ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (DURATION MODL) Ορισμός και μέτρηση της διάρκειας H διάρκεια ενός χρηματοοικονομικού προϊόντος είναι ο μέσος σταθμικός χρόνος που απαιτείται για να ανακτηθεί το αρχικό κεφάλαιο σε όρους παρούσας αξίας. Η διάρκεια ενός χρηματοοικονομικού προϊόντος είναι ίση με τον χρόνο λήξης μόνο στην περίπτωση που το προϊόν πραγματοποιεί μια μόνο πληρωμή στη λήξη του. Όταν το προϊόν πραγματοποιεί περισσότερες από μία πληρωμές, η διάρκεια είναι μικρότερη της λήξης. Γενικά, για τον υπολογισμό της διάρκειας των χρηματοοικονομικών προϊόντων χρησιμοποιούμε τον εξής τύπο: n Tt n t t ΠΑ t t= 1 (1 y) t t= 1 D = = n n Tt ΠΑ t t t= 1 (1 y) t [1] όπου: D : η διάρκεια μετρούμενη σε έτη T t : το τοκομερίδιο που πραγματοποιείται τη χρονική στιγμή t y : η απόδοση στη λήξη t : ο χρόνος στον οποίο πραγματοποιείται η ταμειακή ροή (1,,, n) n : ο αριθμός ετών μέχρι τη λήξη Παράδειγμα 1o (Ομόλογο σταθερού επιτοκίου) Να υπολογιστεί η διάρκεια ενός πενταετούς ομολόγου ονομαστικής αξίας 10.000 με ονομαστικό επιτόκιο 5% και απόδοση στη λήξη 5%. Η διάρκειά του μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: 1
Πίνακας 1 (1) () (3) (4) (5) T T t 1/(1 y) t ΠΑ t= ()*(3) ΠΑ t * t= (4)*(1) 1 500 0,95 476 476 500 0,907 453 906 3 500 0,864 43 1.96 4 500 0,83 411 1.644 5 10.500 0,784 8.3 41.160 10.000 45.48 45.48 D = 10.000 = 4,55 χρόνια. Παράδειγμα o (ομόλογο χωρίς τοκομερίδιο) Έστω το δημόσιο εκδίδει ένα πενταετές ομόλογο χωρίς τοκομερίδιο ονομαστικής αξίας 10.000 με απόδοση στη λήξη 5%. Η παρούσα αξία του ομολόγου είναι 7.835. Επειδή ο επενδυτής λαμβάνει μόνο μια πληρωμή στο τέλος της πενταετίας η διάρκεια είναι: 7.835 5 D = = 5 7.835 χρόνια, όσο και η ληκτότητα. Χαρακτηριστικά της Διάρκειας Διάρκεια και ληκτότητα Η σχέση μεταξύ διάρκειας και ληκτότητας είναι θετική. Η διάρκεια αυξάνεται καθώς αυξάνεται η ληκτότητα, αλλά με φθίνοντα ρυθμό. Ήτοι: D > 0, Λ D < 0, Λ Λ = ληκτότητα. Διάρκεια και Απόδοση D < 0, y Η σχέση μεταξύ διάρκειας και απόδοσης είναι αρνητική. Η διάρκεια μειώνεται καθώς αυξάνεται η απόδοση. Αυτό οφείλεται στο ότι η μεγαλύτερη απόδοση μειώνει τη βαρύτητα των τελευταίων χρηματορροών σε σχέση με αυτές που γίνονται τα πρώτα χρόνια.
