ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΒΟΥΣΑΝΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ Έκδοση: Δ /2012 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ (Αυτά που ήδη γνωρίζετε!) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (y=f(x)) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (2x+5y=12, ) ΠΙΝΑΚΕΣ-ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ( 1 0 0 1 ) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ( dy ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ( xdx) dx =, y x =) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΣΕ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (συνάρτηση κόστους, ισορροπία προσφοράς-ζήτησης, μέγιστο κέρδος, ) 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΥΠΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ 2 ΩΡΕΣ ΘΕΩΡΙΑ (ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΩΝ) 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ) Είναι απαραίτητο να λύνετε στο τετράδιό σας για να συνηθίζετε τις πράξεις!!! 4 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΟΥ ΘΑ ΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρέπει: να γνωρίζουμε πως θα αντιμετωπίσουμε την άσκηση που έχουμε να λύσουμε (θεωρία που θα χρησιμοποιήσουμε, μέθοδο) Να κάνουμε σωστές πράξεις και να φτάσουμε στη λύση (εξάσκηση!) Να εξετάσουμε αν η λύση είναι αποδεκτή (έλεγχος των μαθηματικών πράξεων-οικονομική σημασία της λύσης) Θα χρειαστούμε υπολογιστή τσέπης για τις πράξεις: Επιστημονικό (θα σας είναι απαραίτητο και σε άλλα μαθήματα) 5 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΠΛΑΤΦΟΡΜΑ eclass https://eclass2.teicrete.gr/ Περιλαμβάνει: Διαφάνειες διδασκαλίας Άλυτες Ασκήσεις ΔΕΝ ΑΝΤΙΚΑΘΙΣΤΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ!!! 6 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (1) Συμβολισμοί Συναρτήσεις Αριθμοί Κλάσματα Δεκαδικοί Ποσοστά Στρογγυλοποίηση Πράξεις Ύψωση σε δύναμη (εκθέτες-ρίζες) 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Συμβολισμοί-Συναρτήσεις «Άγνωστοι»: x, y, z, a, b, c, Σχέσεις: Για τον υπολογισμό του εμβαδού της αίθουσας γνωρίζουμε ότι αν είναι «παραλληλόγραμμο» ισχύει: ΕΜΒΑΔΟ ΑΙΘΟΥΣΑΣ=ΜΗΚΟΣ Χ ΠΛΑΤΟΣ «πιο μαθηματικά»: Ε=Μ Χ Π όπου έχουμε «συμβολισμούς»: Ε: Εμβαδό, Μ: Μήκος, Π: Πλάτος ΟΓΚΟΣ ΑΙΘΟΥΣΑΣ? Ο=Μ Χ Π Χ Υ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ: Επιχείρηση παράγει ένα προϊόν σε Ποσότητα Q και το πουλάει σε τιμή P, επομένως τα Έσοδα (REVENUE) από τις πωλήσεις είναι: R=Q X P =Q P=QP Από την παραπάνω σχέση μπορούμε να γράψουμε την συνάρτηση εσόδων R(Q)=QP ή R(P)=QP Δηλ. τα έσοδα ως προς Q, R(Q) ή τα έσοδα ως προς P, R(P) 8 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Αριθμοί Φυσικοί: 1,2,3,4, Ακέραιοι:,-3,-2,-1,0,1,2,3, Ρητοί: 1.5=3/2, 1/3=0,33333 διαίρεση 2 ακεραίων Άρρητοι: 2 = 1,414, π=3.14, e=2,7182818284590452353 R Πραγματικοί: όλοι οι παραπάνω, απεικονίζονται στην ευθεία των πραγματικών αριθμών Σε οικονομικά προβλήματα Υπάρχουν ιδιαιτερότητες: Π.