Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019

εσµευµένη Πιθανότητα Πολλαπλασιαστικός Νόµος Ανεξάρτητα Γεγονότα Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Κανόνας Bayes

Εστω Ω ο δειγµατοχώρος ενός πειράµατος τύχης και A και B δύο γεγονότα αυτού. Θεωρούµε P(A) την πιθανότητα να πραγµατοποιείται το γεγονός A και P(B) την πιθανότητα να πραγµατοποιείται το γεγονός B. Θέλουµε να ϐρούµε την πιθανότητα να πραγµατοποιείται το γεγονός A, δεδοµένου ότι έχει γίνει το γεγονός B. Γνωρίζουµε ότι A B είναι το γεγονός που συµβαίνει όταν πραγµατοποιείται ταυτόχρονα το A και B µέσα στο δειγµατοχώρο Ω. Εστω Γ το γεγονός, του οποίου ψάχνουµε την πιθανότητα. Η πιθανότητα του γεγονότος Γ είναι η πιθανότητα του A B µέσα στο γεγονός B, διότι τότε πραγµατοποιείται το Α, εφόσον έχει γίνει το Β. Με άλλα λόγια έχουµε ένα νέο δειγµατοχώρο Ω 1 = B και το γεγονός Α έχει γίνει πια A B. Άρα, P(Γ) = A B. B

εσµευµένη Πιθανότητα Εστω Α,Β δύο γεγονότα ενός πειράµατος τύχης και P(B) > 0. Η πιθανότητα του γεγονότος Α µε δεδοµένη την πραγµατοποίηση του γεγονότος Β καλείται δεσµευµένη πιθανότητα, συµβολίζεται µε P(A B) και δίνεται από τον τύπο P(A B) = P(A B). P(B) Οταν P(B) = 0, τότε η δεσµευµένη πιθανότητα P(A B) δεν ορίζεται. Η πιθανότητα P(A) καλείται εκ των προτέρων πιθανότητα, ενώ η δεσµευµένη πιθανότητα P(A B) καλείται εκ των υστέρων πιθανότητα.

Παρατηρήσεις Η δεσµευµένη πιθανότητα του B δοθέντος του A, δεδοµένου P(A) > 0, δίνεται από τον τύπο P(B A) = P(A B). P(A) Αν τα γεγονότα A και B είναι ξένα µεταξύ τους, τότε P(A B) = 0. Αν B A, τότε B A = B και P(A B) = 1. Η πιθανότητα P(A B ) εκφράζει την πιθανότητα να συµβαίνει το A, ενώ δε συµβαίνει το B.

Θεώρηµα Εστω Ω ένας δειγµατοχώρος και Β ένα γεγονός του µε P(B) > 0. Τότε ισχύουν τα εξής : P(A B) 0, για κάθε γεγονός A του Ω, P(Ω B) = 1 P(A 1 A 2...A n B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) +... + P(A n B), για οποιαδήποτε ακολουθία A 1, A 2,..., A n ασυµβίβαστων ανά δύο γεγονότων του συνόλου των γεγονότων του Ω.

Ιδιότητες εσµευµένης Πιθανότητας Εστω Ω ένας δειγµατοχώρος και B ένα γεγονός αυτού µε P(B) > 0. Για τη δεσµευµένη πιθανότητα ισχύουν τα εξής : P( B) = 0, P(A B) = 1 P(A B), P(A Γ B) = P(A Γ B) = P(A B) P(A Γ B), P(A Γ B) = P(A B) + P(Γ B) P(A Γ B), αν Γ A, τότε P(Γ B) P(A B).

Ασκήσεις 1. Το 51% των κατοίκων µιας περιοχής είναι άντρες. Γνωρίζουµε ότι το 4.2% των κατοίκων της περιοχής πάσχει από αχρωµατοψία και ότι το 4% των κατοίκων της περιοχής είναι άντρες που πάσχουν από αχρωµατοψία. Αν επιλέξουµε τυχαία ένα άτοµο από την περιοχή και είναι άντρας, ποια είναι η πιθανότητα να πάσχει από αχρωµατοψία. 2. Επιλέγουµε τυχαία µια οικογένεια από το σύνολο των οικογενειών που έχουν δύο παιδιά και καταγράφουµε το ϕύλο των παιδιών. Ποια είναι η πιθανότητα τα παιδιά να είναι και τα δύο αγόρια αν γνωρίζουµε ότι τουλάχιστον το ένα είναι αγόρι.