Παράδειγμα Ας πάρουμε την περίπτωση του πενταετούς εντόκου ομολόγου που είδαμε νωρίτερα (Πίνακας 1). Ας υποθέσουμε ότι η απόδοση στη λήξη από 5% αυξάνεται στο 6%. Η αύξηση του επιτοκίου κατά 100 μονάδες βάσης μειώνει την διάρκεια από 4,55 σε 4,53 χρόνια όπως δείχνει ο Πίνακας. Πίνακας (1) () (3) (4) (5) T T t 1/(1 y) t ΠΑ t= () * (3) ΠΑ t * t= (4) * (1) 1 500 0,943 471,5 471,5 500 0,890 445 890 3 500 0,840 40 1.60 4 500 0,79 396 1.584 5 10.500 0,747 7.843,5 39.17,5 9.576 43.43 D = 43.43/9.576 = 4,53 χρόνια. Διάρκεια και Τοκομερίδιο Η σχέση μεταξύ τοκομεριδίου και διάρκειας είναι αρνητική. Όσο μεγαλύτερο είναι το τοκομερίδιο, τόσο μικρότερη είναι η διάρκεια. Αυτό συμβαίνει διότι τα υψηλότερα τοκομερίδια συνεπάγονται γρηγορότερη ανάκτηση του αρχικού κεφαλαίου σε όρους παρούσης αξίας. Η Οικονομική Σημασία της Διάρκειας Στη συνέχεια δείχνουμε ότι η διάρκεια (D) μετρά την ευαισθησία της τιμής ενός χρηματοοικονομικού προϊόντος σε μικρές μεταβολές των επιτοκίων. Όσο μεγαλύτερη είναι η διάρκεια τόσο μεγαλύτερη είναι η ευαισθησία. Γνωρίζουμε ότι η τιμή (Ρ) ενός ομολόγου είναι ίση με την παρούσα αξία των τοκομεριδίων συν την ονομαστική αξία, ήτοι: T P = 1 y T T F... [] n ( 1 y) ( 1 y) όπου, Τ y F n = τοκομερίδιο = απόδοση στη λήξη = ονομαστική αξία = αριθμός ετών μέχρι τη λήξη. Παίρνοντας την παράγωγο της τιμής (Ρ) σε σχέση με την απόδοση στη λήξη (y), έχουμε: 3
dp dy = - T - T - n (T F)... [3] n1 3 ( 1 y) ( 1 y) ( 1 y) dp dy = - 1 1 y T T n (T F)... n [4] ( ) ( 1 y) ( 1 y) ( 1 y) Επίσης, γνωρίζουμε ότι D = T 1 y 1 ( ) ( 1 y) ( 1 y) T T T... (T F) ( 1 y) ( 1 y) ( 1 y)... (T F) n n n [5] Ο παρανομαστής της (4) είναι η τιμή (Ρ) του ομολόγου και συνεπώς η [5] γράφεται ως D = T 1 y 1 T ( ) ( 1 y) ( 1 y) P... (T F) n n [6] PD = T 1 y T (T F) 1... n [7] ( ) ( 1 y) ( 1 y) n Το δεξιό μέρος της [7] είναι το ίδιο με αυτό που είναι μέσα στις αγκύλες της [4]. Αντικαθιστώντας την [7] στην [4], έχουμε dp dy = - 1 ( ) [ P D] 1 y [8] dp dp ( 1 y ) = - D ή P = - D dy P dy 1 y [9] Η σχέση [9] δείχνει ότι η διάρκεια (D) είναι η ευαισθησία της τιμής του ομολόγου σε μικρές μεταβολές των επιτοκίων. Η σχέση [9] μπορεί να γραφεί και ως 4
dp P = - D dy 1 y [10] Η σχέση (10) δείχνει την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής του ομολόγου δεδομένης μιας μεταβολής των επιτοκίων. Παράδειγμα: Έντοκο Ομόλογο Ας πάρουμε το παράδειγμα του πίνακα 1 όπου το πενταετές ομόλογο έχει διάρκεια 4,55 έτη και απόδοση στη λήξη 5%. Έστω ότι η απόδοση στη λήξη αυξάνεται από 5% σε 5,3%. Η ποσοστιαία μεταβολή της τιμής του είναι 1,3%. dp P = - 4,55 0,003 = - 0,013 1,05 ή 1,3%. Άρα η τιμή του ομολόγου μειώνεται κατά 10.000 * 0,013 = 130 και η νέα του τιμή είναι 9.870. Σπουδαιότητα της Διάρκειας Η έννοια της διάρκειας μπορεί να χρησιμοποιηθεί να προστατέψει επενδυτές και χρηματοπιστωτικά ιδρύματα από τον κίνδυνο της μεταβολής των επιτοκίων. Για παράδειγμα, οι εταιρείες που ενεργοποιούνται στο χώρο ασφάλειας ζωής υπόσχονται στους πελάτες τους ένα συγκεκριμένο ποσό χρημάτων μετά την πάροδο ορισμένων ετών. Ο κίνδυνος που διατρέχουν οι εταιρείες αυτές είναι τα επιτόκια να μεταβληθούν και να μην είναι ικανές να