Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 9ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 801-900 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα

ΘΕΜΑ 801 Να λυθεί στο R η εξίσωση ΘΕΜΑ 80 x x 8 7 7 x x 1 18 6 (ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΙΦΑΚΗΣ). (ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΙΦΑΚΗΣ) Nα βρεθούν όλα τα ζεύγη ακεραίων (x,y) για τους οποίους ισχύει 3 3 x y (x y). ΘΕΜΑ 803 (ΘΑΝΟΣ ΜΑΓΚΟΣ) 1 1 1 Έστω a,b,c 0 με abc 1. Αν ισχύει a b c k 1, να αποδείξετε ότι ισχύει και για κάθε θετικό ακέραιο k. k k k a b c για k k k ΘΕΜΑ 804 Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού: 51 70 69 A 4 5 7 1 5. ΘΕΜΑ 805 Να εξετάσετε αν ο αριθμός: 100. 00 300 400 376 135 7 98, διαιρείται με το ΘΕΜΑ 806 Βρείτε όλους τους πρώτους της μορφής a b 3 3 a b ab όπου a,b Z. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 3

ΘΕΜΑ 807 Να λυθεί η εξίσωση n 3 4 1899 m με m,n Z. ΘΕΜΑ 808 Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n, ο αριθμός n τον 6 1. n 7 1 δε διαιρείται από ΘΕΜΑ 809 Βρείτε 01 διαφορετικούς ανά δύο θετικούς ακεραίους με άθροισμα τέλειο τετράγωνο και γινόμενο τέλειο κύβο. ΘΕΜΑ 810 Βρείτε όλους τους πρώτους της μορφής ακέραιος. 1 11 1, όπου n θετικός 11 nones ΘΕΜΑ 811 Να προσδιορίσετε τα στοιχεία των συνόλων A {x N x 4a 7b, a,b N} και B {x N x 3a 11b, a,b N}. ΘΕΜΑ 81 Σε ένα πρωτάθλημα ποδοσφαίρου συμμετέχουν 18 ομάδες. Μετά τις πρώτες 6 αγωνιστικές παρατηρήθηκε ότι όλες οι ομάδες είχαν διαφορετικό αριθμό βαθμών. Πόσα παιχνίδια έληξαν ισόπαλα; (Σε κάθε αγωνιστική πραγματοποιούνται 9 παιχνίδια. Κατά τα γνωστά, η νίκη βαθμολογείται με 3 βαθμούς, η ισοπαλία με 1 βαθμό ενώ η ήττα με 0 βαθμούς.) Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 4

ΘΕΜΑ 813 (Μπάμπης Στεργίου) Το άθροισμα των αντιστρόφων 013 θετικών ακεραίων είναι τουλάχιστον ίσο με 11. Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από αυτούς τους 013 αριθμούς είναι ίσοι. ΘΕΜΑ 814 Οι πραγματικοί αριθμοί x,y,zείναι τέτοιοι ώστε x y z xyz. Να δείξετε ότι xy yz zx xz yx zy x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1. ΘΕΜΑ 815 1 1 1 Έστω x,y,z 1πραγματικοί αριθμοί ώστε 1. x 1 y 1 z 1 1 1 1 Να δείξετε ότι 1. x 1 y 1 z 1 ΘΕΜΑ 816 Έστω a,b,c θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο αριθμός a bc να είναι τέλειο τετράγωνο. Να δείξετε ότι ο αριθμός a b c δεν είναι πρώτος. ΘΕΜΑ 817 Έστω a,b,c θετικοί ακέραιοι. Να δείξετε ότι δεν είναι δυνατόν οι αριθμοί a b c, b c a, c a b να είναι και οι τρεις τέλεια τετράγωνα. ΘΕΜΑ 818 Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους nτέτοιους ώστε n n n 8 n. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 5

