ΤΟΜΟΣ Α Ποσοτικές Μέθοδοι: Επιχειρησιακά Μαθηματικά Κεφάλαιο 1: Συναρτήσεις μιας μεταβλητής Ακαδ. Έτος: 2018-19
Συνάρτηση είναι.. Στα μαθηματικά, συνάρτηση, ή απεικόνιση είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων, που καλούνται σύνολο ορισμού και σύνολο τιμών, κατά την οποία κάθε ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο του πεδίου τιμών.
Ιστορικά η έννοια της συνάρτησης εισήχθη στα μαθηματικά από τον θεμελιωτή του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού Γερμανό μαθηματικό Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς το 1694. Οι όροι συνάρτηση και απεικόνιση είναι συνώνυμοι. Ο πρώτος χρησιμοποιείται περισσότερο στην στοιχειώδη άλγεβρα και τον απειροστικό λογισμό, ενώ ο δεύτερος στα διακριτά μαθηματικά.
Παραδείγματα
Οι αντιστοιχίσεις b), c) d) είναι συναρτήσεις. Η αντιστοίχιση a) δεν αποτελεί συνάρτηση διότι υπάρχει στοιχείο του συνόλου ορισμού που αντιστοιχίζεται σε δύο διαφορετικά στοιχεία του συνόλου τιμών.
Μια συνάρτηση που διαμορφώνει το χρώμα του κάθε στοιχείου Για ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης, έστω Χ το σύνολο που αποτελείται από τέσσερα σχήματα: και έστω Υ το σύνολο που αποτελείται από πέντε χρώματα: κόκκινο, μπλε, πράσινο, ροζ και κίτρινο. Συνδέοντας κάθε σχήμα στο χρώμα του είναι μια συνάρτηση από το Χ στο Υ: κάθε σχήμα συνδέεται με ένα χρώμα (δηλαδή, ένα στοιχείο στο Υ), και κάθε σχήμα είναι "συνδεδεμένο", ή "χαρτογραφείται", σε ακριβώς ένα χρώμα. Δεν υπάρχει σχήμα που στερείται ενός χρώματος και ούτε κάποιο σχήμα που έχει δύο ή περισσότερα χρώματα. Αυτή η λειτουργία θα αναφέρεται ως "χρώμα της συνάρτησης σχήματος".
Η εισαγωγή σε μια συνάρτηση ονομάζεται όρισμα και η έξοδος ονομάζεται τιμή. Το σύνολο όλων των επιτρεπόμενων ορισμάτων σε μια συγκεκριμένη συνάρτηση ονομάζεται σύνολο ορισμού, ενώ το σύνολο των επιτρεπόμενων εξόδων ονομάζεται σύνολο τιμών. Έτσι, το σύνολο ορισμού του "χρώμα της συνάρτησης σχήματος" είναι το σύνολο των τεσσάρων σχημάτων, και το συνόλου τιμών αποτελείται από τα πέντε χρώματα.
Μια συνάρτηση f με σύνολο ορισμού το Χ και σύνολο τιμών το Y συνήθως συμβολίζεται με Στο πλαίσιο αυτό, τα στοιχεία του Χ ονομάζονται όρισμα μιας συνάρτησης της f. Για κάθε όρισμα Χ, το αντίστοιχο μοναδικό y του συνόλου τιμών ονομάζεται η συνάρτηση τιμή στο Χ ή η εικόνα του x με την f.γράφεται ως f(x). Λέει ότι η f αντιστοιχεί το y με το x ή στέλνει το x στο y. Αυτό είναι συντομογραφία από το
Παραδείγματα..
Μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση είναι ο «τρόπος» ή «κανόνας» με τον οποίο αντιστοιχίζεται μία μοναδική τιμή της εξαρτημένης ποσότητας (σύνολο τιμών) σε κάθε τιμή της ανεξάρτητης ποσότητας (πεδίο ορισμού). Η έννοια της συνάρτησης εκφράζει τη διαισθητική ιδέα της εξάρτησης μιας ποσότητας από μια άλλη. Δηλαδή κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου τιμών.