κάνουν τις πληρωμές, οπότε θα αναγκασθούν να μειώσουν τα αποθεματικά τους ή την καθαρή τους θέση. Το πρόβλημα μπορεί να αποφευχθεί εάν η εταιρία αγοράσει ένα χρηματοοικονομικό προϊόν το οποίο έχει διάρκεια πέντε έτη. Παράδειγμα Έστω ο επενδυτικός ορίζοντας είναι 3 έτη και επιλέγεται ένα ομόλογο με τα εξής χαρακτηριστικά. Ληκτότητα ομολόγου (n) 4 έτη Τρέχουσα Τιμή (P) 900 Ονομαστικό Επιτόκιο (i) 1% Απόδοση στη Λήξη (y) 15,54% Διάρκεια (D) 3 έτη Περίπτωση 1 η Έστω ότι ένα χρόνο αργότερα η απόδοση στη λήξη μειώνεται στο 13%, και κατά συνέπεια το επιτόκιο επανεπένδυσης είναι 13%. Ποια είναι η πραγματοποιούμενη ετήσια απόδοση (r); 5
α. Τελική αξία τοκομεριδίων πρώτου έτους 10(1,13) = 153,3 δεύτερου έτους 10(1,13) = 135,60 τρίτου έτους 10(1,00) = 10,00 Συνολική αξία τοκομεριδίων = 408,83 β. Η τιμή (Ρ) του ομολόγου στο τέλος του 3 ου έτους με απόδοση στη λήξη 13% είναι P = 10/1,13 1.000/1,13 =991,15 Άρα η συνολική τελική αξία είναι 991,15 408,3 = 1.399,15 και η ετήσια πραγματοποιούμενη απόδοση (r) είναι 900(1r) 3 = 1.399,15 1r = (1.399,15/900) 1/3 r = 15,84% Περίπτωση η : Έστω μετά από ένα χρόνο η απόδοση στη λήξη αυξάνεται στο 17%. Ποια θα είναι η πραγματοποιούμενη ετήσια απόδοση; α. Τελική αξία τοκομεριδίων πρώτου έτους 10(1,17) = 164,7 δεύτερου έτους 10(1,17) = 140,40 τρίτου έτους 10(1,00) = 10,00 Συνολική αξία τοκομεριδίων = 44,67 β. Αξία του ομολόγου στο τέλος του 3 ου έτους P = 10/1,17 1000/1,17 P = 10,56 854,70 P = 957,6 Άρα η συνολική τελική αξία των χρηματορροών είναι 957,6 44,67 = 1.381,93. Η πραγματοποιούμενη απόδοση είναι: 900(1r) 3 = 1.381,93 r = (1.381,93/900) 1/3 1 r = 15,35% Κυρτότητα Το μοντέλο της διάρκειας προβλέπει ότι η σχέση μεταξύ της αλλαγής των επιτοκίων και της τιμής του ομολόγου είναι γραμμική. Διαγραμματικά η σχέση αυτή απεικονίζεται ως εξής: 6
ΔΡ Ρ -D Δy 1 y Στην πραγματικότητα η σχέση αυτή ισχύει μόνο για πολύ μικρές αλλαγές των επιτοκίων. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πενταετές ομόλογο ονομαστικής αξίας 1.000 με ονομαστικό επιτόκιο 5% και απόδοση στη λήξη επίσης 5%. Άρα, η τιμή (Ρ) του ομολόγου είναι 1.000 (σημείο Α στο διάγραμμα ). Η διάρκεια αυτού του ομολόγου, όπως είδαμε και προηγουμένως είναι 4,55 έτη. D = 50 1,05 50 (1,05) 50 3 50 4 3 4 (1,05) (1,05) 1.000 1,050 5 5 (1,10) = 4,55 χρόνια. (α) Έστω ότι η απόδοση στη λήξη αυξάνεται σε 6%. Σύμφωνα με το μοντέλο της διάρκειας, η τιμή του ομολόγου θα μειωθεί κατά 7,58%, ήτοι: ΔP 0,01 = - 4,55 = - 0,04333 ή 4,333%. P 1,05 Συνεπώς, η νέα τιμή του ομολόγου θα είναι: 1.000 (1-0,04333) = 956,67 (σημείο Β επί του διαγράμματος ). Η νέα όμως πραγματική τιμή του ομολόγου θα είναι: 50 1,06 50 (1,06) 50 (1,06) 3 50 (1,06) 4 1.050 (1,06) 5 = 47,17 44,5 4 39,6 784,35 = 957,6 (σημείο Γ επί του διαγράμματος ) 7
