1.3. μβαδά επίπεδων σχημάτων 1 cm 1 cm μβαδόν τετραγώνο ς θεωρήσομε ένα τετράγωνο πλεράς cm. Μπορούμε να το χωρίσομε σε = = «τετραγωνάκια» πλεράς 1 cm, καθένα από τα οποία έχει εμβαδόν 1 cm. Άρα, το τετράγωνο έχει εμβαδόν cm. ενικά: Το εμβαδόν ενός τετραγώνο πλεράς α ισούται με α. α β μβαδόν ς θεωρήσομε ένα ορθογώνιο με πλερές και cm. Όπως φαίνεται στο σχήμα, το ορθογώνιο χωρίζεται σε 1 «τετραγωνάκια» εμβαδού 1 cm. πομένως, το ορθογώνιο έχει εμβαδόν 3 = 1 cm. ενικά: Το εμβαδόν ενός με πλερές α, β ισούται με α β. Τις πλερές ενός τις λέμε μήκος (τη μεγαλύτερη πλερά) και πλάτος (τη μικρότερη) και τις ονομάζομε διαστάσεις το. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι το γινόμενο των διαστάσεων ενός ισούται με το εμβαδόν το ή: εμβαδόν = μήκος πλάτος. E E E Z Z Παρατήρηση: ια να σμβολίσομε το εμβαδόν κάθε επίπεδο σχήματος, το γράφομε μέσα σε παρένθεση. ηλαδή, το εμβαδόν ενός τετραπλεύρο σμβολίζεται με (), το εμβαδόν ενός τριγώνο ΖΗΘ σμβολίζεται με (ΖΗΘ) κ.ο.κ. μβαδόν παραλληλογράμμο ς θεωρήσομε ένα παραλληλόγραμμο με βάση = β = και ας φέρομε τα ύψη το = και Ζ =. Μεταφέροντας το τρίγωνο στη θέση τού (ίσο με ατό) τριγώνο Ζ, παρατηρούμε ότι: το εμβαδόν το παραλληλογράμμο ισούται με το εμβαδόν το Ζ. Άρα: () = (Ζ) = Ζ Ζ = β. ενικά: E Z Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμο είναι ίσο με το γινόμενο μίας βάσης το με το αντίστοιχο ύψος. 1-008.indb 119 19/1/013 10:0: μμ
10 Μέρος B - 1.3. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων A β β É μβαδόν τχαίο τριγώνο ς θεωρήσομε ένα τχαίο τρίγωνο πο δεν είναι ορθογώνιο και ας πάρομε και άλλο ένα τρίγωνο ίδιο με ατό. ν τοποθετήσομε το δεύτερο τρίγωνο δίπλα στο πρώτο, όπως φαίνεται στα διπλανά σχήματα, τότε θα σχηματιστεί ένα παραλληλόγραμμο, πο θα έχει ως βάση β, τη βάση το και ως ύψος, το ύψος το, από την κορφή. ίτε το τρίγωνο είναι οξγώνιο είτε είναι αμβλγώνιο, το εμβαδόν το θα είναι ίσο με το μισό το παραλληλογράμμο πο σχηματίζεται, αν τοποθετήσομε άλλο ένα τρίγωνο ίσο με το, όπως φαίνεται στα διπλανά σχήματα. πομένως, θα ισχύει: () = 1 () = 1 β, A B β É όπο β η βάση το και το αντίστοιχο ύψος. ενικά: Το εμβαδόν ενός τριγώνο είναι ίσο με το μισό το γινομένο μιας βάσης το με το αντίστοιχο ύψος. B β μβαδόν τριγώνο Όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε η μία από τις κάθετες πλερές είναι η βάση β και η άλλη το ύψος το. = γ πομένως: () = 1 β = 1 β γ. β Το εμβαδόν ενός τριγώνο είναι ίσο με το μισό το γινομένο των δύο κάθετων πλερών το. E β Θ β Ζ Η μβαδόν τραπεζίο ς θεωρήσομε το τραπέζιο πο έχει μεγάλη βάση =, μικρή βάση = β και ύψος Θ =. Θεωρώντας άλλο ένα ίσο τραπέζιο με το σχηματίζομε ένα παραλληλόγραμμο ΖΗ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το παραλληλόγραμμο πο σχηματίσαμε έχει βάση (β + ) και ύψος. πομένως: (ΖΗ) = (β + ). Όμως: (ΖΗ) = () (β + ) Άρα: () = Το εμβαδόν ενός τραπεζίο είναι ίσο με το γινόμενο το ημιαθροίσματος των βάσεών το με το ύψος το. 1-008.indb 10 19/1/013 10:0:9 μμ