ΘΕΜΑ 819 Το σύνολο A αποτελείται από 5 ακέραιους αριθμούς. Προσθέτοντας ανά δύο αυτούς τους πέντε αριθμούς λαμβάνουμε τα επόμενα 10 αθροίσματα 0,,4,5,7,9,10,1,14,17. Να προσδιορίσετε το A. ΘΕΜΑ 80 Οι θετικοί ακέραιοι a b c d είναι τέτοιοι ώστε a b c d 1000 και a b c d 1000. Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του a. ΘΕΜΑ 81 Να προσδιορίσετε όλους τους τετραψήφιους ακεραίους αριθμούς που είναι ίσοι με τον κύβο του αθροίσματος των ψηφίων τους. ΘΕΜΑ 8 Έστω p(n)το γινόμενο των ψηφίων του θετικού ακεραίου n. Να υπολογιστεί το άθροισμα p(1) p()... p(1000). ΘΕΜΑ 83 Να λυθεί η εξίσωση [x ] 5[x] 0. ΘΕΜΑ 84 Έστω x,y,z 0. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης 16x 9y 36z y z z x x y. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 6

ΘΕΜΑ 85 Αν x,y,z Z και αν x y z 0, να αποδείξετε ότι ο αριθμός: x y z 4 4 4, είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. ΘΕΜΑ 86 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις (x,y)της εξίσωσης x 1 y 1 x 1 y 1. ΘΕΜΑ 87 Να λυθεί στο Rτο σύστημα ΘΕΜΑ 88 1 x (y z) 1 y (z x) 1 z (x y) 4 4 4. Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους x,y N* τέτοιους ώστε ο αριθμός x y xy 8x να διαιρείται από τον xy y. ΘΕΜΑ 89 Να λυθεί η εξίσωση n k 5 3 m, με m,n Z. ΘΕΜΑ 830 Να προσδιορίσετε όλους τους τετραψήφιους θετικούς ακεραίους n abcd, που είναι ίσοι με το γινόμενο τριών διαδοχικών θετικών ακεραίων δύο εκ των οποίων είναι πρώτοι και οι αριθμοί cd, ab είναι διαδοχικοί. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 7

ΘΕΜΑ 831 Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους nτέτοιους ώστε ο 17 1 n αριθμός 17 να είναι τέλειο τετράγωνο. ΘΕΜΑ 83 Έστω n ένας ακέραιος και x 1,x,...,x μη μηδενικοί πραγματικοί n αριθμοί τέτοιοι ώστε x1 x... xn 0. Να δείξετε ότι υπάρχουν 1 xi ακέραιοι 1 i, j n, διαφορετικοί μεταξύ τους, τέτοιοι ώστε. x j ΘΕΜΑ 833 Θέλουμε να βρούμε σύνολα A 1,A,...,A n {1,,...,100} τριών στοιχείων τέτοια ώστε για κάθε 1 a b 100 να υπάρχει ακριβώς ένα σύνολο A με {a,b} A Είναι αυτό δυνατό; i i ΘΕΜΑ 834 (ΘΑΝΟΣ ΜΑΓΚΟΣ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 19. 013 1008 1008 013 5 3 είναι πολλαπλάσιο του ΘΕΜΑ 835 Έστω a,b,c,d και u ακέραιοι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί ac,bc ad,bd είναι πολλαπλάσια του u. Να αποδείξετε ότι οι bc και ad είναι πολλαπλάσια του u. ΘΕΜΑ 836 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 11...1... είναι το γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών. 100 100 Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 8

ΘΕΜΑ 837 Δίνεται τρίγωνο ABC και έστω AD η διχοτόμος του. Αν ισχύει ότι AB CD AC BD, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ 838 Δίνεται τετράγωνο ABCD και πάνω στην πλευρά BC, παίρνουμε σημείο E ενώ πάνω στην πλευρά DC, ένα σημείο H, ώστε να είναι BE DH AB. Αν οι ευθείες BC και AH τέμνονται στο P, να αποδειχθεί ότι οι ευθείες EH και DP τέμνονται καθέτως. Στη συνέχεια, να διατυπώσετε και να αποδείξετε και το αντίστροφο. ΘΕΜΑ 839 Αν x,y,z 0, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης x y z xy yz ΘΕΜΑ 840. Αν xy x + y = zu z + u με x = a + b + c + d, y = a + b - c - d, z = a - b + c - d, u = a - b - c + d να αποδείξετε ότι ab a + b = cd c + d. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 9

