Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 3 Μαρτίου 4 Εισαγωγή Ο δρόµος της ϑεωρίας της ολοκλήρωσης ξεκινά απο τον Αρχιµήδη, αλλά η πραγµατική ιστορία αρχίζει απο τον Newton και Leibniz. Το ολοκλήρωµα του Newton έχει σχέση µε την αντιπαραγώγιση. ηλαδή : Αν F : [, b] R και F = f, [, b], λέµε ότι η διαφορά F F b είναι το ορισµένο ολοκλήρωµα Newton της f στο διάστηµα [, b]: F b F = Νοµίζω ότι είναι µια κορυφαία στιγµή των µαθηµατικών η ανακάλυψη του Newton, γιατί ; Μας δείχνει την µέθοδο, µαζί µε το ϑεώρηµα του Stokes, πως να µεταβαίνουµε απο το µέρος στο όλο και αντίστροφα. Πολλοί συγγραφείς αναφέρουν την συνάρτηση F σαν το αόριστο ολοκλήρωµα Newton της f. Εδώ αξίζει να παρατηρήσουµε µια ψυχολογική στάση που αφορά την προτίµηση του ορισµού του Newton παρά του Leibniz σαν άπειρο άθροισµα κάποιων απειροστών µεγεθών : ίσως στο µυαλό µας η παράγωγος είναι πιο στέρεα έννοια απο αυτήν του απείρου αθροίσµατος. υστυχώς όµως οι περισσότερες συναρτήσεις δεν είναι ολοκληρώσιµες κατα Newton. Εµπλουτισµένη η ϑεωρία µας απο τους µεγάλους δασκάλους, την οικογένεια Bernoulli και τον Euler, αρχίζει την νεότερη περιπλάνησή της ϐασικά απο τον Cuchy 789-857. Την ϑεωρία του Cuchy ολοκληρώνει ο Riemnn 86-866. Πρόκειται για αυτό που σήµερα αποκαλούµε όλοι ολοκλήρωση κατά Riemnn. Το ολοκλήρωµα αυτό c:\eduction\ C lycee \module\ 3.-3-4-5\integrl.te Οι µαθηµατικοί στην αρχαία Ελλάδα δεν ορίζαν τα εµβαδά σαν αριθµούς πραγµατικούς, αλλά τα προσδιόριζαν απο τις σχέσεις τους µε άλλες ποσότητες. Για παράδειγµα, η σχέση του εµβαδού του παραβολικού χωρίου µε το εµβαδόν του αντιστοίχου τριγώνου. b f

έχει ένα µεγάλο προτέρηµα γιατί ϐασίζεται στην διαίσθηση και έχει απλά και ακριβή αποτελέσµατα ιδίως σε µη καθαρά µαθηµατικούς τοµείς. Παρα τα προτερήµατά του το ολοκλήρωµα Riemnn έχει πολλούς περιορισµούς, για παράδειγµα : είναι γνωστό ότι κάθε συνάρτηση ολοκληρώσιµη κατα Riemnn, είναι αναγκαστικά ϕραγµένη. Αν και υπάρχουν µη-ϕραγµένες συναρτήσεις οι οποίες είναι Riemnn ολοκληρώσιµες, η πλειονότητα των συναρτήσεων δεν είναι ολοκληρώσιµες ούτε κατα Newton ούτε κατα Riemnn. Οκτω χρόνια αργότερα ο Lebesgue 875-94, έδωσε έναν άλλο ορισµό του ολοκληρώµατος που είναι γνωστός µε το όνοµά του και τέτοιος ώστε να διευρύνει το πλήθος των ολοκληρωσίµων συναρτήσεων. Ο ορισµός ϕαίνεται να είναι ακριβής για σχεδόν όλους τους χρήστες ϕυσικούς κ.λ.π., αλλά περισσότερο για τους µαθηµατικούς, αν και οι τελευταίοι ϐρήκαν συναρτήσεις που δεν είναι ολοκληρώσιµες κατα Lebesque! Φρόντισε γι αυτό πρώτος και καλύτερος ο ίδιος ο Lebesque. Το ϑέµα δεν έχει οριστικά κλείσει... Υπάρχουν και άλλες προτάσεις που αφορούν την ολοκλήρωση συναρτήσεων εξίσου ισχυρές και γενικευµένες... οι οποίες µας ελκύουν ιδιαίτερα. Η έννοια της αρχικής συνάρτησης Ορισµός. Εστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. αρχική συνάρτηση ή παράγουσα συνάρτηση της f στο, ονοµάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει F = f, Θεώρηµα. Εστω f συνάρτηση ορισµένη σ ενα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε : όλες οι συναρτήσεις της µορφής G = F + c είναι παράγουσες της f στο. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο παίρνει τη µορφή G = F + c... Παρατηρήσεις. Η έννοια της αρχικής συνάρτησης ορίζεται σε διάστηµα και όχι σε ένωση διαστηµάτων. π.χ. Εστω f = και F = ln. Τότε Ω = ΠO f = ΠO F = =,, +. Επίσης Ω, F = f. Λέµε ότι η F = ln + c = ln + c, c R είναι η παράγουσα συνάρτηση της f στο, και ότι η F = ln + c, c R είναι η παράγουσα συνάρτηση της f στο, +. Οπως ϐλέπετε, η σταθερά µπορεί να µην είναι η ίδια σε κάθε διάστηµα. εν λέµε λοιπόν ότι η F είναι η παράγουσα συνάρτηση της f στο Ω.

. Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν έχουν παϱάγουσα συνάρτηση σ ενα διάστηµα : { 4 < f = 4 < < Τότε δεν υπάρχει F παράγουσα συνάρτηση στο =, της συνάρτησης f. 3. Υπάρχουν συναρτήσεις που ενώ δεν είναι συνεχείς έχουν παράγουσες σε ένα διάστηµα. Για παράδειγµα, ϑεωρείστε την συνάρτηση { ηµ f = συν,, = Ενώ δεν είναι συνεχής στο παρυσιάζει ασυνέχεια, εν τούτοις έχει παράγουσα στο R κάθε συνάρτηση της µορφής F + c, c R, όπου : F = { ηµ,, = Σχήµα : Συνάρτηση ηµ. 4. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστηµα έχει παράγουσα συνάρτηση στο διάστηµα αυτό.. Μερικές ιδιότητες και µέθοδοι ολοκλήρωσης Το ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f στο διάστηµα είναι σύνολο συναρτήσεων. παράγουσα συνάρτηση της f, F = f, τότε το αόριστο ολοκλήρωµα της f είναι : fd = {F + c/ c R}. Αν F είναι µια Ας σηµειώσουµε εδώ ότι : 3

Σχήµα : 3 + 4 + d = {..., f, f, f 3,... } α. f d = f + c, c R. ϐ. Συµβατικά : fd = f... Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Εστω α, β R. Τότε :. αfd = α. 3. fd f + g d = αf + βg d = α fd + gd fd + β gd.. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. fg d = fg f gd. f g g d = fudu, όπου u = g και du = g d. Παρατηρήσεις.. pe d = d p e = = p e p e d 4

. pηµd = = pσυν d = pσυν p συνd 3. Οµοίως το pσυνd 4. p lnd = q lnd, όπου q = p. Συνεχίζουµε µε τη µέθοδο ολοκλήρωσης. 5. e ηµbd= ηµbd e = συνεχίζω σύµφωνα µε τη µέθοδο ολοκλήρωσης έως ότου ϕθάσω στη µορφή h l e ηµbd Αρα, l + e ηµbd = h + c. 6. I := p q d. α Αν p = q. Τότε : I = ln q + c ϐ d o p < d o q. Τότε εκφράζουµε τον παρανοµαστή σε γινόµενο διακριτών πρωτοβαθ- µίων παραγόντων. Υπάρχουν όµως περιπτώσεις όπου αυτό είναι αδύνατο, π.χ. αν q := + + 3. Τέτοιες περιπτώσεις δεν ϑα αντιµετωπίσουµε το ελπίζουµε!. Αυτό όµως δεν είναι δεσµευτικό για την µέθοδο. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι q := + bc + d. Τότε µπορούµε να ϐρούµε A, B,... τέτοια ώστε : p q = A + b + B c + d +.... Συνεπώς : I := A ln + b + B ln c + d + + c. γ Αν p q. Τότε qπ + υ I = d q Στη συνέχεια το I µπορεί να υπολογισθεί όπως το ολοκλήρωµα στη περίπτωση β. 7. Ολοκληρώµατα ηµ ν d και συν ν d. 5