Η πραγματική λοιπόν μεταβολή της τιμής είναι 4,4%, ενώ το υπόδειγμα της διάρκειας μας δίνει μεταβολή τιμής 4,33%. Βλέπουμε ότι η διαφορά μεταξύ των δύο τιμών είναι περίπου 1. Άρα στην συγκεκριμένη περίπτωση το μοντέλο της διάρκειας δίνει μεγαλύτερη μείωση της τιμής από την πραγματική μείωση κατά περίπου ένα ευρώ. (β) Έστω η απόδοση στη λήξη μειώνεται σε 4%. Η τιμή του ομολόγου σύμφωνα με το μοντέλο της διάρκειας θα αυξηθεί κατά 4,333%, ήτοι από 1.000 σε 1.043,33 (σημείο Δ επί του διαγράμματος ). ΔP = - 4,55 P - 0,01 1,05 = 0,04333 ή 4,333%. Η πραγματική όμως τιμή θα είναι 1.044,55 (σημείο Ε επί του διαγράμματος ). 50 1,04 50 (1,04) 50 (1,04) 3 50 (1,04) 4 1.050 (1,04) 5 = 48 46,5 44,45 4,75 863,1=1.044,55 Άρα η μεταβολή της τιμής είναι 4,45%. Τιμή (Ρ) 1.044,5 1.043,3 Δ Ε Πραγματική Σχέση 1.000,0 Α 957,6 956,7 Γ Β Μοντέλο Διάρκειας 4% 5% 6% Απόδοση στη λήξη (y) Διάγραμμα 8
Από τα παραπάνω συνάγεται ότι το μοντέλο της διάρκειας δίνει μια μεγαλύτερη πτώση στην τιμή από ό,τι είναι η πραγματική, δεδομένης μιας αύξησης των επιτοκίων, δίνει μια μικρότερη αύξηση στην τιμή από ό,τι είναι η πραγματική, δεδομένης μιας μείωσης των επιτοκίων. Επίσης, όπως το παράδειγμα δείχνει, όταν τα επιτόκια αυξάνονται η μείωση της τιμής του ομολόγου είναι μικρότερη από ότι η αύξηση της τιμής οταν τα επιτόκια μειώνονται. Το παράδειγμα δείχνει ότι η σχέση μεταξύ της τιμής του ομολόγου και της απόδοσης δεν είναι γραμμική, αλλά υπακούει στην ιδιότητα της κυρτότητας. Κυρτότητα συνεπώς σημαίνει ότι για ίσες μεταβολές επιτοκίων πάνω και κάτω, το κέρδος από την αύξηση των τιμών είναι μεγαλύτερο από τη ζημία που προέρχεται απο τη μείωση των τιμών. Άρα, όσο μεγαλύτερη είναι η κυρτότητα τόσο μικρότερος είναι ο κίνδυνος που προέρχεται από τις μεταβολές των επιτοκίων. Εξ αυτών έπεται ότι η κυρτότητα είναι ένα επιθυμητό χαρακτηριστικό για αυτούς οι οποίοι επενδύουν και διαχειρίζονται χαρτοφυλάκια με ομόλογα. Όλα τα χρεόγραφα σταθερού εισοδήματος έχουν το χαρακτηριστικό της κυρτότητας. Αυτό μπορούμε να το δούμε παίρνοντας ένα πενταετές ομόλογο με ονομαστικό επιτόκιο 10% και ονομαστική αξία 1.000. Ποια είναι η τιμή του ομολόγου αυτού εάν υποθέσουμε ότι η απόδοση στη λήξη (α) είναι μηδέν και (β) άπειρη; (α) Έστω ότι y = 0 Στην περίπτωση αυτή η τιμή (Ρ) του ομολόγου είναι: 100 1.100 P =... 5 1 0 ( 1 0) =1.500 Καθότι η απόδοση στη λήξη δεν μπορεί να είναι μικρότερη του μηδενός, η τιμή των 1.500 αποτελεί τη μέγιστη τιμή που μπορεί να έχει το ομόλογο. (β) Έστω ότι y = Η τιμή (Ρ) του ομολόγου στην περίπτωση αυτή θα είναι περίπου ίση με το μηδέν, ήτοι 100 P = 1... 1.100 ( 1 ) 6 0 Γενικά, καθώς η απόδοση στη λήξη αυξάνεται και προσεγγίζει το άπειρο, η τιμή του ομολόγου θα πηγαίνει ασύμπτωτα προς το μηδέν, όπως φαίνεται στο Διάγραμμα 3. 9
1.500 Καμπύλη «Τιμής - Απόδοσης» Διάγραμμα 3 Απόδοση (y) Θεωρητικά η διάρκεια (D) είναι η κλίση της καμπύλης «Τιμής - Απόδοσης» και κυρτότητα (Κ) είναι η μεταβολή στην κλίση της καμπύλης «Καμπύλης - Απόδοσης». Συνεπώς, μια μεταβολή των επιτοκίων επηρεάζει την τιμή ενός ομολόγου μέσω της διάρκειας και της κυρτότητας. Μέτρηση της Κυρτότητας Η κυρτότητα μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: K = 1 d P dy 1 P Η ποσοστιαία μεταβολή της τιμής λόγω της κυρτότητας είναι: dp P = 1 d P dy 1 P (dy) Για να υπολογισθεί η κυρτότητα παίρνουμε τη δεύτερη παράγωγο της εξισώσεως που δίνει την τιμή του ομολόγου. Η δεύτερη παράγωγος είναι d n P dy = t(t 1) TP n (n 1) F t n (1 y) (1 y) t = 1 10