ΘΕΜΑ 841 Έστω f(x) 3 x x x 1 x(x 1) x A f(1)f()f(3)...f(013).. Να βρεθεί ο αριθμός: ΘΕΜΑ 84 Αν a,b,c,d 0 να αποδείξετε ότι: a b c d 1. b c d c d a d a b a b c ΘΕΜΑ 843 Αν a,b 0, να αποδείξετε ότι: a b 1. 4 4 a b b a ab Πότε ισχύει η ισότητα; ΘΕΜΑ 844 Έστω a,b,c,dακέραιοι με τον d να μην είναι πολλαπλάσιο του 5. Ο m 3 είναι ένας ακέραιος για τον οποίο ο am bm cm d είναι πολλαπλάσιο του 5. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος n ώστε ο 3 dn cn bn a να είναι επίσης πολλαπλάσιο του 5. ΘΕΜΑ 845 Αν x,y,z 0 και x,y,z 1, να αποδείξετε ότι: x y y z z x x y z. x y y z z x Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 10

ΘΕΜΑ 846 Οι 1,, 3, 1,, είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους 3 ισχύουν οι σχέσεις: 1 1 3 3 0, Να αποδείξετε ότι 1 3 0. 1 3 0 και 1 3 0. ΘΕΜΑ 847 Αν x,y,z 0 να αποδείξετε ότι: x y z 1 1 1 1 ( ). x yz y zx z xy x y z ΘΕΜΑ 848 Για τους αριθμούς x,y,z,t γνωρίζουμε ότι είναι με κάποια σειρά οι αριθμοί 1,14,37,65. Μπορεί ποτέ να ισχύει xy xz yt 18 ; ΘΕΜΑ 849 Αν x y 0 να αποδείξετε ότι 4 x 3. x y y 1 ΘΕΜΑ 850 Έστω x,y είναι πραγματικοί αριθμοί με x yκαι xy 1. Να αποδείξετε ότι x y x y. Πότε ισχύει η ισότητα; ΘΕΜΑ 851 Να λυθεί στο σύνολο των φυσικών αριθμών η εξίσωση x y z 1980. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 11

ΘΕΜΑ 85 Οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z ικανοποιούν τις σχέσεις y z x, για το z. x y z, z x y. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη δυνατή τιμή ΘΕΜΑ 853 Αν xy 1και x,y 0, να αποδείξετε ότι: x 16y y 16x 5. ΘΕΜΑ 854 Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση 5 3 a b 4a b. ΘΕΜΑ 855 Αν a,b,c 0 να αποδείξετε ότι 6 a b c a b b a a c c a b c c b. ΘΕΜΑ 856 Για κάθε a,b 0, να αποδείξετε ότι: (a b) a b a b b a. 4 ΘΕΜΑ 857 Έστω οι ακέραιοι 1 a1 a... a19 00 και 1 b1 b... b1 00. Να αποδείξετε ότι μεταξύ τους υπάρχουν a i,a j,b p,b ώστε q aj ai bq bp 0. ΘΕΜΑ 858 Να βρεθεί το ψηφίο των δεκάδων του αριθμού a 11 όπου 13 a 1. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1