α Αν ν = ϱ, χρησιµοποιούµε τους τύπους : ηµ = συν ή ϐ Αν ν = ϱ +, τότε συν = + συν ηµ ϱ+ = ηµ ϱ ηµ συν ϱηµ = 8. Ολοκληρώµατα της µορφής ηµ ν συν κ d. Ανάλογα µε το αν τα ν και κ είναι άρτιοι ή περιττοί δουλεύουµε όπως προηγουµένως περίπτωση δ. 9. Ολοκληρώµατα της µορφής ηµσυνbd ηµηµbd συνσυνbd λύνονται ϐάσει των γνωστών τριγωνοµετρικών τύπων : ηµ συνb = ηµ + b + ηµ b συν συνb = συν + b + συν b ηµ ηµb = συν b συν + b. Μερικά ολοκληρώµατα υπολογίζονται ϐάσει ενός αναγωγικού τύπου. Αν ν N, τότε το ολοκλή- ϱωµα I ν δίδεται σαν µια συνάρτηση του ν και του I ν. Ο υπολογισµός τότε γίνεται µε τον ίδιο τρόπο που ϐρίσκαµε τον ν-οστό όρο προόδου απο τον αναδροµικό τύπο. 6

. Πίνακας Αορίστων Ολοκληρωµάτων d = c R d = + c d = ln + c f f d = ln f + c k d = k+ k + + c f k f d = f k+ k + + c συνd = ηµ + c συνf f d = ηµf + c ηµd = συν + c ηµf f d = συνf + c d = εφ + c συν συν f f d = εφf + c d = σφ + c ηµ ηµ f f d = σφf + c e d = e + c e f f d = e f + c d = ln + c f f d = f ln + c µε < µε < d = + c f f d = f + c [ f g + fg ] d = fg + c f g fg g d = f g + c Υπάρχουν ολοκληρώµατα τα οποία δεν µπορούν να υπολογισθούν γιατί δεν µπορούν να εκφρασθούν µε τις γνωστές µας συναρτήσεις, π.χ. d = Ei, ln ln e lnd = e ln Ei, lne + lne lne e d = Ei, lne όπου Ei, z = e z d γνωστό σαν το εκθετικό ολοκλήρωµα, για z C και Rz >. 7

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Σχήµα 3: Το ορισµένο ολοκλήρωµα Riemnn. Ορισµός. Εστω f συνεχής συνάρτηση στο [α, β]. Χωρίζουµε το διάστηµα σε ισοµήκη υποδιαστήµατα µε άκρα τα k, και µήκος = β α n, κοκ. Αν ξ k [ k, k ], το άθροισµα n S n = fξ k k= ονοµάζεται Riemnn άθροισµα και δίνει το άθροισµα των εµβαδών των ορθογωνίων στο σχή- µα 3. Το όριο του αθροίσµατος αυτού είναι το ορισµένο ολοκλήρωµα της f απο το α έως το β και πρακτικά είναι το εµβαδόν απο το α έως το β του χωρίου που περιλαµβάνεται απο το γράφηµα της συνάρτησης και τον άξονα. Συµβολικά γράφεται : n β α fd = lim n + k= fξ k Παράδειγµα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα της συνάρτησης f = στο [, 3]. Ας πάρουµε µια διαµέριση του [, 3]: = < < < k < k = 3 µε = 3 n =. Επιλέγουµε σαν ενδιάµεσα σηµεία τα δεξιά ακρα των διαστηµάτων : n [ ] [ [ k, k ] = α + k β α n, α + k β α n 8 = + ] k, + k n n

Αρα, ξ k = + k, k =,,..., n. n S n = n n k= + k, n =,,... n Είµαστε έτοιµοι τώρα να ϐρούµε το ορισµένο ολοκλήρωµα : 3 d = lim S n + n = lim + k + n n [ k= = lim n + n ] k + n n [ k= ] = lim + 4 nn + + n ] [ + + n = lim + = 4 Σχήµα 4: Το άθροισµα Riemnn της f =. 9

