Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h g f. (β) Έστω οι συναρτήσεις Υπολογίστε τις συναρτήσεις f : R R f g με και g f. f x x x 2 ( ) 3 1 και g : R R με g( x) 2x 3. (α) Το ζητούμενο είναι μία συνάρτηση K:A D, τέτοια ώστε Κ(x) = h(g(f(x))), x A. Διαδοχικά έχουμε: f(a) = 2, g(2) = g(f(a)) = x, h(x) = h(g(f(a))) = 4 f(b) = 1, g(1) = g(f(b)) = y, h(y) = h(g(f(b))) = 6 f(c) = 2, g(2) = g(f(c)) = x, h(x) = h(g(f(c))) = 4 Άρα για τα a, b, c A, ορίζονται αντίστοιχα οι εικόνες h(g(f(a))), h(g(f(b))), h(g(f(c))) D με: h(g(f(a))) = 4 h(g(f(b))) = 6 h(g(f(c))) = 4 (β) 2 2 2 fog f ( g( x)) f (2x 3) (2x 3) 3(2x 3) 1 4x 12x 9 6x 9 1 4x 6x 1 gof g f x g x x x x x x 2 2 2 ( ( )) ( 3 1) 2( 3 1) 3 2 6 1

Άσκηση Φ5.2: Έστω συναρτήσεις και οι οποίες είναι και οι δύο ένα προς ένα. Αποδείξτε ότι σε αυτήν την περίπτωση, η σύνθεσή τους g f είναι επίσης ένα προς ένα. f : X Y g : Y Z Για να δείξουμε ότι η g f είναι 1 προς 1 αρκεί να δείξουμε ότι εάν τα x1, x2 με x1 x2, είναι δύο στοιχεία του Χ, τότε θα πρέπει και g(f(x1)) g(f(x2)). Επειδή η f είναι 1 προς 1, ισχύει ότι x1, x2 Χ, με x1 x2, f(x1) f(x2). Επειδή όμως και η συνάρτηση g είναι 1 προς 1, εφόσον f(x1), f(x2) Υ, και f(x1) f(x2) ισχύει ότι g(f(x1)) g(f(x2)), το οποίο είναι το ζητούμενο. Άσκηση Φ5.3: Έστω συναρτήσεις και αυτήν την περίπτωση, η σύνθεσή τους g f f : X Y g : Y Z οι οποίες είναι και οι δύο επί. Αποδείξτε ότι σε είναι επίσης επί. Έστω x, z στοιχεία των συνόλων Χ, Z αντίστοιχα. Αρκεί να δείξουμε ότι: z Z, x X, τέτοιο ώστε, g(f(x)) = z. Επειδή η g είναι επί, τότε z Z, y Y, τέτοιο ώστε g(y) = z. Επειδή η f είναι επί, y Y, τότε x X, τέτοιο ώστε f(x) = y. Άρα όντως ισχύει ότι z Z, x X, τέτοιο ώστε, g(f(x)) = z. Άσκηση Φ5.4: Έστω τα σύνολα A {1, 2,3, 4,5,6,7,8} και συνάρτηση με βάση τον κανόνα «οποτεδήποτε» a) Βρέστε τα και. b) Είναι η συνάρτηση f ένα-προς-ένα; Είναι η συνάρτηση f επί; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. (α) f (3) {3,6} f (6) {3,6} f : A B f (3) f (6) B {{1,8},{2,7},{3,6},{4,5}}. Ορίζουμε επίσης τη f ( x) y x y. (β) Η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα γιατί από το (α) έχουμε ήδη ότι f (3)=f(6).