ΘΕΜΑ 859 Υπάρχουν θετικοί ακέραιοι a,b,c ώστε 3 3 3 006 a b c 6 ; ΘΕΜΑ 860 1 1 1 1 1 Να αποδειχθεί ότι: S.... 3 3 3 3 3 4 5 99 4 ΘΕΜΑ 861 (ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΙΦΑΚΗΣ) Να βρείτε όλες τις δυνατές τριάδες πρώτων φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση 3x y 4z και είναι μικρότεροι του 30. ΘΕΜΑ 86 (ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΙΦΑΚΗΣ) Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο. 0 1 9 A 000 001 00... 009 δεν ΘΕΜΑ 863 Αν οι a,b,c είναι πραγματικοί αριθμοί με a b και ax bx c 0 για κάθε x R, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης a b c. b a ΘΕΜΑ 864 Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους nγια τους οποίους ο αριθμός n n 3 είναι ακέραιος. n n 3 ΘΕΜΑ 865 Αν οι αριθμοί ab,bc7,ca8 είναι τριψήφιοι και αν (ab,bc7,ca8) 3, να αποδείξετε ότι ο αριθμός A a b c είναι άρρητος. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 13

ΘΕΜΑ 866 (ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΙΦΑΚΗΣ) Να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 001 004 004 001. ΘΕΜΑ 867 Να λυθεί στο σύνολο Zτων ακεραίων αριθμών, η εξίσωση: 6 6 6 3x y z 013. ΘΕΜΑ 868 Δείξτε ότι η εξίσωση: σύνολο Z. 6 6 6 3x y z 013016 είναι αδύνατη στο ΘΕΜΑ 869 Έστω a,b,cτρεις ακέραιοι αριθμοί με a 0 ώστε η εξίσωση ax bx c 0 να έχει δύο άνισες λύσεις στο διάστημα βρεθεί η ελάχιστη τιμή του a. 0,1. Να ΘΕΜΑ 870 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρες τριάδες (x,y,z) φυσικών αριθμών, οι οποίες επαληθεύουν την εξίσωση: 3 4 x 1y z. ΘΕΜΑ 871 Έστω Mτο σύνολο όλων των θετικών ακεραίων που είναι πολλαπλάσια του 36, στη δεκαδική τους αναπαράσταση αποτελούνται μόνο από τα ψηφία 4, 6 και 9 και δεν υπερβαίνουν το 100000. Πόσα στοιχεία έχει το M; Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 14

ΘΕΜΑ 87 Να λυθεί στο 3 Z η εξίσωση a b c 11 8 9. ΘΕΜΑ 873 Έστω a,b,c,dπραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a b c d 6. Να b c d a βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης a b c d. c d a b ΘΕΜΑ 874 Βρείτε τους πρώτους p,q,r ώστε 4 4 3 p p q q r 4q 1. ΘΕΜΑ 875 Να λυθεί το σύστημα a b c a b c a b. c a b c ΘΕΜΑ 876 3 Έστω a 0, a Q ώστε ( a a) Q. Να δείξετε ότι 6 a Q. ΘΕΜΑ 877 Αν a,b,c 0 να δείξετε ότι a b 3c a 3b c 3a b c 15. 3a 3b c 3a b 3c a 3b 3c 8 Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 15

ΘΕΜΑ 878 Έστω x ένας μη μηδενικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε οι αριθμοί 4 1 5 1 1 x και x να είναι ρητοί. Να δείξετε ότι ο αριθμός x είναι 4 5 x x x επίσης ρητός. ΘΕΜΑ 879 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι xκαι yμε x 1, τέτοιοι ώστε 7 x 1 y 5 1 x 1. ΘΕΜΑ 880 Έστω a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε δείξετε ότι 3 b ac ab(a c). http://www.artofproblemsolving.com/foru... f#p393348 a bc. Να ΘΕΜΑ 881 Βρείτε όλες τις τετράδες θετικών ακεραίων (a,b,c,d) με a b c ώστε d a! b! c! 3. ΘΕΜΑ 88 (ΜΙΧΑΛΗΣ ΛΑΜΠΡΟΥ) Να βρεθεί το σημείο εντός τριγώνου που το γινόμενο των αποστάσεών του από τις πλευρές του τριγώνου είναι μέγιστο. (Αν το δει κανείς από την σωστή σκοπιά, λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές το πολύ). Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 16

