e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε την εξίσωση f ( 3 + ) = f (4-), R π f( ) συν. Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει ότι lim = π i) Να βρείτε το lim f ( ) ii) iii) Να βρείτε το lim Να βρείτε το lim 3. Αν h() = ln και g() = f( ) f( ) - 3, να βρείτε: α) το πεδίο ορισµού και τον τύπο της f () = (hog)(),αν ισχύει ότι f(3-) = f() για κάθε R β) τα όρια lim f (), lim f (), lim f (), lim f (). + γ) Την αντίστροφη συνάρτηση f () ( f ( ) + ) = ηµ, 3 0 lim δ) Τα όρια lim f (), lim f (), + f + -ln (), lim f (). 4. ίνεται η συνάρτηση f : R R µε f () ηµ 4 για κάθε R. Αν η f είναι συνεχής στο 0 = 0 να δείξετε ότι f (0)=0 5. ίνεται συνάρτηση f συνεχής στο = 0 για την οποία ισχύει: 0 α) Να αποδείξετε ότι f () 0 = β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0 για κάθε R *. e 6. ίνεται η συνάρτηση f() =, IR + 0 π 0,. f = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο e α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f () = 0 έχει µοναδική ρίζα το µηδέν. 7. ίνεται η συνάρτηση f()= + - ln α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών της συνάρτησης f. β. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει ακριβώς ρίζες στο πεδίο ορισµού της.

2 8. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = ln και g() = έχουν ένα ακριβώς σηµείο στο κοινό πεδίο ορισµού τους 9. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0, + ) µε lim f () = γ R + 0 και lim f () = δ R, να αποδείξετε ότι υπάρχει µόνο ένας αριθµός 0 > 0 τέτοιος + ώστε να ισχύει: f ( 0 ) + e λ n 0 =. 0. ίνεται η συνάρτηση f : R R µε f() = + + i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ii) Να βρείτε το σύνολο τιµών της iii) Να βρείτε την f f( ), 0. Θεωρούµε την συνάρτηση f( ) =.Η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο 0, =0 R και ισχύουν f(0) = f '(0) = 0 και f ''(0) = 008 i) Να βρείτε τα όρια lim 0 f ( ) f ( ) και lim 0 ii) Να βρείτε την g () και να εξετάσετε εάν είναι συνεχής στο 0. α, 3 3. Έστω f µια πραγµατική συνάρτηση µε τύπο: f () = e., > 3 3 α) Αν η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι α = /9. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4, f(4)). 3. Nα βρεθούν οι εφαπτοµένες της γραφικής παράστασης της f () = 3 +3 οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Μ(,3) 4. Να βρεθεί η κοινή εφαπτοµένη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f() = και g() = 5. ίνεται η γραφική παράσταση C f της f() = εξίσωση y = λ +, λ R 4 και (δ λ ) η οικογένεια ευθειών µε i) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του λ η C f και η (δ λ ) τέµνονται σε δύο σηµεία τα Α λ και Β λ ii) iii) Να δείξετε ότι οι εφαπτοµένες της C f στα Α λ και Β λ τέµνονται κάθετα Να προσδιοριστεί ο γεωµετρικός τόπος του σηµείου τοµής των εφαπτόµενων της C f στα Α λ και Β λ. 6. ίνονται οι συναρτήσεις f() = - +5, g() = α, α R *. Να βρεθεί ο α ώστε η εφαπτοµένη να διέρχεται από το Α ( -,- 5) και να εφάπτεται στην Cg.

3 7. Έστω f παραγωγίσιµη συνάρτηση, R, για την οποία ισχύει : f ( )+ f() = για κάθε R. Να βρεθούν: f ( ) i) τo f '() ii) το lim 8. ίνεται η συνάρτηση f() = +α +, R. i) Nα αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο εφαπτοµένες της γραφικής παράστασης της f που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. ii) Nα βρεθούν οι τιµές των α R, ώστε οι παραπάνω ευθείες να είναι κάθετες µεταξύ τους. 9. Έστω f() = κ + λ και g() = ln(ηµ). Αν 0 (0, π ] να βρεθούν τα κ, λ ώστε οι f, g να τέµνονται στο Α( 0, 0 ) και οι εφαπτοµένες των f, g στο Α να ταυτίζονται 0. Έστω f µε f( ) = + 3 και > 0. i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης στο 0 = 4 ii) iii) Nα δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο πεδίο ορισµού της Να βρεθεί το εµβαδόν που περικλείεται από την C f, την εφαπτοµένη του ερωτήµατος (α) και την ευθεία = 6 ( ) = Να αποδείξετε ότι δεν µπορούν να υπάρχουν τρία διαφορετικά συνευθειακά σηµεία που να ανήκουν στην γραφική παράσταση της f 6 4. ίνεται η συνάρτηση f a β γ δ µε α, β, γ, δ R και 3β + a, 4. ίνεται η συνάρτηση f() =, α R ( e ) ln( ), (,] < 5α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = 5 + 4a = a έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα ( 0, ) 3. Έστω f: [α, β] R συνάρτηση που είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β), µε f(α)=β και f(β)=α.. Να αποδειχθεί ότι: α) η εξίσωση f()= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β), β) υπάρχουν ξ, ξ є(α,β) τέτοια ώστε: f (ξ )f (ξ )=4. e α) Να υπολογίσετε το όρια lim, lim (-) ln(-) + β) Να βρεθεί ο α ώστε η f συνεχής στο R γ) Για α = - να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο Α(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στο άξονα ' 5. Να αποδείξετε ότι < ln(,5) < 3 6. ίνεται η παραγωγίσιµη στο ΙR συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις: f() e -f() =, R και f(0) = 0. i) Να εκφραστεί η f / ως συνάρτηση της f. ii) Να δείξετε ότι < f() < f / () για κάθε > ίνονται οι συναρτήσεις f() =4, g() = α) να αποδείξετε ότι οι C f, C g να έχουν τουλάχιστον δυο κοινά σηµεία πάνω στίς ευθείες = και = 0 β) να αποδείξετε ότι οι C f, C g έχουν παράλληλες εφαπτοµένες σε ένα τουλάχιστον σηµείο Α(α,β) µε α (0,)

4 γ) να αποδείξετε ότι οι C f, C g να δεν έχουν άλλα κοινά σηµεία εκτός από αυτά του ερωτήµατος (α) 8. ίνεται η συνάρτηση f()= (0+α) +β. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο χ 0 = µε τιµή -, τότε: α) να βρεθούν οι τιµές των α, β, β) να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία, γ) να βρεθούν όλα τα τοπικά ακρότατα της f, δ) να βρεθεί το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης f()=0, ε) να βρεθεί το σύνολο τιµών της f, στ) να βρεθούν τα ολικά ακρότατα της f, ζ) να αποδειχθεί ότι για κάθε єr 9. Έστω συνάρτηση φορές παραγωγίσιµη στο R τέτοια ώστε f '' () = f (), για κάθε R. και f(0) = f ' (0)= f ' ( ) + f ( ) α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = χ R είναι σταθερή. e β) Nα αποδείξετε ότι f ' () + f () = e γ) Να αποδείξετε ότι f ()=e 30. Να αποδείξετε ότι ln για > 0, και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση +ln = 3. ίνεται η παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση f µε f() 0, f ' () 0 και f(0) =. α) Να βρεθεί ο τύπος της f() β) Να αποδείξετε ότι f() + για κάθε χ R γ) Να βρεθεί το ολοκλήρωµα Ι = 3. Nα αποδείξετε ότι 4 >4 συν 4 π 0 f ( )ηµ d + f ( ) 33. Έστω οι συναρτήσεις f () = ln(+) και g () = - α) Να µελετηθούν ως προς την µονοτονία στο ( 0, + ) β) Να δείξετε ότι για > 0 ισχύει - γ) Να βρεθεί το lim 0 ln( + ) ln(+) 34. Μια παραγωγίσιµη συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: f 3 ()+3f()= e -3 για κάθε є R α) Να αποδειχθεί ότι η f δεν έχει κρίσιµα σηµεία. β) Να βρεθεί η µονοτονία της f(). γ) Να λυθεί η εξίσωση f()=0. δ) Να βρεθεί το πρόσηµο της f. ε) Να εξεταστεί αν η f έχει τοπικά ακρότατα. = f ' ( ) 35. Έστω οι συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το. R ίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι. α) Να δείξετε ότι η g είναι. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση: g(f() + 3 ) = g(f() + ) έχει ακριβώς δύο θετικές και µία αρνητική ρίζα e - ln(+) µε