Η συνάρτηση είναι επί γιατί κάθε στοιχείο του συνόλου Β αποτελεί εικόνα κάποιου στοιχείου του συνόλου Α. Άσκηση Φ5.5: Ο Νίκος διαλέγει 5 διαφορετικούς αριθμούς από το 1 έως και το 8. Αποδείξτε ότι οποιουσδήποτε αριθμούς κι αν διαλέξει, θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο που το άθροισμά τους θα είναι ίσο με 9. Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση της προηγούμενης άσκησης. Η συνάρτηση αυτή απεικονίζει τους αριθμούς 1 έως 8 σε 4 σύνολα. Επομένως, αν επιλέξουμε 5 αριθμούς, αναγκαστικά από την αρχή του περιστερώνα, 2 από αυτούς θα έχουν την ίδια εικόνα στο Β. Ωστόσο, αν ισχύει αυτό, είναι εξασφαλισμένο ότι δύο από τους πέντε αριθμούς θα έχουν άθροισμα 9, εφόσον τα στοιχεία οποιουδήποτε από τα σύνολα του Β αθροίζουν σε 9. Άσκηση Φ5.6: Πέντε σημεία επιλέγονται τυχαία μέσα σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με μοναδιαίο μήκος πλευράς. Αποδείξτε ότι αναγκαστικά υπάρχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι σημείων των οποίων η απόσταση δεν υπερβαίνει το ½. Περιστέρια: τα 5 σημεία Περιστερώνες: τα τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα με μήκος πλευράς 1/2 που σχηματίζονται εάν ενώσουμε τα μέσα των πλευρών του τριγώνου. Δεδομένου ότι 5 περιστέρια τοποθετούνται σε 4 περιστερώνες, τουλάχιστον ένα ζεύγος περιστεριών θα τοποθετηθεί στον ίδιο ένα περιστερώνα. Γι αυτά τα σημεία, είναι προφανές ότι η απόστασή τους είναι μικρότερη από το μήκος των πλευρών του τριγωνικού περιστερώνα, το οποίο είναι ½. Άσκηση Φ5.7:

Έστω ότι το Α είναι ένα σύνολο έξι θετικών ακεραίων καθένας από τους οποίους είναι μικρότερος του 13. Δείξτε ότι υπάρχουν υποχρεωτικά δύο διαφορετικά υποσύνολα του Α των οποίων όταν τα στοιχεία προστεθούν, δίνουν το ίδιο άθροισμα (για παράδειγμα, έστω Α={5, 12, 10, 1, 3, 4}. Παρατηρούμε ότι όντως μπορούμε να βρούμε υποσύνολα Α1={1, 4, 10} και Α2={5, 10} του Α καθένα από τα οποία έχει άθροισμα στοιχείων ίσο με το 15). To A είναι σύνολο 6 θετικών ακεραίων, υποχρεωτικά διαφορετικών μεταξύ τους, μικρότερων του 13. Το σύνολο με το μεγαλύτερο άθροισμα στοιχείων είναι το {7, 8, 9, 10, 11, 12}, με άθροισμα στοιχείων 57 Το πλήθος των διαφορετικών υποσυνόλων ενός συνόλου 6 στοιχείων είναι 2 6 =64. Επομένως, αν τα περιστέρια είναι τα διαφορετικά υποσύνολα του Α και οι περιστερώνες τα αθροίσματα από 1 έως 57, γνωρίζουμε από την αρχή του περιστερώνα ότι θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο υποσύνολα με ίδιο άθροισμα στοιχείων ο.ε.