Παράδειγμα Ας πάρουμε το προηγούμενο παράδειγμα του πενταετούς ομολόγου με ονομαστική αξία 1.000, με ονομαστικό επιτόκιο και απόδοση στη λήξη 5%. Περίοδος (t) ΤΡ 1 (1 0,05) t t(t1)tp t(t1)tp 1 (1,10) t 1 50 0,864 100 86,4 50 0,83 300 46,9 3 50 0,784 600 470,4 4 50 0,746 1.000 746 5 1.050 0,711 31.500.396,5. d P Άρα, = 3.946,. dy 3.946, 1 d P = dy K 1 1 = P 3.946, 1 1.000 K = 11,973. Συνεπώς, η μεταβολή της τιμής του ομολόγου λόγω της κυρτότητας θα είναι: dp = K (dy) =11,973 (0,01) = 0,0011973. P Η συνολική μεταβολή της τιμής του ομολόγου θα είναι: dp D 1 d P 1 = - (dy) (dy) P (1 y) dy P Ο πρώτος όρος στο δεξιό μέρος της εξίσωσης δίνει τη μεταβολή της τιμής λόγω της διάρκειας, ενώ ο δεύτερος δίνει τη μεταβολή της τιμής λόγω της κυρτότητας. Αντικαθιστώντας τα νούμερα θα έχουμε: 11
(α) Στην περίπτωση που η απόδοση αυξάνεται από 5% σε 6%. dp 4,55 = - (0,01) - 0,0011973 P (1,05) dp P = - 0,043333 0,0011973 = - 4,1%. Από τα προηγούμενα γνωρίζουμε ότι η πραγματική μεταβολή της τιμής του ομολόγου είναι 4,4%. Συνεπώς, η χρησιμοποίηση και των δύο, δηλαδή της διάρκειας και της κυρτότητας μας παρέχει μια καλύτερη προσέγγιση υπολογισμού της μεταβολής της τιμής του ομολόγου. (β) Στην περίπτωση που η απόδοση μειώνεται από 5% σε 4% έχουμε: dp = 0,04333 0,0011973 = 4,45%. P Είδαμε προηγουμένως ότι στην περίπτωση της μείωσης της απόδοσης, η πραγματική αύξηση της τιμής του ομολόγου είναι 4,45%. Άρα ο νέος τρόπος μέτρησης ανταποκρίνεται στην πραγματική μεταβολή της τιμής. Η Αξία της Κυρτότητας Η κυρτότητα ενός ομολόγου είναι σημαντική από επενδυτικής απόψεως. Στο διάγραμμα 3 τα δύο ομόλογα Α και Β έχουν την ίδια διάρκεια και την ίδια απόδοση αλλά διαφορετική κυρτότητα. Το ομόλογο Β έχει μεγαλύτερη κυρτότητα από το Α. Τιμή (Ρ) Ομόλογο Β Ομόλογο Α Διάγραμμα 3 Απόδοση (y) Ποια είναι η συνέπεια της μεγαλύτερης κυρτότητας του ομολόγου Β; Όπως φαίνεται από το Διάγραμμα 3, η τιμή του ομολόγου Β θα είναι μεγαλύτερη της τιμής του ομολόγου Α, ανεξάρτητα του εάν τα επιτόκια αυξηθούν ή μεταβληθούν στην αγορά. Εάν τα επιτόκια μειωθούν, η αύξηση της τιμής του ομολόγου Β θα είναι 1
μεγαλύτερη από την αύξηση της τιμής του ομολόγου Α. Εάν τα επιτόκια αυξηθούν, η μείωση της τιμής του ομολόγου Β θα είναι μικρότερη από τη μείωση της τιμής του ομολόγου Α. Δεδομένου ότι το ομόλογο Β παρουσιάζεται καλύτερο από το ομόλογο Α, η αγορά θα το λάβει υπόψη απαιτώντας μεγαλύτερη τιμή (μικρότερη απόδοση) για το ομόλογο Β. Με άλλα λόγια, η κυρτότητα έχει μια αξία και οι επενδυτές θα πρέπει να πληρώσουν για αυτήν. Πόσο όμως θα πρέπει να πληρώσουν οι επενδυτές για την κυρτότητα; Η απάντηση στην ερώτηση αυτή εξαρτάται από τις προσδοκίες που έχουν οι επενδυτές για τη μεταβολή των επιτοκίων. Εάν η τελευταία αναμένεται να είναι πολύ μικρή, τότε το πλεονέκτημα της μεγαλύτερης κυρτότητας είναι σχεδόν ασήμαντο. Στην περίπτωση αυτή η διαφορά στις τιμές (αποδόσεις) των δύο ομολόγων Α και Β θα είναι πολύ μικρή. Εάν όμως οι επενδυτές αναμένουν μεγάλες μεταβολές στα επιτόκια, τότε η κυρτότητα αποκτά ιδιαίτερη σημασία. Στην περίπτωση αυτή το ομόλογο Β θα έχει μεγαλύτερη (μικρότερη) απόδοση από αυτή του ομολόγου Α. Χαρακτηριστικά της Κυρτότητας Κυρτότητα και απαιτούμενη απόδοση Η σχέση μεταξύ κυρτότητας