Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ

ΥΡΗΜΑΣΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΟΜΟ Α Μάθημα 1 ο Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ 1.1 Ειζαγωγή ε απηό ην θεθάιαην ζα αζρνιεζνύκε κε ηηο πην βαζηθέο έλλνηεο ηεο ρξεκαηννηθνλνκηθήο όπσο ηε κειινληηθή αμία, ηελ παξνύζα αμία, ηελ θαζαξή παξνύζα αμία θαη ηνλ εζσηεξηθό βαζκό απόδνζεο. Με ηηο έλλνηεο απηέο ζα είκαζηε ζε ζέζε λα απαληήζνπκε εξσηήκαηα όπσο ην πόζα ρξήκαηα ζα έρνπκε ζην κέιινλ εάλ θαηαζέζνπκε ζηελ Σξάπεδα ζήκεξα έλα ζπγθεθξηκέλν πνζό, πόζν αμίδνπλ ζε ζεκεξηλά ρξήκαηα ηα εηζνδήκαηα πνπ αλακέλνπκε ζην κέιινλ, πνηα είλαη ε θαζαξή ζεκεξηλή αμία κηαο επέλδπζεο θαη πνηα είλαη ε πνζνζηηαία απόδνζε κίαο επέλδπζεο. Σα ρξεκαηννηθνλνκηθά αμηόγξαθα θαη νη ρξεκαηννηθνλνκηθέο επηινγέο εκπεξηέρνπλ πάληα ηε δηάζηαζε ηνπ ρξόλνπ. Μεξηθά απιά παξαδείγκαηά πξνβιεκάησλ πνπ ζα είζαζηε ζε ζέζε λα απαληήζεηε κεηά Σνπνζεηείηε 10.000 ζε έλα ινγαξηαζκό θαηαζέζεσλ. Πόζα ρξήκαηα ζα έρεηε ζε 2 ρξόληα; Σνπνζεηείηε1000 ζε έλα ινγαξηαζκό θαηαζέζεσλ θαη ζθνπεύεηε λα θαηαζέηεηε 1000 ζην ηέινο θάζε ρξόλνπ γηα ηα επόκελα 10 ρξόληα. Πόζα ρξήκαηα ζα έρεηε ζε 20 ρξόληα Αγνξάζαηε έλα εηαηξηθό νκόινγν ζηε ηηκή 930. Σν νκόινγν ζα ζαο απνδίδεη 20 θάζε ρξόλν γηα ηα επόκελα ηέζζεξα ρξόληα. ηνλ πέκπην ρξόλν ζα ιάβεηε 1020. Πνηα είλαη ε απόδνζε από ηελ επέλδπζε ζαο. θνπεύεηε λα πξαγκαηνπνηήζεηε κηα επέλδπζε. Η επέλδπζε θνζηίδεη 100.000 θαη ζα ζαο απνθέξεη 600 θάζε κήλα γηα ηα επόκελα 20 ρξόληα. Θα πξέπεη λα αλαιάβεηε ηελ επέλδπζε εάλ γλσξίδεηε όηη ε ηξάπεδα απνδίδεη ζηνπο θαηαζεηηθνύο ινγαξηαζκνύο εηήζην επηηόθην 5%; 1.2 Μελλονηική Αξία ενόρ χπημαηικού ποζού Η κειινληηθή αμία είλαη ε ηζνδύλακε αμία θάπνηνπ πνζνύ ζην κέιινλ. Αο ππνζέζνπκε όηη ηνπνζεηείηε 1000 ζε κηα θαηάζεζε θαη όηη ε ηξάπεδα ζαο απνδίδεη 5% ηόθν ζην ηέινο θάζε ρξόλνπ. Εάλ θξαηήζεηε γηα έλα ρξόλν ζηνλ θαηαζεηηθό ινγαξηαζκό ηα ρξήκαηα ζην ηέινο ηνπ ρξόλνπ ζα έρεηε ηα 1000 πνπ θαηαζέζαηε θαζώο θαη ηνλ ηόθν πνπ αλαινγεί γηα ηελ πεξίνδν δηαθξάηεζεο πνπ είλαη 1

5%*1000 =50. Σα 1050 είλαη ε κειινληηθή αμία κεηά από έλα ρξόλν ηνπ αξρηθνύ πνζνύ 1000 κε 5% εηήζην επηηόθην. Εάλ ππνζέζνπκε όηη θξαηήζεηε ηα ρξήκαηα γηα έλα αθόκε ρξόλν ζην ηέινο ηνπ δεύηεξνπ ρξόλνπ ζα έρεηε 1050 + 5%*1050 =1.102,50 Ελαιιαθηηθά 2 1000 *(1 0,05) 1102,5 Παξαηεξήζηε ν ππνινγηζκόο ηεο κειινληηθήο αμίαο ρξεζηκνπνηεί ηελ έλλνηα ηνπ αλαηνθηζκνύ. Ο ηόθνο πνπ θεξδήζεθε ηνλ πξώην ρξόλν θεξδίδεη ηόθν ην δεύηεξν ρξόλν πλνςίδνληαο, ε κειινληηθή αμία (FV) ελόο πνζνύ Υ (PV) ζε έλα ινγαξηαζκό πνπ απνδίδεη i% επηηόθην εηεζίσο κεηά από n ρξόληα ζα δίλεηαη από ηνλ ηύπν FV PV *(1 i) n Όπνπ FV= Μειινληηθή Αμία ελόο πνζνύ PV= Παξνύζα αμία ελόο πνζνύ Οη ππνινγηζκνί ηεο κειινληηθήο αμίαο κπνξνύλ λα γίλνπλ εύθνια ζην excel Πξόβιεκα 1: Πνηα είλαη ε κειινληηθή αμία 1000 επξώ εάλ ηα θαηαζέζνπκε γηα 2 ρξόληα κε επηηόθην 5%; 1000 0 1 2 2 1000*(1 0,05) 1.102,50 ΠΡΟΟΥΗ! : Καζώο βξίζθνπκε ηελ αμία ηνπ πνζνύ κεηά από 2 ρξόληα ( ην κεηαθέξνπκε ζηε γξακκή ηνπ ρξόλνπ από ην ρξόλν 0 ζην ρξόλν 2) ζα πξέπεη λα πςώζνπκε ζηελ δεπηέξα. Ο ππνινγηζκόο 2 1000*(1 0,05) 1.102,50 κπνξεί λα γίλεη κε ρξήζε ηνπ πίλαθα 1 ζηελ ( ηειηθή αμία κηαο λνκηζκαηηθήο κνλάδαο )ζην βηβιίν ηνπ ΕΑΠ ζει 210, πγθεθξηκέλα ν πίλαθαο απηόο καο απνδίδεη ηελ κειινληηθή αμία ηεο κίαο λνκηζκαηηθήο κνλάδαο, δειαδή ηελ πξάμε (1 i) n. πλεπώο γηα i=5% θαη n=2 έρνπκε από ηνλ πίλαθα όηη 2