Παρατηρήσεις. Για τον υπολογισµό του ορισµένου ολοκληρώµατος χρησιµοποιούµε τις εξής µεθόδους :. Ολοκλήρωση κατα παράγουσες Για κάθε συνάρτηση παραγωγίσιµη f σε ένα διάστηµα, ισχύει b f d = fb f. Ολοκλήρωση κατα παράγοντες Αν f και g συνεχείς συναρτήσεις στο διάστηµα [, b], τότε : b fgd = fg b b f gd 3. Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση Αν f και g και είναι συνεχείς συναρτήσεις και u = g, du = g d, u = g και u = gb, τότε : b u f g g d = fudu u Ιδιότητες Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [, b], τότε :.. b fd = b fd = fd 3. Αν f, τότε b fd 4. 5. 6. b b cd = cb λfd = λ b b fd για κάθε λ R [ ] b λf + µg d = λ fd + b gd, λ, µ R 7. Αν η f είναι συνεχής σε διάστηµα και, b, c, τότε b fd = c fd + b c fd

Ασκήσεις. Να υπολογίσετε το b d. Υπόδειξη : ιαιρούµε το διάστηµα [, b] σε υποδιαστήµατα µήκους = b. Εστω τα σηµεία n =, =, =, 3 = 3,..., n = n, n = b Σχήµα 5: Το Τότε τα ορθογώνια έχουν εµβαδά αντίστοιχα : Το δε άθροισµα είναι : b d. f = f = f = f 3 = 3... f n = n S n = + + 3 + + n 3 3 nn n b = 6 n = b3 6 n n Άρα, b d = lim + S n = b3 6 = b3 3

Είναι χρήσιµο να γνωρίζουµε ότι + + 3 + + n = nn n 6

3 Η Συνάρτηση F = α ftdt Θεώρηµα 3. Αν f είναι µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα και σηµείο του διαστήµατος, τότε η συνάρτηση F = ftdt, είναι µια παράγουσα της f στο. ήλαδή ισχύει : ftdt = f, Με άλλα λόγια, ο ϱυθµός αύξησης του εµβαδού F είναι ίσως µε την τιµή της f στο. Παρατηρήσεις 3. Απο το παραπάνω ϑεώρηµα προκύπτει ότι :.. 3. 4. 5. 6. g ftdt = f g g ftdt = ftdt = ftdt + ftdt = ftdt = f f tdt ϑέτω t = u f tdt ϑέτω t = u ftdt = ftdt = f + f ftdt + f Παράδειγµα. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού και την παράγωγο της συνάρτησης F = t t dt. Λύση Η συνάρτηση ft = t t είναι συνεχής στο σύνολο D f =,,, +. Για να ορίζεται η F πρέπει και αρκεί τα άκρα ολοκλήρωσης, να ανήκουν στο ίδιο διάστηµα του πεδίου ορισµού της f. Επειδή το, πρέπει το,. Αρα, D F =, 3

, έχουµε F = Αν η συνάρτηση ήταν F = 3 t t dt =.. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού και την παράγωγο της F = t t dt, τότε το πεδίο ορισµού είναι D F =,. tdt. Λύση Θεωρούµε την συνάρτηση ft = t η οποία είναι συνεχής µε D f =, +. Για να ορίζεται η F πρέπει και να ανήκουν στο ίδιο διάστηµα του πεδίου ορισµού της f. Επειδή D f πρέπει D f ή [, + δηλαδή. Αρα, D f =, ] [, +. tdt = 3. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού και την παράγωγο της συνάρτησης F = e t t dt Λύση Η συνάρτηση ft = et t είναι συνεχής στο σύνολο D f =,, +. Το πεδίο ορισµού της g = είναι D g = R και της h = είναι D h =,, +. Αρα, ανήκει στο πεδίο ορισµού της F αν και µόνο αν α D g D h,, + και ϐ οι g και h ανήκουν στο πεδίο ορισµού της f. Εποµένως : < < < < ή > Αρα, D F =,, +. F = ή > > e t t dt = e + e < < < ή < ή > > 4

Ασκήσεις. Να ϐρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων. Στην πρώτη στήλη είναι η συνάρτηση και στη δέύτερη η απάντηση. g = g = g = g = g = g = g = g = + + t + dt g = + t + dt g = t + dt g = 4 + t + dt g = + + 4 + t + dt g = + + e t + dt g = e e + ηµ tdt g = ηµ tftdt g = 3 ufudu + f 5