Μέρος B - 1.3. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων 11 ΦΡΜΟΗ 1 Να σμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα: Μήκος Πλάτος Περίμετρος μβαδόν 1 m 10 m 17 m 44m 9 m 4 m 33 m 330 m Λύση: Με τη βοήθεια της σχέσης: εμβαδόν = μήκος πλάτος, σμπληρώνομε τον πίνακα: Μήκος Πλάτος Περίμετρος μβαδόν 1 m 10 m 44 m 10 m 17 m m 44m 8 m m 9 m 8 m 4 m 33 m 10 m 86 m 330 m ΦΡΜΟΗ H αίθοσα Φσικής στο σχολείο της Άννας αποφασίστηκε να στρωθεί με τετράγωνα πλακάκια πο το καθένα έχει πλερά cm. α) Να βρείτε πόσα πλακάκια θα χρειαστούν, αν το δάπεδο της τάξης έχει διαστάσεις 1 m μήκος και 8 m πλάτος. β) ν κάθε πλακάκι κοστίζει 0, e, πόσα χρήματα θα χρειαστούν για να στρωθεί η τάξη; Λύση: α) Το εμβαδόν το δαπέδο είναι: Π = 1 8 = 96 (m ) και το εμβαδόν σε κάθε πλακάκι είναι: ΠΛΚ = = 6 (cm ) = 0,06 (m ). ιαιρώντας τα δύο ατά εμβαδά βρίσκομε πόσα πλακάκια χρειάζονται για να στρωθεί η τάξη: E Π 96 = ΠΛΚ 0,06 = 136. β) φού χρειάζονται 136 πλακάκια και το κάθε πλακάκι κοστίζει 0, e, το σνολικό κόστος θα είναι: 136 0, = 768 e. ΦΡΜΟΗ 3 Στο σχολείο της Κάτιας το μαθητικό σμβούλιο εκδίδει μια εφημερίδα πο κάθε φύλλο της έχει διαστάσεις μήκος και 30 cm πλάτος. Να πολογίσετε τη σνολική επιφάνεια το χαρτιού πο θα χρησιμοποιηθεί, για να τπωθούν 800 αντίτπα της εφημερίδας, αν κάθε αντίτπο έχει 8 φύλλα. Λύση: Το εμβαδόν κάθε φύλλο είναι 30 4 = 160 (cm ). Aφού κάθε αντίτπο έχει 8 φύλλα, χρειάζονται 8 160 = 10080 (cm ) χαρτί για κάθε αντίτπο. Eπομένως, για να τπωθούν 800 αντίτπα, θα χρειαστούν: 800 10080 = 8064000 (cm ) = 806,4 (m ) χαρτί. 1-008.indb 11 19/1/013 10:0:30 μμ
1 Μέρος B - 1.3. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων 4 ΦΡΜΟΗ Στο τρίγωνο το σχήματος φέρνομε τη διάμεσο Μ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Μ και Μ έχον το ίδιο εμβαδόν. B Η Μ Λύση: Μ Η Φέρνομε το ύψος Η. Τότε το τρίγωνο Μ έχει εμβαδόν: (Μ) =. Μ Η Το τρίγωνο Μ έχει εμβαδόν: (Μ) =. Όμως, Μ = Μ, επειδή το Μ είναι το μέσο της (η Μ είναι διάμεσος). Άρα: (Μ) = (Μ). ΦΡΜΟΗ Ένα οικόπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, πωλείται προς 300 e το m. Ποια είναι η αξία το οικοπέδο; Λύση: Bρίσκομε πρώτα το εμβαδόν το οικοπέδο. τό αποτελείται από το ορθογώνιο και το τραπέζιο Ζ. 18 m Το εμβαδόν το είναι: () = 18 1 = 70 (m ). To εμβαδόν το τραπεζίο είναι: 1 m Ζ 8 m (1 + 8) 10 (Ζ) = = 11 (m ). 8 m B Άρα, το εμβαδόν το οικοπέδο είναι 70 + 11 = 38 (m ). ια να βρούμε την αξία πώλησης το οικοπέδο, πολλαπλασιάζομε το εμβαδόν το με την τιμή πώλησης το τετραγωνικού μέτρο. Άρα, η αξία το οικοπέδο είναι: 38 300 = 11.00 e. ΦΡΜΟΗ 6 Στο παρακάτω σχήμα: α) Να εκφράσετε το εμβαδόν το τραπεζίο ως σνάρτηση το. β) ν το εμβαδόν το τραπεζίο είναι το τριπλάσιο από το εμβαδόν το Ζ, να πολογίσετε το. Λύση: α) Στο τραπέζιο, η μικρή βάση είναι = + 3 (cm), η μεγάλη βάση είναι = + 1 + 3 = + 4 (cm) και το ύψος το είναι = 6 (cm). Άρα, το εμβαδόν το είναι: () = (β + ) = ( + 3 + + 4) 6 β) Το εμβαδόν το είναι (Ζ) = 3 6 = 18 (cm ). Aφού το εμβαδόν το τραπεζίο είναι τριπλάσιο από το εμβαδόν το, έχομε: () = 3 (Ζ) ή 3( + 7) = 3 18 ηλαδή: + 7 = 18 ή = 11 ή =, (cm). = 3( + 7) (cm ). Ζ +1 B 1-008.indb 1 19/1/013 10:0:3 μμ
