Όµως f συνεχής lim f lim f lim f f() (4) f () f () (5) f () +. Αν () z z + z z z z, δείξτε ότι δεν µπορεί να είναι και οι πραγµατικοί. Az Bz Γ ( z) Άρα () ΑΒ +ΒΓ ΑΓ Άρα, ΑΒΓ ορθογώνιο, άρα αποκλείεται Α, Β, Γ συνευθειακά. 4.Αν f συνεχής, f :, f(), z, και t z+ 5 i f( t) dt z+ 5i dt+ ( ) () α) Βρες τον γεωµετρικό τόπο του M ( z) ( c ). β) Βρες τον τύπο της h που έχει γραφική παράσταση την ( c ). γ) Εµβαδόν από H h( t) dt,, yy,. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

28 7 t α) g z+ 5 iftdt + z+ 5i dt ( ) g() g z i f z i g z+ 5 i f + z+ 5i () () g g() άρα η C g στο έχει ακρότατο Από Θ. Frmat () g () z+ 5 i f() z+ 5i z+ 5i + z+ 5i 6 z+ 5i + z 5i 6 z ( i) z ( i) (, 5) (,5) E E M z Άρα ME + ME 6 έλλειψη µε a 6 a y y y y y y ( 9) ( 9) ( 9) ± 6 9 Άρα h ( 9) γ) E H d H h dt H h > H > H > H > H() H > [ ] E H d H d H H d h d h d 4 4 / h d h d 9d ( 9) d * 8 / 8 8 / u... d u du ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

29 8 9 * u 9 u 8 u du d 5. Αν f :, +, f : συνεχής 4 tf t dt ln + (), >. α) είξτε ότι: f ( + ) β) Το εµβαδό που περικλείεται από την γραφική παράσταση της g m g + f, τους άξονες, yy, γ) Να βρεθούν οι οριζόντιες ασύµπτωτες της h g ηµ α) u t du dt dt du t u u t u u 4 tf ( t) dt f ( u) du u u f( u) du f( u) du f( u) du u f( u) du f( u) du 4 4 () uf ( u) du f ( u) du ln + f f ( u) du f + f( u) du f f + + ( + ) + + β) g ( + ) f ( + ) > στο (, + ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

30 9 E g d d d ( ) ( ln + + ) d + ln ( + )... γ) Οριζόντιες ασύµπτωτες µόνο στο + + ηµ lim ηµ lim l lim lim ( + ) lim h lim g ηµ lim ηµ u, u lim + ηµ ηµ u lim lim + u u Άρα l, άρα lim h εποµένως η y οριζόντια στο ίνεται η συνάρτηση f : µε τύπο f +, για κάθε. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι «-» και ότι το σηµείο A (,) είναι κοινό σηµείο των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της ότι αυτή έχει και δεύτερο κοινό σηµείο µε την C f. f. C στο σηµείο (,) f A και να αποδείξετε iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της σηµείο A (,). f στο iv) Να υπολογίσετε το όριο: lim f. i) Έχουµε + > για κάθε, διότι το τριώνυµο f + έχει διακρίνουσα 4 8<. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς «-». Επίσης, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

31 ισχύει f (), οπότε και f (). Το σηµείο A (,) είναι κοινό σηµείο των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f. ii) εφαπτοµένη ( ε ) της C στο σηµείο (,) f A : y f() f ()( ) y ( ) y Η f ισοδύναµα γράφεται: + + ή εύτερο κοινό σηµείο της ( ε ) µε την C : B (, ) f iii) C, C συµµετρικές ως προς την ευθεία y. Το ίδιο ισχύει µε την ( ε ) της f f A (,) και τη ζητούµενη εφαπτοµένη η της C στο (,) f A. C f στο εξίσωση της ( ε ): y εξίσωση της ( η ) : iv) y y + f f () lim ισούται µε την παράγωγο της f στο σηµείο, η οποία παράγωγος ισούται µε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης ( η ), που είναι Άρα, f f () lim λ. 7. Έστω συνάρτηση f :, [ ) + η οποία είναι παραγωγίσιµη και κυρτή. i) Να αποδείξετε ότι: f < f( + ) f < f ( + ), για κάθε >. ii) Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία τις συναρτήσεις FG, :[, ) + µε τύπους: + F f( t) dt f και + G ftdt f( + ), για κάθε. iii) Να αποδείξετε ότι: f () f() < f( tdt ) f( tdt ) < f() f() ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