και απαιτούμενης απόδοσης είναι αρνητική. Η κυρτότητα ενός ομολόγου αυξάνεται καθώς η απαιτούμενη απόδοση μειώνεται Κυρτότητα και ονομαστικό επιτόκιο (τοκομερίδιο) Η σχέση μεταξύ ονομαστικού επιτοκίου και κυρτότητας είναι αρνητική. Όσο μικρότερο είναι το ονομαστικό επιτόκιο, τόσο μεγαλύτερη είναι η κυρτότητα, δεδομένης της ληκτότητας και της απόδοσης. Με άλλα λόγια, εάν συγκρίνουμε δύο ομόλογα τα οποία έχουν την ίδια ληκτότητα και την ίδια απόδοση στη λήξη, το ομόλογο με το μικρότερο ονομαστικό επιτόκιο θα έχει τη μεγαλύτερη κυρτότητα. Για τα δύο ομόλογα τα οποία έχουν την ίδια απόδοση και την ίδια διάρκεια, αλλά διαφορετικό ονομαστικό επιτόκιο, το ομόλογο με το μικρότερο ονομαστικό επιτόκιο θα έχει τη μικρότερη κυρτότητα. Αυτό συνεπάγεται ότι για μια μόνο δεδομένη διάρκεια, το ομόλογο χωρίς τοκομερίδιο θα έχουν και τη μικρότερη κυρτότητα. Κυρτότητα και διάρκεια Η σχέση μεταξύ διάρκειας και κυρτότητας είναι θετική. Η κυρτότητα ενός ομολόγου αυξάνεται με αύξοντα ρυθμό καθώς αυξάνεται η διάρκεια. Διαγραμματικά αυτό παρουσιάζεται στο Διάγραμμα 4. 13
Κυρτότητα Διάρκεια (D) Διάγραμμα 4 Κυρτότητα ομολόγων χωρίς τοκομερίδιο Έστω ένα πενταετές ομόλογο πωλείται στην τιμή των 1.000, χωρίς τοκομερίδιο και με απόδοση στη λήξη 5%. Να βρεθεί η κυρτότητά του. Η μελλοντική αξία του ομολόγου μετά από πέντε έτη θα είναι: n 5 F = P (1 i) = 1.000 (1,05) =1.76,8. Η αξία της δεύτερης παραγώγου είναι: t (t 1) F (1 i) t 5 6 x 1.76,8 = 7 (1,05) 7.10,86 Κυρτότητα = 1.000 1 38.88,4 = 1,4071 =13,6. = 7.10,86. Η Χρήση του Μοντέλου της Διάρκειας από τα Τραπεζικά Ιδρύματα Το μοντέλο της διάρκειας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αξιολογήσει τον κίνδυνο των επιτοκίων για ένα πιστωτικό ίδρυμα. Για να γίνει αυτό χρειαζόμαστε τη διάρκεια των στοιχείων του ενεργητικού και του παθητικού εκ των οποίων βρίσκουμε το χάσμα της διάρκειας. Η διάρκεια του ενεργητικού μιας τράπεζας βρίσκεται ως εξής: D = k D k D... k D 1 1 n n όπου, D k i = διάρκεια του ενεργητικού = ποσοστό κάθε στοιχείου στο σύνολο του ενεργητικού 14
D i = διάρκεια κάθε στοιχείου του ενεργητικού Παράδειγμα Έστω μια τράπεζα έχει τρία στοιχεία ενεργητικού Α, Β, Γ με τις εξής αξίες. Στοιχεία Αξία Διάρκεια Α 500.000 έτη Β 800.000 3 έτη Γ 700.000 1,5 έτη D = 500.000.000.000 800.000 700.000 3 1,5.000.000.000.000 D = 0,5 1, 0,55 =,5 έτη. Η διάρκεια του παθητικού μιας τράπεζας βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο, ήτοι: D = k D k D... k D Π 1 1 n n όπου, D Π k i D i = διάρκεια του παθητικού = ποσοστό κάθε στοιχείου στο σύνολο του παθητικού = διάρκεια κάθε στοιχείου του παθητικού Από τον ισολογισμό γνωρίζουμε ότι ΚΘ = Ε - Π και ΔΚΘ = ΔΕ - ΔΠ Επίσης, από το μοντέλο της διάρκειας γνωρίζουμε ότι η ποσοστιαία μεταβολή του κάθε στοιχείου του ενεργητικού και παθητικού είναι: ΔΕ = - D Ε ΔΠ = - D Π Π 1 i ( ) 1 i ( ) (3) (4) όπου, ΔΕ Ε και ΔΠ Π είναι η ποσοστιαία μεταβολή του ενεργητικού και του παθητικού αντίστοιχα. Οι σχέσεις 3 και 4 μπορούν επίσης να γραφούν ως εξής 15