5 36. Έστω f συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το R για την οποία ισχύουν: είναι παραγωγίσιµη στο 0 =. είναι ασυνεχής στο 0 = 0. είναι παραγωγίσιµη στο [, + ). f(3) = 7, f(4) = 5, f(5) = 7, f() = 6, f(8) =. Nα χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις Σωστές ή Λανθασµένες: α) Η f είναι συνεχής στο 0 =. β) Η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 = 0. γ) Η f έχει µέγιστο και ελάχιστο στο διάστηµα [0, 5]. δ) Υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 (3, 5) τέτοιο ώστε f / ( 0 ) = 0. ε) Υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 (4, 5) τέτοιο ώστε f / ( 0 ) =. στ) Υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 (, 8) τέτοιο ώστε f ( 0 ) = Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει f() + e +ηµ, R. Να αποδείξετε ότι f(0) = 3 α 38. Έστω f () = ln - a + µε f() 0 για κάθε > 0 α) Να αποδείξετε ότι α =. β) Να µελετηθεί η f ως προς µονοτονία και ακρότατα. γ) Να λυθεί η εξίσωση f() = 0. δ) Να λυθεί η ανίσωση ln(λ +) - λ > ln(λ +3) λ 39. ίνονται οι συναρτήσεις f ( ) = και g( ) = ln( ) + i) Να δείξετε ότι η f() είναι κυρτή και η g() είναι κοίλη ii) Να βρεθεί η κοινή εξίσωση εφαπτοµένης στο κοινό τους σηµείο Α(,) iii) Να αποδείξετε ότι ln ίνεται η συνάρτηση f() = ln + α) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία. β) Να µελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σηµεία καµπής. γ) Να βρείτε το πρόσηµο της συνάρτησης f. δ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f. ε) Να λύσετε την εξίσωση : f()+ f( ) = f( 5 ) + f( 0 ) στ) Αν α, β >0 και, να αποδείξετε ότι α = β. 4. Θεωρούµε την συνάρτηση.η οποία είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύουν f(0) = f '(0) = 0 και 3 f ''(0) =.Να βρεθεί το lim 0 + f ( ) + f( ) συν ( a ) ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f ( ) =, α,β R, > - η οποία έχει + β ασύµπτωτες τις ευθείες y = και = α) Να αποδείξετε ότι f ( ) =, > - + β) Να βρείτε συνάρτηση G(), µε G'() = f() για κάθε > - της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σηµείο Μ(0,) G( ) γ) να µελετήσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα την h()=, > +