δ. Άσκηση Φ5.8: Για ένα σύνολο από 52 διαφορετικούς ακεραίους, δείξτε ότι πρέπει να υπάρχουν 2 το άθροισμα ή η διαφορά των οποίων να διαιρείται με το 100. Έστω τα σύνολα {50}, {49, 51}, {48, 52}, {47, 53},, {2, 98}, {1, 99}, {0, 100}. (Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των στοιχείων των συνόλων με δύο στοιχεία είναι 100 Αν θεωρήσουμε περιστέρια τα υπόλοιπα της ακέραιας διαίρεσης των 52 ακεραίων δια του 100 και περιστερώνες τα σύνολα που σχηματίσαμε που είναι 51. Από την αρχή του περιστεριώνα προκύπτει ότι δύο τουλάχιστον από τους 52 ακεραίους θα απεικονιστούν στο ίδιο σύνολο. Σε αυτή την περίπτωση όμως είναι προφανές ότι είτε το άθροισμά τους είτε η διαφορά τους διαιρείται ακέραια με το 100. Άσκηση Φ5.9: (α) Μπορεί μία συνάρτηση f:{α,β,γ,δ} {1,2,3,4} να μην είναι ούτε επί, ούτε 1 προς 1 ; Αν ναι, δώστε παράδειγμα. Αν όχι, δικαιολογείστε την απάντησή σας. (β) Μπορεί μία συνάρτηση f:{α,β,γ,δ} {1,2,3,4} να είναι επί, αλλά να μην είναι 1 προς 1 ; Αν ναι, δώστε παράδειγμα. Αν όχι, δικαιολογείστε την απάντησή σας. α) Σύμφωνα με τον ορισμό, για να είναι η f, 1-προς-1 θα πρέπει: x {α, β, γ, δ} y {1,2,3,4}(f(x) = f(y) x = y). Επίσης για να είναι επί θα πρέπει y {1,2,3,4} x {α, β, γ, δ}(f(x) = y)

Η f μπορεί να μην είναι ούτε επί, ούτε 1 προς 1. Ένα παράδειγμα είναι το εξής: α 1 Σύμφωνα με τις παραπάνω εκχωρήσεις β είναι: 2 f(α) = 1, f(β) = 2, f(γ)=2, f(δ)=3. Παρατηρούμε γ ότι 3για f(β) = f(γ)=2 είναι x y, αφού x=β και y =γ, άρα η f δεν είναι 1-προς-1. δ 4 Παρατηρούμε επίσης ότι δεν υπάρχει x τέτοιο ώστε f(x) = 4, άρα η f δεν είναι ούτε επί. β) Έστω Α το πεδίο ορισμού και Β το πεδίο τιμών της f, είναι: Α = {α,β,γ,δ} και Β = {1,2,3,4} Και Α = Β =4. Έστω υπάρχει f που είναι επί αλλά δεν είναι 1 προς 1. Εφόσον είναι επί, κάθε στοιχείο y στο B είναι εικόνα κάποιου στοιχείου x του Α. Δεδομένου ότι Α = Β =4 η f είναι αναγκαστικά συνάρτηση 1 προς 1. Άσκηση Φ5.10: Έστω ότι οι συναρτήσεις f: A B και g: Β A ικανοποιούν τη σχέση gοf = IA. Αποδείξτε ότι η f είναι συνάρτηση 1 προς 1 και ότι η g είναι επί. Αν η g δεν είναι επί, τότε υπάρχει κάποιο στοιχείο της σύνθεσης που δεν έχει εικόνα, πράγμα άτοπο (αφού η IA είναι 1 προς 1 και επί). Αν η f δεν είναι 1 προς 1, τότε υπάρχουν στοιχεία του Β στα οποία η f δεν έχει εικόνα και για τα οποία η g(f(x)) δεν ορίζεται. Άσκηση Φ5.11: Αποδείξτε ότι αν μία σχέση ισοδυναμίας επί ενός συνόλου Α είναι και συνάρτηση από το Α στο Α, τότε αναγκαστικά είναι η ταυτοτική συνάρτηση. Μία διμελής σχέση R: AxA, επί ενός συνόλου A είναι σχέση ισοδυναμίας αν και μόνο αν έχει την ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική ιδιότητα. Συμμετρική : a,b((a,b) R (b,a) R) Μεταβατική: a,b,c(((a,b) R (b,c) R) (a,c) R) Ανακλαστική: a A(a, a) R Για να είναι η R συνάρτηση από το A στο A, θα πρέπει να ισχύει: R ={ (a, R(a)) a A, R(a) A}.