2 (1 0,05) 1,1025 θαη επνκέλσο ε Μειινληηθή Αμία ζα είλαη ίζε κε ΜΑ=1000*1,1025=1102,50 ηελ πεξίπησζε πνπ ζέινπκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ην excel γηα ηνλ ππνινγηζκό έρνπκε 3

Παξαηεξήζηε όηη ην ζύκβνιν (^) αληηπξνζσπεύεη ηε δύλακε. ην excel ε πξάμε 2 1000 *(1 0,05) 1102,5 γξάθεηαη σο D4*(1+D5)^D6, όπνπ ην θειί D4 πεξηέρεη ην πνζό γηα ην νπνίν ζέινπκε λα βξνύκε ηε κειινληηθή αμία, ην θειί D5 πεξηέρεη ην επηηόθην θαη ην θειί D6 ηνλ αξηζκό ησλ ρξόλσλ. Ελαιιαθηηθά ε κειινληηθή αμία κπνξεί λα ππνινγηζηεί θαη από ηελ νηθνλνκηθή ζπλάξηεζε FV 4

Οη κεηαβιεηέο πνπ πξέπεη λα νξηζηνύλ είλαη ύληαμε FV(rate;nper;pmt;pv;type) Rate είλαη ην επηηόθην αλά πεξίνδν. Nper είλαη ν ζπλνιηθόο αξηζκόο ησλ πεξηόδσλ πιεξσκήο κηαο πξνζόδνπ. Pmt είλαη ε ζηαζεξή πιεξσκή πνπ θαηαβάιιεηαη ζε θάζε πεξίνδν θαη δελ κπνξεί λα αιιάμεη θαηά ηε δηάξθεηα ηεο πεξηόδνπ. ην πξόβιεκα καο δελ ππάξρεη ελδηάκεζε ζηαζεξή πιεξσκή γη απηό θαη νξίδνπκε ην κεδέλ Pv είλαη ε παξνύζα αμία ή ην εθάπαμ πνζό πνπ αληηπξνζσπεύεη κηα ζεηξά κειινληηθώλ πιεξσκώλ ζε ηξέρνπζεο ηηκέο. ην πξόβιεκα καο εηζάγνπκε ηελ παξνύζα αμία κε αξλεηηθό πξόζεκν γηαηί απνηειεί εθξνή, αξρηθή θαηαβνιή ρξεκάησλ. Type είλαη ν αξηζκόο 0 ή 1 θαη επηζεκαίλεη πόηε πξέπεη λα θαηαβάιινληαη νη πιεξσκέο. Εάλ παξαιεηθζεί ην όξηζκα type, ζεσξείηαη ίζν κε 0. ην πξόβιεκα καο ην πνζό θαηαβάιιεηαη ζηελ αξρή ηεο πεξηόδνπ, νπόηε είηε παξαιείπνπκε ην όξηζκα ή νξίδνπκε ην κεδέλ. Μπνξνύκε λα δεκηνπξγήζνπκε κε ην excel έλα πίλαθα πνπ λα δείρλεη ην πώο κεγαιώλεη ε κειινληηθή αμία κε ην ρξόλν 5

Παξαηεξήζηε όηη νη ηύπνη ζηα θειηά C7 έσο C27 εκπεξηέρνπλ ην ζύκβνιν ηνπ δνιαξίνπ $. Η κειινληηθή αμία ησλ 1000 επξώ ζην ηέινο ηνπ 1 νπ ρξόλνπ δίλεηαη από 1000 *(1 0,05) 1050 Η κειινληηθή αμία ησλ 1000 επξώ ζην ηέινο ηνπ 2 νπ ρξόλνπ δίλεηαη από 2 1000 *(1 0,05) 1102,5 Παξαηεξνύκε όηη ην κόλν πνπ αιιάδεη ζηνλ ππνινγηζκό είλαη όηη πςώλνπκε ηνλ όξν (1 0,05) ζε δηαθνξεηηθή δύλακε αλάινγα κε ηα ρξόληα πνπ ζέινπκε λα βξνύκε ηε κειινληηθή αμία. πλεπώο εάλ ζέινπκε λα δεκηνπξγήζνπκε έλα ηύπν θαη λα ηνλ αληηγξάςνπκε ζηα θειηά πνπ ππνινγίδνληαη νη κειινληηθέο αμίεο ζα πξέπεη ζηνλ ηύπν απηό λα θξαηήζνπκε ζηαζεξά ηα θειηά πνπ πεξηέρνπλ ην πνζό θαη ην επηηόθην. Σν κόλν πνπ ζα αιιάδεη ζηνλ ππνινγηζκό ζε θάζε θειί ππνινγηζκνύ ζα είλαη ε ύςσζε ζηνλ αξηζκό ησλ εηώλ. ην παξαθάησ θύιιν excel παξνπζηάδεηαη έλαο πίλαθαο θαη έλα γξάθεκα πνπ δείρλνπλ ηελ κειινληηθή αμία 1000 κε ηξία δηαθνξεηηθά επηηόθηα 5%, 8%, 10%. Όπσο βιέπνπκε θαη από ηα γξαθήκαηα ε κειινληηθή αμία είλαη πνιύ επαίζζεηε ζην επηηόθην! 6

