Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ. Αν f ( ) =, τότε η συνάρτηση F( ) = εφ sun ζ είνι πράγυσ τη f στ p, p φ η-,διότι ισχύει ηθ ψχ ζ φ F ( ) = = = f ( ) γι κάθε Ξ p p εφ -, η sun ηθ ψχ π.χ. Αν f ( ) = e, τότε η συνάρτηση F( ) = Χe είνι πράγυσ τη f στ, διότι ισχύει ζ φ F ( ) = η Χ e = e = f ( ) γι κάθε Ξ ηθ χ ψ ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω f μί συνάρτηση ρισμένη σ' έν διάστημ Δ. Αν η f έχει μί πράγυσ F στ Δ, τότε Η f έχει άπειρε πράγυσε στ Δ, πυ έχυν τη μρφή F( ) + c,c Είνι μόν υτέ Απόδειξη Έχυμε ότι η f έχει μί πράγυσ στ διάστημ Δ, την F, πότε είνι F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D Είνι ( F( ) + c ) = F( ) + ( c) = f ( ) + 0 = f ( ) γι κάθε Ξ D Αφύ F c f, ι άπειρε συνρτήσει F + c είνι ( + ) = πράγυσε τη f στ Δ, πυ είνι τ ζητύμεν.
ΑΟΡΙΣΤΟ & ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω ότι υπάρχυν κι άλλε πράγυσε G τη f στ Δ πότε ισχύει G = f γι κάθε Ξ D () Είνι κόμη F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D () πότε πό () κι () είνι G = F Ϋ G = F + c Επμένω, ν υπάρχυν κι άλλε πράγυσε θ έχυν τη μρφή G( ) = F( ) + c Τελικά, ι πράγυσε τη f είνι άπειρε κι έχυν όλε τη μρφή F( ) + c,c. Πρτηρήσει ) Απδεικνύετι ότι κάθε συνεχή συνάρτηση f σε διάστημ Δ, έχει πράγυσ στ Δ. Οι συνεχεί συνρτήσει δεν έχυν κτ' νάγκη πράγυσ. ) Ότν μιλάμε γι πράγυσ, θ νφερόμστε πάντ σε διάστημ Δ κι όχι σε ένωση διστημάτων. ) Η f ( ) = έχει πράγυσ την F σε κάθε έν πό sun ( ) = εφ τ διστήμτ 5) Η f ( ) = έχει πράγυσ την F( ) = ln σε κάθε έν πό τ διστήμτ ζ p pφ ηkp -, kp +, k Ξ. ηθ χ ψ ) Η f ( ) = - έχει πράγυσ την F hm ( ) = σφ σε κάθε έν πό kp, kp + p, k Ξ. τ διστήμτ (-,0) ή ( 0, + ). 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ Ολκλήρωμ Ορισμό Έστω μί συνάρτηση f κι μί πράγυσ F υτή στ Δ. Αόριστ λκλήρωμ μι συνάρτηση f στ διάστημ Δ, νμάζετι τ σύνλ όλων των πργυσών τη f στ Δ κι συμλίζετι Δηλ. f Χ d = F + c. π.χ. sun ζ p pφ Χ d = εφ + c γι Ξ η-, ηθ χψ Χ d = - σφ + c γι Ξ 0, hm ( p) e Χ d = Χ e + c γι, Ή 0 Είνι φνερό ότι f ( ) Χ d = f + c γι Ξ D φύ f ( ) + c = f f Χd Πρτηρήσει ) Τ σύμλ f Χd έχει νόημ, ότν η f έχει πράγυσ σ'έν διάστημ Δ. ) Τ c λέγετι στθερά λκλήρωση. ) Στ όριστ λκλήρωμ f Χd δεν είνι νγκί η f ν είνι συνεχή. ) Ο υπλγισμό τυ ρίστυ λκληρώμτ είνι η ντίστρφη διδικσί τη πργώγιση. 6
