Τοµέας Τοπογραφίας, Εργ. Ανώτερης Γεωδαισίας Σύνδεση µε τα προηγούµενα Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου Παρασκευάς Μήλας Γεράσιµος Μανουσάκης 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος 2018-19 συστήµατα σηµειακών µαζών ή στερεά σώµατα, όπου οι ελκτικές δυνάµεις εξαρτώνται από την κατανοµή των µαζών, µαζών όπως συµβαίνει µε την πραγµατική Γη, είναι πολύ πιο εύκολο να ασχοληθούµε µε το δυναµικό V από ότι µε τις τρεις συνιστώσες της δύναµης F, σε κάθε σηµείο στο χώρο. Επιφάνειες σταθερού Η συνάρτηση V είναι απλώς το άθροισµα των δυναµικού (ισοδυναµικές δυναµικών κάθε έλκουσας επιφάνειες) επιφάνειες) µάζας (σωµατιδίου) Αν το σηµείο αποµακρυνθεί στο άπειρο, η βαθµωτή V ( ) = F dr συνάρτηση, το δυναµικό του σηµείου Ρ, εκφράζει το έργο που παράγεται από τη δύναµη F προκειµένου να z µεταφερθεί µια µοναδιαία µάζα από το σηµείο Ρ στο άπειρο. Το δυναµικό στο r άπειρο, εξ αυτού του r0 ορισµού, είναι ίσο µε µηδέν. ψ Στην περίπτωση που το y ελκτικό πεδίο F των µαζών x είναι το συντηρητικό βαρυτικό πεδίο, V είναι το δυναµικό της βαρύτητας που αναπτύσσονται µεταξύ µαζών είναι η κύρια πηγή του πεδίου της γήινης βαρύτητας, για τη µελέτη του οποίου ιδιαίτερη σηµασία έχουν το µέτρο, η διεύθυνση και φορά των ασκούµενων δυνάµεων. Ειδικά όταν εξετάζουµε πρακτική ανάγκη, οι τρεις συνιστώσες του εκάστοτε διανύσµατος των ελκτικών δυνάµεων F του πεδίου βαρύτητας να µπορούν να αντικατασταθούν από µια µόνο βαθµωτή συνάρτηση V, εκείνη του γήινου δυναµικού της βαρύτητας, η οποία να περιγράφει εξ ίσου το πεδίο των ελκτικών δυνάµεων. Οι ελκτικές δυνάµεις (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) Γεωδαισίας) Πεδίο δυνάµεων Κίνηση µάζας υναµικό Αν µια µάζα m, υπό την z r r0 ψ y x Αναφερθήκαµε ήδη στην επίδραση µιας δύναµης F = Fx i + Fy j + Fz k, κινείται από ένα σηµείο, σε ένα σηµείο Το έργο που παράγει η F εξαρτάται τόσο από τη θέση των σηµείων και, όσο και από τη διαδροµή που θα διανύσει η µάζα V ( ) = F dr dv = F dr και επειδή F = V Αν η διαδροµή από τυχόν σηµείο, σε τυχόν σηµείο είναι κλειστή, το ολοκλήρωµα F dr = 0 είναι ανεξάρτητο του δρόµου, και C το εκάστοτε πεδίο δυνάµεων στο οποίο z ικανοποιείται η εν λόγω συνθήκη είναι ένα συντηρητικό πεδίο δυνάµεων. δυνάµεων r Εάν το σηµείο Ρ r0 παραµένει σταθερό ενώ ψ το κινείται, η βαθµωτή y συνάρτηση V ( ) = F dr = ( Fx dx +Fy dy + Fz dz ) x καλείται δυναµικό της δύναµης F στο. Για πολλαπλές σηµειακές µάζες mi θα ισχύει dz = Fx dx + Fy dy + Fz dz dy + dx + z y x = Fz = Fy, = Fx, z y x και αν οι σηµειακές µάζες κατανέµονται συνεχώς σε όγκο v µε πυκνότητα ρ=dm/dv, το άθροισµα των δυναµικών των σωµατιδίων γίνεται και χρησιµοποιώντας τον ορισµό του τελεστή F ( Fx, Fy, Fz ) = i+ j+ k = V z y x δηλ. το ελκτικό πεδίο F είναι η κλίση του δυναµικού V