Πξόβιεκα 2: Πνηα είλαη ε κειινληηθή αμία (δειαδή πόζα ρξήκαηα ζα έρνπκε ζην ηέινο ηνπ 2,5ρξόλσλ) εάλ γηα ηα επόκελα 2,5 ρξόληα θαηαζέζνπκε 1000 ζην ηέινο ηνπ 1 νπ εμακήλνπ, 2000 ζην ηέινο ηνπ 2 νπ εμακήλνπ, 3000 ζην ηέινο ηνπ 3 νπ εμακήλνπ, 5000 ζην ηέινο ηνπ 4 νπ εμακήλνπ θαη 6000 επξώ ζην ηέινο ηνπ 5 νπ εμακήλνπ κε εηήζην επηηόθην 10%; Η γξακκή ηνπ ρξόλνπ γηα ην πξόβιεκα καο νξίδεηαη ζε εμάκελα θαζώο νη ρξεκαηνξνέο καο είλαη εμακεληαίεο. 1000 2000 3000 5000 6000 Εμάκελα 4 0 1 2 3 5 1 πεξίνδν 2 πεξηόδνπο 3 πεξηόδνπο 4 πεξηόδνπο Σν εμακεληαίν επηηόθην είλαη 10%/2=5% ( ΠΡΟΟΥΗ! Όια ηα επηηόθηα ζα καο δίλνληαη ζε εηήζηα βάζε θαη ζα πξέπεη λα ηα κεηαηξέπνπκε ζην αληίζηνηρν ρξνληθό δηάζηεκα) Η κειινληηθή αμία ππνινγίδεηαη από 4 3 2 FV 1000*(1 0,05) 2000*(1 0,05) 3000*(1 0,05) 5000*(1 0,05) 6000 Υξεζηκνπνηώληαο ηνλ πίλαθα 1 έρνπκε FV 1000*1, 2155 2000*1,1576 3000*1,1025 5000*1, 0500 6000 18088, 26 7

1.3 Μελλονηική Αξία μίαρ ζειπάρ ιζόποζων πληπωμών (πάνηα) ε νξηζκέλα πξνβιήκαηα νη ρξεκαηνξνέο καο ζα απνηεινύληαη από έλα ζηαζεξό θαη ηζόπνζν πνζό θάζε πεξίνδν έζησ κε Υ Υ Υ Υ. Υ ρξόλνο 0 1 2 3 n 8

Η κειινληηθή αμία ησλ πιεξσκώλ απηώλ ζα δίλεηαη από FV *(1 i) *(1 i) X *(1 i)... X(1 i) X(1 i) n1 n2 n3 1 0 Παξαηεξνύκε όηη εκθαλίδεηαη κηα γεσκεηξηθή πξόνδνο κε ζηαζεξό όξν αύμεζεο (1+i) θαη εθαξκόδνληαο ηνλ ηύπν ηνπ αζξνίζκαηνο όξσλ γεσκεηξηθήο πξνόδνπ θαηαιήγνπκε ζε FV n (1 i) 1 * i Πξόβιεκα 1: Πνηα είλαη ε κειινληηθή αμία (δειαδή πόζα ρξήκαηα ζα έρνπκε ζην ηέινο ησλ 5 ρξόλσλ ) εάλ γηα ηα επόκελα 5 ρξόληα θαηαζέηνπκε 1000 επξώ ζην ηέινο θάζε έηνπο κε επηηόθην 6% Η γξακκή ηνπ ρξόλνπ ζην πξόβιεκα καο νξίδεηαη σο 1000 1000 1000 1000 1000 ρξόλνο 0 1 2 3 4 5 Η κειινληηθή αμία ζην πξόβιεκά καο δίλεηαη από 4 3 2 FV 1000*(1 0,06) *(1 0,06) 1000*(1 0,06) 1000*(1 0,06) 1000 Ελαιιαθηηθά ζύκθσλα κε ην ηύπν ηεο κειινληηθήο αμίαο κηαο ζεηξάο πιεξσκώλ πνπ κόιηο αλαπηύμακε ε κειινληηθή αμία είλαη ίζε κε FV 5 (1 0, 06) 1 1000* 0,06 Ο ζπληειεζηήο ηεο κειινληηθήο αμίαο ξάληαο ηνλ πίλαθα 3 ηνπ βηβιίνπ. Επνκέλσο FV 1000*5,6371 5637,1 5 (1 0, 06) 1 0,06 5, 6371 ζα βξεζεί από 9

Ελαιιαθηηθά κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηε δεηνύκελε κειινληηθή αμία κε ρξήζε ηεο ζπλάξηεζεο FV ηνπ excel. Παξαηεξνύκε όηη ζην όξηζκα pmt νξίδνπκε ηε ζηαζεξή εηήζηα ρξεκαηνξνή ( ζην πξόβιεκα καο ηελ εηζάγνπκε σο αξλεηηθή θαζώο απνηειεί θαηαβνιή). 10