Μέρος B - 1.3. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων 13 ΡΩΤΗΣΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ 1. Στο διπλανό σχήμα: Θ 1 To εμβαδόν το ΗΘ είναι: 3 6 9 To εμβαδόν το ΖΘ είναι: 6 1 18 3 To εμβαδόν το Η είναι: 1 18 1 B Η 4 To εμβαδόν το Η είναι: 9 1 4, To εμβαδόν το ΖΗ είναι: 9 1 4, 6 To εμβαδόν το ΖΗ είναι: 1 18 1 7 To εμβαδόν το Η είναι:, 18 7 8 To εμβαδόν το Θ είναι:, 18 1 Ζ Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση.. Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1 To εμβαδόν το παραλληλογράμμο είναι: 4 9 18 To ύψος πο αντιστοιχεί στην πλερά είναι:, 9 4, 3 To εμβαδόν το παραλληλογράμμο ΖΗΘ είναι: 4 1 3 cm 8 cm Ζ 4 Η πλερά = Θ είναι: 4 6 Θ Η Ποιο από τα επόμενα δεν είναι ίσο με το εμβαδόν το τριγώνο ; AB A A BK B AΛ K 6 Το εμβαδόν το τριγώνο ΘΗ είναι: 3 16 0 Λ E Κ 7 Το ύψος ΘΚ πο αντιστοιχεί στην πλερά Η είναι: 4 6 Θ Ζ 10 cm 8 cm Η 1-008.indb 13 19/1/013 10:0:37 μμ
14 Μέρος B - 1.3. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων 8 Το διπλανό παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 16cm και το είναι το μέσο της πλεράς. Το εμβαδόν το τριγώνο Κ είναι: 4 6 8 Κ 9 Το εμβαδόν το μπλε παραλληλογράμμο είναι: 4 8 m 10 Το εμβαδόν κάθε πράσινο τριγώνο είναι: 16 0 17, 8m 1m ν το εμβαδόν το παραλληλογράμμο 11 είναι 1cm και το είναι το μέσο της πλεράς, τότε το εμβαδόν το τραπεζίο είναι: 4 16 18 B ΣΚΗΣΙΣ 1 3 ν η περίμετρος ενός τετραγώνο είναι 60 cm, να πολογίσετε το εμβαδόν το. Οι διαστάσεις ενός φύλλο στο εικοσάφλλο τετράδιο το Σταύρο είναι 1 cm και 30 cm. Να πολογίσετε πόση επιφάνεια χαρτιού έχει όλο το τετράδιο. Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι τα εμβαδά το ροζ και το κίτρινο σχήματος είναι ίσα. α) Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο και το τρίγωνο έχον ίσα εμβαδά. β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν το είναι διπλάσιο από το εμβαδόν το. Nα πολογίσετε τα εμβαδά των δύο σχημάτων στο παρακάτω σχήμα, αν = cm. Στη σνέχεια, να εξηγήσετε γιατί ατά είναι ίσα για οποιαδήποτε τιμή το. α 6cm α 3cm 4 Να κατασκεάσετε ένα τετράγωνο. Στη σνέχεια να προεκτείνετε την πλερά το τετραγώνο και να πάρετε τμήμα =. 6 Ένα τετράγωνο και ένα τραπέζιο έχον ίσα εμβαδά. ν οι βάσεις το τραπεζίο είναι 1 cm και 0 cm και το ύψος το είναι, να πολογίσετε το εμβαδόν το τετραγώνο. 1-008.indb 14 19/1/013 10:0:41 μμ