χ. ποσότητα παραγωγής Q>0, Τιμή P>0, 9 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Κλάσματα-Δεκαδικοί ¾= 3, 15 = 3 5 = 3, 240 4 20 4 5 4 150 =24 10 15 10 =24 15 =3 8 3 5 =8 240 ή απευθείας: 5 150 =30 8 30 5 =8 απλοποίηση 5 Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή ενός κλάσματος με οποιοδήποτε αριθμό Χ 0 Πράξεις κλασμάτων: Α ± C = A D±C B για την πρόσθεση ή αφαίρεση κλασμάτων τα κάνουμε ομώνυμα (με ίδιο παρονομαστή) Β D B D Πολλαπλασιασμός: Α C = Α C Α Διαίρεση: Β Β D B D C 0 D = A D B C = 0, X = δεν οριζεται(αδύνατο) X 0 5/4= 5 = 4+1 = 4 + 1 = 1 + 1 = 1 1 (διαβάζουμε: πέντε τέταρτα είναι ίσο με ένα και ένα τέταρτο!) 4 4 4 4 4 4 Δεκαδικοί 5/4=1.25, γιατί: 5/4=1 1 = 1 1 25 = 1 25 = 1.25 (ένα και 25 εκατοστά ) 4 4 25 100 Ή ενναλακτικά 1.25 = 1 + 2 + 5 δηλ. ένα και 2 δέκατα (της μονάδας) και 5 εκατοστά (της μονάδας) 10 100 Άρα 0.7=7/10, 0.03=3/100, 0.15=15/100, 0.243=243/1000, 12.0045=12 45 10000 Ουσιαστικά η γραφή των δεκαδικών αριθμών είναι «μετατροπή» του κλασματικού μέρους σε κλάσμα με παρονομαστή που είναι δύναμη του 10: 10,100,1000,10000,100000, 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Στρογγυλοποίηση Για να υπολογίσουμε τον δεκαδικό που αντιστοιχεί σε ένα κλάσμα διαιρούμε αριθμητή με παρονομαστή ½=0.5, 3/10=0.3, 125/20=6.25, κ.λ.π. 3/7= 3 =0,42857142 με 8 δεκαδικά ψηφία! (υπάρχουν περισσότερα ψηφία) 7 Για πρακτικούς λόγους, αν θέλουμε να γράψουμε το δεκαδικό 3/7 με μόνο 2 δεκαδικά ψηφία επειδή το 3 ο δεκαδικό ψηφίο είναι 8>5 θα έχουμε 3/7=0,43 ενώ με 5 δεκαδικά ψηφία θα έχουμε 3/7=0.42857 γιατί το 6 ο ψηφίο είναι 1<5 Στη «στρογγυλοποίηση» θεωρούμε ότι τα ψηφία ενός δεκαδικού πέρα από κάποιο «μη σημαντικά» για λόγους ευκολίας στις πράξεις (γιατί η διαφορά του στρογγυλευμένου από τον πραγματικό αριθμό είναι μικρή!!!). π=3.141592653589793 π=3.14 με 2 δεκαδικά, π=3.1416 με 4 δεκαδικά, π=3.1415926536 με 10 δεκαδικά 11 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Ποσοστά Πολλαπλασιάζοντας οποιοδήποτε αριθμό με 100 τον μετατρέπουμε σε ποσοστό επί τοις εκατό (%). 1: 1*100=100%, 3.5: 3.5*100=350%, 0.7: 0.7*100=70%, 0.06: 0.06*100=6%, 0.001: 0.001*100=0.1%, κλπ Για δεκαδικούς αριθμούς το ποσοστό επί τοις εκατό προκύπτει με «μετατόπιση» της υποδιαστολής κατά 2 θέσεις: 3.57: 3.57*100=357% 1.245: 1.245*100=124.5% 2=2.00 άρα 200%, 7.7=7.70 άρα 770% 0.12345 άρα 12.345% 0.005567 άρα 0.5567% 0.0385 άρα 3.85% 12 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Πράξεις a+b, a-b, a*b, a/b, a b Αντιμεταθετική: a+b=b+a, a*b=b*a Προσεταιριστική: (a+b)+c=a+(b+c), (a*b)*c=a*(b*c) Σειρά πράξεων σε μαθηματική παράσταση: Παρενθέσεις εκθέτες διαίρεση-πολλαπλασιασμός πρόσθεσηαφαίρεση 2*3 2 -(1+2*2 2 ) 2 /3= 2*9-(1+2*4) 2 /3=18-9 2 /3=18-81/3=18-27=-9 2*3-5=6-5=1 ενώ 2*(3-5)=2*(-2)=-4 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Ύψωση σε δύναμη (εκθέτες-ρίζες) 2 5 =2*2*2*2*2=32 a b =a*a*a* a b φορές Ιδιότητες: a (b+c) =a b *a c δηλ. 2 5 =2 (3+2) =2 3 * 2 2 =8*4=32 (α β ) γ = α β γ δηλ 2 32 = 2 3 2 =2 6 =2*2 5 =2*32=64 a -b =(1/a) b =1/a b δηλ. 2-5 =1/2 5 =1/32 a b /a c =a (b-c) δηλ. 2 8 /2 3 =2 (8-3) = 2 5 =32 και επίσης ½=1/2 1 =2 0 /2 1 =2 (0-1) =2-1 γενικότερα 1/α=α -1 (αντίστροφος του α) Ορισμός: α 0 =1 14 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Ύψωση σε δύναμη (εκθέτες-ρίζες) Ρίζες α n m = m a n π.