Σέινο ην όξηζκα Type ην αθήλνπκε θελό ή εηζάγνπκε ηνλ αξηζκό κεδέλ θαζώο νη ρξεκαηνξνέο θαηαβάινληαη ζην ηέινο ηεο πεξηόδνπ. Εάλ νη ρξεκαηνξνέο ήηαλ θαηαβιεηέεο ζηελ αξρή ηεο πεξηόδνπ ζα έπξεπε λα εηζάγνπκε ηε ηηκή 1 ζην όξηζκα Type Πξόβιεκα 2: Πνηα είλαη ε κειινληηθή αμία (δειαδή πόζα ρξήκαηα ζα έρνπκε ζην ηέινο ησλ 5 ρξόλσλ ) εάλ γηα ηα επόκελα 5 ρξόληα θαηαζέηνπκε αξρήο γελνκέλεο από ζήκεξα 1000 επξώ ζηελ αξρή θάζε έηνπο κε επηηόθην 6% Η γξακκή ηνπ ρξόλνπ ζην πξόβιεκα καο νξίδεηαη σο 1000 1000 1000 1000 1000 0 1 2 3 4 5 Η κειινληηθή αμία ζην πξόβιεκά καο δίλεηαη από 5 4 3 2 FV 1000*(1 0,06) 1000*(1 0,06) 1000*(1 0,06) 1000*(1 0,06) 1000*(1 0,06) 11

ΠΡΟΟΥΗ! ηελ πεξίπησζε πνπ νη ρξεκαηνξνέο είλαη θαηαβιεηέεο ζηελ αξρή ηεο πεξηόδνπ ζα ήηαλ ιάζνο λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνλ ηύπν ηεο κειινληηθήο αμίαο ξάληαο δειαδή ζα ήηαλ ιάζνο λα ππνινγίζνπκε FV 5 (1 0, 06) 1 1000* 5637, 09 0,06 ΛΑΘΟ! FV 5 (1 0, 06) 1 1000* *(1 0, 06) 5975,32 0,06 ΩΣΟ! Γεληθά ν θαλόλαο πνπ ηζρύεη είλαη όηη FV FV *(1 i) D Όπνπ FV D = Μειινληηθή αμία κίαο ζεηξάο πιεξσκώλ θαηαβιεζέλησλ ζηελ αξρή ηεο πεξηόδνπ πεξηόδνπ FV Μειινληηθή αμία κίαο ζεηξάο πιεξσκώλ θαηαβιεζέλησλ ζην ηέινο ηεο O Εάλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε ζπλάξηεζε FV ζην excel ζα πξέπεη ζην όξηζκα Type λα νξίζνπκε ηελ ηηκή 1, θαζώο νη ρξεκαηνξνέο καο θαηαβάιινληαη ζηελ αξρή ηεο πεξηόδνπ. 12

Πξόβιεκα 3: Εάλ ζέινπκε λα ζπγθεληξώζνπκε 10.000 επξώ ζε 2 ρξόληα, πνην είλαη ην ζηαζεξό πνζό πνπ πξέπεη λα θαηαζέηνπκε ζην ηέινο θάζε κήλα εάλ ην εηήζην επηηόθην είλαη 12%; Η γξακκή ηνπ ρξόλνπ γηα ην πξόβιεκα καο νξίδεηαη από 24 κήλεο. ην πξόβιεκά καο άγλσζηό είλαη ην πνζό πνπ πξέπεη λα θαηαζέηνπκε ζην ηέινο θάζε ρξόλνπ, ελώ γλσξίδνπκε ην πνζό πνπ ζέινπκε λα ζπγθεληξώζνπκε, δειαδή FV=10.000 Υ Υ Υ Υ κήλεο 0 1 2. 23 24 0,12 Σν κεληαίν επηηόθην είλαη i 0, 01 1%. Αληηθαζηζηνύκε ζην ηύπν ηεο 12 κειινληηθήο αμίαο κίαο ζεηξάο πιεξσκώλ θαη έρνπκε n (1 i) 1 FV * i 24 (1 0, 01) 1 10.000 * 10.000 * 26,9735 0,01 eclass4u- Γιάννης 10.000 Σαραντής, τηλ 6977988573, 2105711484 370, 73 email: Sarantis@eclass4u.gr 26,9735, web: www.eclass4u.gr 13

Επνκέλσο ζην ηέινο θάζε κήλα ζα πξέπεη λα θαηαζέηνπκε 370,73 επξώ Πξνθεηκέλνπ λα βξνύκε ην πνζό Υ κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θαη ηε ζπλάξηεζε PMT H ζπλάξηεζε PMT απνδίδεη ην πνζό ηεο δόζεο ελόο δαλείνπ κε βάζε ζηαζεξέο πιεξσκέο θαη ζηαζεξό επηηόθην ζηελ πεξίπησζε πνπ νξίζνπκε ηελ παξνύζα αμία (PV) ηνπ δαλείνπ ή αληίζηνηρα ην ζηαζεξό πνζό πνπ πξέπεη λα θαηαζέηνπκε, πξνθεηκέλνπ λα έρνπκε θάπνην ρξεκαηηθό πνζό ζην κέιινλ/ ύληαμε PMT(rate;nper;pv;fv;type) Rate είλαη ην επηηόθην ελόο δαλείνπ ή ην επηηόθην θαηαζέζεσλ Nper είλαη ην ζπλνιηθό πιήζνο πιεξσκώλ ηνπ δαλείνπ ή ην ζπλνιηθό πιήζνο ησλ ζηαζεξώλ θαηαζέζεσλ 14