ΑΟΡΙΣΤΟ & ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ισχύει λκλήρωση f συνάρτηση F πράγυσ πργώγιση 5) Όλε ι πράγυσε F τη f σε έν διάστημ Δ, έχυν την ίδι κλίση, σε κάθε σημεί την f ( ), φύ είνι l = ιf( ) cω λ + ϋ = f ( ) 6) Τ όριστ λκληρώμτ μι συνάρτηση f, διφέρυν μετξύ τυ κτά στθερά c, δηλ. ισχύει f ( ) Χ d - f ( ) Χ d = c, c ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΟΡΙΣΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Αν ι συνρτήσει f κι g έχυν πράγυσ σ' έν διάστημ Δ. Τότε * λf Χ d = λ f Χd, λ Ξ (πρσχή λ Ή 0) Δηλ. Στθερό συντελεστή "γίνει έξω" πό τ λκλήρωμ ( f ± g Χ d = f Χ d ± g Χd Δηλ. Τ λκλήρωμ τυ θρίσμτ ή τη διφρά ισύτι με τ άθρισμ ή τη διφρά, ντίστιχ, των λκληρωμάτων ( λf ( ) ± μg( ) Χ d = λ f ( ) Χ d ± μ g( ) Χd, λ,μ * 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ.... 5. 6. 7. 8. 9. 0Χ d = c Χ d = + c Χ d = + c Χ d = + c n+ n Χ d = + c, n Ξ n + + Χ d = + c, Ή - + Χ = Χ = + Χ = Χ = - + Χ d = + c - d d ln c - d d c * 0..... 5. 6. 7. 8. 9. 0. hm Χ d =- sun + c hm( ) Χ d =- sun( ) + c, Ή 0 sun Χ d = hm + c sun( ) Χ d = hm( ) + c, Ή 0 Χ d = εφ + c sun Χ d = εφ( ) + c, Ή 0 sun ( ) Χ d =- σφ + c hm Χ d =- σφ( ) + c, Ή 0 hm ( ) e d e c ln e Χ d = e + c, Ή 0 Χ = + Χ d = + c.... 5. 6. f ( ) Χ d = f ( ) + c ( f ( ) + g( ) Χ d = f ( ) + g( ) + c ( f ( ) Χ g( ) + f ( ) Χg( ) Χ d = f ( ) Χ g( ) + c f ( ) Χg( ) -f ( ) Χg( ) f ( ) Χ d = + c g ( ) g( ) g( ) Χ d = - + c g ( ) g( ) g( f ( ) Χf ( ) Χ d = g( f ( ) + c 8
ΑΟΡΙΣΤΟ & ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισμέν λκλήρωμ Έστω μί συνάρτηση f συνεχή στ [, ] με f ( ) ³ 0 γι κάθε Ξ[, ]. Τ εμδόν τυ χωρίυ Ω πυ περικλείετι πό τη, τν κι τι ευθείε έω τ. =, =, < δίνετι πό τ ρισμέν λκλήρωμ τη f πό C f ( Ω ) E = f Χ d ³ 0 Τ πρπάνω δεν πτελεί τν ρισμό τυ ρισμένυ λκληρώμτ λλά τη γεωμετρική ερμηνεί, στην περίπτωση πυ ³ Ξ[ b] f 0 γι κάθε, b Ο ρισμό τυ ρισμένυ λκληρώμτ δε θ μ φνεί χρήσιμ στη Γ' Λυκείυ. C f Η σχέση πυ συνδέει τ Αόριστ με τ Ορισμέν λκλήρωμ δίνετι πό τ πρκάτω Θεμελιώδε Θεώρημ τυ Ολκληρωτικύ Λγισμύ, τυ πίυ η πόδειξη υπάρχει στ κεφάλι 9. Θεμελιώδε Θεώρημ Ολκληρωτικύ Λγισμύ Έστω f μί συνεχή συνάρτηση στ στ π.χ. [,] 0 p ισχύει [,] f t dt F F F λ ϋ Χ = ι ω = - p p sun Χ d = [ hm] = hm - hm0 = - 0 = 0 e e Χ d = [ ln ] = ln e - ln = - 0 =. Αν F είνι μί πράγυσ τη f 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πρτηρήσει ) Η συνάρτηση f λέγετι λκληρώσιμη κι τ, όρι λκλήρωση. ) Γι ν υπάρχει τ ρισμέν λκλήρωμ f Χd πρέπει η f ν είνι συνεχή στ [, b]. (τ όριστ ρίζετι κι γι μη συνεχή συνάρτηση) ) Αν f ³ 0 με f συνεχή στ, b πρνφέρμε ότι τ λκλήρωμ b [ ] f Χ d ³ 0 πριστάνει τ εμδόν τυ χωρίυ, πυ ρίζετι πό τη C, τν άξν κι τι ευθείε =, = b. b f π.χ. b Αν c > 0, τότε τ cd εκφράζει τ εμδόν τυ ρθγωνίυ πρλληλγράμμυ με άση b- κι ύψ c. y = c [ b ] ) Αν f 0 με f συνεχή στ, τότε τ λκλήρωμ f Χ d 0 πριστάνει τ ντίθετ τυ εμδύ τυ χωρίυ, πυ ρίζετι πό τη, τν άξν κι τι ευθείε =, = b. 5) Αν η f είνι συνεχή στ, κι δε διτηρεί στθερό πρόσημ τότε, b [ ] τ λκλήρωμ f Χd είνι ίσ με τ άθρισμ των εμδών των χωρίων, πυ ρίσκντι πάνω πό τν κι περικλείντι πό τη, τν άξν κι τι ευθείε =, = b μείν τ άθρισμ των εμδών των ντίστιχων χωρίων πυ ρίσκντι κάτω πό τν άξν. C f b C f Αν θέλυμε ν υπλγίσυμε τ εμδόν τυ πρηγύμενυ χωρίυ ρκεί ν υπλγίσυμε τ λκλήρωμ b ( Ω) I = f Χ d = E (Κεφ. 9) + - + - C f 0
ΑΟΡΙΣΤΟ & ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Έστω ι συνεχεί συνρτήσει f, g στ διάστημ Δ κι,,γ Ξ D Ισχύυν ) f Χ d = 0 ) ) f Χ d =- f Χd λf Χ d = λ f Χd, λ ) 5) ( f ± g Χ d = f Χ d ± g Χd ( λf ± μg Χ d = λ f Χ d ± μ g Χd, λ, μ 6) γ f Χ d = f Χ d + f Χd γ Τ γ δεν είνι νγκί ν ρίσκετι στ γ ή γ ή γ [,], δηλ. μπρεί ν είνι Ερωτήσει. Ν χρκτηρίσετε τι πρκάτω πρτάσει με Σωστό (Σ) ή Λάθ (Λ). i. "Η F είνι πράγυσ τη f στ σύνλ Α" Σ Λ ii. " Η F είνι πράγυσ τη f στ διάστημ Δ " Σ Λ * iii. Η f ( ) = έχει πράγυσ την F( ) = ln στ Σ Λ iv. Η f ( ) = έχει πράγυσ την F( ) = ln( - ), < 0 Σ Λ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Ν υπλγισθύν τ λκληρώμτ + Χ ημ + συν i. I = Χd ii. Χ + συν συν + Χ ημ = Χd I Χ ( + συν) i. Είνι ( sun ) ( + sun ) + Χ ( sun ) + Χ hm + sun hm I = Χ d = Χd Χ + Χ + + sun Χhm = Χ d + Χd Χ + Χ + ( sun ) ( sun ) hm ( + sun) = Χ d + d d d Χ = Χ - Χ + sun + sun = ln - ln + sun + c = ln + c, c + sun ii. Είνι sun + Χ hm + sun - + Χhm I = Χ d = Χd Χ + Χ + ( sun ) ( sun ) + sun - Χ( -hm) d d ( sun ) ( sun ) = Χ + Χ Χ + Χ + -hm ( + sun) = Χd - d d d Χ = Χ - Χ + sun + sun = ln - ln + sun + c = ln + c, c + sun 5. Ν ρεθεί η συνάρτηση f γι την πί ισχύυν f = 0, f 0 =, f = κι f = 8 Είνι ( ) f = 0 Ϋ f = c Ϋ f = c + c Ϋ f ( ) = cχ + c Χ + c με c,c,c
ΑΟΡΙΣΤΟ & ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Είνι ό f ( 0) = ή c = c = f = ή c + c = ύ Ϋ c = c c = f = 8 ή Χ + Χ c + c = 8 ώ ρ, είνι f = + + 5 6. Ν ρεθεί η συνάρτηση f με πεδί ρισμύ τ ( 0,+ ), ν ισχύει f ( ) = κι η ευθεί ( ε ): y = + είνι σύμπτωτη τη C f στ +. Είνι Αφύ 5 5Χ 5 f = = 5Χ Ϋ f = + c = - Χ + c - + - - - + - + 5 5-5 Ϋ f = - Χ + c + c = Χ + c + c = Χ + c + c - + 5 5 Έχυμε λιπόν, f ( ) = Χ + c + c Ϋ f ( ) -( c + c) = Χ 5 Είνι lim ιf ( ) ( c c ) ω lim 0 + λ - + ϋ = Χ = + ω lim λ ι f - c + c ϋ = 0 +, η ευθεί y = c + c είνι σύμπτωτη τη C f στ +. Επμένω, c =, c = ρ, είνι 5 f ( ) = Χ + + 7. Ν ρεθεί η συνάρτηση f με πεδί ρισμύ τ, ν ισχύει η C f διέρχετι πό τ σημεί A 0,5 κι η εφπτμένη τη Cf στ Α έχει κλίση. f = 6 +, Είνι = + Ϋ = Χ + + = Χ + + Ϋ f = + + c + c, c, c. f 6 f 6 c c
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αφύ η διέρχετι πό τ σημεί, ισχύει C A( 0,5 ) f f 0 = 5 ή c = 5 Αφύ η εφπτμένη τη C στ 0 έχει κλίση, ισχύει f ( 0) = ή c = f ρ, είνι f = + + + 5 8. Ν ρεθεί η συνάρτηση f με πεδί ρισμύ τ 0,+, ν η κλίση τη C f σε πιδήπτε σημεί τη (,f ( ) είνι - + κι η C διέρχετι πό τ f σημεί A,. Η κλίση τη C f σε κάθε σημεί τη είνι - +, συνεπώ, γι κάθε > 0 ισχύει f ( ) = - + Ϋ f ( ) = + + c Αφύ η C f διέρχετι πό τ σημεί A(, ), είνι f = ή c = ρ, είνι f ( ) = + + 9. Ν ρεθεί η συνάρτηση f : 0, +, ν η κλίση τη σε πιδήπτε (,f ( ) σημεί τη είνι Χf κι η C διέρχετι πό τ σημεί A 0,. f C f Η κλίση τη σε κάθε σημεί τη είνι Χf, συνεπώ, γι κάθε ισχύει C f ( f ( ) > 0 ) f f ln f ln f + c ζ φ f = Χ Ϋ = Ϋ ( ( ) = Ϋ ( ( ) =η η f η ηθ χψ (*) Ϋ ln f ( ) = + c Ϋ f ( ) = e,c (*) Αν δύ συνρτήσει έχυν ίσε πργώγυ, τότε διφέρυν κτά στθερά c. C f A( 0, ) Αφύ η διέρχετι πό τ σημεί, είνι f 0 = ή c = 0 ρ, είνι f ( ) = e
