1
ΘΔΜΑ 1 α)έζησ ε ειαζηηθφηεηα δήηεζεο ελφο αγαζνχ. Γείμηε φηη,εάλ, ηφηε θάζε αχμεζε ηεο ηηκήο ηνπ αγαζνχ νδεγεί ζε κείσζε ησλ νιηθψλ εζφδσλ. β) Η ζπλάξηεο νξηαθνχ θφζηνπο κηαο επηρείξεζεο είλαη, φπνπ x είλαη ε πνζφηεηα παξαγσγήο. Αλ ηα πάγηα έμνδα είλαη 8000 ρξεκαηηθέο κνλάδεο θαη αλ ε ζπλάξηεζε εζφδσλ είλαη λα ππνινγηζηεί ην επίπεδν παξαγσγήο x ην νπνίν κεγηζηνπνηεί ηα θέξδε ηεο επηρείξεζεο. ΘΔΜΑ α) Γείμηε φηη γηα, φπνπ α R. β) Τπνινγίζηε, κε ηε βνήζεηα δηαθνξηθψλ, πφζν αιιάδεη ε ηειηθή αμία αξρηθνχ δνζκέλνπ θεθαιαίνπ ην νπνίν αλαηνθίδεηαη γηα έηε, αλ ην εηήζην επηηφθην κεηαβιεζεί απφ 11% ζε 1%. ΘΔΜΑ 3 Γείμηε φηη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο επζείαο ηεο θακπχιεο ζην ζεκείν δίλεηαη απφ ηε ζρέζε ΘΔΜΑ 4 Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα ΘΔΜΑ 5 Να ππνινγηζηεί ην γεληθεπκέλν νινθιήξσκα ΘΔΜΑ 1 ο Αλ ζπλ(x y)=x+y+yx +y 3 x, λα βξεζεί ε παξάγσγνο y (0). ΘΔΜΑ ο Έζησ επηθάλεηα z=x +4y. Απφ ην ζεκείν (1,) ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, πνηά είλαη ε θαηεχζπλζε κεγίζηεο αλφδνπ απηήο; Πνηά είλαη ε θιίζε ηεο ηζνυςνπο θακπχιεο πνπ πεξλάεη απφ ην ελ ιφγσ ζεκείν; ΘΔΜΑ 3 ο Να ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα Ι= ΘΔΜΑ 4 ο Ο αξηζκφο επηβαηψλ ζε κία αθηνπιντθή γξακκή είλαη 500 αλ ην εηζηηήξην ππεξβαίλεη ηα 40. Γηα θάζε αχμεζε ηεο ηηκήο ηνπ εηζηηεξίνπ θαηά 0,5, ν αξηζκφο ησλ επηβαηψλ κεηψλεηαη θαηά 4. Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ εηζηηεξίνπ πνπ κεγηζηνπνηεί ην έζνδν. ΘΔΜΑ 5 ο α) Αλ Q=30Κ /5 L 1/4, λα ππνινγίζεηε ην δηαθνξηθφ ηνπ Q β) Να νξίζεηε (κε ιφγηα, κε απφιπηε ζαθήλεηα κηα πξφηαζε αξθεί) ηνλ Οξηαθφ Λφγν Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο γηα ηελ ηπρνχζα ζπλάξηεζε παξαγσγήο. γ) Να ππνινγίζεηε ηνλ ΟΛΣΤ γηα ηε ζπλάξηεζε ζην εξψηεκα (α) θαη λα ηνλ εθηηκήζεηε ζηε ζέζε (K,L)=(7,16).