Pv είλαη ε παξνύζα αμία ή ην ζπλνιηθό πνζό ζην νπνίν αλέξρεηαη απηή ηε ζηηγκή κηα ζεηξά κειινληηθώλ πιεξσκώλ, γλσζηό θαη σο αξρηθό θεθάιαην. (Υξεζηκνπνηείηαη ζε πξνβιήκαηα ππνινγηζκνύ ηεο δόζεο ηνπ δαλείνπ) Fv είλαη ε κειινληηθή αμία ή ην ππόινηπν ηακείνπ πνπ ζέιεηε λα επηηύρεηε κεηά ηελ θαηαβνιή ηεο ηειεπηαίαο πιεξσκήο Υξεζηκνπνηείηαη ζε πξνβιήκαηα ππνινγηζκνύ ηνπ ζηαζεξνύ πνζνύ θαηάζεζεο Type είλαη ν αξηζκόο 0 ή 1 θαη επηζεκαίλεη πόηε πξέπεη λα θαηαβάιινληαη νη πιεξσκέο. 1.4 Παπούζα Αξία ενόρ χπημαηικού ποζού Η παξνύζα αμία είλαη ε ηζνδύλακε αμία ζήκεξα ελόο ρξεκαηηθνύ πνζνύ πνπ ζα πξαγκαηνπνηεζεί ζην κέιινλ. Πξόβιεκα 1 Αο ππνζέζνπκε όηη αλακέλεηε 20.000 ζε ηξία ρξόληα από ζεκεξα από έλα θαηαζεηηθό ζαο ινγαξηαζκό πνπ απνδίδεη 6% επηηόθην. Πνηα είλαη ε ζεκεξηλή αμία ησλ 20.000 επξώ πνπ ζα ιάβεηε κεηά από ηξία ρξόληα; H γξακκή ηνπ ρξόλνπ γηα ην ζπγθεθξηκέλν πξόβιεκα νξίδεηαη σο 20000 0 1 2 3 Η παξνύζα αμία ελόο κειινληηθνύ πνζνύ ππνινγίδεηαη σο PV FV (1 i ) n ην ζπγθεθξηκέλν πξόβιεκα 20.000 1 PV 20.000* (1 0, 06) (1 0, 06) Ο ζπληειεζηήο 3 3 1 (1 i) n νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο πξνεμόθιεζεο θαη πνιιαπιαζηαδόκελνο κε ηε κειινληηθή αμία καο δίλεη ηελ παξνύζα αμία. 15

Ο πίλαθαο 2 ηνπ βηβιίνπ καο δίλεη ηνλ ζπληειεζηή πξνεμόθιεζεο γηα θάζε ζπλδπαζκό ρξόλνπ θαη επηηνθίνπ. Eπνκέλσο PV 20.000 1 20.000* 20.000*0,8396 16.792 3 3 (1 0, 06) (1 0, 06) Η παξνύζα αμία κε ην excel κπνξεί λα ππνινγηζηεί από ηε ζπλάξηεζε PV 16

Πξόβιεκα 2: Πνηα είλαη ε παξνύζα αμία (δειαδή πνηα είλαη ε ζεκεξηλή ηζνδύλακε ρξεκαηηθή ησλ εηζνδεκάησλ πνπ αλακέλνπκε ηα επόκελα 2,5ρξόληα) εάλ γηα ηα επόκελα εάλ αλακέλνπκε 1000 ζην ηέινο ηνπ 1 νπ εμακήλνπ, 2000 ζην ηέινο ηνπ 2 νπ εμακήλνπ, 3000 ζην ηέινο ηνπ 3 νπ εμακήλνπ, 5000 ζην ηέινο ηνπ 4 νπ εμακήλνπ θαη 6000 επξώ ζην ηέινο ηνπ 5 νπ εμακήλνπ. Σν εηήζην επηηόθν είλαη 12%; Η γξακκή ηνπ ρξόλνπ γηα ην πξόβιεκα καο νξίδεηαη ζε εμάκελα θαζώο νη ρξεκαηνξνέο καο είλαη εμακεληαίεο. Εμάκελα 0 1000 2000 3000 5000 6000 1 2 3 4 5 2 πεξηόδνπο 1 πεξίνδν 3 πεξηόδνπο 4 πεξηόδνπο 5 πεξηόδνπο Σν εμακεληαίν επηηόθην είλαη i=12%/2=6% 17

Η παξνπζα αμία κειινληηθή αμία ππνινγίδεηαη από PV 1000 2000 3000 5000 6000 1 0, 06 (1 0, 06) (1 0, 06) (1 0, 06) (1 0, 06) 2 3 4 5 Υξεζηκνπνηώληαο ηνλ πίλαθα 2 έρνπκε PV 1000*0,9434 2000*0,8900 3000*0,8396 5000*0,7921 6000*0,7473 13686, 26 Γηα λα ιύζνπκε ην παξαπάλσ πξόβιεκα ζα κπνξνύζακε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε ζπλάξηεζε NPV ζην excel. 18

ΠΡΟΟΥΗ! Η ζπλάξηεζε ΝPV απνδίδεη ηελ παξνύζα αμία κηαο επέλδπζεο κε βάζε έλα πξνεμνθιεηηθό επηηόθην θαη κηα ζεηξά κειινληηθώλ πιεξσκώλ (αξλεηηθέο ηηκέο) θαη εηζνδεκάησλ (ζεηηθέο ηηκέο). ύληαμε NPV(rate;value1;value2;...) Rate είλαη ην πξνεμνθιεηηθό επηηόθην θαηά ηε δηάξθεηα κίαο πεξηόδνπ. Value1, value2,... είλαη 1 έσο 254 νξίζκαηα πνπ αληηπξνζσπεύνπλ πιεξσκέο θαη εηζνδήκαηα. Οη ζπλαιιαγέο ησλ νξηζκάησλ value1, value2,... πξέπεη λα απέρνπλ ίζα ρξνληθά δηαζηήκαηα θαη λα πξαγκαηνπνηνύληαη ζην ηέινο θάζε πεξηόδνπ. Η ζπλάξηεζε NPV ρξεζηκνπνηεί ηε δηάηαμε ησλ νξηζκάησλ value1, value2,... γηα λα εξκελεύζεη ηε δηαδνρή ησλ ηακεηαθώλ ξνώλ. Βεβαησζείηε όηη ε θαηαρώξεζε ησλ πνζώλ πιεξσκώλ θαη εηζνδεκάησλ γίλεηαη κε ηε ζσζηή ζεηξά. Τπνινγίδνληαη ηα νξίζκαηα πνπ είλαη αξηζκνί, θελά θειηά, ινγηθέο ηηκέο ή θείκελν πνπ αληηπξνζσπεύεη αξηζκνύο. Σα νξίζκαηα πνπ είλαη ηηκέο ζθαικάησλ ή θείκελν πνπ δελ κεηαηξέπεηαη ζε αξηζκνύο παξαβιέπνληαη. 19