6 43. Μια παραγωγίσιµη συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: 3f()+f 3 ()=3 για κάθε є R. α) Να βρεθεί το f(0). β) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία. γ) Να αποδειχθεί ότι f()>0 για κάθε χ>0. δ) Να αποδειχθεί ότι f ()<f()< για κάθε >0 44. Μια συνάρτηση f: (0, + ) R έχει την ιδιότητα: f(y)=f()+f(y)+y--y για κάθε,y>0. Α. α) Να βρεθεί το f(). β) Αν η f είναι συνεχής στο, να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο (0, + ). γ) Αν η f είναι συνεχής στο α>0, να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο (0, + ). Β. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο χ 0 =, µε f ()=, τότε: α) να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ), β) να βρεθεί ο τύπος της f, a a γ) Να αποδείξετε ότι d = f ( ) d f() a a ίνεται η συνάρτηση f( ) =. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f. β) Να βρεθούν τα κοινά σηµεία της C f µε τον άξονα χ χ. γ) Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία η C f είναι πάνω από τον άξονα χ χ. δ) Να εξεταστεί αν η C f έχει κέντρο ή άξονα συµµετρίας. ε) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία. στ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f σε καθένα από τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού της καθώς και το σύνολο τιµών της f. ζ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 3 -α -4+α=0., όπου αєr 46. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστηµα [α, β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α, β). Αν ισχύει f(α) = f(β) = 0 και υπάρχουν αριθµοί γ (α, β), δ (α, β), έτσι ώστε f(γ) f(δ) < 0, να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f() = 0 στο διάστηµα (α, β). β) Υπάρχουν σηµεία ξ, ξ (α, β) τέτοια ώστε f // (ξ ) < 0 και f // (ξ ) > 0. γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f. 47. Έστω η συνάρτηση f µε f() =, α 0, της οποίας η γραφική παράσταση έχει στο a + β + ασύµπτωτη την ευθεία y = + α) Να αποδείξετε ότι α=, β= β) Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ) ηµ( ) γ) Να υπολογίσετε το Ι = 6 f ( ) d 48. ίνεται µια συνάρτηση f ορισµένη στο R µε συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f() = f( ) και f () 0 για κάθε I R. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως µονότονη. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει µοναδική ρίζα. f ( ) γ.έστω η συνάρτηση g ( ) = f '( ).Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της g στο σηµείο στο οποίο αυτή τέµνει τον άξονα, σχηµατίζει µε αυτόν γωνία 45 ο.

7 49. Έστω f : [0,] R συνεχής συνάρτηση και f ( t) dt <, 0 < f() <, για κάθε 0 χ 0 [0,]. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση + f ( t) dt =, έχει µοναδική ρίζα στο (0,) 50. Έστω f : R R µε f ' () = e, για κάθε R, και f ()= e.nα βρείτε το f ( t) dt 0 5. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιµη στο (α,β) που ικανοποιεί την β σχέση f ( α + β t ) dt f ( t) dt, για κάθε χ R. a α) Να δείξετε ότι β a β) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) : ƒ (ξ) =0 t ( e 0 β a β f ( t) dt f ( t) dt 5. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και F() = a f ( t) dt) dt e α) Να αποδείξετε ότι F() = f ( t) dt β) Αν f() > 0 και F() = 6e να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f τον ', και τις ευθείες =, =4 53. ίνεται η παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση f µε f() + f ( t) dt = α) Να βρεθεί ο τύπος της f() β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο 0 = 0 3 f ( ) + f ( ) + ( ) γ) Να αποδείξετε ότι lim = 0 ( e + ) δ) Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο 0 = 0, και τις ευθείες = 0, = e. tf ( t) 54. Έστω η f συνεχής στο (0,+ ) µε f() = + dt, >0 α) Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίσιµη στο (0,+ ) + ln β) Να αποδείξετε ότι f() =, > 0 γ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f. δ) Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της f ε) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα ', και τις ευθείες =, =e. 55. Έστω f παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R µε τις εξής ιδιότητες 0 f() =0 (Ι), f ( t) dt +e +, R (II) α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει (0,) ώστε f ( t) dt = β) Να αποδείξετε ότι f (0)= γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (0,) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο A(, f( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία y =