4 Το ϑεµελειώδες Θεώρηµα του Ολοκληρωτικού Λογισµού Θεώρηµα 4. Εστω f είναι µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [, b]. G µια παράγουσα της f στο [, b] τότε : b ftdt = Gb G Ασκήσεις Ορισµένο Ολοκλήρωµα - Θεµελειώδες Θεώρηµα Ολοκληρωτικού λογισµού. Να δείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο R να δείξετε ότι η g = είναι συνεχής στο. t ft dt Λύση : Αλλαγή µεταβλητής : u = t du = dt, t = u =, t = u =. Τότε : t ft dt = ufudu lim ufudu = lim f = f Επίσης, g = f tdt = f.. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώµατα : στην πρώτη στήλη είναι το ολοκλήρωµα ενώ στην 6

δεύτερη η απάντηση π συν ηµd π e + d e 5 e 3 3 + d e d e 4 π e συνd eπ + ln + d ln 4 e e d ln d 5 e e π π e 4 συνd ηµ 3 d Θέσε ηµ 3 = ηµ ηµ = 3 ln d e + d 6 3 7

π e 3 d ηµ3 συν3 d e 3 3 ln, υπενθύµιση : = ln e 3 e lnln ln d ln 3, Υπόδειξη : lnln =... e d 4 e 3 π e e 3 + e e + d e d 7 + ln e ηµ d + ln e d e e e + + ln e + 3 Υπόδειξη : Θέσε y = e... + e π Υπόδειξη : Θέσε I = π e ηµ d 3 e d 3 d ln 3 Υπόδειξη : = + + + 3 + 5 ln 3 ln 3 Υπόδειξη : + 3 + = + 3 8

fd, αν είναι {, f =, < Υπόδειξη : Οταν η συνάρτηση έχει πολλαπλό τύπο πρέπει να µελετάµε πρώτα αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο σηµείο αλλαγής τύπου. Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος απαιτούνται και οι δύο κλάδοι της συνάρτησης. fd, αν είναι { 3, f = e, > 9 e 3. Εστω µια συνάρτηση f : R R η οποία είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη και το γράφηµα της f εφάπτεται στον στο σηµείο =. Να ϐρείτε το όριο : Λύση : lim ft 3 dt Αφού εφάπτεται στον άξονα, f = f =. Εφαρµόστε δύο ϕορές τον κανόνα De L Hospitl. Το Ϲητούµενο όριο είναι,. 4. Παραλλαγή της άσκησης 6 Οµάδα Α Σχολικό σελ. 339 α Μελετήστε την συνάρτηση f = ϐ Εστω F = ftdt + i. Μελετήστε τη µεταβολή της F στο R. ii. είξτε η F είναι περιττή. και χαράξτε το γράφηµά της. iii. Βρείτε την εφαπτοµένη της καµπύλης της F στο, και δείξτε ότι το σηµείο αυτό είναι σηµείο καµπής. γ i. Αποδείξτε ότι F ln +. ii. Ποιό το όριο της F για + ; δ Εχοντας υπ οψιν τα αποτελέσµατα των παραπάνω ερωτηµάτων, παραστήστε γραφικά την F. ε είξτε ότι η συνάρτηση ln + + + c είναι µια παράγουσα της f. Παρατηρείστε ότι η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί όλες της ιδιότητες των προηγουµένων ερωτηµάτων. Στη συνέχεια αποδείξτε ότι fd = ln +. 9

Λύση : α D f = R. Επειδή R R τότε f = f και f είναι άρτια. Επίσης, παρατηρείστε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση. Επειδή f = και lim f =, η = είναι ασύµπτωτος. lim + f = 3 + f = + 5 = + + 5 f + + f + f κυρτή κοίλη κοίλη κυρτή T. m = Σχήµα 6: f = + ϐ i. f συνεχής ακι παραγωγίσιµη. F = f Άρα F παραγγίσιµη. Επίσης, F = f = > R + F

ii. Επειδή, ftdt = Άρα, F = F F περιττή. ftdt = f td t = ftdt iii. F = f = άρα η εφαπτοµένη είναι η y = + b. Επειδή, σηµείο της, αφού F = ftdt =, τότε y = εφαπτοµάνη. Αλλά F = f = + 3 µε ϱίζα στο αλλάζοντας πρόσηµο δεξιά ή αρστερά. Άρα, σηµείο καµπής. γ i. Παρατηρώ ότι + > + + Θέτω H = F ln +, H = F ln + = και H = F + = > H F ln + + + ii. lim + F lim + ln + = + lim + F + δ ες σχήµα 7.,,5 K, K,5,5, K,5 K, F ln+ Σχήµα 7: F

