. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο. Οι περιορισμοί μπορεί να αφορούν το διαθέσιμο προσωπικό, τις διαθέσιμες ώρες των μηχανημάτων, τα κεφάλαια μιας επιχείρησης, τις αποθήκες, τις πρώτες ύλες κ.τ.λ. Η κατανομή των πόρων μπορεί να αφορά την παραγωγή διαφορετικών προϊόντων, το πρόγραμμα παραγωγής, την επιλογή επενδυτικών σχεδίων, το κόστος παραγωγής κ.τ.λ. Η συγκεκριμένη μεθοδολογία χρησιμοποιείται για τη λύση προβλημάτων που έχουν σκοπό τη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης που υπόκειται σε περιορισμούς υπό μορφή γραμμικών ανισοτήτων... ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Η επίλυση των προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού αλλά και των υπολοίπων μοντέλων στη συνέχεια θα γίνει με τη βοήθεια του προγράμματος QM for Windows. Η εγκατάσταση του προγράμματος γίνεται πολύ εύκολα ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα: α) START, β) INSTALL, γ) QM for Windows. Αφού ολοκληρωθεί η εγκατάσταση του προγράμματος εμφανίζεται το εικονίδιο (αφού το έχετε επιλέξει) στην επιφάνεια εργασίας. Κάνοντας διπλό κλικ εισέρχεστε στο περιβάλλον του προγράμματος. Αν εργάζεστε σε Windows P τότε χρειάζεται να κάνετε και την ακόλουθη διαδικασία: α) Βρείτε το αρχείο comdlg.ocx στο CD του προγράμματος, β) Επιλέξτε το και στη συνέχεια επιλέξτε «Αντιγραφή», γ) Πηγαίνετε στο σκληρό δίσκο C:\WINDOWS\SYSTEM και επιλέξτε «Επικόλληση». Άσκηση.. Να μεγιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση περιορισμούς: Χ + 4Υ Χ + Υ 0 Χ 0, Υ 0 Z = 4 + 0Y κάτω από τους Λύση Η λύση του προβλήματος θα γίνει με τη βοήθεια του προγράμματος QM for Windows. Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από δύο περιορισμούς (η μη αρνητικότητα των μεταβλητών λαμβάνεται υπόψη από το πρόγραμμα). Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=0, Υ=0. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=40. Από το παράθυρο Graph μπορούμε να δούμε τη γραφική λύση του προβλήματος (μόνο αν έχουμε προβλήματα με δύο μεταβλητές). Η χρωματισμένη περιοχή ονομάζεται εφικτή περιοχή. Είναι η περιοχή που ικανοποιούνται ταυτόχρονα όλοι οι περιορισμοί. Δηλαδή είναι τα σημεία που επαληθεύουν το σύστημα των δύο ανισοτικών περιορισμών. + 4Y 4Y + Y + 4 0 + Y 0 Y + 0 Y + Επομένως είναι τα σημεία που βρίσκονται κάτω από την ευθεία Y = + 4 0 και τα σημεία που βρίσκονται κάτω από την ευθεία Y = +.
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Άσκηση.. Να ελαχιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση περιορισμούς: + 6Y 8 + Y 0, Y 0 Z = 0 + 8Y κάτω από τους Λύση Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από δύο περιορισμούς (η μη αρνητικότητα των μεταβλητών λαμβάνεται υπόψη από το πρόγραμμα). Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=, Υ=,6667. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=88. Από το παράθυρο Graph μπορούμε να δούμε τη γραφική λύση του προβλήματος. Η εφικτή περιοχή είναι το σύνολο των σημείων που επαληθεύουν το σύστημα των δύο ανισοτικών περιορισμών. + 6Y 8 6Y + Y Y + 8 Y 6 + Y + + 4
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Δηλαδή είναι τα σημεία που βρίσκονται κάτω από την ευθεία Y = + και 6 τα σημεία που βρίσκονται πάνω από την ευθεία Y = + 4. Άσκηση.. α) Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: min Z = 0 + 8Y κ. α. Χ + Υ 0 4Χ + 7Υ 8 Χ 0, Υ 0 β) Έστω ότι ο συντελεστής της μεταβλητής Χ στην αντικειμενική συνάρτηση ελαττώνεται κατά 0 μονάδες. Ποια θα είναι η νέα λύση του προβλήματος; Ποια η γραφική λύση; γ) Στη συνέχεια υποθέστε ότι προστίθεται και ένας τρίτος περιορισμός + Y 8. Ποια θα είναι η νέα λύση του προβλήματος; Ποια η γραφική λύση; Λύση α) Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από δύο περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=0, Υ=4. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=7. β) Χ=7, Υ=0. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=70. γ) Χ=8, Υ=0. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=80. Άσκηση..4 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max Z = 4 + Y κ. α. 0 + Y 0 + Y + Y 0 0, Y 0 Λύση 4