Η συνάρτηση V είναι συνεχής σε ολόκληρο το χώρο και εξαφανίζεται στο άπειρο κατά 1/l για l. για µεγάλες αποστάσεις l το σώµα συµπεριφέρεται ως σηµειακή µάζα, µε το αποτέλεσµα της έλξης της να δίνεται προσεγγιστικά ως V = GM / l Η συνάρτηση του δυναµικού V είναι συνεχής σε ολόκληρο το χώρο, καθώς και οι πρώτες παράγωγοί της, δηλαδή οι συνιστώσες της ελκτικής δύναµης F, αλλά όχι οι δεύτερες παράγωγοι 2 V/ x 2, 2 V/ y 2, 2 V/ z 2 Στο εσωτερικό της Γης (όπου η πυκνότητα αλλάζει ασυνεχώς) ισχύει Στο εξωτερικό της Γης (στον κενό χώρο, όπου η πυκνότητα είναι µηδέν) ισχύει ή όπως εκφράζεται πιο συχνά 2 V = 0 Οι λύσεις της εξίσωσης Laplace ονοµάζονται αρµονικές συναρτήσεις. Συνεπώς, Στην περίπτωση του γήινου πεδίου βαρύτητας, το δυναµικό της έλξης είναι αρµονική συνάρτηση στο εξωτερικό των ελκουσών µαζών αλλά όχι στο εσωτερικό τους όπου εκεί ικανοποιεί την εξίσωση του oisson. Το απλούστερο παράδειγµα αρµονικής συνάρτησης: το αντίστροφο της απόστασης µεταξύ δύο σηµείων Σηµερινή ενότητα του µαθήµατος Εξίσωση Laplace : V 2 = V = 0 Τρόποι υπολογισµού των λύσεων της;;; Σφαιρικές αρµονικές συναρτήσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµες σε προβλήµατα της Φυσικής όπου υπάρχει σφαιρική συµµετρία Καθώς η Γη µπορεί να θεωρηθεί ως ένα σώµα από άπειρες στοιχειώδεις µάζες το συνολικό δυναµικό που δηµιουργεί θα µπορούσε να εκφραστεί ως µια απειροσειρά Υπό ποιες προϋποθέσεις και µε ποιες µεθόδους; Εξίσωση Laplace : V 2 = V = 0 Μια µορφή έκφρασης του βαρυτικού δυναµικού σε απειροσειρά σχετίζεται µε συναρτήσεις και πολυώνυµα, nm και n nm και n, και άλλες συναφείς συναρτήσεις συναποτελούν µέρος των λύσεων της εξίσωσης Laplace, όταν αυτή εκφράζεται σε σφαιρικές συντεταγµένες Σήµερα, ιδιαίτερα µε τις τρέχουσες δυνατότητες των τεχνητών δορυφόρων, ο αναλυτικός υπολογισµός (µαθηµατική µοντελοποίηση) του γήινου δυναµικού σε αριθµοσειρά αποτελεί ένα από τα σηµαντικότερα προβλήµατα της Φυσικής Γεωδαισίας Πολυώνυµα και Συναρτήσεις Οφείλουν το όνοµα τους στο γάλλο µαθηµατικό Andrien Marie (1752 1833) Το σύγγραµµα του Nouvelles méthodes m pour la détermination d des orbites des comètes (του 1806) Νέες µέθοδοι για τον προσδιορισµό της τροχιάς των κοµητών περιέχει την πρώτη ολοκληρωµένη αντιµετώπιση της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, αν και η πρωτιά για την ανακάλυψή της µεθόδου αποδίδεται στον γερµανό ανταγωνιστή του Carl Friedrich Gauss. Πορτραίτο Andrien Marie του Louis Το επιστηµονικό έργο του Το 1783, στην Ακαδηµία των Επιστηµών στο Παρίσι, ο παρουσιάζει την έρευνα του σχετικά µε την βαρυτική έλξη σωµάτων