8 56. Έστω α,β R µε 0<α<β και ƒ: (0,+ ) R µε f ( t) dt = 0. Έστω ακόµη η συνάρτηση g µε g() = + a β a f ( t) dt > 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει χ 0 (α,β) τέτοιο ώστε α) Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της g στο σηµείο (χ 0, g (χ0) ) να είναι παράλληλη στον άξονα χχ β) g( 0 ) = + ƒ ( 0 ) Έστω η συνάρτηση ƒ(χ) = dt, χ 0. Να αποδείξετε ότι < f (7) f (5) + t Αν f() g() για κάθε [ α, β] να αποδείξετε f()d g()d β) Αν m f() M για κάθε [ α, β ] να αποδείξετε ότι m (β-α) γ) Να µελετήσετε την f() = β a β a f() d M(β-α) 3 + β a ως προς την µονοτονία δ) Να αποδείξετε ότι για > είναι f(-) f ( t) dt f(+) ε) Να αποδείξετε ότι + dt lim dt = t + ln 59. Έστω η συνάρτηση f() =, > 0. α) Να βρείτε τις ασύµπτωτες της f. β) Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. α ln + β γ) Να βρείτε τα α και β ώστε η συνάρτηση F() = να είναι µια παράγουσα της f() στο (0, + ). δ) Να βρείτε το εµβαδόν Ε(κ) του χωρίου που περικλείεται από την Cf, τις ευθείες =, = κ > και τον άξονα /. ε) Να βρείτε το όριο L = lim E(κ).(Απάντηση: α) = 0, y = 0, γ) α = β =, ε) L = ) κ + < Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη µε συνεχή παράγωγο στο [0, α], γνησίως αύξουσα στο [0, α] και έχει σύνολο τιµών το [0, β]. Να αποδείξετε ότι: α 0 β f (t)dt + f 0 (t)dt = αβ 6. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R µε f()>0 και ισχύει: lnf()+e f() = για κάθε χє R. α) Μελετήστε την f ως προς τη µονοτονία. β) Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται. γ) Να λύσετε τις εξισώσεις f()= και f()=e. δ) Υπολογίστε το άθροισµα e e + I f ( d ) f( d ) = + 6. ίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο R και η συνάρτηση g που ορίζεται στο R και έχει τύπο: g( ) = f( t ) dt+ f( t ) dt. 0 0 e

9 α) Να δειχθεί ότι η g είναι παραγωγίσιµη στο R και να βρεθεί η g (). β) Αν η g παρουσιάζει ακρότατο στο χ0= τότε να δείξετε ότι f(0)=f(-). γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξє(0, ), έτσι ώστε να ισχύει f(ξ 3 -)=f(-ξ 3 ). 63. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f() = e λ, λ > 0. α. είξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. είξτε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y = λe. Βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου επαφής Μ. γ. είξτε ότι το εµβαδόν Ε(λ) του χωρίου,που περικλείεται µεταξύ της γραφικής παράστασης της f, της εφαπτοµένης της στο σηµείο Μ και του άξονα y y, είναι Ε(λ)= e - λ δ. Υπολογίστε το lim λ + λ +Ε(λ) ηµλ 64. Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε f() =. Αν για κάθε R, ισχύει όπου z = α + βi C, µε α, β R*, τότε: α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο R και να βρείτε τη g. β. Να αποδείξετε ότι γ. Με δεδοµένη τη σχέση του ερωτήµατος β να αποδείξετε ότι δ. Αν επιπλέον f() = α > 0, f(3) = β και α > β, να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 (, 3) τέτοιο ώστε f( 0 ) = ίνεται η συνάρτηση f() = +. lim f() = 0 α. Να αποδείξετε ότι +. β. Να βρείτε την πλάγια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f, στο. γ. Να δείξετε ότι f () + + f() = 0. δ. Να αποδείξετε ότι ( ) d= ln Έστω συνάρτηση g()=e f(),όπου f συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R και. α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο τέτοιο ώστε f (ξ) = f(ξ). β. Εάν f() = 3, να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα γ. Να βρείτε το όριο