32 i) f παραγωγίσιµη στο [, + ), ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [, ] κάθε >. f( + ) f ξ (, + ): f ( ξ) f( + ) f ( + ) + για Άρα f < f ( ξ ) < f ( + ), για κάθε > που ισχύει διότι < ξ < +. Η f αφού η f είναι κυρτή. ii) + + και F ( ) f () t dt+ f () t dt f ( ) f () t dt f () t dt f ( ) + G f( t) dt f( t) dt f( + ) Άρα, F f( + ) f f και G f( + ) f f ( + ) για κάθε. F > για κάθε > G < FG, συνεχείς στο [, + ), άρα F :γνησίως αύξουσα και G : γνησίως φθίνουσα iii) Από την µονοτονία FG, συµπεραίνουµε ότι: F() < F() και G() > G() F() < F() f( t) dt f() < f( t) dt f() f() f() < f( t) dt f( t) dt G() < G() f( t) dt f() < f( t) dt f() f() t dt f() t dt < f() f() Εποµένως:. f () f() < f( t) dt f( t) dt < f() f() ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

33 8. Έστω συνάρτηση f : η οποία είναι συνεχής τέτοια, ώστε: f dt, για κάθε. f () t + i) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα. f ii) Να βρείτε το lim. f + f για κάθε. iv) Αν το σύνολο τιµών της f είναι το f ( ), να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y,. iii) Να αποδείξετε ότι: i) f () t + συνεχής στο και παραγωγίσιµη στο. f () t + f dt > για κάθε. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα. f () t + f + ii) f παραγωγίσιµη συνεχής lim f f() dt f () t + (Είναι άρα:) d L'Hospital f f lim lim lim f + f () + iii) f ( ) f + f f f + ή ισοδύναµα f f + f ( f + f ) f + f + c για κάθε Για f + f c c : () () Άρα, f + f για κάθε iv) Η f είναι και «-». Έχει αντίστροφη f που ορίζεται σε όλο το. f y y + y y + y Άρα, f + + για κάθε. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

34 f για κάθε [,] E f d.. + d E τ µ + + f( u) 9. Έστω συνάρτηση f : η οποία είναι συνεχής τέτοια, ώστε: f > du u + για κάθε. Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση g f( u) ii) > για κάθε >. u + iii) f( ) > για κάθε >. f( u) du u +, είναι γνησίως αύξουσα. + iv) f ( u ) + du > f u du u +, για κάθε >. u + v) αν υπάρχει το lim f, τότε αυτό είναι ίσο µε +. + i) f( u) f( u) ( + ) du du u + u + g ( + ) f f( u) f( u) f du + >, για κάθε. ( + ) du ( ) + u + u ( + ) ( + ) Άρα, η g είναι γνησίως αύξουσα. ii, iii) Για κάθε > θα ισχύει: g > g() f( u) du u + >, + + > άρα f( u) du > u + f( u) Για κάθε > ισχύει: > και du u + > f( u) Άρα, f > du >, για κάθε > u + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

35 4 iv) g για κάθε > ισχύει: g > g() f( u) du u + f( u) > du + u + Για κάθε > : + du + u + f ( u ) du > f u u f( u) f( u) u + u + v) Από το ερώτηµα (iv) προκύπτει: dt > ( + ) du, για κάθε f( u) f > + dt u + Όµως, lim + Άρα, lim +, για κάθε + lim + και + f( u) + du + u + f( u) lim f lim + du + + u + Άρα, lim f + + > () f( u) du > u + >. 4. Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a < < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f f. ii) υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθµός, ώστε f. iii) Η εξίσωση f + f f έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο. iv) Η εξίσωση [ ] f + f, έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο. i) Αφού η f έχει σύνολο τιµών [ a, β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει ώστε f ( ) a () και µέγιστη τιµή β, δηλαδή υπάρχει ώστε f β (). Επειδή η f είναι παραγωγίσιµη στο, από το θεώρηµα Frmat έχουµε f ( ) και Άρα,. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4 f.