1. Αλ λα ζπνινγηζηεί ν αξηζκφο.. Να πξνζεγγηζηεί ν αξηζκφο ρξεζηκνπνηψληαο θαηάιιειν δηαθνξηθφ. 3. Να απνδεηρζεί ε ηζφηεηα. 4. Να αλαπηπρζνχλ νη ηξεηο πξψηνη φξνη ηεο ζεηξάο Taylor ηεο ζπλάξηεζεο κε θέληξν ην κεδέλ 5. Να πξνζδηνξηζηνχλ νη ζηαζεξέο a,b έηζη ψζηε ην δηάγξακκα ηεο ζπλάξηεζεο λα δηέξρεηαη απφ ην ζεκείν (0,) θαη λα έρεη κέγηζην γηα x=1 6. Να ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο κε ηχπν ( ) 7. Να βξεζεί ην επηηφθην πνπ απαηηείηαη πξνθεηκέλνπ έλα πνζφ Κ λα δηπιαζηαζηεί ζην ηέινο ησλ 5 εηψλ, φηαλ ν αλαηνθηζκφο είλαη εηήζηνο. ηελ πεξίπησζε απηή λα ππνινγηζηεί ε ειαζηηθφηεηα ηνπ ηειηθνχ πνζνχ (ηνπ πνζνχ κεηά απφ 5 έηε) σο πξνο ην επηηφθην. 8. Πνηα ε αθηίλα ζχγθιηζεο ηεο δπλακνζεηξάο 9. Να βξεζεί ην ζεκείν ηνκήο ηεο νξηαθήο θαη ηεο κέζεο θακπχιεο ηεο ζπλάξηεζεο θφζηνπο. Θέμα 1 ο : α) Να ππνινγίζεηε ηελ παξάγσγν αλ β) Να βξείηε ηελ θιίζε ηεο επζείαο πνπ εθάπηεηαη ζηελ αλ φηαλ x=1. ηε ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο θακπχιεο ζην x=1 Θέμα ο : α) Αλ κηα κεηαβιεηή y είλαη ζπλάξηεζε ηνπ ρξφλνπ t, δειαδή ηφηε λα νξίζεηε ηνλ ζηηγκηαίν ξπζκφ κεγέζπλζεο r ηεο y β) Έζησ. Να απνδείμεηε φηη αλ y=g+s ηφηε. γ) Οη εμαγσγέο αγαζψλ κηαο ρψξαο, έρνπλ ξπζκφ κεγέζπλζεο θαη νη εμαγσγέο ησλ ππεξεζηψλ ηεο, S=S(t) έρνπλ ξπζκφ κεγέζπλζεο. Να απνδείμεηε φηη ν ξπζκφο κεγέζπλζεο ησλ ζπλνιηθψλ εμαγσγψλ είλαη Θέμα 3 ο : Α) Να απνδείμεηε ηηο παξαθάησ ηδηφηεηεο γηα ηα δηαθνξηθά, φπνπ c 1, c Є θαη u=u(x), v=v(x), α) β) γ) Β) Να ζπγθξίλεηαη ηηο Γy θαη dy, αλ θαη ην x κεηαβάιιεηαη απφ i) 1 ζε 0.06 ii) 1 ζε 0.01. Να ζρνιηάζεηε ηα απνηειέζκαηα ησλ εξσηεκάησλ Βi) θαη Βii). Θέμα 4 ο : Να ππνινγίζεηε ην αφξηζην νινθιήξσκα κε ηελ βνήζεηα ηεο αληηθαηάζηαζεο 3
Θέμα 5 ο : α) Να βξείηε ηελ ζεηξά Maclaurin ηεο ζπλάξηεζεο θαη λα πξνζδηνξίζεηε ην δηάζηεκα ζχγθιεζήο ηεο. β) Να βξείηε ηελ ζεηξά Maclaurin ηεο ζπλάξηεζεο γ) Με ηελ βνήζεηα ησλ ηεζζάξσλ πξψησλ φξσλ ηνπ εξσηήκαηνο β) λα πξνζεγγίζεηε ην νινθιήξσκα Θέμα 1 ο Να ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα Ι= dx Θέμα ο Γίλεηαη ε πεπιεγκέλε ζρέζε x-y=(y +1)lny, φπνπ y=y(x). Να βξείηε ηηο εμηζψζεηο ηεο εθαπηνκέλεο θαη ηεο θαλνληθήο επζείαο ζην ζεκείν (x,y)=(1,1) ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο. Θέμα 3 ο Ο αξηζκφο ησλ επηβαηψλ ζε κηα αεξνπνξηθή γξακκή είλαη 140, αλ ην εηζηηήξην δελ ππεξβαίλεη ηα 00 επξψ. Γηα θάζε αχμεζε ηεο ηηκήο ηνπ εηζηηεξίνπ θαηά 5 επξψ, ν αξηζκφο ησλ επηβαηψλ κεηψλεηαη θαηά. Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ εηζηηεξίνπ πνπ κεγηζηνπνηεί ην έζνδν. Θέμα 4 ο Έζησ ηπρνχζα ζπλάξηεζε παξαγσγηθνχ κεηαζρεκαηηζκνχ, Q=f(K,L). Να δεηρζεί φηη απηή εκθαλίδεη θζίλνπζεο απνδφζεηο θιίκαθαο, ηφηε εκθαλίδεη θαη θζίλνπζεο νηθνλνκίεο θιίκαθαο. Θέμα 5 ο Γνζείζεο ηεο Q=10K 1/5 L 3/5, να ςπολογιζθεί ν Οξηαθφο Λφγνο Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο,, ζην ζεκείν (Κ,L)=(4,6), θαη λα εμεγεζεί κε ζαθήλεηα ην πιεξνθνξηαθφ ηνπ πεξηερφκελν. Θέμα 1 ο α) Η αμία ελφο αθηλήηνπ κεηαβάιιεηαη σο πξνο ην ρξφλν t (ζε έηε) ζ \χκθσλα κε ηελ ζρέζε B(t)=100000 επξψ. Η αμία B(t) ηνπ αθηλήηνπ χζηεξα απφ t έηε ππνινγίδεηαη κε ζηαζεξφ επηηφθην % θαη ζπλερή αλαηνθηζκφ. Να ππνινγίζεηε ηελ ζπλάξηεζε ε νπνία δίλεη ηελ παξνχζα αμία ηνπ αθηλήηνπ. Να ππνινγίζεηε ηελ ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ε παξνχζα αμία γίλεηαη κέγηζηε. β) Δπελδχνπκε έλα πνζφ P κε επηηφθην 1% θαη ηξηκεληαίν αλαηνθηζκφ. Να ππνινγίζεηε ην ρξνληθφ δηάζηεκα πνπ απαηηείηαη ψζηε ην αξρηθφ πνζφ λα δηπιαζηαζηεί. Θέμα ο α) Να ππνινγίζεηε ηελ ζεηξά Taylor ηεο ζπλάξηεζεο f(x)=e x κε θέληξν ην x =0. β) Να ππνινγίζεηε ηελ ζεηξά Taylor ηεο ζπλάξηεζεο g(x)= κε θέληξν ην x=0. (Τπφδεημε: Μηα θαιή ηδέα, φρη ππνρξεσηηθή, είλαη λα ρξεζηκνπνηήζεη θαλείο ην εξψηεκα α). Πξνθαλψο θάζε άιιε ηδέα είλαη εμίζνπ απνδεθηή.) γ) Υξεζηκνπνηψληαο ηνπο 4 πξψηνπο φξνπο ηεο ζεηξάο Taylor ηνπ εξσηήκαηνο β) λα πξνζεγγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ νινθιεξψκαηνο Θέμα 3 ο Να ππνινγίζεηε ην γεληθεπκέλν νινθιήξσκα Ι= φπνπ, f(x)={. Θέμα 4 ο α) Η ζπλάξηεζε δήηεζεο ελφο πξντφληνο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν p+q-30=0 ελψ ε ζπλάξηεζε θφζηνπο είλαη TC=q +10q. Να ππνινγηζηεί ε ειαζηηθφηεηα ηεο δήηεζεο ζην ζεκείν πνπ κεγηζηνπνηνχληαη ηα θέξδε. β) Να βξεζεί ε δεχηεξε παξάγσγνο y n ηεο πεπιεγκέλεο ζπλάξηεζεο 3x -y 5 =35 ζην ζεκείν x=1. Θέμα 5 ο α) Αλ νη ειαζηηθφηεηεο ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g ζην x=1 είλαη ίζεο, ε f (1)=ε g (1), λα ππνινγίζεηε ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο ζπλάξηεζεο h(x)= ζην x=1. β) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)= ζπλάξηεζεο ειαζηηθφηεηαο ηεο f. +bx+c, a 0. Να βξεζνχλ ηα θξφηαηα ηεο 4
ΘΔΜΑ 1 Μηα εηαηξεία ε νπνία παξάγεη επνρηαθά αγαζά παξάγεη cos1.1 σιλιάδερ μονάδερ αγαζψλ κηα ζπγθεθξηκέλε ζηηγκή. Να πξνζεγγίζεηε ην cos1.1 ρξεζηκνπνηψληαο πνιπψλπκν Taylor 6 νπ βαζκνχ γχξσ απφ ην x=0 γηα ην cosx θαη λα εθηηκήζεηε ην ζθάικα ηεο πξνζέγγηζεο. Πφζεο κνλάδεο πξντφληνο εθηηκάηε φηη παξάγεη απηή ηελ ζπγθεθξηκέλε εκέξα; ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο θαη γηα ηελ ζπλάξηεζε Cobb-Douglas 1 3 3 K L. Q( K, L) 70 Πνην απφ ηα παξαθάησ ζα απμήζεη πεξηζζφηεξν ηελ παξαγσγή: αχμεζε θαηά κηα κνλάδα ηεο εξγαηηθήο δχλακεο ή αχμεζε θαηά κηα κνλάδα ηνπ θεθαιαίνπ; Να αηηηνινγήζεηε ηελ Q απάληεζε ζαο εξκελεχνληαο ηηο ηηκέο θαη. Αλ ε παξαπάλσ K ζπλά-ξηεζε Q(K,L) εθθξάδεη ηελ εκεξήζηα παξαγσγή ζε έλα εξγνζηάζην, κε θεθάιαην Q (15,7) L (15, 7) Q L (15,7) Κ=16 (ζε ρηιηάδεο επξψ) θαη L=1000 ψξεο ηελ εκέξα, λα εθηηκήζεηε ηελ κεηαβνιή ζηελ παξαγσγή αλ ην θεθάιαην απμεζεί θαηά 500 επξψ θαη ε εξγαηηθή δχλακε απμεζεί θαηά 4 ψξεο εξγα-ζίαο. ΘΔΜΑ 3 Καηαζέηνπκε ζην ηέλορ θάζε έηνπο Α επξψ ζε κηα ηξάπεδα κε εηήζην αλαηνθηζκφ θαη επηηφθην r%. Να απνδείμεηε φηη ην πνζφ πνπ ζα ζρεκαηηζηεί ζην ηέινο ηνπ λ-νζηνχ έηνπο (δει. φηαλ ηνπνζεηήζνπκε ηελ λ-νζηή θαηάζεζε) ηζνχηαη κε v (1 r) 1 S A r Να ιχζεηε ην αθφινπζν πξφβιεκα: Έλαο θαπληζηήο μνδεχεη γηα θάπληζκα 4 επξψ εκεξεζίσο θαηά κέζν φξν. Να ππνινγηζζεί ηη πνζφ ζα εηζέπξαηηε ζην 60 έηνο ηεο ειηθίαο ηνπ αλ θαηέζεηε ζην ηέινο θάζε έηνπο ηα ρξήκαηα πνπ δηέζεηε γηα ηελ αγνξά ηζηγάξσλ ζε κηα ηξάπεδα κε εηήζην αλαηνθηζκφ θαη επηηφθην %, αλ είλαη γλσζηφ φηη άξρηζε ην θάπληζκα ζην 0 έηνο ηεο ειηθίαο ηνπ. (Γίλεηαη φηη 40 1.0.0804 θαη φηη 1 ρξφλνο=365 εκέξεο.) ΘΔΜΑ 4 α. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα x x 5 dx 1 β. Τπνζέηνπκε φηη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο ελφο πξντφληνο είλαη επξψ αλά κνλάδα πξντφληνο. Να ππνινγίζεηε ην πιεφλαζκα ηνπ θαηαλαισηή αλ ην πξντφλ πσιείηαη ζηελ αγνξά 10 επξψ. ΘΔΜΑ 5 Έζησ p ε ηηκή πψιεζεο κηαο κνλάδαο πξντφληνο θαη q ν αξηζκφο ησλ κνλάδσλ πξντφληνο πνπ πσιήζεθαλ ζηελ ηηκή p. Αλ κε R ζπκβνιίζνπκε ην νιηθφ έζνδν απφ ηελ πψιεζε q κνλάδσλ πξντφληνο ζηελ ηηκή p θαη κε η ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο δήηεζεο, ηφηε λα απνδείμεηε φηη dr q(1 ) dp 5
Να εμεγήζεηε κε πνηφλ ηξφπν ην επίπεδν ειαζηηθφηεηαο ηεο δήηεζεο θαζνξίδεη ηελ αχμεζε ή ηελ κείσζε ηνπ νιηθνχ εζφδνπ. Αλ ππνζέζνπκε φηη ε δήηεζε q κε ηελ ηηκή p ελφο αγαζνχ ζπλδένληαη κε ηελ ζρέζε p q q 8 19. Να ππνινγίζεηε ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο δή-ηεζεο φηαλ ε ηηκή είλαη p=18. Να ραξαθηεξίζεηε ηελ δήηεζε σο ειαζηηθή, αλειαζηηθή ή κνλαδηαία ειαζηηθή. ΘΔΜΑ 1 α. Να βξεζεί γεσκεηξηθά ε ειαζηηθφηεηα ζε έλα ζεκείν Α κηαο θακπχιεο y=f(x). β. Γεδνκέλνπ φηη y=y(t), ζπλάξηεζε ηνπ ρξφλνπ, πνηα είλαη ε ιχζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο y=0,06y, αλ είλαη γλσζηφ φηη y(0)=4; ΘΔΜΑ Να αλαπηπρζεί ζε δπλακνζεηξά Maclaurin θαη λα κειεηεζεί σο πξνο ηε ζχγθιηζε ε 1 x f ( x) e e x. ΘΔΜΑ 3 α. Τπφ ζπλζήθεο ζπλερνχο αλαηνθηζκνχ θαη επηηφθην r=0,06, πνηα απφ ηηο δχν επφκελεο ρξεκαηηθέο εηζξνέο θξίλεηαη σο πιένλ ζπκθέξνπζα, κε βάζε ην ίδην θξηηήξην ηεο παξνχζαο αμίαο; (Γίλεηαη φηη ΘΔΜΑ 4 α. Αλ Α. Πνζφ 100.000 ζήκεξα Β. Πνζφ 60.000 ζήκεξα θαη πνζφ 50.000 ζε 7 κήλεο 0.135 e 0.874 ) 3 ( zy) z zx x, φπνπ z=f(x,y), λα βξεζεί ε παξάγσγνο β. έζησ επηθάλεηα z x xy. Απφ ην ζεκείν (,1) ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, πνηα είλαη ε θαηεχζπλζε κεγίζηεο αλφδνπ απηήο; Πφζε είλαη ε θιίζε ηεο ηζνυςνχο θακπχιεο πνπ πεξλάεη απφ ην ελ ιφγσ ζεκείν; 6