ελλειψοειδούς σχήµατος, για την οποία προτάθηκε (µετά από την ενθουσιώδη αποδοχή της από τον Laplace) να γίνει µέλος της Ακαδηµίας Εξίσωση Στη γενικότερη µορφή της συναντάται σε πολλά προβλήµατα της φυσικής, όπως στη επίλυση της εξίσωσης Laplace και άλλες συναφείς µερικές διαφορικές εξισώσεις. Όταν m 0 οι λύσεις της αποκαλούνται προσαρτηµένες συναρτήσεις Όταν m=0 οι λύσεις της είναι τα πολυώνυµα
Πολυώνυµα ύο χρόνια αργότερα, ο στην εργασία του Recherches sur la figure des planètes tes, εισάγει την κατηγορία των φερώνυµων πολυωνύµων, τα οποία είναι οι κανονικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης Πολυώνυµα Τα πολυώνυµα που συµβολίζονται ως n (t), όπου n είναι ο λεγόµενος βαθµός τους, συχνά απαντώνται και µε τις ονοµασίες συναρτήσεις 1ου είδους, συντελεστές ή αρµονικές ζώνης Πολυώνυµα Ορισµός: Τα πολυώνυµα, n (t), n=0,1,2, υπολογίζονται από τη λεγόµενη σχέση του Rodrigues όπου, x = cosθ = sinφ (θ = 90 ο φ). Συχνά αντί για τη µεταβλητή x, χρησιµοποιείται ο συµβολισµός t και n (t) Προκύπτουν επίσης ως οι συντελεστές αριθµοσειράς Taylor (generating function/γεννήτρια συνάρτηση) Πολυώνυµα Οι δύο πρώτοι όροι της σειράς Taylor δίνουν Πολυώνυµα, n = 0,1,2,,7,,7, Πολυώνυµα, n = 0,1,2,,5,,5, Χωρίς να καταφεύγουµε σε άµεσο ανάπτυγµα της σειράς Taylor, η διαφόριση της αντίστοιχης εξίσωσης και στις δύο πλευρές της δίνει Επαναληπτική σχέση του Bonnet Πολυώνυµα Οι σειρές συγκλίνουν όταν r > r ψ Παράδειγµα Πολυώνυµα η ερµηνεία τους Τα πολυώνυµα, είναι χρήσιµα για υπολογισµούς µεγεθών που ακολουθούν τη σχέση του αντιστρόφου της απόστασης όπως π,χ. το ελκτικό δυναµικό της βαρύτητας µεταξύ σηµειακών µαζών ανάπτυγµα σε σειρά Taylor ως προς α=r /r (u=cosψ) 6
Πολυώνυµα η ερµηνεία τους Ζώνες αρνητικών τιµών + Ζώνες θετικών τιµών Πολυώνυµα τι χρειάζονται; χρειάζονται; Πολυώνυµα τι χρειάζονται; χρειάζονται; Επειδή έχουν κατάλληλες ιδιότητες στη σφαίρα για x = cosθ=sinφ Επειδή έχουν κατάλληλες ιδιότητες στη σφαίρα για x = cosθ=sinφ Παραδείγµατα: Παραδείγµατα: + + Πολυώνυµο 6(cosθ) κατά µήκος της περιφέρειας ενός µεσηµβρινού κύκλου, και γύρω από τη σφαίρα Τα n (όπου n=ζυγός βαθµός) ικανοποιούν τις συνθήκες Τα πολυώνυµα είναι συµµετρικά ή αντισυµµετρικά Τιµές ίσες µε 0 @ x = 0. 6(cosθ) Συγκεκριµένες τιµές @ x = 1 Πολυώνυµα τι χρειάζονται; χρειάζονται; Πολυώνυµα τι χρειάζονται; Επειδή έχουν κατάλληλες ιδιότητες στη σφαίρα για x = cosθ=sinφ Επειδή έχουν κατάλληλες ιδιότητες στη σφαίρα για x = cosθ=sinφ Παραδείγµατα: Παραδείγµατα: Ικανοποιούν τη συνθήκη ορθογωνικότητας Απλοποιείται ο υπολογισµός των παραγώγων Το ολοκλήρωµα είναι σαν να υπολογίζουµε το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων: (A1,B1) (A2,B2) = A1A2 + B1B2 (A1,B1) (A2,B2) = 0 εάν τα διανύσµατα είναι κάθετα µεταξύ τους Οι συνιστώσες των m, n είναι οι τιµές τους σε κάθε x Πολυώνυµα χαρακτηριστικά τους Συνάγεται εύκολα ότι n(x) είναι πολυώνυµο βαθµού n. Αν το n είναι άρτιος (ζυγός) αριθµός, το n(x) περιέχει όρους µε µόνο άρτιες δυνάµεις της µεταβλητής x, και Αν το n είναι µονός αριθµός, το n(x) περιέχει µόνο όρους µε µονές δυνάµεις του x. Αν n - άρτιος αριθµός, το n(t) περιέχει µόνο όρους µε άρτιες δυνάµεις της µεταβλητής x, και Αν το n - µονός αριθµός, το n(t) περιέχει µόνο όρους µε µονές δυνάµεις του x
n-άρτιος αριθµός Ο συντελεστής του όρου της δύναµης x n-2 στο n (x) είναι : π.χ. στο 4 (x) είναι (-15/4) x 2 n-µονός αριθµός Ο συντελεστής του όρου της δύναµης x n στο n (x) είναι : π.χ. στο 5 (x) είναι (63/8) x 5 ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ υπολογισµού για τα πολυώνυµα, για n 1 ( 0 =0, 1 =1) Στη πράξη αρκούν να είναι αρχικά γνωστά τα πολυώνυµα Ρ 0 και Ρ 1, και αυτό επιτρέπει τον υπολογισµό οποιουδήποτε πολυωνύµου, ανώτερου βαθµού, από τις τιµές των δύο προηγούµενων Σηµαντικό µειονέκτηµα της αναδροµικής διαδικασίας είναι ότι πρέπει προηγουµένως να υπολογιστούν όλα τα χαµηλότερου βαθµού πολυώνυµα προτού υπολογιστεί το εκάστοτε πολυώνυµο επιθυµητού βαθµού ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ υπολογισµού για τα πολυώνυµα, για n 1 ( 0 =0, 1 =1) Οι δυνάµεις του θ µπορούν να εκφραστούν σε όρους συνηµιτόνων πολλαπλάσιων του θ ΚΛΕΙΣΤΗ ΣΧΕΣΗ (closed formula) για τα πολυώνυµα Όπου j = n/2 για βαθµό n-άρτιο (ζυγό) αριθµό j = (n-1)/2 για βαθµό n-περιττό (µονό) αριθµό έτσι Αποφεύγεται τελείως η αναδροµική διαδικασία, αν απλά επιζητείται η τιµή ενός συγκεκριµένου βαθµού πολυώνυµου Αλλά, ενδεχοµένως ο υπολογισµός των παραγοντικών (για µεγάλες τιµές) µπορεί να προκαλέσει αριθµητικά προβλήµατα Συναρτήσεις Αποτελούν µη µηδενικές λύσεις στο διάστηµα [ 1, 1] της διαφορικής εξίσωσης του ή Οι δείκτες n and m, είναι ακέραιοι αριθµοί, και αναφέρονται αντίστοιχα ως βαθµός (degree) και τάξη (order) της συνάρτησης nm (x). Ισχύει πάντα ότι 0 m n, δηλαδή η τάξη δεν µπορεί να υπερβαίνει τον βαθµό της συνάρτησης Συχνά οι συναρτήσεις συµβολίζονται ως nm, nm (x), n,m (x), ή ως nm, nm (x) Οι αναφερόµενες στη βιβλιογραφία γενικευµένες (ή αλλιώς συναφείς ή προσαρτηµένες) συναρτήσεις, nm (x), βαθµού n=0,1,2, N max, και τάξης m=0,1,2,,n υπολογίζονται από τη σχέση του Rodrigues και επειδή για τα πολυώνυµα ισχύει Όταν η τάξη m=0, οι συναρτήσεις nm (x) ανάγονται στα πολυώνυµα n0 (x) = n (x) m=0 Ο όρος (-1) m αποκαλείται Condon Shortley phase και χρησιµοποιείται κυρίως στην κβαντική Μηχανική. Στη Γεωδαισία και στο Μαγνητισµό, παραλείπεται εντελώς.