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από τρεις περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=,574, Υ=,49. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=,486. Άσκηση..5 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: min Z = 6 + 4Y s. t. + Y + Y 0 4 0, Y 0 Λύση Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από τρεις περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=, Υ=8. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=44. Άσκηση..6 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max R = + Y s. t. + Y 0 + Y 4 + Y 4 + Y 6 0, Y 0 Λύση Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από τέσσερις περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=, Υ=7. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι R=7. 5
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ.. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Για την εφαρμογή της μεθόδου Γραμμικού Προγραμματισμού απαιτείται κατ αρχήν η δημιουργία μαθηματικής διατύπωσης του συγκεκριμένου επιχειρησιακού προβλήματος που προσπαθούμε να επιλύσουμε. Η διατύπωση αυτή μπορεί να είναι αρκετά πολύπλοκη ανάλογα με τη φύση του προβλήματος. Άσκηση.. Ένας διαιτολόγος ενός νοσοκομείου προετοιμάζει ένα γεύμα που αποτελείται από κρέας και ρύζι. Το γεύμα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 45g πρωτεΐνης και τουλάχιστον 5mg σιδήρου. Κάθε μερίδα κρέατος περιέχει 45g πρωτεΐνης και 9mg σιδήρου. Κάθε μερίδα ρυζιού περιέχει 9g πρωτεΐνης και 6mg σιδήρου. Η μερίδα κρέατος κοστίζει και η μερίδα ρυζιού 0.5. Πόσες μερίδες κρέατος και πόσες μερίδες ρυζιού θα πρέπει να προετοιμαστούν έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος; Λύση Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: ΚΡΕΑΣ ΡΥΖΙ ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ (ΜΕΡΙΔΑ) (ΜΕΡΙΔΑ) ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΠΡΩΤΕΪΝΗ 45g 9g 45g ΣΙΔΗΡΟΣ 9mg 6mg 5mg ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ ΜΕΡΙΔΑ 0.5 Μεταβλητές Έστω Χ= μερίδες κρέατος και Υ= μερίδες ρυζιού που θα προετοιμαστούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους προετοιμασίας. Το συνολικό κόστος από την προετοιμασία Χ μερίδων κρέατος και Υ μερίδων ρυζιού είναι: C=Χ + 0.5Υ Περιορισμοί Περιορισμός στην ποσότητα της πρωτεΐνης: 45 + 9Y 45 Περιορισμός στην ποσότητα του σιδήρου: 9 + 6Y 5 6
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: min C = + 0. 5Y 45 + 9Y 45 9 + 6Y 5 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κόστος ελαχιστοποιείται για Χ=0.74 μερίδες κρέατος και Υ=.485 μερίδες ρυζιού. Το συνολικό κόστος θα είναι C=.4857. Άσκηση.. Μια εταιρεία επίπλων παράγει τραπέζια και καρέκλες. Η διαδικασία παραγωγής είναι παρόμοια και για τα δύο προϊόντα και απαιτεί διαφορετικές ώρες εργασίας για το κάθε προϊόν στα δύο τμήματα της επιχείρησης, το ξυλουργείο και το βαφείο. Για την παραγωγή κάθε τραπεζιού απαιτούνται 8 ώρες στο ξυλουργείο και 4 ώρες στο βαφείο, ενώ για κάθε καρέκλα οι ώρες που απαιτούνται είναι 8 στο ξυλουργείο και στο βαφείο. Για τον επόμενο μήνα η εταιρεία έχει προσδιορίσει ότι οι διαθέσιμες ώρες παραγωγής στο ξυλουργείο ανέρχονται συνολικά σε 960 ενώ στο βαφείο σε 400. Για κάθε τραπέζι το μικτό κέρδος της επιχείρησης είναι 45 ενώ για κάθε καρέκλα είναι 0. α) Το πρόβλημα της εταιρείας είναι ο καθορισμός των ποσοτήτων παραγωγής σε τραπέζια και καρέκλες έτσι ώστε να επιτύχει το μεγαλύτερο δυνατό κέρδος. β) Έστω ότι η επιχείρηση έχει περιορισμό ως προς την ποσότητα των πρώτων υλών. Η διαθέσιμη ποσότητα ξυλείας είναι 0 m. Για κάθε τραπέζι απαιτούνται 0.5 m ξύλου ενώ για κάθε καρέκλα 0. m. Επίσης υπάρχει περιορισμός και από το τμήμα πωλήσεων το οποίο θα ήθελε η αναλογία τραπεζιών και καρεκλών να είναι προς 4. Ποιες θα είναι σε αυτή την περίπτωση οι ποσότητες παραγωγής τραπεζιών και καρεκλών έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό μικτό κέρδος της επιχείρησης; Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: 7
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΚΑΡΕΚΛΕΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΞΥΛΟΥΡΓΕΙΟ 8 ΩΡΕΣ 8 ΩΡΕΣ 960 ΩΡΕΣ ΒΑΦΕΙΟ 4 ΩΡΕΣ ΩΡΕΣ 400 ΩΡΕΣ ΚΕΡΔΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ 45 0 Μεταβλητές Έστω Χ= ο αριθμός των τραπεζιών και Υ= ο αριθμός των καρεκλών που θα παραχθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η μεγιστοποίηση του μικτού κέρδους της εταιρείας. Το συνολικό μικτό κέρδος από την παραγωγή Χ τραπεζιών και Υ καρεκλών είναι: R = 45 + 0Y Περιορισμοί Περιορισμός ξυλουργείου: 8 + 8Y 960 Περιορισμός βαφείου: 4 + Y 400 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = 45 + 0Y 8 + 8Y 960 4 + Y 400 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό μικτό κέρδος μεγιστοποιείται για Χ=80 τραπέζια και Υ= 40 καρέκλες. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 4800. Μεταβλητές περιθωρίου ή πλεονάσματος (Slack/Surplus Variables) Η χρήση των μεταβλητών περιθωρίου ή πλεονάσματος μας επιτρέπει να μετατρέπουμε όλους τους περιορισμούς που διατυπώνονται με ανισότητες σε ισότητες. 8
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Όταν έχουμε ανισοτικούς περιορισμούς του τύπου μιλάμε για μεταβλητές περιθωρίου (slack variables). Αντιπροσωπεύουν αχρησιμοποίητους πόρους από τους συνολικά διαθέσιμους. Δηλαδή μας δείχνουν πόσο υστερεί το αριστερό μέλος του ανισοτικού περιορισμού από το δεξί μέλος (σταθερό όρο). Όταν έχουμε ανισοτικούς περιορισμούς του τύπου μιλάμε για μεταβλητές πλεονάσματος (surplus variables). Συμβολίζουν την ποσότητα υπέρβασης των ελάχιστων ορίων. Δηλαδή μας δείχνουν πόσο υπερβαίνει το αριστερό μέλος του περιορισμού το δεξί μέλος (σταθερό όρο). Στη συγκεκριμένη περίπτωση που έχουμε περιορισμούς του τύπου οι μεταβλητές περιθωρίου και για τους δύο περιορισμούς είναι μηδέν. Αυτό φαίνεται από το παράθυρο Ranging στη στήλη Slack/Surplus. Δηλαδή χρησιμοποιούνται όλες οι διαθέσιμες ώρες και από τα δύο τμήματα στην παραγωγή. Οι δύο περιορισμοί είναι δεσμευτικοί (binding) και ονομάζονται ενεργοί περιορισμοί διότι είναι αυτοί που προσδιορίζουν τη βέλτιστη λύση (αν μεταβάλλουμε τις διαθέσιμες ώρες στα δύο τμήματα η βέλτιστη λύση αλλάζει). Σκιώδεις ή Δυϊκές τιμές (Shadow Prices or Dual Prices) Σκιώδεις ή δυϊκές τιμές είναι οι τιμές που προσδιορίζουν την οριακή αξία κάθε επιπλέον μονάδας πόρων των αντίστοιχων περιορισμών. Η δυϊκή ή σκιώδη τιμή ενός περιορισμού δείχνει τη «βελτίωση» στη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ανά μονάδα αύξησης του σταθερού όρου του περιορισμού. Η ερμηνεία της βελτίωσης στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης εξαρτάται από το αν λύνουμε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης. Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε τα εξής: ) Η δυϊκή τιμή για τον πρώτο περιορισμό (ξυλουργείο) είναι.875. Αυτό σημαίνει ότι αν ο σταθερός όρος του πρώτου περιορισμού αυξηθεί κατά μία μονάδα, δηλαδή οι διαθέσιμες ώρες από 960 γίνουν 96, η αντικειμενική συνάρτηση θα αυξηθεί κατά.875. ) Η δυϊκή τιμή για τον δεύτερο περιορισμό (βαφείο) είναι 7.5. Αυτό σημαίνει ότι αν ο σταθερός όρος του δεύτερου περιορισμού αυξηθεί κατά μία μονάδα, δηλαδή οι διαθέσιμες ώρες από 400 γίνουν 40, η αντικειμενική συνάρτηση θα αυξηθεί κατά 7.5. Ανάλυση Ευαισθησίας Είναι αναπόσπαστο μέρος όλων των αναλυτικών και ποσοτικών μεθοδολογιών για τη λήψη αποφάσεων. Ονομάζεται η μελέτη που ακολουθεί μετά την εύρεση της 9
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ βέλτιστης λύσης, με σκοπό να προσδιορισθεί το πόσο εύκολα μεταβάλλεται η λύση στην οποία καταλήξαμε όταν αλλάζουν οι τιμές των διαφόρων παραμέτρων του προβλήματος. Η ανάλυση ευαισθησίας είναι δυνατό να γίνει στα ακόλουθα πεδία: i) Στους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης. ii) Στις διαθέσιμες ποσότητες των περιορισμών. Το αποτέλεσμα είναι να προσδιορίσουμε τη ζώνη τιμών για κάθε μία από τις προηγούμενες κατηγορίες παραμέτρων μέσα στην οποία η βέλτιστη λύση του προβλήματος παραμένει αμετάβλητη. i) Άριστο διάστημα των συντελεστών της αντικειμενικής συνάρτησης Για οποιαδήποτε τιμή των συντελεστών ανάμεσα στα όρια, δεδομένου ότι οι άλλες παράμετροι του προβλήματος παραμένουν αμετάβλητες, η βέλτιστη λύση (Χ, Υ) δεν θα αλλάξει. Η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα αλλάξει εφ όσον μεταβάλλονται οι συντελεστές της. Στη συγκεκριμένη περίπτωση το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής Χ είναι [0, 60] και για το συντελεστή της μεταβλητής Υ είναι [.5, 45]. ii) Άριστο διάστημα των διαθέσιμων ποσοτήτων των περιορισμών Για οποιαδήποτε τιμή των σταθερών όρων ανάμεσα στα όρια, δεδομένου ότι οι άλλες παράμετροι του προβλήματος παραμένουν αμετάβλητες, η σύνθεση της παραγωγής δεν αλλάζει (δηλαδή παράγονται και τα δύο προϊόντα) και ισχύουν οι δυϊκές τιμές των περιορισμών. Η βέλτιστη λύση (Χ, Υ) και η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αλλάζουν. Στη συγκεκριμένη περίπτωση το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του πρώτου περιορισμού (ξυλουργείο) είναι [800, 600] και για το σταθερό όρο του δεύτερου περιορισμού (βαφείο) είναι [40, 480]. β) Περιορισμός πρώτων υλών: 0.5 + 0.Y 0 Περιορισμός τμήματος πωλήσεων: = 4 = Y 4 Y = 0 Y 4 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = 45 + 0Y 8 + 8Y 960 0
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 4 + Y 400 0.5 + 0.Y 0 4 Y = 0 0, Y 0 Η άριστη λύση του προβλήματος είναι τώρα Χ=4 τραπέζια και Υ= 96 καρέκλες. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 960. Παρατηρείστε ότι οι περιορισμοί του βαφείου και του ξυλουργείου δεν είναι δεσμευτικοί. Από τις 400 ώρες εργασίας που είναι διαθέσιμες στο τμήμα του ξυλουργείου περισσεύουν οι ώρες και από τα 0 m ξυλείας που είναι διαθέσιμα περισσεύουν τα 4.4 m. Επίσης παρατηρείστε ότι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές αυτών των περιορισμών είναι μηδέν. εξής: Η δυϊκή τιμή για τον πρώτο περιορισμό είναι 4.5 και για τον τέταρτο είναι. Τα άριστα διαστήματα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών έχουν ως ος : [0, 0.77] ος : [88, + ) ος : [5.6, + ) 4 ος : [-0, 46.67] Άσκηση.. Ένα εργοστάσιο παράγει δύο τύπους πολύφωτων. Ένα πολύφωτο τύπου Ι χρειάζεται για την κατασκευή του ώρες εργασίας για επίστρωση, ώρα εργασίας για περάτωση κατασκευής και ώρες εργασίας για συναρμολόγηση. Ένα πολύφωτο τύπου ΙΙ χρειάζεται για την κατασκευή του ώρες εργασίας για επίστρωση, ώρες εργασίας για περάτωση κατασκευής και.5 ώρες εργασίας για συναρμολόγηση. Το τμήμα επίστρωσης μπορεί να εργάζεται 00 ώρες, το τμήμα περάτωσης εργασιών κατασκευής μπορεί να εργάζεται 0 ώρες και το τμήμα συναρμολόγησης μπορεί να εργάζεται 80 ώρες. α) Αν το κέρδος κάθε πολύφωτου τύπου Ι είναι 50 και το κέρδος κάθε πολύφωτου τύπου ΙΙ είναι 0 να βρεθεί η ποσότητα κάθε τύπου πολύφωτου που πρέπει να κατασκευασθεί για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος του εργοστασίου. β) Οι διαθέσιμες ώρες εργασίας στα τρία τμήματα αξιοποιούνται πλήρως;
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ γ) Ποιες είναι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών; δ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης; ε) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών; στ) Αν ζητηθεί να μεταβληθεί ο σταθερός όρος ενός περιορισμού κατά μία μονάδα ποιος περιορισμός θα επιλεγεί και τι μεταβολή θα γίνει; ζ) Έστω ότι το εργοστάσιο ξεκινά την παραγωγή ενός τρίτου τύπου πολύφωτου. Ένα πολύφωτο τύπου ΙΙΙ χρειάζεται για την κατασκευή του ώρα εργασίας για επίστρωση, ώρα εργασίας για περάτωση κατασκευής και ώρες εργασίας για συναρμολόγηση. Αν το κέρδος κάθε πολύφωτου τύπου ΙΙΙ είναι 0 να βρεθεί η ποσότητα κάθε τύπου πολύφωτου που πρέπει να κατασκευασθεί για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος του εργοστασίου. Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: ΤΥΠΟΣ Ι ΤΥΠΟΣ ΙΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΕΠΙΣΤΡΩΣΗ 00 ΠΕΡΑΤΩΣΗ 0 ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗ.5 80 ΚΕΡΔΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ 50 0 Μεταβλητές Έστω Χ= ο αριθμός των πολύφωτων τύπου Ι και Υ= ο αριθμός των πολύφωτων τύπου ΙΙ που θα παραχθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους της εταιρείας. Το συνολικό κέρδος από την παραγωγή Χ πολύφωτων τύπου Ι και Υ πολύφωτων τύπου ΙΙ είναι: R = 50 + 0Y Περιορισμοί Περιορισμός τμήματος επίστρωσης: + Y 00 Περιορισμός τμήματος περάτωσης: + Y 0
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Περιορισμός τμήματος συναρμολόγησης: +.5Y 80 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = 50 + 0Y + Y 00 + Y 0 +.5Y 80 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κέρδος μεγιστοποιείται για Χ=40 και Υ= 40. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 00. β) Στο τμήμα επίστρωσης περισσεύουν 40 ώρες (slack: 40) από τις 00 ώρες που είναι διαθέσιμες. Στα άλλα δύο τμήματα χρησιμοποιούνται όλες οι διαθέσιμες ώρες (slack: 0). γ) ος περιορισμός (τμήμα επίστρωσης): 0, ος περιορισμός (τμήμα περάτωσης):., ος περιορισμός (τμήμα συναρμολόγησης): 5.555. δ) Το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής Χ είναι [5, 60] και για το συντελεστή της μεταβλητής Υ είναι [5, 00]. ε) Το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του πρώτου περιορισμού (τμήμα επίστρωσης) είναι [60, ), για το σταθερό όρο του δεύτερου περιορισμού (τμήμα περάτωσης) είναι [60, 80] και για το σταθερό όρο του τρίτου περιορισμού (τμήμα συναρμολόγησης) είναι [90, 70]. στ) Θα επιλεγεί ο ος περιορισμός (τμήμα συναρμολόγησης) γιατί έχει τη μεγαλύτερη σκιώδη τιμή. Θα αυξηθεί ο σταθερός όρος (80) κατά μία μονάδα (8) γιατί έτσι θα πάρει η αντικειμενική συνάρτηση μεγαλύτερη τιμή (5.555 ). Μας ενδιαφέρει η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής γιατί έχουμε πρόβλημα μεγιστοποίησης. ζ) Με τα νέα δεδομένα έχουμε:
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΣ Ι ΤΥΠΟΣ ΙΙ ΤΥΠΟΣ ΙΙΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΕΠΙΣΤΡΩΣΗ 00 ΠΕΡΑΤΩΣΗ 0 ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗ.5 80 ΚΕΡΔΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ 50 0 0 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = 50 + 0Y + 0W + Y + W 00 + Y + W 0 +.5Y + W 80 0, Y 0, W 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κέρδος μεγιστοποιείται για Χ=40, Υ= 40 και W=0. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 00. Στο παράθυρο «Ranging» και στη στήλη «Reduced cost» βλέπουμε ότι το εργοστάσιο θα έχει συμφέρον να παράγει τον τύπο ΙΙΙ αν το ανά μονάδα κέρδος του αυξηθεί πάνω από 4.444. Άσκηση..4 Μια αλυσίδα τουριστικών γραφείων πούλησε 500 εισιτήρια για την παγκόσμια έκθεση αυτοκινήτων. Το πακέτο ταξιδιού περιλαμβάνει το αεροπορικό εισιτήριο παρέχοντας τη δυνατότητα επιλογής ενός από δύο τύπους αεροπλάνων για τις πτήσεις charter. Τα αεροπλάνα τύπου Ι μπορούν να μεταφέρουν 50 επιβάτες και τα αεροπλάνα τύπου ΙΙ μπορούν να μεταφέρουν 00 επιβάτες. Κάθε πτήση του αεροπλάνου τύπου Ι κοστίζει 000 και κάθε πτήση του αεροπλάνου τύπου ΙΙ κοστίζει 5000. Η αλυσίδα των τουριστικών γραφείων δεν μπορεί να ενοικιάσει περισσότερα από 5 αεροπλάνα. α) Πόσα αεροπλάνα από τον κάθε τύπο μπορούν να ενοικιασθούν για να ελαχιστοποιήσουν το κόστος; β) Πόσο θα πρέπει να μεταβληθεί το κόστος των αεροπλάνων τύπου Ι έτσι ώστε το τουριστικό γραφείο να έχει συμφέρον να το ενοικιάσει; 4
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ γ) Αν μειωθεί το κόστος των αεροπλάνων τύπου Ι στα 00 ποια θα είναι η λύση του προβλήματος; δ) Οι διαθέσιμοι πόροι των περιορισμών αξιοποιούνται πλήρως; ε) Ποιες είναι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών; στ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης; ζ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών; η) Αν ζητηθεί να μεταβληθεί ο σταθερός όρος ενός περιορισμού κατά μία μονάδα ποιος περιορισμός θα επιλεγεί και τι μεταβολή θα γίνει; Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: ΤΥΠΟΣ Ι ΤΥΠΟΣ ΙΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΙ ΠΟΡΟΙ ΕΠΙΒΑΤΕΣ 50 00 500 ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΕΡΟΠΛΑΝΩΝ 5 ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ 000 5000 Μεταβλητές Έστω Χ= ο αριθμός των αεροπλάνων τύπου Ι και Υ= ο αριθμός των αεροπλάνων τύπου ΙΙ που θα ενοικιασθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους του ταξιδιωτικού γραφείου. Το συνολικό κόστος από την ενοικίαση Χ αεροπλάνων τύπου Ι και Υ αεροπλάνων τύπου ΙΙ είναι: C = 000 + 5000Y Περιορισμοί Περιορισμός επιβατών: 50 + 00Y = 500 Περιορισμός ενοικιαζόμενων αεροπλάνων: + Y 5 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: min C = 000 + 5000Y 5
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 50 + 00Y = 500 + Y 5 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κόστος ελαχιστοποιείται για Χ=0 και Υ=.5. Το ελάχιστο κόστος θα είναι 87500. β) Στο παράθυρο «Ranging» και στη στήλη «Reduced cost» βλέπουμε ότι το γραφείο θα έχει συμφέρον να ενοικιάσει τον τύπο Ι αν το ανά μονάδα κόστος του μειωθεί περισσότερο από 750. (Στα προβλήματα ελαχιστοποίησης η ερμηνεία είναι αντίθετη με τα προβλήματα μεγιστοποίησης). γ) Κάνοντας την αλλαγή και λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κόστος ελαχιστοποιείται για Χ=0 και Υ= 5. Το ελάχιστο κόστος θα είναι 87000. δ) Ο ος περιορισμός είναι δεσμευτικός (ισότητα) και επομένως για να έχει λύση το πρόβλημα θα πρέπει να ισχύει. Στο ο περιορισμό η μεταβλητή περιθωρίου (slack variable) είναι μηδέν. Επομένως το τουριστικό γραφείο, από τα 5 αεροπλάνα που μπορεί να ενοικιάσει, ενοικιάζει και τα 5. ε) Για τις δυϊκές τιμές στα προβλήματα ελαχιστοποίησης ισχύουν τα αντίθετα από τα προβλήματα μεγιστοποίησης. Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε ότι η δυϊκή τιμή του ου περιορισμού είναι -76. Αυτό σημαίνει ότι αν αυξηθεί ο σταθερός όρος του ου περιορισμού κατά μία μονάδα (δηλ. από 500 γίνει 50) τότε η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα αυξηθεί (θα χειροτερεύσει γιατί είναι συνάρτηση κόστους) κατά 76. Η δυϊκή τιμή του ου περιορισμού είναι 00. Αυτό σημαίνει ότι αν αυξηθεί ο σταθερός όρος του ου περιορισμού κατά μία μονάδα (δηλ. από 5 γίνει 6) τότε η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα μειωθεί (θα βελτιωθεί γιατί είναι συνάρτηση κόστους) κατά 00. στ) Το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής Χ είναι (-, 50] και για το συντελεστή της μεταβλητής Υ είναι [49., ). ζ) Το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του πρώτου περιορισμού (αριθμός επιβατών) είναι [50,000] και για το σταθερό όρο του δεύτερου περιορισμού (αριθμός αεροπλάνων) είναι [.5, 6.67]. η) Θα επιλεγεί ο ος περιορισμός (αριθμός αεροπλάνων) γιατί έχει τη μεγαλύτερη (σε απόλυτη τιμή) σκιώδη τιμή (00). Θα αυξηθεί ο σταθερός όρος (5) κατά μία μονάδα (6) γιατί έτσι θα πάρει η αντικειμενική συνάρτηση μικρότερη τιμή 6
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (86800 ). Μας ενδιαφέρει η ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής γιατί έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Άσκηση..5 Μια αεροπορική εταιρεία προσφέρει μια έκπτωση στα εισιτήρια πρώτης θέσης στους επιβάτες οι οποίοι δεν φέρουν αποσκευές. Το εισιτήριο με έκπτωση λέγεται «εκτελεστικό» εισιτήριο. Το αεροπλάνο για το οποίο προσφέρεται το «εκτελεστικό» εισιτήριο έχει 90 θέσεις. Η τιμή του εισιτηρίου πρώτης θέσης είναι 0, η τιμή του «εκτελεστικού» εισιτηρίου είναι 70 και η τιμή του εισιτηρίου οικονομικής θέσης είναι 40. Το κόστος της εταιρείας για ένα εισιτήριο πρώτης θέσης είναι 50, για ένα «εκτελεστικό» εισιτήριο 50 και για ένα εισιτήριο οικονομικής θέσης 50. Η αεροπορική εταιρεία πρέπει να έχει διαθέσιμες 0 κυβικές παλάμες (dm ) αποθηκευτικών χώρων για κάθε επιβάτη πρώτης θέσης και 5 dm για κάθε επιβάτη οικονομικής θέσης. Αποφασίστηκε ότι το κόστος κάθε πτήσης δεν θα υπερβαίνει τα 500 και οι αποθηκευτικοί χώροι δεν μπορούν να υπερβαίνουν τα 50 dm. α) Πόσα εισιτήρια κάθε είδους πρέπει να πωληθούν για να μεγιστοποιήσουν το κέρδος της εταιρείας; β) Οι διαθέσιμοι πόροι των περιορισμών αξιοποιούνται πλήρως; γ) Ποιες είναι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών; δ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης; ε) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών; στ) Αν ζητηθεί να μεταβληθεί ο σταθερός όρος ενός περιορισμού κατά μία μονάδα ποιος περιορισμός θα επιλεγεί και τι μεταβολή θα γίνει; Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: 7
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΩΤΗ ΘΕΣΗ «ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΟ» ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΙ ΠΟΡΟΙ ΕΠΙΒΑΤΕΣ 90 ΑΠΟΘΗΚΕΥΤΙΚΟΙ 0 0 5 50 dm ΧΩΡΟΙ ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ 50 50 50 500 ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ ΤΙΜΗ ΕΙΣΙΤΗΡΙΟΥ 0 70 40 ΚΕΡΔΟΣ = 60 0 90 ΤΙΜΗ-ΚΟΣΤΟΣ Μεταβλητές Έστω = ο αριθμός των εισιτηρίων πρώτης θέσης, = ο αριθμός των «εκτελεστικών» εισιτηρίων και = ο αριθμός των εισιτηρίων οικονομικής θέσης που θα πωληθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους της αεροπορικής εταιρείας. Το συνολικό κέρδος από την πώληση εισιτηρίων πρώτης θέσης, «εκτελεστικών» εισιτηρίων και εισιτηρίων οικονομικής θέσης είναι: P = 60 + Περιορισμοί + 0 90 Περιορισμός επιβατών: + + 90 Περιορισμός αποθηκευτικών χώρων: 0 + 5 50 Περιορισμός στο συνολικό κόστος των εισιτηρίων: 50 + 50 + 50 500 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max P = 60 + + 0 90 + + 0 + 5 90 50 8
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 50 + 50 + 50 500 0, 0, 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κέρδος μεγιστοποιείται για =05, = 5 και = 60. Το κέρδος της εταιρείας θα είναι Π = 500. β) Οι μεταβλητές περιθωρίου είναι μηδέν και στους περιορισμούς. Άρα οι διαθέσιμοι πόροι των περιορισμών αξιοποιούνται πλήρως. γ) ος περιορισμός: 45, ος περιορισμός: 4, ος περιορισμός: 0.5. δ) Το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής είναι [0, 0], για το συντελεστή της μεταβλητής μεταβλητής είναι [60, 40]. είναι [0, 60] και για το συντελεστή της ε) Το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του ου περιορισμού είναι [50, 0], για το σταθερό όρο του ου περιορισμού είναι [00, 600] και για το σταθερό όρο του ου περιορισμού είναι [7500, 8500]. στ) Θα αυξηθεί ο σταθερός όρος του πρώτου περιορισμού (από 90 θα γίνει 9) γιατί έχουμε τη μεγαλύτερη αύξηση στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (545 ). 9
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ.. ΔΥΪΚΟΤΗΤΑ (DUALITY) Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει ένα συσχετιζόμενο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού που ονομάζεται δυϊκό (dual). Αν ονομάσουμε την αρχική διατύπωση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού σαν αρχικό πρόβλημα (primal), θα δούμε πως το αρχικό μπορεί να μετατραπεί στο αντίστοιχό του δυϊκό (dual). Μία βασική ιδιότητα αρχικού-δυϊκού είναι ότι η βέλτιστη λύση στο ένα συνεπάγεται βέλτιστη λύση στο άλλο. Πριν προχωρήσουμε στη διατύπωση αντίστοιχων προβλημάτων θα αναφερθούμε στην κανονική μορφή (canonical form) ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης (maximization) θα λέμε ότι είναι σε κανονική μορφή αν όλοι οι περιορισμοί του είναι του τύπου και οι μεταβλητές του μη αρνητικές ( x i 0 ). Ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης (minimization) θα λέμε ότι είναι σε κανονική μορφή αν όλοι οι περιορισμοί του είναι του τύπου αρνητικές ( 0 ). x i και οι μεταβλητές του μη Για να μετατρέψουμε ένα αρχικό πρόβλημα στο αντίστοιχό του δυϊκό θα πρέπει το αρχικό να είναι σε κανονική μορφή. Άσκηση.. Έστω το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού της άσκησης..5. Να διατυπώσετε το αντίστοιχο δυϊκό του. Ποια είναι η λύση του δυϊκού και ποια η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης; Ποιες είναι οι σκιώδεις τιμές των περιορισμών; Τι παρατηρείτε; Λύση Το αρχικό πρόβλημα έχει ως εξής: max P = 60 + + 0 90 + + 90 0 + 0 + 5 50 50 + 50 + 50 0, 0, 0 500 0
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Παρατηρούμε ότι το πρόβλημα είναι σε κανονική μορφή. Επομένως το δυϊκό του θα είναι ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης σε κανονική μορφή. Η διαδικασία για τη διατύπωση του δυϊκού ενός προβλήματος μεγιστοποίησης είναι η ακόλουθη:. Το δυϊκό είναι ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης σε κανονική μορφή.. Όταν το αρχικό έχει n μεταβλητές απόφασης (n= στο συγκεκριμένο πρόβλημα), το δυϊκό θα έχει n περιορισμούς. Ο πρώτος περιορισμός του δυϊκού συσχετίζεται με τη μεταβλητή του αρχικού, ο δεύτερος περιορισμός του δυϊκού συσχετίζεται με τη μεταβλητή του αρχικού κ.ο.κ.. Όταν το αρχικό έχει m περιορισμούς (m= στο συγκεκριμένο πρόβλημα), το δυϊκό θα έχει m μεταβλητές απόφασης. Η μεταβλητή του δυϊκού συσχετίζεται με τον πρώτο περιορισμό του αρχικού, η U μεταβλητή U του δυϊκού συσχετίζεται με τον δεύτερο περιορισμό του αρχικού κ.ο.κ. 4. Οι σταθεροί όροι (δεξί μέλος) των περιορισμών του αρχικού προβλήματος γίνονται οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης του δυϊκού. 5. Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης του αρχικού προβλήματος γίνονται οι σταθεροί όροι (δεξί μέλος) των περιορισμών του δυϊκού. 6. Οι συντελεστές των περιορισμών της i μεταβλητής στο αρχικό πρόβλημα γίνονται συντελεστές στον i περιορισμό του δυϊκού. Το δυϊκό πρόβλημα είναι το ακόλουθο: minc = 90U + + 50U 500 U + 0U + 50U 60 U + 0U + 50U 0 U + 5U + 50U 90 U 0, U 0, U 0 U
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η λύση του προβλήματος είναι U= 45, U = 4 και U = 0. 5 της αντικειμενικής συνάρτησης είναι C = 500. Οι σκιώδεις τιμές των περιορισμών είναι οι εξής: ος περιορισμός: -05 ος περιορισμός: -5 ος περιορισμός: -60. Η βέλτιστη τιμή Από τη λύση του δυϊκού προβλήματος παρατηρούμε ότι η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι η ίδια και για τα δύο προβλήματα. Επομένως έχουμε την ακόλουθη ιδιότητα: ΙΔΙΟΤΗΤΑ : Αν το δυϊκό πρόβλημα έχει βέλτιστη λύση τότε και το αρχικό έχει βέλτιστη λύση και αντίστροφα. Επιπλέον, οι βέλτιστες τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων στο δυϊκό και στο αρχικό είναι ίσες. Αυτή η ιδιότητα μας λέει ότι αν είχαμε λύσει μόνο το δυϊκό πρόβλημα θα γνωρίζαμε ότι το κέρδος της εταιρείας θα ήταν 500. Από τη λύση του δυϊκού προβλήματος παρατηρούμε επίσης ότι οι βέλτιστες τιμές των δυϊκών μεταβλητών U i είναι ίδιες με τις δυϊκές τιμές των περιορισμών του αρχικού προβλήματος. Επομένως έχουμε την ακόλουθη ιδιότητα: ΙΔΙΟΤΗΤΑ : Οι βέλτιστες τιμές των δυϊκών μεταβλητών ( U i ) είναι ίδιες με τις δυϊκές τιμές των περιορισμών του αρχικού προβλήματος. Επιπλέον, οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών του δυϊκού προβλήματος είναι οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών απόφασης του αρχικού ( ) με αντίθετο πρόσημο. i Επομένως μπορούμε να πούμε τα εξής: Αρχικό Πρόβλημα: Με δεδομένο το ανά μονάδα κέρδος για κάθε τύπο εισιτηρίου ( i ) προσδιορίζουμε την ποσότητα από τον κάθε τύπο εισιτηρίου που πρέπει να πωληθεί έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος της εταιρείας. Οι περιορισμοί απαιτούν την ποσότητα του κάθε πόρου που χρησιμοποιείται να είναι μικρότερη ή ίση από τη διαθέσιμη ποσότητα.