χ. 2 1 2 = 2 2 1 = 2=1.414, 3 5 2 = 2 3 5 = 3 5 = 343=15.59 5 0.2 = 5 1 5 = 5 5=1.3797 m a b = m a m b παράδειγμα: 3 8000 = 3 8 1000 = 3 8 3 1000 = 3 2 3 3 10 3 = 2 10 = 20 ισχύει 20*20*20=400*20=8000 επομένως 20 3 =8000 ΠΡΟΣΟΧΗ:( 27) 1 3= 3 27 = 3 3 3 ( 3) = 3 ( 3) 3 = 3 x 4 =16 => x=2 γιατί 2 4 =16 αλλά και x=-2 γιατί (-2) 4 =16 επίσης (2 λύσεις) Αν ο εκθέτης είναι περιττός έχουμε x 3 =8 => x=2 γιατί 2 3 =8 ενώ (-2) 3 =-8 15 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (2) Πολυώνυμα Παραγοντοποίηση Ανισότητες Τελεστές Άθροισης-Πολλαπλασιασμού Ακολουθίες (Αριθμητικές-Γεωμετρικές πρόοδοι) Γραφήματα 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Πολυώνυμα (1) Μια παράσταση (μαθηματική) της μορφής: ax 3 +bx 2 +cx+d ονομάζεται πολυώνυμο του x (x είναι μαθηματική μεταβλητή!) Η έκφραση ax n ονομάζεται μονώνυμο, a ο συντελεστής της μεταβλητής x Η «τάξη-βαθμός» του πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης της μεταβλητής (x: 1 ου βαθμού, x 2 : 2 ου βαθμού, x 3 : 3 ου βαθμού, κλπ) Τα γράφουμε με φθίνουσα σειρά τάξης και απλοποιημένα (κάνουμε τις πράξεις στους όρους ίδιας τάξης): x+5x 2 +7x 3 +4+3x 2 +4x 4-5x 2-12=4x 4 +7x 3 +8x 2 +x-12 Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί δύναμη του x: 5=5x 0 =5*1=5 γιατί a 0 =1 (ορισμός) Στις εφαρμογές μας ενδιαφέρουν ιδιαίτερα οι ρίζες ενός πολυωνύμου (=για ποια ή ποιες τιμές της μεταβλητής γίνονται 0) Γνωρίζουμε γενικά ότι οι ρίζες ενός πολυωνύμου είναι ανάλογες με την τάξη του π.χ. στο πολυώνυμο 3x+1=0 έχουμε: 3x+1=0 => 3x=-1 => x=-1/3 ενώ x 2-9=0 => x 2 =9 => x=-3 ή x=3 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Πολυώνυμα (2) Κανόνες πολυωνύμων: (x+y) 2 =x 2 +y 2 +2xy (τετράγωνο αθροίσματος) (x-y) 2 =x 2 +y 2-2xy (τετράγωνο διαφοράς) x 2 -y 2 =(x+y)(x-y) (διαφορά τετραγώνων) Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα παραπάνω για μεγαλύτερες δυνάμεις (x-y) 3 = (x-y)(x-y) 2 = (x-y)(x 2 +y 2-2xy) 18 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Παραγοντοποίηση Αν ένα πολυώνυμο μπορούμε να το γράψουμε σαν γινόμενο 2 άλλων πολυωνύμων, αυτά ονομάζονται παράγοντες και η εύρεσή τους παραγοντοποίηση. Παράδειγμα: 2x 3-8x 4-12x= (2x)(x 2 )-(2x)(4x 3 )-(2x)6=2x(x 2-4x 3-6) Αλλά επίσης 8=2*4 επομένως το 2 και 4 είναι παράγοντες του 8 αν έχουμε περισσότερες μεταβλητές επίσης μπορούμε να πaραγοντοποιήσουμε: xy 2 +xyz=xy(y+z) 19 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Ανισότητες a>b, a<b, a b, a b : μεγαλύτερο, μικρότερο, μικρότερο ίσο, μεγαλύτερο ίσο Πρόσθεση-αφαίρεση: a>b => a±c>b±c (μπορούμε να προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε οποιοδήποτε αριθμό σε ανισότητα) Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση: Θετικός αριθμός c: a>b => a*c>b*c αν c>0 (δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας) Αρνητικός αριθμός c: a>b => a*c<b*c αν c<0 (αλλάζει η φορά της ανισότητας) Παράδειγμα: 4x+6>8x-2 => 4x+6-4x>8x-2-4x => 6>4x-2 => 6+2>4x-2+2 => 8>4x => 8/4>4x/4 =>2>x => x<2 20 