ΔΕ = - D ΔΠ = - D Π Π 1 i ( ) 1 i ( ) (5) (6) Επειδή ΔΚΘ = ΔΕ - ΔΠ, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (5) και (6) και να πάρουμε: ΔΚΘ = - D ΔΚΘ = ΔΚΘ = - 1 i - - D Π ( ) ( ) [(- D ) ( D Π) ] [( D ) - ( D Π) ] Π Π Π 1 i ( ) 1 i ( ) 1 i (7) (8) (9) Αν πολλαπλασιάσουμε και διαιρέσουμε τους όρους D και D Π Π με το ενεργητικό Ε, έχουμε ΔΚΘ = - D - D Π Π 1 i ( ) (10) ΔΚΘ = - [ D - D α] Π 1 i ( ) όπου, α = Π Ε είναι ένα μέτρο που δείχνει τη χρηματοοικονομική μόχλευση. Η σχέση (11) δείχνει το ποσό της μεταβολής της καθαρής θέσης μιας τράπεζας που προέρχεται από τη μεταβολή των επιτοκίων. Το ποσό της μεταβολής της καθαρής θέσης εξαρτάται από: 1. Το χάσμα διάρκειας, το οποίο έχει προσαρμοσθεί να αντικατοπτρίσει και τη μόχλευση ( D - D α) Π.. Το μέγεθος της τράπεζας. Όσο μεγαλύτερο είναι το ενεργητικό τόσο μεγαλύτερη θα είναι η μεταβολή της καθαρής θέσης από την αλλαγή των επιτοκίων. 3. Το μέγεθος της μεταβολής των επιτοκίων. Όσο μεγαλύτερη είναι αυτή η μεταβολή τόσο περισσότερο επηρεάζεται η καθαρή θέση της τράπεζας. Από την εξίσωση (11) επίσης γίνεται φανερό ότι: α. Εάν (D- D Π α ) > 0 και τα επιτόκια αυξάνονται (μειώνονται), η καθαρή θέση θα μειωθεί (αυξηθεί). (11) 16
β. Εάν (D- D Π α ) < 0 και τα επιτόκια αυξάνονται (μειώνονται), η καθαρή θέση θα αυξηθεί (μειωθεί). ) γ. Εάν (D- D Π α = 0, η καθαρή θέση δεν επηρεάζεται από τις μεταβολές των επιτοκίων. Παράδειγμα Έστω ότι το ενεργητικό μιας τράπεζας ανέρχεται σε 800.000.000 με μέση διάρκεια 6 έτη, ενώ οι καταθέσεις της είναι 700.000.000 με μέση διάρκεια 3 έτη. Η καθαρή θέση είναι 100.000.000. Κατά πόσο θα μεταβληθεί η καθαρή θέση της τράπεζας αν τα επιτόκια αυξηθούν από 1% σε 13%; ΔΚΘ = - = - [ D - ( D α) ] Π 1 i ( ) 0,01 1,1 [ 6 - ( 0,8785 3) ] 800.000.000 = - 4.107.143 ευρώ. Η καθαρή θέση της τράπεζας μειώνεται κατά 4.107.143 ή κατά 4,1% από την αρχική της θέση. Το ποσό του ενεργητικού και του παθητικού μετά την αύξηση θα είναι 757.14.857 και 681.50.000 αντίστοιχα. Οι ενέργειες που θα πρέπει να κάνει η συγκεκριμένη τράπεζα για τον εκμηδενισμό του κινδύνου επιτοκίων είναι: μείωση της διάρκειας του ενεργητικού, αύξηση της διάρκειας του παθητικού, αύξηση της μόχλευσης. Διαχείριση του χάσματος της διάρκειας Η διαχείριση του χάσματος της διάρκειας μπορεί να είναι είτε αμυντική είτε επιθετική. Αμυντική στρατηγική σημαίνει ότι η διοίκηση της τράπεζας προσπαθεί να απομονώσει την καθαρή θέση από τις μεταβολές των επιτοκίων. Επιθετική στρατηγική σημαίνει ότι η διοίκηση προσπαθεί να επωφεληθεί από τις μεταβολές των επιτοκίων και να αυξήσει την καθαρή θέση. Επιτυχής επιθετική στρατηγική προϋποθέτει ικανότητα πρόβλεψης των επιτοκίων. Σε περίπτωση που η πρόβλεψη είναι λανθασμένη και η τράπεζα ακολουθεί επιθετική στρατηγική, η θέση της θα χειροτερέψει. Εάν αναμένεται αύξηση των επιτοκίων, η κατάλληλη επιθετική στρατηγική είναι η επίτευξη αρνητικού χάσματος διάρκειας. Η τράπεζα θα προσπαθήσει για παράδειγμα να προωθήσει βραχυπρόθεσμα δάνεια, να επενδύσει σε βραχυπρόθεσμα ομόλογα και να προσελκύσει μακροπρόθεσμες καταθέσεις. Εάν αναμένεται μείωση των επιτοκίων η στρατηγική της τράπεζας θα είναι ακριβώς η αντίθετη. Δυσκολίες Εφαρμογής του Μοντέλου Διάρκειας Δυσκολία αλλαγής των χαρακτηριστικών στοιχείων του ενεργητικού και του παθητικού. Το επιχείρημα εδώ είναι ότι δεν είναι εύκολο για ένα πιστωτικό ίδρυμα να μεταβάλλει τα στοιχεία του ενεργητικού και του παθητικού σε μια προσπάθεια να 17