10 67. Έστω η συνάρτηση f() = α) Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση. β) Να αποδείξετε ότι f (e ) f ( + ) για κάθε IR. γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (0, 0) είναι ο άξονας συµµετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της f. δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των και την ευθεία µε εξίσωση = Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f :[ 0,] R τέτοια ώστε για κάθε πραγµατικό αριθµό χ [ 0, ] να ισχύει: f 003 ( ) + 00 f( ) = 003. α. Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη της f. β. Να δείξετε ότι f ( 0) = 0 και f ( ) = γ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f και να δείξετε ότι: πραγµατικό αριθµό χ που ανήκει στο πεδίο ορισµού της. δ. Με τη βοήθεια της αντικατάστασης ε. Να δείξετε ότι ( ) f ( ) = u να δείξετε ότι: f ( ) =, για κάθε 003 0, f >, για κάθε πραγµατικό αριθµό ( ) f ( ) d= f( ) d 0 0 χ. στ. Αν Ε(Ω) είναι το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f να δείξετε ότι: Ε(Ω) = 69. ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη στο R για την οποία ισχύει η σχέση 3 f ( ) + 3 f( ) = 3 για κάθε є R.. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι «-» ii) 70. Για την συνάρτηση f() = τετρ µον. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R.Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων f και f t e + 3t t e + i) f() = 3 +, R ii) lim [ f( ) e ] = 0 iii) H f αντιστρέφεται και dt, R να δείξετε ότι f ( ) d + f ( ) d = Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει ότι 3f() + συν( f()) = για κάθε R i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα ii) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f iii) f( ) Nα δείξετε ότι lim = + 3 iv) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον άξονα και τις ευθείες = και = 3 π ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΚΑΙ ΜΙΚΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

11 . Ένας µιγαδικός z ικανοποιεί τη σχέση: z 4 =( ) z. α) Να αποδειχθεί ότι z =0 ή z =. β) Αν z 0 να αποδειχθεί ότι z =. z γ) Αν z 0 να αποδειχθεί ότι z 6 =. δ) Να βρεθούν όλοι οι µιγαδικοί z µε z 4 =( ) z. ε) Σε ποια γραµµή βρίσκονται οι εικόνες των παραπάνω µιγαδικών z, αν z 0; z+ i. ίνεται ο µιγαδικός w =, µε z=χ+ψi και χ,ψє. z + α) Να γραφεί ο w στη µορφή α+βi όπου α,βє. β) Να βρεθεί ο γεωµ. τόπος της εικόνας Μ του z, όταν wє. γ) Να βρεθεί ο γεωµ. τόπος της εικόνας Ν του z, όταν ο w είναι φανταστικός. δ) Να βρεθεί ο γεωµ. τόπος της εικόνας Μ του z, όταν Re(w)=Im(w). ε) Αν η εικόνα Μ του z κινείται στον κύκλο χ +ψ =4, να αποδειχθεί ότι η εικόνα του w κινείται στην ευθεία ψ=χ. 3. ίνεται ο µιγαδικός z µε µε z 3 + z =0. α) Να βρεθούν οι δυνατές τιµές του z. β) Να λυθεί η εξίσωση z 3 + z =0. γ) Αν z και z είναι οι ρίζες µε µη µηδενικό φανταστικό µέρος, να βρεθούν οι z 3 3 και z. δ) Να υπολογιστεί η παράσταση A= z + z ίνονται οι µιγαδικοί z, w, για τους οποίους ισχύει: z 3 4i w 3+ 6i + lim = α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού z. β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού w. γ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του z-w. 5. ίνεται ο µιγαδικός z=α+βi και η εξίσωση ln z =- z (). α) είξτε ότι η εξίσωση () έχει µοναδική λύση την z =. β) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας Μ(α, β) του µιγαδικού z. γ) Από τους παραπάνω µιγαδικούς z να βρείτε εκείνο του οποίου η εικόνα απέχει τη µικρότερη δυνατή απόσταση από την εικόνα του µιγαδικού w=+i. 6. ίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο διάστηµα [0, ] και οι µιγαδικοί αριθµοί z =f(0)+i και z =+f()i. Αν ισχύει z +z = z -z, να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο [0, ]. 7. ίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε β + if( β ) f(α)>α>0. ίνεται και ο µιγαδικός z =. Αν ο z είναι φανταστικός να δείξετε α if( α) ότι η εξίσωση f()= έχει µια τουλάχιστον λύση στο διάστηµα (α, β). 3+ z +, < 8. ίνεται η συνάρτηση: f( ) = z+ i +, Αν η f είναι συνεχής να δείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού z κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 9. Έστω στο σύνολο των µιγαδικών C η εξίσωση: z -λz+λ=0 (). α) Να βρείτε τα λєr ώστε η () να µην έχει πραγµατικές ρίζες. β) Να λύσετε την () για λ= και βρείτε το µέτρο κάθε µιας από τις ρίζες της 7 γ) Άν z, z οι ρίζες που βρήκατε στο (β), να δείξετε ότι z + z =.