36 5 ii) Έστω π.χ. f ( ) f ( ) <. Η f είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ). Από το θεώρηµα Roll, υπάρχει (, ) ώστε f. µε iii) Η συνάρτηση g f f ( f ) + είναι συνεχής στο [, ] µε: g ( ) f + f f a< και g ( ) f + f f β > Από το θεώρηµα Bolzano υπάρχει (, ) εξίσωσης. ξ µε g( ξ ). Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης iv) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] h f και παραγωγίσιµη στο (, ) h f + f f + f f f f µε ( ) f ( ) h f και h f f ( ) ( ) Από το θεώρηµα Roll, υπάρχει ξ (, ), ώστε: h ξ f ξ ( f ξ ) + 4. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο (, ) + για την οποία ισχύει f και t f + f dt, για κάθε > και η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι: i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο. g f +, >. ii) Η g είναι σταθερή στο. iii) Ο τύπος της f είναι f, + iv) Να υπολογίσετε το f +. lim ln f. > και βρείτε το σύνολο τιµών i) Θέτω: t u t u άρα dt du Για t u Για t u ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 5

37 6 f + [ ] [ ] f u du + f u du + > () Άρα, η f είναι παραγωγίσιµη στο µε: f [ f u ] du [ f ] Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα. ii) Η g είναι προφανώς παραγωγίσιµη µε: () f g f [ f ] iii) Για οπότε f + f u du είναι () [ ] g() f () g, για κάθε >. και αφού η g είναι σταθερή, έχουµε: g + f f f + Επίσης, lim και lim Άρα, f( ) ( lim f,lim f ) (,) + iv) f lim lim lim lim lim ln( + ) ln( + ) ( ln( + ) ) ίνεται η συνάρτηση f, ορισµένη στο, µε τύπο: f z + z, όπου z συγκεκριµένος µιγαδικός αριθµός µε z z+ iβ, a, β, a. α) Να βρείτε τα όρια lim f, lim f. + β) Να βρείτε τα ακρότατα της f, εάν z+ > z. γ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f και το πλήθος των ριζών της. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 6

38 7 β a + + a + β 4a f z + z a iβ + a iβ + a + β + a + β 4a 4a α) lim f lim lim a 4a lim f lim lim β) z+ > z a+ iβ + > a+ iβ a+ + β > a + β a> Η f παραγωγίζεται στο µε παράγωγο: ( β ) f 4a ( a + β ) ( β ) + a + β 4 a f 4 a, a> + a + + a + ( + a + β ) ( + a + β ) ( + a + β ) Σύνολο τιµών της f : a a + β M f a +, M > a + β όπου ( β ) f lim f, f a + f a +, f a + f a +, lim f + ( ) ( β ) ( β ) ( β ) ( β ) (, M] [ M, M] [ M, ) [ M, M] άρα η f έχει ολικό µέγιστο τον αριθµό Μ και ολικό ελάχιστο τον Μ. γ) Για Για a a + β a a + β,, a + β a + β a > : f ( ) [ M M] f ( ) a < : f ( ) a a + β a a + β, a + β a + β 4a f + a + β, δηλαδή η f έχει µοναδική ρίζα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 7

39 8 4. ίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει η ισότητα f + t dt, για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι: i) Η τιµή της f στο είναι f (). ii) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Να βρείτε τις τιµές του κ για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση ( fof )( κ + ) ( fof )( κ ) + t dt > γ) Αν επιπλέον η f είναι συνεχής στο, να δείξετε ότι f (). α) i) για f () dt + t + t > για κάθε t, θα είναι f (). Αν f () >, τότε f () + t dt >, άτοπο Αν f () <, τότε f () + t dt <, άτοπο ii) Έστω, µε <. Αν ήταν f f, τότε: f ( ) f ( ) dt f dt + f dt + t + t + t f ( ) dt dt f ( ) + t + t f f dt dt άτοπο + t + t Άρα, f < f η f είναι γνησίως αύξουσα. β) dt > + t + t f ( f ( κ + )) f ( f ( κ)) dt () Η () είναι ισοδύναµη µε την f ( κ ) f( κ) + > και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα µε την κ κ κ κ κ ή κ + > + > < > ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 8