Η γενική έκφραση επιτρέπει την επέκταση του ορισµού των συναρτήσεων για: n m n. Ο αντίστοιχος ορισµός των n ±m, είναι ΠΡΟΣΟΧΗ, ο δείκτης m στο συµβολισµό της συνάρτησης δεν υποδηλώνει εκθέτη δύναµης Συναρτήσεις ορθογωνικότητα Για 0 m l, οι συναρτήσεις ικανοποιούν την συνθήκη ορθογωνικότητας για σταθερό m και επίσης ικανοποιούν την ακόλουθη συνθήκη ορθογωνικότητας για σταθερό l Μερικές από τις πρώτες συναρτήσεις µέχρι βαθµό και τάξη (3,3) Ακολουθώντας το συµβολισµό m n (x) ή m n (t) x ήt = cosθ Μερικές από τις πρώτες συναρτήσεις µέχρι βαθµό και τάξη (3,3) Ακολουθώντας το συµβολισµό m n (cosθ) ή m n (cosθ) x ήt = cosθ Μερικές συναρτήσεις Ρnm(), n=1,2,,5 και m=1 Μερικές συναρτήσεις Ρnm(), n=2,3,,5 και m=2 Associated Functions Μερικές αναδροµικές σχέσεις για τον υπολογισµό συναρτήσεων
Ισχύουν επίσης οι ακόλουθες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ για τις συναρτήσεις Οι αναδροµικές διαδικασίες ή σχέσεις επανάληψης (recurrence relations) επιτρέπουν τον υπολογισµό των τιµών όλων των συναρτήσεων, οποιουδήποτε βαθµού και τάξης, θεωρητικά µέχρι το άπειρο, όταν δοθεί ένας ή περισσότεροι αρχικοί όροι (π.χ., Ρ 00, Ρ 10, Ρ 11 ): κάθε περαιτέρω όρος της ακολουθίας ή της συστοιχίας ορίζεται ως συνάρτηση των προηγούµενων όρων. όπου το διπλό παραγοντικό υπολογίζεται από τη σχέση ΚΛΕΙΣΤΗ ΣΧΕΣΗ (closed formula) για τις συναρτήσεις Η γενική έκφραση όπως επίσης χρησιµοποιείται η ΚΛΕΙΣΤΗ ΣΧΕΣΗ (closed formula) Στη Γεωδαισία, οι σχέσεις της υπολογισµού των παραµέτρων του γήινου πεδίου βαρύτητας απλοποιείται µε την εισαγωγή των λεγόµενων κανονικοποιηµένων πολυωνύµων και συναρτήσεων Επιτρέπει τoν βολικό υπολογισµό των συναρτήσεων και πολυωνύµων σε εφαρµογές προγραµµατισµού Με τις κλειστές σχέσεις αποφεύγεται η χρήση κάποιας αναδροµικής διαδικασίας εφόσον το ζητούµενο είναι να υπολογιστεί µόνο κάποια συγκεκριµένη συνάρτηση Για m = 0, η εν λόγω κλειστή σχέση ανάγεται στην αντίστοιχη µορφή της κλειστής σχέσης για τα πολυώνυµα Έτσι ώστε Πολυώνυµα L. Συναρτήσεις L. Τα κανονικοποιηµένα πολυώνυµα και συναρτήσεις µπορούν να υπολογιστούν από κλειστές σχέσεις της µορφής: Οι κανονικοποιηµένες συναρτήσεις για n>m µπορούν να υπολογιστούν από τις ακόλουθες σχέσεις: για m 0
Οι κανονικοποιηµένες συναρτήσεις mm ( x ), χρησιµοποιούνται ως τιµές εκκίνησης στις προηγούµενες αναδροµικές σχέσεις. Ξεκινώντας από τις κανονικοποιηµένες συναρτήσεις για n=m=0 και n=m=1,, οποιεσδήποτε άλλες 00 ( x ) = 1, 11 ( x ) = 3 sinθ = 3 u κανονικοποιηµένες συναρτήσεις µπορούν να υπολογιστούν από τις σχέσεις: Στη συνέχεια θα συζητήσουµε Τις λύσεις της εξίσωσης Laplace