προσαρμόσει τη διάρκειά τους ούτως ώστε να εκμηδενισθεί ο κίνδυνος των επιτοκίων. Αν και στο παρελθόν αυτή η αναπροσαρμογή ήταν δύσκολη, σήμερα με την ύπαρξη των διαφόρων παραγώγων προϊόντων η τράπεζα μπορεί να κάνει την κατάλληλη αναπροσαρμογή. Η εκμηδένιση του κινδύνου είναι ένα δυναμικό και όχι στατικό πρόβλημα. Έστω ότι σήμερα ο εκμηδενισμός του κινδύνου μπορεί να επιτευχθεί αγοράζοντας ένα εξαετές ομόλογο με διάρκεια 5 έτη. Μετά όμως από έναν χρόνο η ληκτότητα του ομολόγου είναι 5 έτη και κατά συνέπεια η διάρκειά του επίσης μικραίνει. Η διάρκεια τώρα είναι διαφορετική από τον επενδυτικό ορίζοντα της επιχείρησης και συνεπώς υπόκειται στον κίνδυνο των επιτοκίων. Ανάγκη λεπτομερών πληροφοριών Για να υπολογισθεί η διάρκεια μιας τράπεζας χρειάζονται λεπτομερείς πληροφορίες για τις χρηματορροές των διαφόρων χρηματοοικονομικών προϊόντων. Για μερικά, όπως καταθέσεις, οι χρηματορροές δεν είναι γνωστές. Μεγάλες αλλαγές των επιτοκίων και κυρτότητα. Η διάρκεια αποτελεί έναν ακριβή τρόπο μέτρησης της ευαισθησίας της αξίας ενός χρηματοοικονομικού προϊόντος μόνο στην περίπτωση που οι μεταβολές των επιτοκίων είναι μικρές και δεν ξεπερνούν τη μια μονάδα βάσης (0,01%), (100 μονάδες βάσης είναι 1%). Όσο μεγαλύτερη είναι η αλλαγή των επιτοκίων τόσο χειρότερη γίνεται η ακρίβεια της διάρκειας στη μέτρηση της ευαισθησίας της αξίας ενός χρηματοοικονομικού προϊόντος. Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση 1 Έστω D = 5 = 5 εκατομ. ι = 7% D Π =,5 έτη Π = 3 εκατομ. Επιτόκια αυξάνονται κατά 30 μ.β. Κατά πόσο θα μεταβληθεί (α) το ενεργητικό, (β) το παθητικό και (γ) η καθαρή θέση; Α. Μεταβολή του ενεργητικού (ΔΕ) Δ ΔΕ = -D i x 1 y 0,003-5 x 5.000.000 x = -70.093 1,07 Άρα η νέα αξία του ενεργητικού είναι 4.99.907 (= 5.000.000 70.093). Β. Μεταβολή του Παθητικού (ΔΠ) 18
0,003 ΔΠ = -.5 x 3.000.000 x = -1.08 1,07 Άρα η νέα αξία του παθητικού είναι.978.97 (=3.000.000 1.08). Καθαρή θέση (ΚΘ) ΚΘ = 4.99.907.978.97 = 1.950.935 Άρα η μείωση της καθαρής θέσης είναι:.000.000 1.950.935 = 49.065 Η μεταβολή της καθαρής θέσης θα μπορούσε να βρεθεί και από τον επόμενο τύπο: Π Δ ΔΚΘ = -[D i D Π x ] x x Ε 1 i 0,003 = - [5,5 x 0,6] x 5.000.000 x 1,07 = - 49.065 (β) Ποια είναι η ποσοστιαία μεταβολή της καθαρής θέσης; 49.065 = -,45%.000.000 (γ) Ποσοστιαία μεταβολή του ενεργητικού ΔΕ Δ = -D i x Ε 1 i 0,003 = -5 x = -1,4% ή 1,07 ΔΕ = -1,4% x 5.000.000 = -70.093 70.093 5.000.000 = -1,4% (δ) Ποσοστιαία μεταβολή παθητικού ΔΠ Π Δ = -DΠ x i 1 i 0,003 = -,5 x 1,07 = -0,7% ή 0,007 ή 1.08 3.000.000 = -0,007 19
Άσκηση Στο παραπάνω παράδειγμα υποθέστε ότι το μέσο επιτόκιο του ενεργητικού είναι 7% και του παθητικού 5%. Έστω τώρα ότι το επιτόκιο του ενεργητικού αυξάνεται κατά 30 μονάδες βάσης και του παθητικού κατά 10 μονάδες βάσης. Να βρεθούν: α) η μεταβολή του ενεργητικού β) η μεταβολή του παθητικού γ) η μεταβολή της καθαρής θέσης Λύση α) Από το προηγούμενο ΔΕ = -70.093 β) Μεταβολή παθητικού 0,001 ΔΠ = -,5 x 3.000.000 x = -7.143 1,05 Π = 3.000.000 7.143 =.99.857 KΘ = 4.99.907.99.857 = 1.937.050 0