Μέρος B - 1.3. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων 1 7 Ένας ορθογώνιος κήπος έχει διαστάσεις 40 m και m. Tον κήπο διασχίζον δύο κάθετα μεταξύ τος δρομάκια. Το ένα παράλληλο προς τη μεγάλη πλερά το κήπο με πλάτος 0,6 m και το άλλο με πλάτος 0,8 m. Το πόλοιπο τμήμα θα β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλερο ΜΝ έχει εμβαδόν όσο είναι το άθροισμα των εμβαδών των παραπάνω τριγώνων. Μ Ν m 0,6 m 0,8 m 11 Στα παρακάτω σχήματα κάθε τετραγωνάκι έχει πλερά 1 cm. Να βρείτε τα εμβαδά των 1 σχημάτων πο δίνονται: 1 3 40 m 8 φτετεί με γκαζόν. Να πολογίσετε το κόστος της κατασκεής το γκαζόν, αν ο γεωπόνος χρεώνει 1 e κάθε m γκαζόν. Τα παρακάτω ορθογώνια έχον τις ίδιες διαστάσεις. ξηγήστε γιατί τα πράσινα μέρη των δύο ορθογωνίων έχον ίσα εμβαδά. 4 6 8 9 7 1 10 11 9 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται οικόπεδο σχήματος, το οποίο διασχίζει διαγώνια ένας δρόμος σταθερού πλάτος. α) Να αποδείξετε ότι τα τριγωνικά οικόπεδα πο απομένον έχον ίσα εμβαδά. β) Να πολογίσετε το, ώστε ο δρόμος να «αποκόπτει» από το οικόπεδο τμήμα το οποίο το εμβαδόν να είναι ίσο με το το εμβαδού πο απομένει στο οικόπεδο. 1 13 Στο τετράπλερο το διπλανού σχήματος οι διαγώνιες είναι κάθετες. ν = cm,ο=3cm και Ο=6cm, να πολογίσετε το εμβαδόν το τετράπλερο. Να πολογίσετε το σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα. Ο 18 m 40 cm 3 30 m 10 Στο τετράγωνο το παρακάτω σχήματος είναι Μ και Ν τα μέσα των πλερών το και αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Μ και Ν έχον ίσα εμβαδά. 0 cm 18 cm 1-008.indb 1 19/1/013 10:0:44 μμ
16 Μέρος B - 1.3. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων 14 cm 9 cm Να πολογίσετε τα εμβαδά των παρακάτω σχημάτων: cm 1 cm 1 cm 8 cm 10 cm 16 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η κάτοψη ενός διαμερίσματος. Να βρείτε: α) Το εμβαδόν κάθε δωματίο. β) Το εμβαδόν το γωνιακού διαδρόμο. γ) Το εμβαδόν της βεράντας. εράντα εράντα 8, m Σαλόνι 4 m 3 m Κοζίνα ιάδρομος ραφείο Υπνοδωμάτιο 1 WC, m Mπάνιο Υπνοδωμάτιο, m 4 m 3 m 1, m, m 3 m 3 m 1 m 4, m 1 Να βρείτε το εμβαδόν το πορτοκαλί τετραγώνο το παρακάτω σχήματος. 1 1 cm 17 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το τοπογραφικό διάγραμμα ενός κτήματος το οποίο πωλείται προς 0.000 e το στρέμμα. α) Να βρεθεί η αξία το κτήματος. β) Πόσα κλήματα μπορούμε να φτέψομε στο κτήμα ατό, αν κάθε κλήμα απαιτεί, m χώρο; 60m 1 0m 30m 1 Ι ΙΣΚΣΗ: Πίσω από την κορτίνα κρύβονται ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο και ένα ορθογώνιο τρίγωνο. 44m ρείτε τη θέση και το εμβαδόν καθενός, αν γνωρίζετε ότι: 1. Το ορθογώνιο έχει τετραπλάσιο εμβαδόν και βρίσκεται πιο αριστερά από το τετράγωνο.. Ένα σχήμα εμβαδού 100 cm βρίσκεται δεξιά από το ορθογώνιο τρίγωνο. 3. εξιά από ένα σχήμα με τέσσερις ορθές γωνίες βρίσκεται το ορθογώνιο τρίγωνο. 4. Οι κάθετες πλερές το τριγώνο είναι ίσες με τις κάθετες πλερές το. 1-008.indb 16 19/1/013 10:0:0 μμ