Εφόσον η R είναι σχέση ισοδυναμίας και έχει την ανακλαστική ιδιότητα, όλα τα ζεύγη της μορφής (a, a) πρέπει να ανήκουν σε αυτή. Εφόσον η R είναι συνάρτηση, κανένα άλλο στοιχείο της μορφής (a, b) με (b a) δεν μπορεί να ανήκει σε αυτήν. Άρα η R περιλαμβάνει ακριβώς τα στοιχεία της μορφής (a, a). Άρα η R είναι η ταυτοτική συνάρτηση. Άσκηση Φ5.12: Δείξτε ότι οποιοδήποτε σύνολο από επτά ακεραίους, περιέχει δύο ακεραίους x και y, τέτοιους ώστε είτε ο x+y να διαιρείται ακριβώς από τον 10, είτε ο x y και διαιρείται ακριβώς από τον 10. Έστω Χ={x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} το σύνολο των επτά ακεραίων και ri το υπόλοιπο της ακέραιας διαίρεσης του xi με το 10. Έστω η ακόλουθη διαμέριση του X: H1 = {xi: ri=0} H2 = {xi: ri=5} H3 = {xi: ri=1 ή ri=9} H4 = {xi: ri=2 ή ri=8} H5 = {xi: ri=3 ή ri=7} H6 = {xi: ri=4 ή ri=6} Υπάρχουν 6 περιστεριώνες για 7 περιστέρια. Άρα, δύο από τους επτά ακεραίους θα πρέπει να ανήκουν στο ίδιο Ηi. Σε οποιοδήποτε όμως από τα έξι αυτά σύνολα κι αν ανήκουν δύο ακέραιοι, τότε το άθροισμά τους ή η διαφορά τους διαιρείται ακριβώς με το 10. Άσκηση Φ5.13: Αποδείξτε με βάση την αρχή του περιστεριώνα ότι σε κάθε σύνολο 100 ακεραίων, υπάρχουν δύο των οποίων η διαφορά είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 37. Τα περιστέρια είναι οι 100 ακέραιοι. Οι περιστεριώνες είναι οι αριθμοί από το 0 έως το 36. Απεικονίζουμε κάθε ακέραιο k στον k mod 37. Εφόσον υπάρχουν 100 περιστέρια και μόνο 37 περιστεριώνες, δύο περιστέρια τουλάχιστον θα μπούν στον ίδιο περιστεριώνα. Αυτό σημαίνει πως για τους δύο αυτούς ακέραιους k1 και k2, ισχύει ότι k1 mod 37 = k2 mod 37, το οποίο με τη σειρά του σημαίνει ότι ο k1 k2 είναι πολλαπλάσιο του 37. Άσκηση Φ5.14:

Έστω ένα τουρνουά στο οποίο καθένας από n παίκτες παίζει με όλους τους υπόλοιπους και κερδίζει τουλάχιστον έναν αγώνα. Δείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με ίδιο αριθμό νικών. Ο αριθμός των νικών για ένα παίκτη είναι από 1 έως n-1. Αυτοί οι n-1 αριθμοί αντιστοιχούν σε n-1 περιστεριώνες στους οποίους πρέπει να αντιστοιχηθούν n παίκτες (περιστέρια...). Άρα, από την αρχή του περιστεριώνα ξέρουμε ότι τουλάχιστον δύο παίκτες θα έχουν τον ίδιο αριθμό νικών. Άσκηση Φ5.15: Έστω h x 2 ( ) ( x 6) 9. Βρέστε δύο συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε h( x) f ( g( x)). f(x)= x-9 g(x) = x 2 +6 Άσκηση Φ5.16: Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις υπολογίστε την αντίστροφή της ( a) f ( x) 3x 4 1 ( b) f ( x) 3(2x 5) 2 ( c) f ( x) (3x 4) / 2 6 3 (a) f(x) = 3x + 4 y = 3x +4 y -4 = 3x (y-4)/3 = x x = (y-4)/3 (b) f(x)= 3(2x+5) = 6x + 15 y = 6x + 15 y -15 = 6x x = (y-15)/6 (c) f(x)= (3x + 4)/2 +6 y = (3x + 4)/2 +6 y-6 = (3x +4)/2 2y-12 = 3x +4 2y -16 =3x x = (2y-16)/3

Άσκηση Φ5.17 Υπολογίστε τις συναρτήσεις (a) ( a) f ( x) 3x 4 1 ( b) f ( x) 3(2x 5) 2 ( c) f ( x) (3x 4) / 2 6 3 f1 f2, (b) f2 f3, (c) f3 f1 (a) f1(f2(x)) = (3(6x + 15) + 4) = (18x + 45) +4 = 18x +49 (b) f2(f3(x))= (6((3x+4)/2 + 6) + 15) = (9x + 12 +36 +15) = 9x +63 (c) f3(f1(x)) = ((3(3x +4)+4)/2 +6) = ((9x + 12 + 4)/2 +6) = 9x/2 + 14 Άσκηση Φ5.18 Έστω η συνάρτηση f : η οποία ορίζεται ως εξής: n/2 f( n) ( n 1) / 2 Αποδείξτε ότι η f είναι αμφιμονοσήμαντη. n n Για κάθε n N -n/2 0 και (n+1)/2 > 0 Επομένως, αν κάποιος από δύο φυσικούς είναι άρτιος και ο άλλος περιττός, αποκλείεται να έχουν την ίδια εικόνα μέσω της f. Έστω x1,x2 άρτιοι. Τότε f(x1)=f(x2) -x1/2 = -x2/2 x1/2 =x2/2 x1 = x2 Για περιττούς x3, x4 f(x3)=f(x4)= (x3+1)/2 =(x4 +1)/2 x3+1=x4+1 x3 = x4 Επομένως η f είναι 1-1. Η f(n) είναι επί εφόσον για κάθε στοιχείο του Ζ αποτελεί εικόνα κάποιου στοιχείου του Ν. Άρα η f(n) είναι αμφιμονοσήμαντη Άσκηση Φ5.19 Έστω * το σύνολο των ακεραίων εκτός του μηδενός και το σύνολο των ρητών. Θεωρείστε τη * συνάρτηση f : η οποία ορίζεται ως f ( n, m) n / m. Δείξτε ότι η f είναι όντως συνάρτηση και προσδιορίστε αν είναι (a) 1 προς 1, (b) επί.

Η f(n,m) =n/m είναι συνάρτηση εφόσον κανένα ζευγάρι ακεραίων n, m δεν αντιστοιχεί σε 2 ή περισσότερους ρητούς και κάθε ζευγάρι ακεραίων του πεδίου ορισμού έχει εικόνα στο σύνολο των ρητών. Η f(n,m) δεν είναι 1-1 επειδή για f(1,1) = f(-1,-1) = 1 Η f(n,m) είναι επί επειδή εξ ορισμού, αναπαριστά όλους τους δυνατούς ρητούς αριθμούς. Άσκηση Φ5.20 Σε ένα οπωροπωλείο υπάρχουν 50 καλάθια με μήλα. Κανένα καλάθι δεν είναι άδειο και κάθε καλάθι περιέχει το πολύ 24 μήλα. Δείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον τρία καλάθια με ίσο πλήθος μήλων. Έστω j τα καλάθια και aj τα μήλα σε κάθε καλάθι. 1 a1...a50 24 Έχουμε 50 καλάθια (περιστέρια) τα οποία μπορούν να έχουν 24 διαφορετικές χωρητικότητες (περιστερώνες). Από την αρχή του περιστερώνα, γνωρίζουμε ότι τουλάχιστον ceiling(50/24) = 3 καλάθια θα έχουν τον ίδιο αριθμό μήλων. Άσκηση Φ5.21 Ένα παιδί πίνει τουλάχιστον ένα ποτήρι γάλα την ημέρα. Δεδομένου ότι έχει πιεί 700 ποτήρια γάλα σε μια χρονιά (365 ημέρες), αποδείξτε ότι