12 δ) Αν η f είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [0, 4] και ισχύουν f (0) = +, z z f(4) = z + z,να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξє(0,4) τέτοιο ώστε f (ξ)=-¼. 0. Θεωρούµε τη συνάρτηση f(z)= z+i, όπου zєc και τους µιγαδικούς για τους οποίους f( z) ισχύει f( z ) = () α) Ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μ αυτών των µιγαδικών; 5 4 β) Αποδείξτε ότι ισχύει: z i = για κάθε zєc, που ικανοποιεί την (). 3 3 γ) Ποιος από τους µιγαδικούς για τους οποίους ισχύει η () έχει το µεγαλύτερο και ποιος το µικρότερο µέτρο; δ) Θεωρούµε την συνάρτηση g(z)=z-3, όπου z µιγαδικός που ικανοποιεί την (). Να βρείτε την γραµµή στην οποία κινούνται οι εικόνες Ν των µιγαδικών g(z).. Α) Έστω z ένας µιγαδικός αριθµός. α) Να αποδείξετε ότι z = z z = β) Να αποδείξετε ότι z R z = z B) Έστω z ένας µιγαδικός αριθµός, ο οποίος κινείται πάνω σε κύκλο κέντρου (0,0) και ακτίνας ρ= και 3 z + z d = 7 0 α)να αποδείξετε ότι z + z = β)να αποδείξετε ότι z R. ίνεται η συνάρτηση f, ορισµένη στο R, µε τύπο z=α+βi, α,βєr µε α 0 µιγαδικός αριθµός. α) Να βρείτε τα όρια lim f( ), lim f( ) + f( ) = β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f, εάν z+ > z-. γ) Να βρείτε το σύνολο τιµών και το πλήθος των ριζών της f. z + z + z όπου 3. Έστω ƒ() = ( ) e α) Να µελετηθεί η ƒ ως προς µονοτονία ακρότατα β) Να δείξετε ότι ƒ() > 0 γ) Να βρεθεί ο γεωµ. τόπος των εικόνων των µιγαδικών z µε f ( t) dt = 0 4. Έστω f συνάρτηση συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β).αν η εξίσωση f(α)z + f(β) z + f(α) + f(β)i = 0 έχει ρίζα τον + I να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο της C f στο οποίο η εφαπτοµένη είναι παράλληλη στον άξονα / 5. Θεωρούµε την παραγωγίσιµη συνάρτηση f: (0, + ) IR µε f() 0 για κάθε > 0 και τους µιγαδικούς: z = α + f(α)i και z = + i, α, β > 0για τους οποίους ισχύει: β f (β) z z = z z +.Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε: ξf / (ξ) = f(ξ) 6. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = + iα ηµ, α > 0 και w = + ηµ + i, για τους οποίους ισχύει: z w z + w.να βρείτε τον α. z i z Θέµατα Προτεινόµενα από Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία

13 Άσκηση. Άσκηση. Άσκηση 3. Άσκηση 4. Άσκηση 5. Άσκηση 6.

14 Άσκηση 7. Άσκηση 8. Άσκηση 9.

15 Άσκηση 0. Άσκηση.

16 Άσκηση. Άσκηση 3. Άσκηση 4. Άσκηση 5.

17