I 1 = I + I 3 I = I 1 I 3 I + I 4 = I 2 I = I 2 I 4 I + I 3 = I + I 4 I = I 3 + I 4 + I 2 I 4 I = I 2 I 3 I 2 = 0.5V x + I 1 I 1 + I 2 0.

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Απαντήσεις Θεμάτων στην Ανάλυση Κυκλωμάτων Εξεταστική Περίοδος Σεπτεμβρίου 2014 Πλέσσας Φώτης 1

Θέμα 1 0 Βρείτε τα ρεύματα I 1, I 2, I 3, I 4 στο παρακάτω σχήμα I 1 = I + I 3 I = I 1 I 3 I + I 4 = I 2 I = I 2 I 4 I + I 3 = I + I 4 I = I 3 + I 4 + I 2 I 4 I = I 2 I 3 I 2 = 0.5V x + I 1 I 1 + I 2 0.5V x = 0 V x = 5I = 5(I 2 I 3 ) V x = 5I 2 + 5I 3 I 1 + I 2 0.5( 5I 2 + 5I 3 ) = 0 I 1 + 3.5I 2 0.5I 3 = 0 I 3 = 2Α 2

Από μέθοδο Βρόχων του Kircho έχουμε: 4I 4 + 20 + 2( I) = 0 4I 4 2(I 2 I 4 ) = 20 2I 2 + 6I 4 = 20 12 = 4I + 5I + 4I 4 + 20 4(I 1 I 3 ) + 5(I 2 I 3 ) + 4I 4 4I 1 + 5I 2 9I 3 + 4I 4 = 8 4I 1 + 5I 2 + 4I 4 = 10 = 8 Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει το σύστημα 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους που ακολουθεί I 1 + 3.5I 2 0.5I 3 = 0 2I 2 + 6I 4 = 2 4I 1 + 5I 2 + 4I 4 = 10 I 3 = 2Α Με αντικατάσταση της τελευταίας εξίσωσης στην πρώτη το σύστημά μας απλοποιείται περαιτέρω στο εξής I 1 + 3.5I 2 = 5 2I 2 + 6I 4 = 2 4I 1 + 5I 2 + 4I 4 = 10 Επιλύοντας περαιτέρω το σύστημα καταλήγουμε πως: I 1 = 2.46Α I 2 = 2.13Α I 3 = 2Α I 4 = 2.62Α 3

Θέμα 2 0 Για το κύκλωμα του σχήματος βρείτε την V 0 Για να αντιμετωπίσουμε τέτοιου είδους κυκλώματα χρησιμοποιούμε την Αρχή της Υπέρθεσης η οποία μας επιτρέπει να βρούμε την επίδραση της κάθε πηγής ξεχωριστά στο κύκλωμά μας και τελικά να υπολογίσουμε την ζητούμενη V 0 Ενας εναλλακτικός τρόπος απεικόνισης του παραπάνω κυκλώματος φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί (a) όπου οι πηγές έχουν διαχωριστεί. 4

Στη συνέχεια θα πάρουμε κάθε πηγή τάσης ξεχωριστά και μετά θα προσθέσουμε τις συνεισφορές τους: (a)ακολουθεί το σχήμα μόνο με την επίδραση της V s3 : Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Thevenin το κύκλωμα μπορεί να απλοποιηθεί στο ακόλουθο και τελικά υπολογίζεται η τιμή της V (1) o = V s3 /2 (b)ακολουθεί το σχήμα μόνο με την επίδραση της V s2 : Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Thevenin το κύκλωμα μπορεί να απλοποιηθεί όπως φαίνεται στο σχήμα (a). Παρατηρώντας πιο προσεκτικά και αυτό το σχήμα επιδέχεται απλοποίησης όπως φαίνεται στο σχήμα (b), δίνοντάς μας V (2) o = V s2 /4 5

