Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 2 Σχεσιακή Λογική Ή Κατηγορηματική Λογική ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Προτασιακή Λογική Page 3 Οι σταθερές αναφέρονται σε ατομικές προτάσεις βρεχει χιονίζει υγρο Σύνθετες προτάσεις δηλώνουν σχέσεις μεταξύ των σταθερών (προτάσεων) βρεχει χιονίζει υγρο Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σχεσιακή Λογική Page 4 Οι σταθερές αναφέρονται σε αντικείμενα και σε σχέσεις μεταξύ αυτών νικος, μαιρη, γιωργος, αγαπαει, ευτυχισμενος Απλές προτάσεις εκφράζουν σχέσεις μεταξύ αντικειμένων αγαπαει(νικος, μαιρη) Σύνθετες προτάσεις δηλώνουν σχέσεις μεταξύ σχέσεων αγαπαει(χ,ψ) αγαπαει(ψ,χ) αγαπαει(χ,ψ) αγαπαει(ψ,χ) ευτυχισμενος(χ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Δομή της Παρουσίασης Page 5 Συντακτικό και Άτυπη Σημασιολογία της Σχεσιακής Λογικής Τυπική Σημασιολογία Μεθοδος Herbrand Αποδεικτική μέθοδος Εννοποίηση Σχεσιακή μέθοδος της Επίλυσης Εφαρμογές Στρατηγικές Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Λέξεις Page 6 Οι μεταβλητές ξεκινούν πάντοτε με κεφαλαίο γράμμα Α,Β,Υ,Χ,Ψ,Ζ Οι σταθερές ξεκινούν με ψηφία ή με χαρακτήρες που αντιστοιχουν σε πεζα γράμματα α,β,γ,μαιρη, γιωργος,1,2,3... ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Σταθερές Page 7 Σταθερές οντοτήτων αναφέρονται σε οντότητες του «σύμπαντος» Συναρτησιακές σταθερές παριστούν συναρτήσεις πατερας1, μητερα1, ηλικια1, συν2, επι2 Σχεσιακές σταθερές παριστούν σχέσεις μεταξυ οντοτητων προσωπο1, ευτυχισμενος1, γονεας2, αγαπαει2 Δεν υπάρχει συντακτική διάκριση μεταξύ σταθερών οντοτήτων, συναρτησιακών σταθερών και σχεσιακών σταθερών. Ο τύπος κάθε τέτοιας λέξης καθορίζεται από τα συμφραζόμενα. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Οροι Page 8 Ενας όρος είναι είτε μεταβλητή, είτε σταθερά οντοτήτων, ή συναρτησιακός όρος. Οι όροι αναφέρονται σε στοιχεία του «σύμπαντος» Οι όροι είναι ανάλογοι με τις ονοματικές φράσεις στη φυσική γλώσσα. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Συναρτησιακοί όροι Ένας συναρτησιακός όρος είναι μια έκφραση που σχηματίζεται από μια συναρτησιακή σταθερά βαθμού ν και ν όρους που περιέχονται σε παρενθέσεις και χωρίζονται με κόμα. πατερας(γιωργος) πατερας(νικος) συν(χ,2) Page 9 Συναρτησιακοί όροι είναι όροι, και ως τέτοιοι μπορούν να εμφωλιάζονται σε άλλους συναρτησιακούς όρους συν( ηλικια(πατερας(γιωργος)) ηλικια(μητερας(νικος))) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Λογικές Προτάσεις Οι λογικές προτάσεις στη σχεσιακή λογική είναι ανάλογες αυτών στην προτασιακή λογική. Page 10 αγαπαει(νικος, μαρια) (αγαπαει(νικος, μπεττυ) αγαπαει(μπεττυ,νικος)) (αγαπαει(νικος, μπεττυ) αγαπαει(μπεττυ,νικος)) αγαπαει(χ,ψ) αγαπαει(ψ,χ) αγαπαει(χ,ψ) αγαπαει(ψ,χ) Οι κανόνες σε ότι αφορά τις παρενθέσεις είναι οι ίδιοι με την προτασιακή λογική. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Προτάσεις στη Σχεσιακή Λογική Μια πρόταση στη σχεσιακή λογική είναι μια έκφραση που σχηματίζεται από σχεσιακή σταθερά βαθμού ν και ν όρους που περιέχονται σε παρενθέσεις και χωρίζοντα από κόμα. Page 11 ευτυχισμενος(νικος) αγαπαει(νικος, μαρια) Οι προτάσεις δεν είναι όροι και επομένως δεν μπορούν να εμφωλιάζονται σε άλλες προτάσεις. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ποσοτικά προσδιορισμένες προτάσεις Page 12 Οι ποσοτικά προσδιορισμένες προτάσεις (αυτές που περιέχουν ποσοδείκτες και ) μπορούν να συνδυαστούν με άλλες προτάσεις Χ. μηλο(χ) Χ. βερυκοκο(χ) Χ. Ψ. αγαπαει(χ,ψ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Συντακτικός Έλεγχος Σταθερές οντοτήτων: νικος, μαρια, τασος, 1,2,... Page 13 Συναρτησιακές σταθερές: πατερας1, μητερα1, ηλικια1, συν2, επι2 Σχεσιακές σταθερές: προσωπο1, ευτυχισμένος1, γονεας2, αγαπαει2, αβ2 αβ(πατερας(νικος), μητερα(νικος)) συν(πατερας(τασος), μαρια) ευτυχισμενος(πατερας(μαρια)) αγαπαει(χ,ψ) αγαπαει(ψ,χ) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Συντακτικό σε ενθεματική μορφή συν(2,3) 2+3 Page 14 πλην(3,2) 3-2 επι(2,3) 2Χ3 ενωση(σ,τ) σ τ τομη(σ,τ) σ τ μελος(α,β) α β... ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Προτεραιότητα τελεστών + - = < > Page 15 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Μανιτάρια Σχεσιακές σταθερές: μανιtαρι, μπλε, δηλητηριωδες Page 16 Τα μπλε μανιταρια ειναι δηλητηριωδη Αν κατι ειναι μπλε μανιταρι, τοτε ειναι δηλητηριωδες Αν κατι ειναι μανιταρι και μπλε, τότε είναι δηλητηριώδες Χ. (μανιταρι(χ) μπλε(χ) δηλητηριωδες(χ)) Κανένα μπλε μανιταρι δεν ειναι δηλητηριώδες Δεν υπάρχει κάτι που να είναι μπλε και μανιταρι και δηλητηριωδες Χ. (μανιταρι(χ) μπλε(χ) δηλητηριωδες(χ)) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Περισσότερα... Μανιτάρια Σχεσιακές σταθερές: μανιταρι, μπλε, δηλητηριωδες Page 17 Ένα μανιταρι ειναι δηλητηριωδες μόνο αν είναι μπλε Αν κατι ειναι μανιταρι, είναι δηλητηριωδες, μόνο αν ειναι μπλε Αν κατι ειναι μανιταρι, και είναι δηλητηριωδες, τότε ειναι μπλε Χ. (μανιταρι(χ) δηλητηριωδες(χ) μπλε(χ)) Ένα μανιταρι δεν ειναι δηλητηριωδες εκτός αν είναι μπλε Αν κατι ειναι μανιταρι, δεν είναι δηλητηριωδες, αν δεν ειναι μπλε Αν κατι ειναι μανιταρι, και είναι δηλητηριωδες, τότε ειναι μπλε Χ. (μανιταρι(χ) δηλητηριωδες(χ) μπλε(χ)) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Διαπροσωπικές Σχέσεις Σταθερές οντοτήτων : μιχαλης, μαρια Page 18 Σχεσιακη σταθερά: αγαπαει Όλοι αγαπούν τη Μαρια Χ. αγαπαει(χ,μαρια) Η Μαρια αγαπάει οποιονδήποτε την αγαπάει Χ. αγαπαει(χ,μαρια) αγαπαει(μαρια,χ) Κανένας δεν αγαπάει τη Μαρία Χ. αγαπαει(χ,μαρια) ή Χ. αγαπαει(χ,μαρια) Κανένας που αγαπάει τη Μαρία δεν αγαπάει το Μιχάλη Χ. (αγαπαει(χ,μαρια) αγαπαει(χ, μιχαλης)) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Περισσότερες... Διαπροσωπικές Σχέσεις Σταθερές οντοτήτων : μιχαλης, μαρια Page 19 Σχεσιακη σταθερά: αγαπαει Όλοι αγαπούν κάποιον Χ. Ψ. αγαπαει(χ,ψ) Υπάρχει κάποιος που όλοι τον αγαπούν Ψ. Χ. αγαπαει(χ,ψ) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Δυαδικά Δέντρα Αναπαράσταση ως όρος Page 20 ζευγος(ζευγος(α,β)), ζευγος(γ,δ)) α β γ δ Αξιώματα περιεχει(χ,χ) περιεχει(χ,υ) περιεχει(χ,ζ) περεχει(χ, ζευγος(υ,ζ)) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα [α,β,γ,δ] Λίστες Μεταβλητού Μήκους Page 21 Αναπαράσταση ως όρος.