ε f = = = ln + + + + + + + d = ln + + + = ln + 5. Θέµα 4ο Εστω f συνεχή συνάρτηση στο R, για την οποία ισχύουν : ι. f, R, ιι. f = tf tdt, R. Εστω g συνάρτηση µε τύπο : α Να ϐρείτε ότι f = f. ϐ Να δείξτε ότι g είναι σταθερή. γ είξτε ότι f = +. δ Να ϐρείτε το lim + fηµ g = f, R. Λύση : α Θέτω : t = u dt = du, µε t u =, t u =. Άρα, f = tf udu = tf udu = tf udu f = f ϐ g = f = f f = =. Άρα, g σταθερή. γ Απο f f = f f = + c. f = = f = + f = +

δ f ηµ = ηµ Αλλά + Αλλά lim + + + ηµ + + + ηµ + = lim + = Συµπέρασµα : lim fηµ =. + 6. Σχολικό Β σελ. 339 Αν η συνάρτηση h = 4 + + c, c R είναι µια παράγουσα της συνάρτησης t gtdt να δείξτε ότι γράφηµα της g διέρχεται απο το σηµείο,. Λύση : Επειδή t gtdt = h = 6 5 + 4 3 = g, g =. 7. Σχολικό 7Βi σελ. 339 ίνεται η συνάρτηση g = 4. α Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ϐ Εστω Ht = Λύση : 6 4 gtd. 6 i. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της H. ii. Να αποδείξετε ότι 4 lim Ht =. t + gd. α Θέτω u = 4 άρα, du = d µε νέα όρια u = 4 4 = και u = 6 6 = 3. 6 4 4 d = 3 du u = u 3 = 4 3 3

ϐ i. Ας ϐρούµε πρώτα την συνάρτηση Ht. Θέτω u = t, du = td, = 4 u = 4t, = 6 u = 6t. 6 gtd = 4 6t 4t = t u t gudu 6t 4t Άρα, D H =, / /, +. ii. Πρέπει να ϐρούµε το = 9t 4t t lim t + 9t 4t t = lim t + 5 9t + 4t = lim = t + 5 9 + 4 t t 8. Σχολικό 9Βi σελ. 339 ίδεται η συνάρτηση f = ln ], [, e. e α Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα fd. ϐ i. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη. ii. Να ϐρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται απο την γραφική παράσταση της f και τις ευθείες =, = e, y =. Λύση : α e ln d = = e e ln d ln d = ln e = e ln e ln 4 = 4 e e d d 4

Σχήµα 8: f = ln ϐ i. Η f = ln 3/ εποµένως -. ii. Μπορούµε να δώσουµε δύο λύσεις. η οποία είναι > αφού [, e ]. Άρα είναι γνησίως µονότονη και Το Ϲητούµενο εµβαδόν είναι το γραµµοσκιασµένο τµήµα OHEZ στο σχήµα 8. Επειδή όµως το σχήµα είναι συµµετρικό ως προς την η διχοτόµο y =, είναι σαν να Ϲητάµε το εµβαδόν του χωρίου AB O όπου το σηµείο τοµής της G f µε τον άξονα, δηλαδή { y = =, και B το σηµείο τοµής του συστήµατος e, δηλαδή η προφανής ϱίζα y = f του e, e. Άρα, το Ϲητούµενο εµβαδόν είναι : ή e OΓBA fd = e 4 Θέλουµε να υπολογίσουµε το e f d Θέτω : u = f = fu, d = f udu, f =, fe = e. Άρα, e f d = = e e uf udu u e lnu u du = lnu du u = 4 + e 5

9. Σχολικό Β σελ. 34 Αν I = ϱώµατα π/ ηµ d, J = π/ I + J I J I J συν d να υπολογίσετε τα ολοκλη-. Σχολικό Β σελ. 34 Εστω µια συνάρτηση f µε f συνεχή και τέτοια ώστε α Να ϐρείτε το f. π ϐ Εστω g = f π. Να αποδείξετε ότι : f + f ηµ d =, fπ = π g + g ηµ d = Λύση : α ϐ Άρα, π π π f sind = f sin f sin d π π = π f cosd π = fcos f sind = + f π f sind π fsind + f sind = fsind + + f g + g ηµ d = = = π π f = π f sind = fπ + f π ηµπ dπ fπ + f π ηµπ dπ. Να ϐρεθεί το άθροισµα Σ n = n n k= n + k kn + k 6