(c)ακολουθεί το σχήμα μόνο με την επίδραση της V s1 : Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Thevenin τμηματικά το κύκλωμά μας θα περάσει από τα στάδια που φαίνονται και στο σχήμα μέχρι να φτάσει στην τελική του κατάσταση, σχήμα (c). Από εδώ συμπεραίνουμε πως η V (3) o = V s1 /8 (d)ακολουθεί το σχήμα μόνο με την επίδραση της V s1 : Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία εύκολα βρίσκουμε πως V (4) o = V s0 /16 Από όλα τα παραπάνω καταλήγουμε πως η τελική τιμή τις V o θα είναι: V o = 1 16 ( 2 0 V s0 + 2 1 V s1 + 2 2 V s2 + 2 3 V s3 ). 6

Θέμα 3 0 Για το κύκλωμα του σχήματος βρείτε το ισοδύναμο Thevenin μεταξύ των ακροδεκτών ΑΒ Η τάση μεταξύ των ακροδεκτών ΑΒ, δηλαδή η τάση ανοιχτοκυκλώματος όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, μπορεί εύκολα να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον Νόμο Τάσεων του Kircho ( μέθοδο των βρόχων) Πιο συγκεκριμένα, V s = R 1 i + 6i (R 2 + R 3 ), 7

Από τη παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι i = 0.25A και V T h = V oc = 6iR 3. Στη συνέχεια το R T h μπορούμε να το υπολογίσουμε με δύο τρόπους: (a)μπορούμε να βρούμε το ρεύμα βραχυκυκλώσεως I sc όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί και πάλι χρησιμοποιώντας Νόμο Τάσεων του Kircho V s = R 1 i + 6iR 2 i = 5 8 A, Συμπεραίνουμε λοιπόν πως, I sc = 6i = 3.75A, και R T h = V oc I sc = 3.2Ω 8

(b) Εναλλακτικά μπορούμε να αφαιρέσουμε την ανεξάρτητη πηγή τάσης, και να εφαρμόσουμε μία δοκιμαστική πηγή τάσης V o στους ακροδέκτες ΑΒ, προκειμένου να υπολογίσουμε την R T h, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα Χρησιμοποιώντας Νόμο Τάσεων του Kircho έχουμε : V o = (6i + I o )R 3 = (ir 1 + 6iR 2 ). Απαλοίφοντας το i από την παραπάνω εξίσωση βρίσκουμε πως: R T h = V o I o = 3.2Ω. Το σχήμα που ακολουθεί μας δείχνει το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin 9

Θέμα 4 0 Βρείτε τη συχνότητα συντονισμού των παρακάτω κυκλωμάτων (a) Η εμπέδηση του κυκλώματος είναι: Z(w) = (50 + 0.04jw) 100000 jw 5000000 + 4000jw = jw(50 + 0.04w 2 + 100000) 5000000 + 4000jw = 50jw 0.04w 2 + 100000 10

Στη συχνότητα συντονισμού η φάση στον αριθμητή είναι ίση με τη φάση στο παρονομαστή και έχουμε μηδενική φανταστική συνιστώσα, οπότε: 3. 1. 2. 4. (b) 4000w 5000000 = 50w 100000 0.04w 2 0.04w(100000 0.04w 2 ) = 50(50w) 40000 0.0016w 2 = 2500 37500 w = 0.0016 = 4841(rad/sec) Η εμπέδηση του κυκλώματος είναι: 1 Z(w) = (R + jwl) jwc R + jwl = jwc(r + jwl + 1 = R + jwl jwrc w 2 LC + 1 jwc ) Θέτοντας τη φάση στον αριθμητή ίση με τη φάση στο παρονομαστή (έχουμε μηδενική φανταστική συνιστώσα) και παίρνουμε: wl R = wrc 1 w 2 LC L w 2 L 2 C = R 2 C w 2 = L R2 C L 2 C L R2 C w = L 2 C rad/sec 11