40 9 f f() f f γ) lim lim lim f + t όπου f u, άρα dt u lim f f(), δηλαδή u, άρα lim () u u dt o + t u gu dt, u είναι συνεχής ως παραγωγίσιµη, άρα + t u lim gu g() lim dt dt u u + t + t Το όριο () είναι της µορφής και από τον κανόνα D L Hospital προκύπτει: u ( u) lim lim lim u u u u u dt + t dt + u Άρα, f (). + t 44. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο µε f () και f f +, για κάθε. Α. Να αποδείξετε ότι: i) Για κάθε ισχύει: f + f +. ii) Η f αντιστρέφεται και να βρεθεί f : iii) Η τιµή της f στο είναι f ( ). Β. Να βρείτε τα σηµεία καµπής της f. Γ. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες, yy και την γραµµή. Α. i) Επειδή f f f + f f + f f + f + f + c ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9

41 4 Για : f + f + ( c ) ii) y f δίνει: y y y y, y Από την µοναδικότητα της λύσης, προκύπτει ότι η f είναι «-» και άρα, έχει αντίστροφη την: f, +. iii) Επειδή f () είναι ισοδύναµα: f ( ). Β. Η f είναι παραγωγίσιµη στο, ως πηλικο παραγωγίσιµων συναρτήσεων f + 6 f f µε: f f + Επειδή f > το πρόσηµο της f εξαρτάται µόνο από την f ( ). Η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα και έχει ρίζα -. Έτσι: Με < : f < f( ) f < f > Με > : f > f( ) f > f < Η f έχει σηµείο καµπής το (,). Γ. E f d f d [ f ] Θέτουµε:, τότε: ( + ) ( + ) f u f u Τα νέα άκρα ολοκλήρωσης είναι τα f (), f ( ). Τότε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4 d f u du u u du u du 4 u u 5 E u(u + ) du ( u u) du τ. µ

42 4 45. ίνεται η συνάρτηση f, µε 5 f 5 a, a +.( βασική ασκηση) α) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f. γ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f( ), όταν 4< a < 4. α) f f ± Η f είναι γνησίως αύξουσα στα (, ] και [, + ), ενώ η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,]. Η f παρουσιάζει στο τοπικό µέγιστο την τιµή: 5 f( ) ( ) 5( ) + a a a+ 4 Η f παρουσιάζει στο τοπικό ελάχιστο την τιµή: 5 f() 5 + a a 4. β) Στο (, ] η f είναι γνησίως αύξουσα 5 5 lim f lim 5+ a lim f( ) a+ 4 Άρα, f (, a 4] +. Στο (,) η f είναι γνησίως φθίνουσα lim f f( ) a+ 4 ( f συνεχής ) ( συνεχ ς ) lim f f() a 4 f ή Άρα, f ( a 4, a 4) +. Στο [ ), + + η f είναι γνησίως αύξουσα f() a lim f lim 5+ a lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4

43 4 Άρα, f [ a 4, ) +. Το σύνολο τιµών της είναι το f( A ) (, + ) γ) a 4< < a+ 4, άρα f ( ), f ( ) και f ( ) Η f( ) έχει ακριβώς µία ρίζα σε καθένα από τα, και. Άρα, η f( ) έχει ακριβώς ρίζες στο. 46. ίνεται η συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει 5 f + f + f, για κάθε. α) Να αποδειχθεί ότι η f δεν έχει ακρότατα. β) Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η f. γ) Αν η C f διέρχεται από τα σηµεία A( a,) και B ( β,), να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f και τις ευθείες a και β. 4 α) Παραγωγίζοντας κατά µέλη έχουµε: 5 f f + f f + f 4 f 5 f + f + f > 4 5 f + f + ( 5 f 4 f, ) + + >. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα και στερείται ακροτάτων. β) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα η f είναι «-», άρα η f είναι αντιστρέψιµη. Θέτω όπου το f, άρα: 5 f f f f f + f f + f f f + + f Άρα, 5 f + +. γ) f( a) f f < β a< β f a β f( a) f f( β) f Άρα, f >, για κάθε [ a, β ]. β 4 5 ( 5 ) ( 5 ) E f d u u + u + du u + u + u du α u u u τµ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 4