Εάλ έλα όξηζκα είλαη πίλαθαο ή αλαθνξά, ηόηε ππνινγίδνληαη κόλν νη αξηζκνί απηνύ ηνπ πίλαθα ή ηεο αλαθνξάο. Σα θελά θειηά, νη ινγηθέο ηηκέο ή ην θείκελν πνπ ππάξρνπλ ζηνλ πίλαθα ή ηελ αλαθνξά παξαβιέπνληαη. Παξαηήξεζε Ελώ ζηε ρξεκαηννηθνλνκηθή όπσο ζα δνύκε ζηε ζπλέρεηα κε ηνλ όξν NPV δειώλνπκε ηελ Καζαξή Παξνύζα Αμία (ΚΠΑ) ε ζπλάξηεζε ΝPV ζην excel ππνινγίδεη ηελ Παξνύζα Αμία. Εάλ ζέιακε λα ππνινγίζνπκε ηελ Καζαξή Παξνύζα Αμία ζα έπξεπε λα αθαηξέζνπκε ην θόζηνο ηεο επέλδπζεο από ηελ Παξνύζα Αμία. 1.5 Παπούζα Αξία μιαρ ζειπάρ ιζόποζων πληπωμών (πάνηα) ε νξηζκέλα πξνβιήκαηα νη ρξεκαηνξνέο καο ζα απόηεινύληαη από έλα ζηαζεξό θαη ηζόπνζν πνζό θάζε πεξίνδν έζησ κε Υ Υ Υ Υ. Υ ρξόλνο 0 1 2 3 n Η Παξνύζα αμία ησλ πιεξσκώλ απηώλ ζα δίλεηαη από PV X X... 2 (1 i) (1 i) (1 i) n Παξαηεξνύκε όηη εκθαλίδεηαη κηα γεσκεηξηθή πξόνδνο κε ζηαζεξό όξν αύμεζεο 1/(1+i) θαη εθαξκόδνληαο ηνλ ηύπν ηεο γεσκεηξηθήο πξνόδνπ θαηαιήγνπκε ζε PV 1 1 (1 i ) * i n Πξόβιεκα 1: Πνηα είλαη ε ηξέρνπζα (παξνύζα) αμία ελόο ρξεκαηννηθνλνκηθνύ ζπκβνιαίνπ πνπ αλακέλεηαη λα καο απνδίδεη γηα ηα επόκελα 5 ρξόληα 1000 επξώ ζην ηέινο θάζε έηνπο; Δίλεηαη όηη ην εηήζην επηηόθην είλαη 6% Η γξακκή ηνπ ρξόλνπ ζην πξόβιεκα καο νξίδεηαη σο 1000 1000 1000 1000 1000 ρξόλνο 0 1 2 3 4 5 20

Η παξνύζα αμία ζην πξόβιεκά καο δίλεηαη από 1000 1000 1000 1000 1000 PV (1 0, 06) (1 0, 06) (1 0, 06) (1 0, 06) (1 0, 06) 2 3 4 5 Ελαιιαθηηθά ζύκθσλα κε ην ηύπν ηεο παξνύζαο αμίαο κηαο ζεηξάο πιεξσκώλ πνπ κόιηο αλαπηύμακε ε παξνύζα αμία είλαη ίζε κε PV 1 1 (1 0,06) 5 1000* 0,06 Ο ζπληειεζηήο ηεο παξνύζαο αμίαο ξάληαο ηνλ πίλαθα 4 ηνπ βηβιίνπ. 1 1 (1 0,06) 5 4,2124 0,06 ζα βξεζεί από 21

` ύλεπσο ε δεηνύκελε παξνύζα αμία ππνινγίδεηαη σο PV 1 1 (1 0,06) 5 1000* PV 1000* 4, 2124 4212, 40 0,06 πλεπώο εάλ ήηαλ λα αγνξάζνπκε ην παξαπάλσ ζπκβόιαην ε κέγηζηε ηηκή πνπ ζα έπξεπε λα πιεξώζνπκε είλαη 4212,40 επξώ. Με ην excel ε κειινληηθή αμία ππνινγίδεηαη από ηε ζπλάξηεζε PV εάλ ζην όξηζκα pmt εηζάγνπκε ηελ ζηαζεξή εηήζηα πιεξσκή ησλ 1000 επξώ 22