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Τελεστές Άθροισης-Πολλαπλασιασμού Αν θέλουμε να γράψουμε το άθροισμα των αριθμών 1,2,3,4,,7,8 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό: 8 i=1 i, i = 1,2,..., 8 σαν συντομογραφία του αθροίσματος (το Σ χρησιμοποιείται διεθνώς από το SUM=άθροισμα) Αντίστοιχα για τον πολλαπλασιασμό το γινόμενο των 1,2,3,4,,7,8 γράφετε: 8 k=1 k, k=1,2,,8 το k είναι δείκτης και μπορεί να είναι οποιοδήποτε μικρό γράμμα: i,j,k,l,m, Αν ορίσουμε x i =2,5,8,11,14,17,23,32,45 Το άθροισμα των τετραγώνων των παραπάνω αριθμών θα γραφεί: 9 x 2 i, x i =2,5,8,11,14,17,23,32,45 i=1 21 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Ακολουθίες (Αριθμητικές-Γεωμετρικές πρόοδοι) Αν έχουμε την έκφραση: 3, 10, 17, 24, εννοούμε μια (ατελείωτη) σειρά αριθμών που ο επόμενος προκύπτει από τον προηγούμενο προσθέτοντας 7. Την ονομάζουμε ακολουθία και επειδή η διαφορά επόμενου με προηγούμενο όρο της ακολουθίας είναι σταθερός αριθμός Αριθμητική Πρόοδο. Αν έχουμε την έκφραση: 2, 4, 8, 16, εννοούμε μια (ατελείωτη) σειρά αριθμών που ο επόμενος προκύπτει από τον προηγούμενο πολλαπλασιάζοντας με το 2. Την ονομάζουμε ακολουθία και επειδή το πηλίκο επόμενου με προηγούμενο όρο της ακολουθίας είναι σταθερό Γεωμετρική Πρόοδο. Εφαρμογές στα οικονομικά μαθηματικά (Β εξάμηνο!) 22 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Γραφήματα (στο επίπεδο) Υ άξονας ΚΑΘΕΤΟΣ 3 Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ΘΕΤΙΚΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ:+, Υ:+) 2 Τεταγμένη Υ (Χ=3, Υ=2) Αρχή αξόνων Χ=0, Υ=0 1 Τετμημένη Χ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ:-, Υ:-) 23 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 1 2 3 4 5 Χ άξονας ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΣ
Γράφημα ευθείας από 2 σημεία Υ άξονας ΚΑΘΕΤΟΣ Σχεδιάστε την ευθεία που ορίζεται από τα σημεία (3,2) και (1,1) 3 2 (Χ=3, Υ=2) 1 (Χ=1, Υ=1) 1 2 3 4 5 Χ άξονας ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΣ 24 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Επειδή γνωρίζουμε ότι 10*10=100 => 10 2 =100 δηλ. δέκα στη δύναμη δύο είναι ίσο με εκατό: το 2 είναι ο λογάριθμος του 100 με βάση το 10 Άρα λογάριθμος αριθμού a με βάση αριθμό b είναι ο αριθμός x για τον οποίο ισχύει: b x =a γράφουμε log b a=x (είναι ο εκθέτης στον οποίο θα υψώσουμε τη βάση για να πάρουμε τον αριθμό ) Επομένως επειδή 2 4 =16 => log 2 16=4, 1000=10 3 =>log 10 1000=3 Αν η βάση είναι το e=2.7183 τους ονομάζουμε φυσικούς λογάριθμους και συμβολίζουμε με ln: log e 100=ln(100)=ln100 Χρησιμοποιούμε πάντα λογαρίθμους με βάση το 10 ή e γιατί υπάρχουν αντίστοιχοι πίνακες και οι αριθμομηχανές (υπολογιστές τσέπης) μπορούν να υπολογίσουν αυτούς τους λογαρίθμους με βάση το 10 ή e Βασική σχέση: log a x= log bx log b a =log 10x log 10 a = log ex log e a = lnx lna π.χ. Log 5 100= log e100 log e 5 =ln100 ln5 =4.60517 1.60943 =2.86137 25 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