ΑΟΡΙΣΤΟ & ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 0. Ν ρεθεί η συνάρτηση f : 0,+ γι την πί ισχύει + Χ f ( ) + f ( ) = γι κάθε > 0 κι f = ln. + + Ξ ( 0, + ) Γι κάθε ισχύει ( + + + ) Χ f ( ) + f ( ) = Ϋ ( Χ f ( ) = Ϋ + + + + ( (*) Χ f = ιln ω κ + + ϊ Ϋ Χ f ( ) = ln( + + ) + c λ ϋ = Επειδή f ln γι = θ πάρυμε Χ f = ln + c Ϋ c = 0 ρ, είνι ( > 0 ) ln + + Χ f = ln + + Ϋ f ( ) = (*) Αν δύ συνρτήσει έχυν ίσε πργώγυ, τότε διφέρυν κτά στθερά c.. Ν ρεθεί η συνάρτηση f : γι την πί ισχύει Χ f ( ) + ( + ) Χ f ( ) = ημ γι κάθε κι f ( 0) = Γι κάθε ισχύει Χ f + + Χ f = hm Ϋ + Χ + + Χ = - Ϋ ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( sun) ( * ι ) + Χ f ω = -sun Ϋ κλ ϊϋ + Χ f = - sun + c, c (*) Αν δύ συνρτήσει έχυν ίσε πργώγυ, τότε διφέρυν κτά στθερά c. = Επειδή f 0 =, γι 0, θ πάρυμε f 0 = - sun0 + c ή c = ρ, είνι -sun + Χ = - + Ϋ = ( ) f ( ) sun f ( ) + 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ *. Ν ρεθεί η συνάρτηση f : 0, + γι την πί ισχύει Χ f = 8 Χf γι κάθε κι f =-. Γι κάθε (*) Αν δύ συνρτήσει έχυν ίσε πργώγυ, τότε διφέρυν κτά στθερά c. Επειδή f = -, γι =, θ πάρυμε - = + c ή = + c Ϋ c = 0 f Επειδή ρ, είνι * ισχύει ( f ( ) Ή0 ) f ( ) f ( ) f 8 f Χ = Χ Ϋ = Ϋ ρ, είνι - f ( ) f = Ϋ = - ζ ( * φ η ) η- η = Ϋ- = + c,c ηθ f ( ) ψχ f ( ). Ν ρεθεί η πργωγίσιμη συνάρτηση f : 0,+ γι την πί ισχύει f = + κι f =. Γι κάθε > 0 ισχύει ( Χ > 0) f = + Ϋ f Χ = + Χ Ϋ f ( ) Χ ( ) = + Ϋ ιf ( ) ω κ ϊ = + λ ϋ Θέτυμε = u, πότε u f ( u) = u + u Ϋ f ( u) = Χ + u + c,c f = ή c = (*) f ( u) = Χ u + u + Ϋ f ( ) = Χ + + (*) λλγή συμλισμύ. 6
ΑΟΡΙΣΤΟ & ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. Ν ρεθεί η πράγυσ τη συνάρτηση η πί διέρχετι πό τ σημεί A(,e ). f μ + + < = ν ξ + + ³, 0 e, 0 Οι πράγυσε τη f είνι μ + + + c, < 0 F( ) = ν,c,c e + + + c, ³ 0 ξ Επειδή η γρφική πράστση τη F διέρχετι πό τ σημεί F = e ή e + + + c = e ή c = - Αφύ η F είνι πργωγίσιμη, άρ κι συνεχή, θ ισχύει ρ, είνι F( ) lim F = lim F = F 0 ή c = + c = + c Ϋ - + 0 0 c = - Ϋ c = - μ + + -, < 0 = ν + + - ³ e, 0 ξ A(,e), είνι μ-, < 5. Ν ρεθεί