όταν το n +. Λύση : Το άθροισµα γράφεται Σ n = n n + k k + k n n n k= Το οποίο δεν είναι τίποτα άλλο παρά το ολοκλήρωµα Riemnn της Η συνάρτηση αυτή έχει αρχική την +. Άρα, lim Σ n = n + f = + + fd = + = 3. Αποδείξτε ότι : Βρείτε το I 5. I n = π/ ηµ n d = n n π/ ηµ n d n 3 Λύση : I n = π/ ηµ n d = = ηµ n συν π/ = + n = n π/ π/ π/ + π/ ηµ n ηµ d ηµ n συν d ηµ n συν d = n ηµ n d n = n I n n I n Άρα, I n = n n I n. Εποµένως I 5 = 4 5 I 3 = 4 5 3 I µε I = π/ π/ ηµ n d π/ ηµ d = συν π/ = ηµ n ηµ d 3. ίνεται το ολοκλήρωµα I n = Να υπολογίσετε το I 4. n e d, n Z +. Να ϐρείτε τη σχέση µεταξύ I n και I n. 7

Λύση : I n = n e d = n e d =... Θα καταλήξετε στο ότι : I n = e + ni n. I 4 = e + 4I 3 I 3 = e + 3I I = e + I I = e d = e 4. Αν I n = I 3. π/ συν n d, n Z +. Αποδείξτε ότι I n = n + n n I n, n 3. Υπολογίστε το 8

Εµβαδόν Χωρίου 5. Να ϐρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται απο τη γραφική παράσταση της f = 3 και την εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο A, 3. Λύση : Σχήµα 9: f = 3 f = 6 f = 6. Άρα, η εφαπτοµένη έχει εξίσωση : y 3 = 6 y = 6 3 Το σηµείο Γ σηµείο τοµής της εφαπτοµένης µε τον άξονα είναι το Γ = /,.Άρα, EΩ = / 3 d + 3 6 3 d = / 4 6. Να ϐρεθεί το εµβαδόν του χωρίου µεταξύ των συναρτήσεων f = ηµ και g = συν και της = και της = π. Λύση : Εύκολα ϐρίσκουµε τα κοινά σηµεία f = g εφ = = π 4 ή = 5π 4 5π 4 π π 4 f g + 9

Σχήµα : ηµ συν Άρα, π f g d = + + π 5π/4 π/4 π 5π/4 ηµ + συν d+ ηµ συν d+ ηµ + συν d = 4 7. ίδεται f = 3 3 +. α Να υπολγισθεί το εµβαδό του χωρίου, Ω, που περικλείεται απο τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα. ϐ Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακέραιος α για τον οποίο η ευθεία = α να χωρίζει το Ω σε δύο ισεµβαδικά µέρη. γ Να ϐρείτε τον ακέραιο α έτσι ώστε η = α να χωρίζει το εµβαδόν Ω σε εµβαδά µε λόγο 6. Λύση : α 3 + = + = ϐ α 3 + d = 7 4 3 + d = 7 4 α4 α + 6α + = 3

Σχήµα : f = 3 3 η οποία δεν έχει ακέραιες ϱίζες. γ α fd = fd 6 7α4 6α + 6α + 35 = α 8. Σχολικό σελ. 349, ασκ. 3 ίδεται η συνάρτηση f = 3. α Να υπολογίσετε το εµβαδόν S του χωρίου που περικλείεται απο την γραφική παράσταση της f και τον άξονα. ϐ Η ευθεία y = τέµνει το G f σε δύο σηµεία A και B. Αν οι προβολές πάνω στον άξονα των τετµηµένων είναι τα σηµεία A και B αντίστοιχα, και T είναι το εµβαδόν του ABB A, Λύση : να ϐρείτε την ελαχίστη τιµή του πηλίκου S T. α 3 3d = 9 3 9 4 3 + 9 4 ϐ A =,, B =,. Το εµβαδόν T = ABB A = 9 4. Εποµένως, S T = 9. Ορίζουµε συνάρτηση 9 4 9 g = µε >. 9 4 3

Σχήµα : f = 3 g = 7 3 + 9 4 3/ µε ελάχιστο το = 3. Άρα, για α = 3 το πηλίκο είναι ελάχιστο. 3