ΘΕΜΑ 883 Να βρεθεί ο ελάχιστος θετικός ακέραιος nμε την ιδιότητα να μπορεί να γραφτεί τουλάχιστον με τρεις διαφορετικούς τρόπους στη μορφή n 19a 53b όπου οι a,bείναι μη αρνητικοί ακέραιοι. ΘΕΜΑ 884 Να δείξετε ότι a,b,c R. a 10b 100c ab 0bc 16ca, για κάθε ΘΕΜΑ 885 Να βρεθούν οι τιμές του φυσικού αριθμού n, για τις οποίες ο αριθμός n n n a 4 115 είναι τέλειο τετράγωνο. ΘΕΜΑ 886 Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι: a b c 1, να αποδείξετε ότι: 1 a 1 b 1 c 1. b c c a a b abc ΘΕΜΑ 887 Αν a 1,a,a 3,...,a 014 * N με a1 a... a014, να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 888 1 1 1 1 1.... [a,a ] [a,a ] [a,a ] a a 1 3 013 014 1 014 Αν a,b R και 0 a,b 1 και n N, να αποδείξετε ότι: a n b n n n b 1 a 1 1. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 17

ΘΕΜΑ 889 Αν x,y,z N* και αν x 3y 4z 3y 4z, να βρεθούν οι 4z x x 3y ελάχιστες τιμές που μπορούν να πάρουν οι αριθμοί x,y,z, ώστε ο 1 1 1 αριθμός: A, να είναι ρητός. 3 3 3 x y z ΘΕΜΑ 890 Να βρεθούν οι πρώτοι αριθμοί x,y,z αν ισχύει ότι: y z 40 x. 1 yz 7 ΘΕΜΑ 891 Αν 0 a b c, να αποδείξετε ότι: c 1 ab b a ac ab c. ΘΕΜΑ 89 Αν a,b,c είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου, να αποδείξετε ότι: 9 10 a b c a b b c c a a b c. ΘΕΜΑ 893 (ΜΙΧΑΛΗΣ ΛΑΜΠΡΟΥ) Αν a b c 1000, πόση είναι η τιμή της παράστασης a b b c c a b c a a b b c c a. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 18

ΘΕΜΑ 894 Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο o ABC με Â 90. Θεωρούμε το συμμετρικό Mτου σημείου Aως προς την υποτείνουσα καθώς και ένα τυχαίο σημείο P πάνω στην υποτείνουσα. Αν K και L είναι οι (ορθές) προβολές του P πάνω στις πλευρές AB και AC αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι οι ευθείες MP και KLτέμνονται καθέτως. ΘΕΜΑ 895 Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι x,y,zπου ικανοποιούν την εξίσωση: x y 5 z. ΘΕΜΑ 896 1 1 1 1 Αν S n..., όπου 3 4 15 6 35 n 4n 1 n N *, να βρεθεί η μέγιστη τιμή του n, για την οποία έχουμε Sn 5. ΘΕΜΑ 897 (Μια παρόμοια με το τέταρτο θέμα του διαγωνισμού "ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" για την Α ΛΥΚΕΙΟΥ) Αν a,b R, να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του a b, ώστε να είναι: 4a b 3ab a. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 19

ΘΕΜΑ 898 Αν x,y,z,w 0, να αποδείξετε ότι: x y z w. y z w z w x w x y x y z ΘΕΜΑ 899 Να αποδείξετε ότι αν x,y,z 0 και x y z 1, τότε: 1 x 1 y 1 z 1. y z x z x y xyz ΘΕΜΑ 900 Αν a * N και b,c R με a b c και αν ισχύει ότι: a b c a 4b 4 ac(a c), να αποδείξετε ότι b c 4ab 7. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 0