Ιδιότητες Λογαρίθμων log a x= lnx lna Log(xy)=Logx+logy και log(x/y)=logx-logy Logx n =n*logx Log a 1=0 Log a a=1 26 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΣΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ (1) Έστω κατάθεση ποσού 100 σε τράπεζα με επιτόκιο 8% το χρόνο. Σε πόσα χρόνια το ποσό θα διπλασιαστεί? Πρέπει να χειριστούμε τα δεδομένα «μαθηματικά» για να βρούμε την απάντηση (λύση!). Απλή προσέγγιση: Μετά από 1 χρόνο η κατάθεσή μας θα έχει γίνει: ποσό+τόκος=100+8%*100=100+100*8/100=100*0.08=100+8=108 Στον 2 ο χρόνο το ποσό μας αρχικά θα είναι 108 οπότε στο τέλος του 2 ου χρόνου η κατάθεσή μας θα έχει γίνει: ποσό+τόκος=108+8%*108=108+108*0.08=108+8.64=116.64 Στον 3 ο χρόνο το ποσό μας αρχικά θα είναι 116.64 οπότε στο τέλος του 3 ου χρόνου η κατάθεσή μας θα έχει γίνει: ποσό+τόκος=116.64+8%*116.64==125.9712=125.97 Συνεχίζοντας για 4 ο, 5 ο, κάποια στιγμή το ποσό μας θα γίνει >200 οπότε θα έχουμε βρει τη λύση!!! ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΌΜΩΣ ΝΑ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΟΥΜΕ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΙΟ ΜΕΘΟΔΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗ ΛΥΣΗ ΜΕ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΠΙΟ ΓΡΗΓΟΡΑ!!! 27 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΣΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ (2) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΥΣΗ Χρήση συμβολισμών: Κ το ποσό και επειδή κάθε χρόνο αυξάνει χρησιμοποιούμε δείκτη το χρόνο t επομένως Κ 0 =100 το αρχικό ποσό και Κ t η κατάθεση (το ποσό) στο χρόνο t, επίσης χρησιμοποιούμε το i=8% (interest=επιτόκιο κατάθεσης) Επομένως μαθηματικά οι υπολογισμοί είναι 1 ος χρόνος Κ 1 =Κ 0 +Κ 0 *i=100+100*8%=108 2 ος χρόνος Κ 2 =Κ 1 +Κ 1 *i=108+108*8%=116.64 Παρατηρούμε ότι ισχύει Κ 2 =Κ 1 +Κ 1 *i= Κ 1 *(1+i) και επειδή Κ 1 =Κ 0 +Κ 0 *i=κ 0 *(1+i) «συνδυάζοντας» τις 2 σχέσεις προκύπτει: Κ 2 =Κ 0 *(1+i)*(1+i)=Κ 0 (1+i) 2 δηλ. μπορούμε να υπολογίσουμε το Κ 2 απευθείας από το Κ 0 και i Με μαθηματική επαγωγή ισχύει K t =K 0 (1+i) t Αν θυμηθούμε το ζητούμε είναι να βρούμε το t* ώστε η κατάθεσή μας K t* να είναι διπλάσια της αρχικής K 0 δηλ. ζητάμε μαθηματικά το t* ώστε: K t* =K 0 (1+i) t* =2K 0 => 100 (1+0.08) t* =2*100 => (1+0.08) t* =2 αυτό είναι μια εξίσωση με 1 άγνωστο και επομένως μαθηματικά πρέπει να ξέρουμε τον τρόπο επίλυσης!!! Επειδή όμως ο άγνωστος t* είναι στον εκθέτη είναι ειδική περίπτωση! (γνωρίζουμε από το γυμνάσιο ότι αν a*x=b => x=b/a) πως θα μετατρέψουμε την εξίσωσή μας σε αυτή την απλή μορφή (a*x=b)? ΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΑΓΝΩΣΤΟ ΣΕ ΕΚΘΕΤΗ ΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΜΕ ΤΑ ΔΥΟ ΜΕΛΗ 28 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΣΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ (3) Έχουμε (1.08) t* =2 => log(1.08) t* =log2 => ln(1.08) t* = ln2 => t* ln(1.08)=ln2 => t*=ln2/ln(1.08)=0.6931/0.0769=9.013 χρόνια Άλλες ερωτήσεις: Είναι το αποτέλεσμα σωστό? Σε πόσα χρόνια το ποσό θα τριπλασιαστεί? Σε πόσα χρόνια θα γίνει 180? 29 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΕΞΑΣΚΗΣΗ lnx 2 +lnx=9 log10 2x =log4 lnx 5 +2lnx=4 27000 1/3 = 30 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr