Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας 5 Να κατανοήσουν οι φοιτητές τις έννοιες των Θεωρητικών και Διωνυμικών κατανομών. Τέλος να κατανοήσουν οι φοιτητές την έννοια της Υπεργεωμετρικής κατανομής. 4

Περιεχόμενα ενότητας 5 Θεωρητικές Κατανομές. Κατανομές Πιθανότητας. Διωνυμική Κατανομή. Ασκήσεις. Υπεργεωμετρική Κατανομή. Ασκήσεις. 5

Θεωρητικές Κατανομές Οι κατανομές που θα μελετηθούν είναι: Διωνυμική. Υπεργεωμετρική. Κατανομή Poisson. Κανονική Κατανομή. 6

Διωνυμική Κατανομή(/8) Έστω ένα πείραμα τύχης π.χ. ρίχνουμε πολλές φορές ένα νόμισμα. Κάθε φορά που εκτελούμε το πείραμα τύχης λέμε ότι κάνουμε μια δοκιμή. Σε κάθε δοκιμή ένα ενδεχόμενο έχει ορισμένη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί. π.χ. να εμφανιστεί κεφαλή στη ρίψη του νομίσματος. Τέτοιες δοκιμές ονομάζονται ανεξάρτητες δοκιμές. Δοκιμές Bernoulli. 7

Διωνυμική Κατανομή(/8) Όταν έχουμε ένα τυχαίο πείραμα που περιλαμβάνει δύο αμοιβαία αποκλειόμενα ενδεχόμενα τότε αυτό λέγεται πείραμα ή δοκιμή Bernoulli. Παραδείγματα: Ένας πολίτης μπορεί να είναι εργαζόμενος ή άνεργος. Ένας απόφοιτος λυκείου μπορεί να προχωρήσει στην τριτοβάθμια εκπαίδευση ή να μην προχωρήσει σε αυτή. Ένας φοιτητής μπορεί να περάσει ένα μάθημα ή να μην το περάσει. 8

Διωνυμική Κατανομή(3/8) Μπορούμε να ορίσουμε σε μία δοκιμή Bernoulli μια τυχαία μεταβλητή: Η οποία να παίρνει μόνο δύο πιθανότητες p0 και p. p0+p=. Άλλοι τρόποι συμβολισμού των πιθανοτήτων είναι: p και p. p και q. 9

Διωνυμική Κατανομή(4/8) Το p λέγεται πιθανότητα επιτυχίας. Tο q λέγεται πιθανότητα αποτυχίας. p + q = Οι πιθανότητες p και q παραμένουν οι ίδιες σε όλες τις n δοκιμές. Οι n δοκιμές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Στη διωνυμική κατανομή ζητάμε την πιθανότητα: Να πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο x φορές στις n επαναλήψεις δοκιμές. 0

Διωνυμική Κατανομή(5/8) Έστω ότι το ζητούμενο ενδεχόμενο (π.χ. να έρθει κορόνα στη ρίψη νομίσματος) πραγματοποιείται στις x πρώτες δοκιμές και δεν πραγματοποιείται στις υπόλοιπες n-x δοκιμές. Σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων, η πιθανότητα του παραπάνω ενδεχομένου είναι: p p p p q q q = px qn_x.

Διωνυμική Κατανομή(6/8) Το ίδιο αποτέλεσμα θα έχουμε εάν η πρώτη δοκιμή μας δώσει αποτυχία (γράμμα) και πραγματοποιηθούν οι χ επιτυχίες (κορόνα) στη συνέχεια. q p p p q q = px qn_x. Συνεπώς, οι επιτυχίες που δύναται να πραγματοποιηθούν αφορούν το συνδυασμό των x επιτυχιών στις n δοκιμές - n ανά x.

Διωνυμική Κατανομή(7/8) H πιθανότητα px να συμβεί η ζητούμενη πιθανότητα x φορές στις n δοκιμές, δίνεται από τον τύπο: P X = x = p x = n x px ( p) n x = = n! x!(n x)! px ( p) n x. Όπου Χ η τυχαία μεταβλητή που αντικατοπτρίζει τον αριθμό των επιτυχιών στις n δοκιμές. 3

Διωνυμική Κατανομή(8/8) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος στην ρίψη τριών νομισμάτων: 3 γράμματα και 0 κεφαλές ΓΓΓ. γράμματα και κεφαλή ΚΓΓ, ΓΓΚ, ΓΚΓ. φορά γράμματα και δυο κεφαλές ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ. 0 γράμματα και 3 κεφαλές ΚΚΚ. 4

Παράδειγμα Παράδειγμα: Ρίχνουμε τρία νομίσματα, να βρεθεί η πιθανότητα να έχουμε 3 κεφαλές. P X = 3 = n x px q n x = = 3 3 3 0 = 3! 3!(3 3)! 3 0 = 3. 5

Παράδειγμα Παράδειγμα : Ρίχνουμε 3 νομίσματα, να βρεθεί η πιθανότητα να έχουμε κεφαλές. P X = = n x px q n x = = 3 = 3!!(3 )! = 3. 6

Παράδειγμα 3 Παράδειγμα: Ρίχνουμε 3 νομίσματα, να βρεθεί η πιθανότητα να έχουμε κεφαλή. P X = = n x px q n x = = 3 = 3!!(3 )! = 3. 7

Παράδειγμα 4 (/) Παράδειγμα: Ρίχνουμε 3 νομίσματα, να βρεθεί η πιθανότητα να μην έχουμε γράμματα. P X = 0 = n x px q n x = = 3 0 0 3 = 3! 0!(3 0)! 0 3 = 3. 8

Παράδειγμα 4 (/) Αν αθροίσουμε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις έχουμε το διωνυμικό ανάπτυγμα: P X = 0 + P X = + P X = + P X = 3 = + 3 + 3 Διωνυμικό ανάπτυγμα: (p + q)3 = p3 + 3pq + 3pq + q3 = 3. 3 + 3 + 3 + 3 + 3. = 9

Παράδειγμα 5 Μια κάλπη περιέχει κίτρινα σφαιρίδια και 6 πορτοκαλί. Εξάγουμε 4 σφαιρίδια με επανατοποθέτηση. Ποια η πιθανότητα τα δυο από τα τέσσερα να είναι κίτρινα; P X = = n x px q n x = = 4 8 6 8 = 4!!(4 )! 8 6 8. 0

Παράδειγμα 6 (/4) Μια κάλπη περιέχει κίτρινα σφαιρίδια και 6 πορτοκαλί. Εξάγουμε 8 σφαιρίδια με επανατοποθέτηση. Ποια η πιθανότητα να είναι: Τα δύο από τα οκτώ κίτρινα σφαιρίδια. Τουλάχιστον από τα οκτώ κίτρινα σφαιρίδια.

Παράδειγμα 6 (/4) Τα δύο από τα οκτώ κίτρινα σφαιρίδια Λύση: P(X = κίτρινα) = n x px q n x = = 8 8 6 8 6 = 8!!(8 )! 8 6 8 6 = 6! 7 8 6! 8 6 8 P(επιτυχία-κίτρινα) = 8. 6 = 8 4 9 9 = 0,07.

Παράδειγμα 6 (3/4) Τουλάχιστον από τα οκτώ κίτρινα σφαιρίδια. Λύση: Τουλάχιστον σημαίνει, 3, 4, 5, 6, 7 και 8 φορές. ος Τρόπος. P(X = φορές) + P(X = 3 φορές) + + P(X = 8 φορές). Εύρεση των παραπάνω πιθανοτήτων και αντικατάσταση, για παράδειγμα: P(X = 8) = n x px q n x = 8 8 8 8 6 8 0. 3

Παράδειγμα 6 (4/4) ος Τρόπος. Επειδή ο δειγματικός χώρος είναι P S = δηλαδή: P X = 0 + P X = + P X = + P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 + X = 6 + P X = 7 + P X = 8 = P X = 0 P X = =. P(X = ) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P X = 8. P X = 0 P X = =. = 8 0 8 0 6 8 8 8 8 6 8 7. 4

Παράδειγμα 7 (/4) Η πιθανότητα να περάσει ένας φοιτητής του τμήματος Λογιστικής το μάθημα της στατιστικής είναι 60%. Να βρεθεί η πιθανότητα από μια παρέα δέκα φοιτητών του τμήματος, το πολύ 7 να περάσουν το μάθημα της στατιστικής. Λύση: Αναζητούμε την πιθανότητα: P X 7 = P X = 0 + P X = + P X = + P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 + P X = 6 + P X = 7. 5

Παράδειγμα 7 (/4) Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων όλου του δειγματικού χώρου είναι ίσο με την μονάδα, δηλαδή στο δείγμα μας ισχύει: P X = 0 + P X = + P X = + P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 + P X = 6 + P X = 7 + P X = 8 + P X = 9 + P X = 0 = P X = 0 + P X = + P X = + P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 + P X = 6 + P X = 7 =. = P X = 8 + P X = 9 + P X = 0. 6

Παράδειγμα 7 (3/4) Αντί, λοιπόν, να λύσουμε το πρώτο μέρος λύνουμε το δεύτερο και επομένως έχουμε: Η πιθανότητα το πολύ 7 να περάσουν το μάθημα της στατιστικής είναι 0,88. P X = 8 P X = 9 P X = 0 = 0 0,6 8 0,4 8 0 9 (0,6)9 (0,4) 0 0 (0,6)0 (0,4) 0 =. 7

Παράδειγμα 7 (4/4) 0! 8! 0 8! 0! 0! 0 0! 9! 0 0,6 8 0,4 0! 9! 0 9! 0,6 0 0,4 0 = 8! 9 0 8! 0,6 9 0,4 0,0 0,6 0,0 0,4-0,006 = 45 0,006 0,04 9! 0! 0,006 = 0,88 8

Παράδειγμα 8 (/3) Αν ρίξουμε 4 νομίσματα, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν τουλάχιστον δύο γράμματα; Λύση: Η πιθανότητα του Χ (γράμματα) είναι p=0,5. Τουλάχιστον σημαίνει ή 3 ή 4 δηλαδή P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = 4). 9

Παράδειγμα 8 (/3) Λύση (συνέχεια): Επειδή ο δειγματικός χώρος είναι P S =. P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3) + P X = 4 =. P X = 0 P X = =. = P(X = ) + P(X = 3) + P(X = 4). 30

Παράδειγμα 8 (3/3) Αν ρίξουμε 4 νομίσματα, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν τουλάχιστον δύο γράμματα; P X = 0 P X = = = 4 0 4! 0! 4 0! 0 0 4 4! 4 4! 4! 0,065 4 0,5 0,5 = 0,6875. 3 = 3 = 3

Παράδειγμα 9 (/3) Ρίχνουμε 4 νομίσματα. Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν το πολύ κεφαλές. Λύση: Η πιθανότητα του Χ (κεφαλή) είναι p=0,5. Το πολύ σημαίνει 0 ή ή δηλαδή P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ). 3

Παράδειγμα 9 (/3) Λύση (συνέχεια): Επειδή ο δειγματικός χώρος είναι P S =. P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = 4) = P(X = 4) P(X = 3) = = P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ). 33

Παράδειγμα 9 (3/3) Ρίχνουμε 4 νομίσματα. Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν το πολύ κεφαλές; Λύση: P X = 4 P X = 3 = = 4 4 4! 4! 4 4! 4 4 0 4! 0 4 3 3! 4 3! 4 0,5 0,5 = 0,06875. 3 3 = = 0,065 34

Υπεργεωμετρική Κατανομή(/5) Είδαμε ότι στη διωνυμική κατανομή η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιμή του πειράματος παραμένει σταθερή. Επίσης, τα ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα. Σε κάποιες περιπτώσεις όμως η πιθανότητα επιτυχίας δεν παραμένει σταθερή: Αλλά μεταβάλλεται ανάλογα το τι έχει ήδη συμβεί. Αυτό γίνεται συνήθως σε δείγματα που παίρνονται από πληθυσμούς χωρίς επανάθεση. 35

Υπεργεωμετρική Κατανομή(/5) Αν τώρα η εξαγωγή των N μονάδων του δείγματος γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση: Τότε το περιεχόμενο του κιβωτίου μεταβάλλεται μετά από κάθε εξαγωγή σφαίρας. Οι εξαγωγές δεν είναι πλέον ανεξάρτητες. Ο αριθμός των λευκών σφαιρών στο δείγμα είναι μια ασυνεχής τυχαία μεταβλητή: Η οποία ακολουθεί την Υπεργεωμετρική Κατανομή. 36

Υπεργεωμετρική Κατανομή(3/5) Για παράδειγμα εάν έχουμε μια κάλπη με λευκά και μαύρα σφαιρίδια και η εξαγωγή των N μονάδων του δείγματος γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση: Τότε η σύσταση των πιθανοτήτων μεταβάλλεται μετά από κάθε εξαγωγή σφαίρας. Οι εξαγωγές δεν είναι πλέον ανεξάρτητες. Ο αριθμός των μαύρων ή λευκών σφαιρών είναι τυχαία μεταβλητή: Που ακολουθεί την Υπεργεωμετρική Κατανομή. 37

Υπεργεωμετρική Κατανομή(4/5) Έστω, λοιπόν, ότι ψάχνουμε να βρούμε την πιθανότητα επιτυχιών στο δείγμα. Συμβολίζουμε: Ν: το μέγεθος του πληθυσμού. m: το μέγεθος του δείγματος. n: το μέγεθος των επιτυχιών στον πληθυσμό. n: το μέγεθος των αποτυχιών στον πληθυσμό. n + n = N. 38

Υπεργεωμετρική Κατανομή(5/5) Ο γενικός τύπος της Υπεργεωμετρικής κατανομής είναι: P X = x = n x n m x N m Χ= ο αριθμός που ζητάμε. n=το δείγμα. Ν=Ο πληθυσμός., όπου k=το σύνολο των x στον πληθυσμό. 39

Παράδειγμα (/) Σε ένα κουτί έχουμε συνολικά 5 κύβους από τους οποίους 0 είναι κόκκινοι και 5 είναι μπλέ. Επιθυμούμε να παίρνουμε κόκκινους κύβους, επομένως επιτυχία θεωρείται εάν τραβήξουμε κόκκινο κύβο. Ποια είναι η πιθανότητα όταν τραβήξουμε 8 κύβους οι 6 να είναι κόκκινοι; X = x = P X = x = n x 0 6 n m x N m 5 8 5.. 40

Παράδειγμα (/) P X = x = = 0 6 5 8 5 7 8 9 0 3 4 4 5 9 0 3 4 5 3 4 5 6 7 = = 0! 6!(0 6)! 5!!(5 )! 5! 8!(5 8)! = = 7 8 4 5 5 6 7 3 4 5 = 0,36. 4

Παράδειγμα Από τα 5 χαρτιά μιας τράπουλας εξάγουμε τυχαία 5. Να βρεθεί η πιθανότητα να εξαχθούν 3 άσσοι; P X = x = P X = x = n x 4 3 n m x N m 48 5 5 = 3 4 5 4 47 49 50 5 5 = 0,007. 4! 3!(4 3)! 48!!(48 )! 5! 5!(5 5)! = 4 47 48 48 49 50 5 5 3 4 5 = 4

Παράδειγμα 3 (/4) Από ένα πλήθος 0 αυτοκινήτων τα 3 έχουν ελαττωματική μηχανή. Αν επιλέξουμε τυχαία 3 αυτοκίνητα να βρεθεί η πιθανότητα τουλάχιστον να έχει ελαττωματική μηχανή. Αναζητούμε την πιθανότητα: P X = P X = + P X = + P X = 3. 43

Παράδειγμα 3 (/4) Από ένα πλήθος 0 αυτοκινήτων τα 3 έχουν ελαττωματική μηχανή. Αν επιλέξουμε τυχαία 3 αυτοκίνητα να βρεθεί η πιθανότητα τουλάχιστον να έχει ελαττωματική μηχανή. P X = x = n x n m x N m P X = 0 = 3 0 0 3 7 3. 44

Παράδειγμα 3 (3/4) Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων όλου του δειγματικού χώρου είναι ίσο με την μονάδα, δηλαδή στο δείγμα μας ισχύει: P X = 0 + P X = + P X = + P X = 3 =. P X = + P X = + P X = 3 = P X = 0. 45

Παράδειγμα 3 (4/4) Αντί, λοιπόν, να λύσουμε το πρώτο μέρος λύνουμε το δεύτερο και επομένως έχουμε: P X = 0 = = 3! 0!(3 0)! 7! 3!(7 3)! 0! 3!(0 3)! 3 0 0 3 7 3 = = 5 6 7 3 8 9 0 3 = 35 0 = 0,7. 46

Τέλος Ενότητας