Πξόβιεκα 3: Εάλ ζέινπκε λα δαλεηζηνύκε ζήκεξα 10.000 επξώ κε έλα δηεηέο δάλεην, πνηα είλαη ε ζηαζεξή δόζε πνπ πξέπεη λα θαηαζέηνπκε ζην ηέινο θάζε κήλα εάλ ην εηήζην επηηόθην είλαη 12%; Η γξακκή ηνπ ρξόλνπ γηα ην πξόβιεκα καο νξίδεηαη από 24 κήλεο. ην πξόβιεκά καο άγλσζηό είλαη ην πνζό πνπ πξέπεη λα πιεξώλνπκε ζην ηέινο θάζε κήλα, ελώ γλσξίδνπκε ηελ παξνύζα αμία ηνπ πνζνύ πνπ δαλεηζηήθακε Υ Υ Υ Υ Μήλεο 0 1 2. 23 24 0,12 Σν κεληαίν επηηόθην είλαη i 0, 01 1%. Αληηθαζηζηνύκε ζην ηύπν ηεο 12 κειινληηθήο αμίαο κίαο ζεηξάο πιεξσκώλ θαη έρνπκε 1 1 (1 24 i ) PV * i 1 1 (1 0,01) 24 10.000 * 10.000 * 21, 2434 0,01 eclass4u- Γιάννης Σαραντής, τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr 10.000, web: www.eclass4u.gr 470, 73 21, 2434 23

24

Επνκέλσο ζην ηέινο θάζε κήλα ζα πξέπεη λα πιεξώλνπκε δόζε 470,73 επξώ Πξνθεηκέλνπ λα βξνύκε ην πνζό Υ κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θαη ηε ζπλάξηεζε PMT Πξόβιεκα 4 πλάςακε έλα 2 εηέο δάλεην κε κεληαίεο πιεξσκέο θαη εηήζην επηηόθην 12%. ύκθσλα κε ηνπο όξνπο ηνπ δαλείνπ γηα ηνπο 6 πξώηνπο κήλεο από ηελ ζηηγκή ηεο ζύλαςεο έρνπκε απαιιαγή από ηελ πιεξσκή ησλ ηόθσλ θαη ηνπ θεθαιαίνπ, ελώ από ηνπο 6 κήλεο θαη κεηά ζα θαηαβάιινπκε ζηελ Σξάπεδα 500 επξώ. Πνην είλαη ην πνζό πνπ δαλεηζηήθακε ζήκεξα Η γξακκή ηνπ ρξόλνπ γηα ην ζπγθεθξηκέλν πξόβιεκα είλαη 0 0 0 0 0 0 500 500.. 500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 24 Παξαηεξνύκε όηη ε ξάληα (ηζόπνζεο πιεξσκέο) εκθαλίδεηαη κεηά ηνλ 6 ν κήλα, δειαδή από ηνλ 7 ν έσο ηνλ 24 ν κήλα ΠΡΟΟΥΗ! 25

Εάλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνλ ηύπν ηεο παξνύζαο αμίαο ξάληαο ζα βξνύκε ηελ ηζνδύλακε αμία ησλ πνζώλ από ηνλ 7 ν έσο ηνλ 20 ν κήλα κία πεξίνδν πίζσ, δειαδή ζηνλ 6 ν κήλα Ο ΣΤΠΟ ΣΗ ΡΑΝΣΑ ΜΑ ΦΕΡΝΕΙ ΣΑ ΠΟΑ ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ ΠΙΩ ΑΠΟ ΣΟ ΠΡΩΣΟ ΣΑΘΕΡΟ ΠΟΟ ΣΗ ΡΑΝΣΑ. Επνκέλσο ε Παξνύζα Αμία ησλ πνζώλ ην 6 ν εμάκελν δίλεηαη από PV 1 1 (1 0,01) 18 500* PV 500*16,3983 8199,13 0,01 6 6 ηνλ ζπληειεζηή παξνύζαο αμίαο ξάληαο πςώζακε ζηελ 18 γηαηί απνκέλνπλ 18 κήλεο από ηνλ 6ν κήλα έσο ηνλ 24ν κήλα. Η γξακκή ηνπ ρξόλνπ κεηά ηελ εύξεζε ηνπ ηζνδύλακνπ πνζνύ ην 6ν εμάκελν νξίδεηαη σο 0 0 0 0 0 8199,13 0 1 2 3 4 5 6 πλεπώο ε αμία ηνπ πνζνύ πνπ δαλεηζηήθακε ππνινγίδεηαη σο PV PV6 8199,13 PV 5780, 07 6 6 (1 i) (1 0,01) Απηή είλαη ε αμία πνπ δαλεηζηήθακε ζήκεξα 1.6 Παπούζα Αξία μιαρ ζειπάρ ιζόποζων πληπωμών ζηο διηνεκέρ ε νξηζκέλα πξνβιήκαηα νη ρξεκαηνξνέο καο ζα απόηεινύληαη από έλα ζηαζεξό θαη ηζόπνζν πνζό θάζε πεξίνδν έζησ κε Υ γηα πάληα Υ Υ Υ. ρξόλνο 0 1 2 3 26