η συνάρτηση f : γι την πί ισχύει f ( ) = ν -, ³ κι ξ f ( 0) =. Είνι μ -, < f ( ) = ν ξ -, ³ Επειδή f ( 0) = ή c = πότε μ - + < = - + c, ³ ξ c, f ( ) ν c,c 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Επειδή η f είνι πργωγίσιμη, άρ κι συνεχή, θ ισχύει lim f = lim f = f ή - + 5 = - + c = - + c ή c = ρ, είνι μ - + <, f 5 = ν - +, ³ ξ 6. Ν ρεθύν ι πράγυσε τη συνάρτηση μ +, Ξ( 0,) f ( ) = ν + 5, Ξ, + ξ [ ) Ο τύπ τη f γράφετι f μ +, Ξ( 0,) = ν - - + 5 Ξ + ξ,, [ ) Γι Γι 0 < < ³ ι πράγυσε τη f είνι + + F( ) = Χ + + c + + = Χ + + c = Χ + Χ + c, c ι πράγυσε τη f είνι - + 5 - + 5 F( ) = Χ + + c - + - + 5 8 5 5 = + + c = Χ + Χ + c, c 5 8
ΑΟΡΙΣΤΟ & ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αφύ η F είνι πργωγίσιμη, άρ κι συνεχή, θ ισχύει lim F = lim F = F ή - + 8 5 5 7 + + c = + + c Ϋ + c = + c Ϋ c = c - μ Χ + Χ + c, Ξ ( 0,) ρ, είνι F( ) = ν Ϋ 8 5 5 Χ + Χ + c -, Ξ [, + ) ξ μ Χ + Χ + c, Ξ( 0,) F( ) = ν με c 8 5 5 Χ + Χ + c -, Ξ [, + ) ξ 7. Ν ρεθύν ι πράγυσε τη συνάρτηση f ( ) = +,. μ- +, < 0 Ο τύπ τη f γράφετι χωρί πόλυτf ( ) = ν ξ +, ³ 0 μ- + + c, < 0 Οι πράγυσε τη f είνι F( ) = ν, c,c ξ + + c, ³ 0 Αφύ η F είνι πργωγίσιμη, άρ κι συνεχή, θ ισχύει ρ, είνι = = ή = = Ϋ = lim F lim F F 0 c c c c c - + 0 0 F μ- + + c, < 0 = ν, c ξ + + c, ³ 0 8. Ν ρεθύν ι πράγυσε των συνρτήσεων μ, 0 i. f ( ) = ν ii. ξ, > 0 i. Οι πράγυσε τη f είνι f ( ) = + μ + c, 0 F( ) = ν, c,c ξ + c, > 0 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αφύ η F είνι πργωγίσιμη, άρ κι συνεχή, θ ισχύει ρ, είνι = = ή = = Ϋ = lim F lim F F 0 c c c c c - + 0 0 F μ + c, 0 = ν, c ξ + c, > 0 μ- -, <- f = ν ξ +, ³- μ- - + c, <- F = ν ξ + + c, ³- ii. Ο τύπ τη f γράφετι χωρί πόλυτ Οι πράγυσε τη f είνι Αφύ η F είνι πργωγίσιμη, άρ κι συνεχή, θ ισχύει ρ, είνι lim F = lim F = F - ή + c = - + c = - + c Ϋ c = c + - + - - F μ- - + c, <- = ν c ξ + + c +, ³- ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σ χ λ ι κ ό Β ι λ ί σ ε λ. 0 7 / Α σ κ ή σ ε ι : Α :,,,, Β : σ ε λ. / Α :,,,, σ ε λ. 8 / Α :,,,, 6 Ομάδ Α Ν υπλγισθύν τ λκληρώμτ ημ 9. I = Χd + συν 0. + + I = Χd.. ζ-φ I = Χd η θ χ ψ ζ φ = η χ + Χ συν ηθ χψ I d η π χ. p p 6 I = σφχd 0