Εστω Α,Β δύο γεγονότα. Τότε ισχύει : P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B), εφόσον P(A B) και P(B A) µπορούν να οριστούν. Θεώρηµα Για τα γεγονότα A 1, A 2,...,A n ενός δειγµατοχώρου Ω µε P(A 1 A 2... A n 1 ) > 0 ισχύει P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )... P(A n A 1 A 2... A n 1 ). Ο παραπάνω τύπος καλείται πολλαπλασιαστικός νόµος ή πολλαπλασιστικός τύπος.

Ασκηση 3 Σε ένα ϕαρµακείο υπάρχουν 7 κουτιά από ένα χάπι, από τα οποία τα 3 έχουν λήξει. Να υπολογιστούν οι παρακάτω πιθανότητες : α) να δοθεί σε δύο συνεχόµενους πελάτες κουτί που έχει λήξει, ϐ) να δοθεί σε δύο συνεχόµενους πελάτες κουτί που δεν έχει λήξει, γ) στον πρώτο πελάτη να δοθεί κουτί που έχει λήξει και στον δεύτερο πελάτη κουτί που δεν έχει λήξει, δ) στον πρώτο πελάτη κουτί που δεν έχει λήξει και στο δεύτερο πελάτη κουτί που έχει λήξει, ε) στους τρεις πρώτους πελάτες να δοθεί κουτί που δεν έχει λήξει.

Γενικά η δεσµευµένη πιθανότητα ενός γεγονότος Α είναι διαφορετική από την αντίστοιχη µη δεσµευµένη πιθανότητα. Υπάρχουν όµως περιπτώσεις που ισχύει P(A B) = P(A B ) = P(A). Σε περίπτωση που ισχύει η παραπάνω σχέση αυτό σηµαίνει πως η πραγµατοποίηση ή όχι του γεγονότος Β δεν έχει καµία επίδραση στην πραγµατοποίηση του Α. Αντίστοιχα, αποδεικνύεται ότι και η πραγµατοποίηση του Α δε ϑα έχει καµία επίδραση στην πραγµατοποίηση του Β, δηλ. P(B A) = P(B). Σε αυτή την περίπτωση λέµε πως τα γεγονότα είναι ανέξαρτητα µεταξύ τους.

Ορισµός ύο γεγονότα Α και Β ενός δειγµατοχώρο Ω καλούνται ανεξάρτητα ή στοχαστικά ανεξάρτητα αν ισχύει P(A B) = P(A) P(B). Σε αντίθετη περίπτωση καλούνται εξαρτηµένα. Ιδιότητες Αν P(A B) = P(A B ), τότε ισχύει P(A B) = P(A B ) = P(A). Αν τα γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους, τότε και τα παρακάτω Ϲεύγη είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους Α και Β, Α και Β, Α και Β.

Ορισµός Θα λέµε ότι n 2 γεγονότα A 1, A 2,..., A n ενός δειγµατοχώρου Ω είναι ανεξάρτητα ή τελειώς ανεξάρτητα αν για οποιοδήποτε σύνολο k δεικτών i 1, i 2,..., i k από το σύνολο {1, 2,..., n} ισχύει P(A i1 A i2... A ik ) = P(A i1 )P(A i2 )...P(A ik ). Το πλήθος των σχέσεων που πρέπει να ικανοποιείται είναι 2 n n 1.

Ορισµός ύο γεγονότα A και B είναι ανεξάρτητα υπό συνθήκη Γ µε P(Γ) > 0 αν ισχύει P(A B Γ) = P(A Γ)P(B Γ). Ασκηση 4 Ρίχνουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές και έστω τα γεγονότα Α : η ένδεικη στη δεύτερη ϱίψη είναι κεφαλή, Β: η ένδειξη στην πρώτη ϱίψη είναι γράµµατα. Να εξετάσετε αν τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα.

ιαµέριση ενός δειγµατοχώρου Ω καλείται µια οικογένεια γεγονότων A 1, A 2,..., A n τα οποία είναι ασυµβίβαστα µεταξύ τους ανά δύο και η ένωση αυτών δίνει το δειγµατοχώρο Ω, δηλαδή Ω = A 1 A 2... A n, A i A j =, i j. Θεωρούµε ένα γεγονός B στο δειγµατοχώρο Ω και A 1, A 2,..., A n µια διαµέριση αυτού, τότε τα γεγονότα B A 1, B A 2,..., B A n αποτελούν µια διαµέριση του γεγονότος B.

Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Αν A 1, A 2,..., A n είναι µια διαµέριση ενός δειγµατοχώρου Ω µε P(A i ) > 0 για όλα τα i = 1, 2,..., n, τότε για κάθε ενδεχόµενο B του Ω ισχύει n P(B) = P(A k )P(B A k ). k=1

Ασκηση 5 Σε µια αποθήκη είναι αποθηκευµένα εξαρτήµατα του ιδίου τύπου που προέρχονται από τρεις διαφορετικούς προµηθευτές Α,Β,Γ σε ποσοστά 50% από τον Α, 40% από τον Β και 10% από τον Γ. Κάθε προµηθευτής παράγει ελαττωµατικά εξαρτήµατα σε ποσοστά 6%, 10% και 15% αντίστοιχα. Εστω ότι επιλέγουµε στην τύχη ένα εξάρτηµα από την αποθήκη. Να ϐρεθεί η πιθανότητα να επιλέξουµε ελλατωµατικό εξάρτηµα.

Ασκηση 6 Το 2% ενός πληθυσµού πάσχει από µια ασθένεια. Η εξέταση που χρησιµοποιείται για τη διάγνωση της ασθένειας δίνει σωστή διάγνωση στο 90% των περιπτώσεων, όταν το άτοµο που υποβάλλεται στην εξέταση πάσχει από την ασθένεια και στο 95% των περιπτώσεων όταν δε πάσχει από την ασθένεια. Ενα άτοµο επιλέγεται στην τύχη από τον πληθυσµό και υποβάλλεται στην εξέταση. α) Ποια είναι η πιθανότητα η εξέταση να ϐγει ϑετική, δηλαδή να δείξει ότι πάσχει από την ασθένεια ; ϐ) Ποια είναι η πιθανότητα λανθασµένης διάγνωσης; γ) Ποια είναι η πιθανότητα να πάσχει από την ασθένεια ένα άτοµο για το οποίο η εξέταση ήταν ϑετική ;

Θεώρηµα Κανόνας του Bayes Εστω A 1, A 2,..., A n είναι µια διαµέριση ενός δειγµατοχώρου Ω µε P(A i ) > 0 για όλα τα i = 1, 2,..., n. Εστω B ένα γεγονός µε P(B) > 0. Τότε P(A i B) = P(A i )P(B A i ) P(B A 1 )P(A 1 ) + P(B A 2 )P(A 2 ) +... + P(B A n )P(A n ).

Ασκηση 7 Το 7% του πληθυσµού µιας αφρικανικής χώρας πάσχει από AIDS. Ενα άτοµο για το οποίο υπάρχει υποψία ότι πάσχει από την ασθένεια υποβάλλεται σε δύο ανεξάρτητα µεταξύ τους τεστ. Ενα τεστ έχει πιθανότητα ϑετικού ή αρνητικού σφάλµατος 2%. Ποια η πιθανότητα να πάσχει πράγµατι από την ασθένεια α) εδοµένου ότι και τα δυο τεστ είναι ϑετικά ; ϐ) εδοµένου ότι µόνο το ένα τεστ είναι ϑετικό;

Ασκηση 8 Από µελέτες που έγιναν σε µια χώρα, διαπιστώθηκε ότι το ποσοστό των γυναικών που πάσχουν από καρκίνο της µήτρας είναι 1τοις χιλοις (0.001). Το τεστ Παπανικολάου κάνει ορθή διάγνωση µε πιθανότητα 98%. Αν µια γυναίκα της χώρας υποβληθεί στο τεστ και ϐγει ϑετικό, δηλαδή δείχνει ότι η γυναίκα πάσχει από την ασθένεια, ποια είναι η πιθανότητα η γυναίκα να έχει πράγµατι καρκίνο.

Ασκηση 9 Ενα δοχείο περιέχει 6 κόκκινες και 4 πράσινες σφαίρες, ενώ ένα δεύτερο δοχείο περιέχει 7 κόκκινες και 3 πράσινες σφαίρες. Μια σφαίρα επιλέγεται στην τύχη από το πρώτο δοχείο και τοποθετείται στο δεύτερο. Στη συνέχεια µια σφαίρα επιλέγεται στην τύχη από το δεύτερο δοχείο και τοποθετείται στο πρώτο. α) Ποια είναι η πιθανότητα να εξαχθεί κόκκινη σφαίρα από το πρώτο δοχείο και κόκκινη από το δεύτερο; ϐ) Ποια είναι η πιθανότητα στο τέλος του πειράµατος να µην αλλάξει η σύνθεση των δυο δοχείων;