Η παξνύζα αμία ζηε πεξίπησζε απηή ππνινγίδεηαη σο PV i Πξόβιεκα: Έζησ όηη αγνξάζακε κία κεηνρή πνπ αλακέλεηαη λα καο απνδίδεη 0,5 επξώ ην ρξόλν γηα πάληα. Εάλ ην εηήζην επηηόθην είλαη 5% πνηα είλαη ε παξνύζα αμία ησλ εηζνδεκάησλ από ηε κεηνρή ; ( Mέγηζηε ηηκή πνπ ζα είκαζηαλ δηαηεζεηκέλνη λα πιεξώζνπκε!) PV 0,5 10 i 0,05 1.7 Αζκήζειρ Mαθήμαηορ 1 1. Μόιηο θαηέζεζεο 3000 ζηελ Σξάπεδα θαη ζθνπεύεηο λα ηα θξαηήζεηο θιεηζηά ζηελ Σξάπεδα γηα ηα επόκελα 10 ρξόληα. Έλα ην εηήζην επηηόθην είλαη 5%, πόζα ρξήκαηα ζα έρεηο ζην ηέινο ησλ 10 εηώλ; 2. Έρεηε έλα παηδί 3 εηώλ θαη ζέιεηε λα εμαζθαιίζεηε ηηο ζπνπδέο ηνπ πνπ ζα πξαγκαηνπνηήζεη ζε ειηθία 18εηώλ. θέθηεζηε λα αλνίμεηε ζήκεξα έλα θαηαζεηηθό ινγαξηαζκό γηα ην παηδί ζαο όπνπ ζην ηέινο θάζε εμακήλνπ λα θαηαζέηεηε 700. εκεηώλεηαη όηη αλνίγεηε ζήκεξα ηνλ θαηαζεηηθό ινγαξηαζκό κε θαηάζεζε 700. Εάλ ν ινγαξηαζκόο απνδίδεη εηήζην ηόθν 8%, πόζα ρξήκαηα ζα έρεη ν ινγαξηαζκόο ζην ηέινο ηνπ 15 νπ ρξόλνπ; 3. Yπνζέζηε όηη ν παξαθάησ πίλαθαο πεξηέρεη δεδνκέλα από έλα πξόγξακκα ζπληαμηνδόηεζεο πνπ ζαο πξνηείλεη ν αζθαιηζηήο ζαο 27

α) Εάλ ην επηζπκεηό πνζό ζπληαμηνδόηεζεο είλαη 150.000 πόζν πξέπεη λα απνηακηεύεη θάζε ρξόλν έλαο 30 ρξνλνο; β) Πνηα είλαη ε δίθαηε αμία απηνύ ηνπ αζθαιηζηηθνύ ζπκβνιαίνπ γ) πκπιεξώζηε ηα θελά ζηνλ πίλαθα δ) Εάλ ε κεληαία ζύληαμε ζαο από ην 65 ν έηνο ηεο ειηθίαο θαη κεηά είλαη 1500 θαη ηα κεληαία έμνδά ζαο είλαη 1200 πόζα αλακέλεηαη λα εηζπξάμνπλ νη θιεξνλόκνη ζαο κεηά ηνλ ζάλαην ζαο; 4. Eάλ θαηαζέζεηε 25.000 ζήκεξα θαη ε Σξάπεδα ζαο απνδώζεη 32.000 κεηά από 5 ρξόληα, πνην είλαη ην εηήζην επηηόθην; 5. Είζαζηε 30 εηώλ θαη ζθνπεύεηε λα αγνξάζεηε έλα αζθαιηζηηθό ζπκβόιαην ώζηε κεηά ηα 55 ρξόληα ζαο λα εηζπξάηηεηε 50.000 ην ρξόλν. Εάλ ην πξνζδόθηκν επηβίσζεο ζαο είλαη 85ρξόληα θαη ην εηήζην επηηόθην είλαη 5%, πνίν είλαη ην εηήζην πνζό πνπ πξέπεη λα απνηακηεύεηε από ηα 30 έσο ηα 55 ζαο; 6. Είζαζηε ζήκεξα 30 εηώλ θαη ζθνπεύεηε λα απνθηήζεηε έλα κεηαπηπρηαθό MBA. Σα ησξηλά εηήζηα εηζνδήκαηά ζαο είλαη 30.000. Οη θάηνρνη κεηαπηπρηαθνύ MBA θεξδίδνπλ ην ρξόλν εηήζηα εηζνδήκαηα 40.000. Σν MBA πνπ εμεηάδεηε είλαη 2 εηέο θαη θνζηίδεη 15.000 ην ρξόλν, πιεξσηέα ζην ηέινο θάζε έηνπο. θνπεύεηε λα ζπληαμηνδνηεζείηε ζηα 65 ρξόληα ζαο. Εάλ ην εηήζην επηηόθην είλαη 8%, ζα έπξεπε λα παξαηηεζείηε από ηελ ησξηλή εξγαζίαο ζαο πξνθεηκέλνπ λα απνθηήζεηε κεηαπηπρηαθό ηίηιν MBA; 7. θνπεύεηε λα αγνξάζεηε έλα απηνθίλεην αμίαο 20.000 ην νπνίν ζα απνπιεξώζεηε νξηζηηθά κεηά ηελ πάξνδν 4 εηώλ. Με ηελ αληηπξνζσπεία απηνθηλήησλ ζπκθσλήζαηε αλ πιεξώζεηε 5000 ζην ηέινο ηνπ επόκελνπ ρξόλνπ ελώ γηα ηα επόκελα 3 ρξόληα ζα πιεξώλεηε ζηαζεξή κεληαία δόζε. Εάλ ην εηήζην επηηόθην κε όιεο ηηο επηβαξύλζεηο είλαη 12% α) Πνηα είλαη ε κεληαία δόζε β) Πνηνο είλαη ν πίλαθαο εμππεξέηεζεο δαλείνπ γ) Εάλ ε κεληαία δόζε είλαη 500 επξώ πνην είλαη ην επηηόθην ηνπ δαλείνπ; 28

8. θνπεύεηε λα λνηθηάζεηε έλα ζπίηη γηα 2 έηε. Ο ηδηνθηήηεο ηνπ ζπηηηνύ ζαο πξνηείλεη 2 δηαθνξεηηθά ζπκβόιαηα Να πιεξώλεηε 800 επξώ θάζε κήλα γηα ηα επόκελα 2 έηε Να κελ πιεξώζεηε ηίπνηα ηνπο πξώηνπο 6 κήλεο θαη λα πιεξώλεηε γηα ηνπο ππόινηπνπο 18κήλεο 1000 επξώ ην κήλα Εάλ ην εηήζην επηηόθην είλαη ίζν κε 12% πνην από ηα 2 ζπκβόιαηα πξέπεη λα δηαιέμεηε; 29