υπάρχουν κάποιες συνεχόμενες ημέρες τη χρονιά αυτή κατά τις οποίες ήπιε ακριβώς 29 ποτήρια γάλα. Έστω j οι μέρες και aj τα ποτήρια γάλα μέχρι τη μέρα j. Τότε η a1,a2,......, a365 Є Z + είναι μια ακολουθία από 365 διαφορετικούς ακέραιους όπου 1 aj 700 Επομένως a1+29,a2+29,....,a365+29 είναι μια ακολουθία από 365 διαφορετικούς ακεραίους με 30 aj+29 729 Άρα (a1, a2,.......,a365, a1+29,........,a365+29) είναι μια ακολουθία από 730 ακεραίους από το σύνολο {1,2,......,729} Από την αρχή του περιστερώνα δύο από αυτές είναι ίσοι, αλλά a1, a2.....,a365 είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και οι a1+29, a2+29,..... a365+29 είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Επομένως υπάρχει i,j ai = aj + 29 άρα υπάρχειi,j τ.ω. ai - aj= 29 και επομένως υπάρχουν μέρες i,j τ.ω. μεταξύ τους να έχει πιει 29 ποτήρια γάλα. Άσκηση Φ5.22

Έχουμε τοποθετήσει 13 τετράγωνα καθένα από τα οποία έχει μήκος πλευράς ίσο με 1, μέσα σε ένα κύκλο ακτίνας μήκους ίσου με 2. Δείξτε ότι τουλάχιστον δύο από τα τετράγωνα έχουν ένα κοινό σημείο. Η ακτίνα του κύκλου είναι 2. Άρα το εμβαδόν του κύκλου είναι π*r 2 = 2 2 *3,14159 = 12.56636. Το εμβαδόν 13 τετραγώνων μήκους πλευράς 1 είναι 13*1 2 = 13. Άρα 13/12.56636 = 1,034 Άρα 2 τετράγωνα πρέπει να μπουν στο ίδιο χώρο άρα αναγκαστικά εφόσον έχουν το ίδιο μήκος πλευράς ένα σημείο τους θα είναι κοινό. Άσκηση Φ5.23 Έστω 26 τυχαία, διαφορετικά υποσύνολα του {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} καθένα από τα οποία έχει 3 στοιχεία. Αποδείξτε ότι τουλάχιστον δύο από αυτά έχουν το ίδιο άθροισμα στοιχείων. To υποσύνολο με το μικρότερο δυνατό άθροισμα είναι το {1,2,3}, με άθροισμα στοιχείων 6 και το αντίστοιχο με το μεγαλύτερο είναι το {7,8,9} με άθροισμα στοιχείων 24. Άρα τα δυνατά αθροίσματα είναι 19 (από 6 ως 24) Αν ορίσουμε περιστερώνες τα 19 διαφορετικά αθροίσματα και περιστέρια τα 26 υποσύνολα, τουλάχιστον δύο απ αυτά θα έχουν ίδιο άθροισμα στοιχείων Άσκηση Φ5.24 Δείξτε ότι αν επιλέξω 7 τυχαίους, διαφορετικούς αριθμούς από το σύνολο Α= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, τότε υποχρεωτικά, σε αυτούς τους 7 αριθμούς υπάρχουν 2 το άθροισμα των οποίων είναι ίσο με 12. Ας θεωρήσουμε περιστερώνες τα υποσύνολα του Α: {6}, (1,11),{2,10},(3,9},{4,8},{5,7} (6 στον αριθμό) και περιστέρια τους 7 τυχαίους αριθμούς. Από την αρχή του περιστερώνα δύο τουλάχιστον από αυτούς θα αντιστοιχιστούν στο ίδιο σύνολο οπότε το άθροισμά τους θα ισούται με 12.