(α,.(β,.(γ,.(δ,nil)))) Γλώσσα Σταθερά οντοτήτων nil Συναρτησιακή Σταθερά.2 Σχεσιακή Σταθερά μελος Αξιώματα μελος(χ,.(χ,υ)) μελος(χ,ζ) μελος(χ,.(υ,ζ)) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ειδικές Περιπτώσεις Σχεσιακής Λογικής Καθορισμένη Λογική Οχι μεταβλητές, οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Page 22 Καθολική Λογική Οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Οι ελεύθερες μεταβλητές θεωρούνται έμμεσα καθορισμένες με καθολικούς ποσοδείκτες Υπαρξιακή Λογική Οχι συναρτήσεις Συναστησιακή Λογική Οχι ποσοδείκτες. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Περιορισμοί της Καθορισμένης Λογικής Ο καθένας τους αγαπάει όλους αγαπαει(νικος,μαρια), αγαπαει(νικος,μπεττυ), αγαπαει(γιαννης,μαρια), αγαπαει(γιαννης,μπεττυ), αγαπαει(μπεττυ,μαρια),... Το άθροισμα δυο φυσικων αριθμών είναι μεγαλύτερος από τον καθένα από τους δύο 1+1>1 1+2>1 1+2>2... Τι γίνεται αν πρόκειται για τους πραγματικούς αριθμούς; Page 23 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Περιορισμοί της Καθολικής Λογικής Page 24 Για κάθε αριθμό υπάρχει ένας αριθμός που είναι μεγαλύτερος από αυτόν. Καθολική Λογική Χ<Ψ ΟΧΙ (εκφράζει ότι για κάθε Χ και Ψ ισχύει η σχέση)! Χ<α ΟΧΙ (εκφράζει ότι για κάθε Χ και μια σεθερά α ισχύει η σχέση)! Υπαρξιακή Λογική Χ. Ψ. Χ<Υ Συναρτησιακή Λογική Χ < f(χ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Υπαρξιακοί και Καθολικοί Ποσοδείκτες Page 25 Έστω ότι Χ.π(Χ) είναι αληθές.αυτό ισχύει, Ανν π(χ) είναι αληθές για κάποιο Χ Ανν π(χ) είναι ψευδές για κάποιο Χ Ανν π(χ) είναι δεν είναι αληθές για κάποιο Χ Ανν δεν είναι αληθές ότι το π(χ) είναι αληθές για όλα τα Χ Ανν Χ. π(χ) δεν είναι αληθές Ανν Χ. π(χ) είναι ψευδές Ανν Χ. π(χ) είναι αληθές Γενικά Χ.φ είναι ισοδύναμο με Χ. φ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ανάγκη για Ποσοδείκτες Αφού το Χ.φ(Χ) είναι ισοδύναμο με το Χ. φ(χ) και φ(χ) στη καθολική λογική είναι ισοδύναμο με το Χ. φ(χ), γιατί να μη μπορούμε να δηλώσουμε την ύπαρξη οντοτήτων στην καθολική λογική μέσω της άρνησης; Παράδειγμα: Πως μπορούμε να πούμε ότι κάποιος αγαπάει το Μιχάλη μισει(χ,υ) αγαπαει(χ,υ) μισει(χ, Μιχαλη) Page 26 Τι θέλουμενα πούμε: Χ. μισει(χ, Μιχαλης) Τι έχουμε δηλώσει: Χ. μισει(χ, Μιχαλης) Αυτό λέει ότι κανένας δεν μισεί το Μιχάλη, δηλαδή ότι όλοι τον αγαπούν. Στην Καθολική Λογική οι ποσοδείκτες δεν δίνονται άμεσα και επομένως σε αυτούς δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την άρνηση. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Υπαρξιακοί Ποσοδείκτες και Συναρτήσεις Οι συναρτήσεις μπορούν να αντικατασταθούν από υπαρξιακούς ποσοδείκτες Page 27 αγαπαει(χ, f(x)) Υ. αγαπαει(χ,υ) Οι υπαρξιακοί ποσοδείκτες μπορούν να αντικατασταθούν από συναρτήσεις Υ. αγαπαει(χ,υ) αγαπαει(χ, f(x)) Θεώρημα: Μια υπαρξιακή πρόταση είναι ικανοποιήσιμη αν και μόνο αν η αντίστοιχη συναρτησιακή πρόταση είναι ικανοποιήσιμη. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 28 Σημασιολογία στη Σχεσιακή Λογική ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Σημασιολογία στη Προτασιακή Λογική Page 29 Μια πρόταση είναι ταυτολογία αν και μόνο αν ικανοποιείται υπό οποιαδήποτε ερμηνεία. Μια πρόταση είναι ικανοποιήσιμη αν και μόνο αν υπάρχει ερμηνεία που την ικανοποιεί. Μια πρόταση είναι μη-ικανοποιήσιμη αν και μόνο αν δεν υπάρχει ερμηνεία που να την ικανοποιεί. Από ενα σύνολο υποθέσεων Δ συνεπάγεται λογικά το συμπέρασμα φ αν και μόνο αν κάθε ερμηνεία που ικανοποιεί τις υποθέσεις ικανοποιεί και το συμπέρασμα. Μια επμηνεία στην προτασιακή λογική είναι μια απεικόνιση από προτασιακές σταθερές στις τιμές αληθείας Τ, F. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σημασιολογία στη Σχεσιακή Λογική Μια πρόταση είναι ταυτολογία αν και μόνο αν ικανοποιείται υπό οποιαδήποτε ερμηνεία. Μια πρόταση είναι ικανοποιήσιμη αν και μόνο αν υπάρχει ερμηνεία που την ικανοποιεί. Μια πρόταση είναι μη-ικανοποιήσιμη αν και μόνο αν δεν υπάρχει ερμηνεία που να την ικανοποιεί. Page 30 Από ενα σύνολο υποθέσεων Δ συνεπάγεται λογικά το συμπέρασμα φ αν και μόνο αν κάθε ερμηνεία που ικανοποιεί τις υποθέσεις ικανοποιεί και το συμπέρασμα. Ερώτηση: Τι είναι ερμηνεία στη σχεσιακή λογική; Δεν υπάρχουν προτασιακές σταθερές, αλλά σταθερές οντοτήτων, σχεσιακές σταθερές και συναρτησιακές σταθερές. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Δομή της Παρουσίασης Page 31 Εννοιολογική μορφοποίηση του σύμπαντος Μοντελοποίηση του σύμπαντος με βάση τα αντικείμενα και τις σχέσεις Μοντελοποίηση του σύμπαντος με τη μορφή γραφήματος Μοντελοποίηση του κόσμου με τη μορφή βάσης δεδομένων Σημασιολογία της Σχεσιακής Λογικής Ατομικές προτάσεις Λογικές-Σύνθετες προτάσεις Προτάσεις με ποσοδείκτες Γενικά σχόλια Οντολογικά θέματα Ο ρόλος της λογικής Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σύμπαν Page 32 Το σύμπαν είναι το σύνολο των αντικειμένων για τα οποία θέλουμενα δηλώσουμε κάτι. Πρωταρχικά αντικείμενα quark Σύνθετα αντικείμενα μηχανή, αυτοκίνητο Πραγματικά αντικείμενα Φανταστικά αντικείμενα ήλιος, Μιχάλης Sherlock Holmes Φυσικά αντικειμενα γή, ωκεανός Αφηρειμενα εντικείμενα δικαιοσύνη ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Κόσμος των κύβων Page 33 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σύμπαν Page 34 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Κύβοι Άλλα Σύμπαντα Page 35 Στοίβες Κομάτια Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σχέσεις Σχέση είναι ένα σύνολο από αντικείμενα ή σύνολο ν-άδων αντικειμένων που δηλώνουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα ή συσχέτιση. Page 36 Παραδείγματα: Καθαρό αληθεύει αν ενας κύβος δεν έχει κανένα κύβο από επάνω του Τραπέζι αληθεύει αν ένας κύβος ακουμπάει στο τραπέζι Επάνω αληθεύει για δύο κύβους όπου ένας κύβος είναι πάνω στον άλλο Απο_επάνω αληθεύει για δυο κύβους, αν ο ένας είναι κάπου πάνω από τον άλλο Απο_κάτω - αληθεύει για δυο κύβους, αν ο ένας είναι κάπου κάτω από τον άλλο Στοίβα αληθεύει για τρεις κύβους αν σχηματίζουν μια στοίβα. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Εννοιολογική μορφοποίηση με τη μορφή γραφημάτων Page 37 α δ β ε γ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Εννοιολογική μορφοποίηση με τη μορφή γραφημάτων Page 38 α επάνω επάνω β επάνω δ ε γ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Εννοιολογική μορφοποίηση με τη μορφή γραφημάτων Page 39 καθαρό α καθαρό δ επάνω επάνω β στοίβα τραπέζι επάνω ε τραπέζι γ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Εννοιολογική μορφοποίηση ως βάση δεδομένων Page 40 Μια βάση δεδομένων είναι ένα σύνολο από καλά καθορισμένες, ατομικές προτάσεις όπου όλα τα ορίσματα είναι σταθερές. {καθαρο(α), καθαρό(δ), τραπέζι(ε), τραπέζι(γ), επάνω(α,β), επάνω(β,γ), επάνω(δ,γ), στοίβα(α,δ,γ)} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Εννοιολογική μορφοποίηση ως βάση δεδομένων Μια βάση δεδομένων μπορεί να παρασταθεί και ως γράφημα, όπου κάθε πρόταση αντιστοιχεί και σε μια ακμή του γραφήματος. Page 41 καθαρό επάνω επάνω α β στοίβα καθαρό τραπέζι επάνω δ ε τραπέζι γ {καθαρο(α), καθαρο(δ), τραπεζι(ε), τραπεζι(γ), επανω(α,β), επανω(β,γ), επανω(δ,γ), στοιβα(α,δ,γ)} Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Δομή της Παρουσίασης Page 42 Εννοιολογική μορφοποίηση του σύμπαντος Μοντελοποίηση του σύμπαντος με βάση τα αντικείμενα και τις σχέσεις Μοντελοποίηση του σύμπαντος με τη μορφή γραφήματος Μοντελοποίηση του κόσμου με τη μορφή βάσης δεδομένων Σημασιολογία της Σχεσιακής Λογικής Ατομικές προτάσεις Λογικές προτάσεις Προτάσεις με ποσοδείκτες Γενικά σχόλια Οντολογικά θέματα Ο ρόλος της λογικής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Γραφήματα/βάσεις δεδομένων ως Ερμηνείες Page 43 Ορίζουμε μια ερμηνεία ως ένα γράφημα με εττικέτες, ή ως μια βάση δεδομένων που αντιστοιχεί στο γράφημα αυτό. Για πολλούς είναι ευκολότερο να θεωρούν την ερμηνεία ως γράφημα. Η σημασιολογία είναι απλούστερη όταν ορίζεται ως μια βάση δεδομένων Πάντως και οι δύο θεωρήσεις είναι ισοδύναμες. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Στιγμιότυπα Στιγμιότυπο μιας πρότασης που δεν περιέχει συναρτήσεις, σε σχέση με μια ερμηνεία, είναι μια πρόταση που προκύπτει από τη συνεπή αντικατάσταση κάθε ελεύθερης μεταβλητής με την εττικέτα ενός κόμβου του γραφήματος. Page 44 π(α,β) τ(α,β,γ) π(α,α) τ(α,β,γ) Σημειώστε ότι δεν αντικαθιστούμε μεταβλητές που είναι προσδιορισμένες. Α. Β. Π(Χ,Α,Β) Α. Β. Π(α,Α,Β) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ατομικές Προτάσεις Page 45 Μια καθορισμένη ατομική πρόταση είναι αληθής υπό μια ερμηνεία αν και μόνο αν η πρόταση αυτή είναι μέλος της βάσης δεδομένων. Ερμηνεία/βάση δεδομένων {καθαρο(α), καθαρο(δ), τραπεζι(ε), τραπεζι(γ), επανω(α,β), επανω(β,γ), επανω(δ,γ), στοιβα(α,δ,γ)} Αληθές Ψευδες Καθαρο(α) καθαρό(β) Καθαρό(δ) καθαρό(γ) καθαρό(ε) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Λογικές προτάσεις Page 46 Μια άρνηση είναι αληθής αν και μόνο αν ο στόχος της άρνησης είναι ψευδής Μια σύζευξη είναι αληθής αν και μόνο αν κάθε όρος της σύζευξης είναι αληθής Μια διάζευξη είναι αληθής αν και μόνο αν κάποιος όρος της διάζευξης είναι αληθής. Μια συνεπαγωγή είναι αληθής αν και μόνο αν η υπόθεση είναι ψευδής ή το συμπέρασμα είναι αληθές. Μια ισοδυναμία είναι αληθής αν και μόνο αν και οι δύο όροι της ισοδυναμίας έχουν την ίδια τιμή αληθείας. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Προτάσεις με ποσοδείκτες Μια καθολικά προσδιορισμένη πρόταση είναι αληθής αν και μόνο αν κάθε στιγμιότυπό της είναι αληθές. Μια υπαρξιακά προσδιορισμένη πρόταση είναι αληθής αν και μόνο αν υπάρχει ένα στιγμιότυπο της που είναι αληθές. Page 47 Ερμηνεία/βάση δεδομένων {καθαρο(α), καθαρο(δ), τραπεζι(ε), τραπεζι(γ), επανω(α,β), επανω(β,γ), επανω(δ,γ), στοιβα(α,δ,γ)} Αληθές Ψευδές Χ. (επάνω(χ,υ) επάνω(υ,χ)) Χ επάνω(χ,υ) Χ. καθαρό(χ) Χ. τραπέζι(χ) καθαρό(χ) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ανοικτές Προτάσεις Οι παραπάνω ορισμοί εφαρμόζονται σε κλειστές προτάσεις (δηλαδή σε προτάσεις δίχως ελεύθερες μεταβλητές) Page 48 Μια ερμηνεία αποτελεί μοντέλο μιας ανοικτής πρότασης αν και μόνο αν κάθε στιγμιότυπο της πρότασης αυτής ικανοποιείται σε σχέση με αυτή την ερμηνεία. Αληθές Ψευδές (επάνω(χ,υ) επάνω(υ,χ)) επάνω(χ,υ) Το παραπάνω απλώς δηλώνει ότι οι ελεύθερες μεταβλητές είναι προσδιορισμένες καθολικά ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Προσέξτε τα παρακάτω: Page 49 1. x.p(x) p(x) H πρόταση αυτή είναι Ταυτολογία. Είναι στιγμιότυπο του αξιώματος UI 2. p(x) x.p(x) H πρόταση αυτή είναι Ικανοποιήσιμη. Αυτό ίσως να σας ξαφνιάσει. Θυμηθείτε ότι για να είναι μια πρόταση ταυτολογία θα πρέπει να είναι αληθής υπό οποιαδήποτε ερμηνεία (όλες οι ερμηνείες είναι μοντέλα): Έστω το σύμπαν {0, 1} και μια ερμηνεία για το p τέτοια ώστε μόνο το p(0) να είναι αληθές. Τότε για x = 0 η συνθήκη είναι αληθής αλλά το συμπέρασμα της συνεπαγωγής ψευδές. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Συναρτήσεις Page 50 Μια συνάρτηση βαθμού ν θεωρείται ως μια (συνολοθεωρητική) σχέση που συσχετίζει κάθε συνδιασμό (ν-1)-αντικειμένων στο σύμπαν (καλούνται ορίσματα) με ένα αντικειμένο (καλείται η τιμή της συνάρτησης) Αριθμητικά παραδείγματα: Μοναδιαίες: sqrt, log Διμελείς: +,-,*,/ Άλλα Παραδείγματα Μοναδιαίες: πατέρας, μητέρα ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Συναρτήσεις Page 51 Οι συναρτήσεις μπορεί να είναι ολικές και μονότιμες μία και μόνο μια τιμή για κάθε συνδυασμό ορισμάτων Επιμέρους δεν ορίζονται για κάποιους συνδυασμούς ορισμάτων Πλειότιμες περισσότερες της μιας τιμής για κάθε συνδυασμό ορισμάτων Μιλάμε μόνο για ολικές και μονότιμες. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Συναρτήσεις και Βάσεις Δεδομένων Page 52 Μια συνάρτηση παρίσταται ως μια οποιαδήποτε άλλη σχέση. {αφεντικό( γιωργος, γιωργος), αφεντικο(νίκος, γιώργος)} Όμως για να φαίνεται ότι μιλάμε για συναρτήσεις, τις γράφουμε με τη μορφή ισότητας. {αφεντικό( γιωργος)= γιωργος, αφεντικο(νίκος)= γιώργος } ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Στιγμιότυπα (τελική έκδοση) Page 53 Το στιγμιότυπο μιας πρότασης υπό μια ερμηνεία είναι μια πρόταση που προκύπτει αν (α) αντικαταστήσουμε κάθε ελεύθερη μεταβλητή με την εττικέτα ενός κόμβου από το γράφημα (την ερμηνεία) με συνέπεια (β) αντικαταστήσουμε κάθε καθορισμένο συναρτησιακό όρο με την τιμή του υπό την ερμηνεία αυτή. Ερμηνεία {αφεντικό( γιωργος)= γιωργος, αφεντικο(νίκος)= γιώργος } Παράδειγμα π(χ,αφεντικό(χ)) π(νικος, αφεντικό(νικος)) π(νικος, γιωργος) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σημείωση Page 54 Ο ορισμός μιας ερμηνείας που δίνεται εδώ δεν είναι ίδιος με αυτόν που δίνεται σε βιβλία λογικής. Όμως είναι ισοδύναμος σε σχέση με τα αποτελέσματα που παράγει. Επίσης, είναι σημαντικά απλούστερος από αυτούς τους ορισμούς και περισσότερο διαισθητικός για ανθρώπους που ενδιαφέρονται να δημιουργήσουν υπολογιστικά συστήματα. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Δομή της Παρουσίασης Εννοιολογική μορφοποίηση του σύμπαντος Μοντελοποίηση του σύμπαντος με βάση τα αντικείμενα και τις σχέσεις Μοντελοποίηση του σύμπαντος με τη μορφή γραφήματος Μοντελοποίηση του κόσμου με τη μορφή βάσης δεδομένων Page 55 Σημασιολογία της Σχεσιακής Λογικής Ατομικές προτάσεις Λογικές προτάσεις Προτάσεις με ποσοδείκτες Γενικά σχόλια Οντολογικά θέματα Ο ρόλος της λογικής Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Κύβοι Οντολογικά θέματα Page 56 Στοίβες Κομάτια ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Εννοιολογική Μορφοποίηση Page 57 κόκκινο επάνω µπλέ επάνω α β κόκκινο πράσινο επάνω δ ε πράσινο γ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αναγωγή Page 58 α χρώµα κόκκινο χρώµα δ επάνω β χρώµα µπλέ επάνω επάνω γ χρώµα πράσινο χρώµα ε ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Αναγωγή Page 59 επανω(α,β) επανω(α,β) επανω(β,γ) επανω(β,γ) επανω(δ,ε) επανω(δ,ε) κοκκινο(α) χρώμα(α,κοκκινο) κοκκινο(δ) χρώμα(δ,κοκκινο) μπλε(β) χρώμα(β,μπλε) πρασινο(γ) χρώμα(γ,πρασινο) πρασινο(ε) χρώμα(ε,πρασινο) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αναγωγή Page 60 επανω(α,β) ιδιότητα(επανω, α,β) επανω(β,γ) ιδιότητα(επανω, β,γ) επανω(δ,ε) ιδιότητα(επανω, δ,ε) κοκκινο(α) ιδιότητα( χρώμα, α,κοκκινο) κοκκινο(δ) ιδιότητα( χρώμα, δ,κοκκινο) μπλε(β) ιδιότητα( χρώμα, β,μπλε) πρασινο(γ) ιδιότητα( χρώμα, γ,πρασινο) πρασινο(ε) ιδιότητα( χρώμα, ε,πρασινο) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ρόλος της Λογικής Μη πλήρης Πληροφορία Ο κύβος α είναι πάνω στον κύβο β ή πάνω από τον κύβο γ Ο κύβος α δεν είναι πάνω στο κύβο β Page 61 Ακεραιότητα Ένας κύβος δεν είναι πάνω από τον εαυτό του Ενας κύβος μπορεί να είναι πάνω από ένα άλλο κύβο το πολύ Ορισμοί Ενας κύβος είναι κάτω από κάποιον άλλο αν ο δεύτερος είναι πάνω στον πρώτο Ένας κύβος είναι καθαρός αν δεν υπάρχει άλλος κύβος από πάνω του Ένας κύβος βρίσκεται πανω από το τραπέζι αν δεν υπάρχει άλλος κύβος κάτω από αυτόν. Γεώργιος Βούρος