Πραγματικοί Αριθμοί 2

Διαφορικός Λογισμός Συναρτήσεις μίας μεταβλητής Όριο και συνέχεια Συνάρτησης Παράγωγος Συνάρτησης o Ιδιότητες παραγώγων o Κανόνες παραγώγισης o Διαφορικό συνάρτησης o Συναρτήσεις με παραμετρική μορφή Βασικά θεωρήματα διαφορικού λογισμού Απροσδιόριστες Μορφές (κανόνας L Hospital) Σειρές Taylor 1

Συναρτήσεις Όταν συμπιέζουμε ή αποσυμπιέζουμε ένα αέριο, διατηρώντας τη θερμοκρασία του σταθερή, τότε η πίεση p του αερίου και ο όγκος του V συνδέονται με τη σχέση: pv = c όπου c είναι ένας σταθερός θετικός αριθμός που εξαρτάται από τη θερμοκρασία του αερίου. Η σχέση αυτή αποδεικνύεται με πειραματική παρατήρηση, ονομάζεται νόμος του Boyle και δεν μας λέει τίποτε για τις ποσότητες p και V. Όμως, από κάθε τιμή της p καθορίζεται μια μοναδική τιμή του V και, αντιστρόφως, από κάθε τιμή του V καθορίζεται μια μοναδική τιμή της p: Δηλ. V=c/p ή p=c/v 5

Συναρτήσεις 6

Όριο Συνάρτησης 14

Συνέχεια Συνάρτησης 15

Συνέχεια Συνάρτησης 16

Παράγωγος Συνάρτησης 17

Παράγωγος Συνάρτησης Κανόνες Παραγώγισης Παράγωγος Αθροίσματος Παράγωγος Γινομένου Παράγωγος Πηλίκου Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης 18

Βιβλίο Μαθηματικών σελ. 251 20

Βιβλίο Μαθηματικών σελ. 252 22

Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων 25

Παράγωγοι Συναρτήσεων Παραγώγιση πεπλεγμένης Συνάρτησης F(x,y) = 0 Ακολουθούμε τον κανόνα της αλυσίδας: 28

Παράγωγοι Συναρτήσεων Παραγώγιση πεπλεγμένης Συνάρτησης Η συνάρτηση λύνεται ως προς y: Ακολουθούμε τους τύπους σύνθετης παραγώγισης... π.χ. 3x 3 y-4y-2x+1=0 Η συνάρτηση δε λύνεται ως προς y: την αντιμετωπίζουμε ως πεπλεγμένη? παραδείγματα: να υπολογιστούν το dy/dx των συναρτήσεων: 1. xy = τοξεφx/y 2. 2 x +2 y = 2 x+y 3. x 3 +y 3 =3xy 29

Παράγωγοι Συναρτήσεων Παραγώγιση Συνάρτησης που δίνεται με παραμετρική μορφή δηλ. y = y(x) και x = x(t), y = y(t) Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση x = x(t) έχει αντίστροφη (η οποία προφανώς πρέπει να ορίζεται και να είναι 0 οπότε έχουμε: παραδείγματα: να υπολογιστούν το dx/dy των συναρτήσεων: 1. y = e t, x=2t 2. y=t 2-2t, x=t 2 +t 3 3. y=y(x) όπου: y(t)=ημt και x(t)=συνt 30

Παράγωγοι Συναρτήσεων Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης Παράδειγμα: 31

Παράγωγοι ανώτερης τάξης Παραδείγματα: Να υπολογιστεί η αν x 3 + y 3 3xy = 0 32

Μερικές Παράγωγοι 33

Μερικές Παράγωγοι Έστω μία συνάρτηση πολλών μεταβλητών f(x,y,z)=0 Η μερική παράγωγος της συνάρτησης f ως προς x συμβολίζεται με και παριστάνει την κλίση της εφαπτόμενης της καμπύλης c 1 στο σημείο x o,y o, πάνω στο επίπεδο y=y o. 34

Μερικές Παράγωγοι Παράδειγμα: και μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης τις: 35

Μερικές Παράγωγοι Παραδείγματα 36

Η παράγωγος μίας πεπλεγμένης συνάρτησης δίδεται από τη σχέση: 37

Μερικές Παράγωγοι Ασκήσεις 1. 2. 3. 38

Διαφορικό Συνάρτησης φ Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x και Δх μια μεταβολή της x. Αν Δх 0 ο συμβολισμός dx ονομάζεται διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x. Γεωμετρική Ερμηνεία: Βλέπουμε ότι αν το x μεταβληθεί κατά Δx, τότε θα έχουμε: y = x εφφ Και αν Δх 0 dy y dy = dx εφφ = dx = dx y' dx 39

Διαφορικό Συνάρτησης Παραδείγματα: 40

Διαφορικό Συνάρτησης Όσο μικρότερα είναι τα dx, dy, dz τόσο καλύτερη προσέγγιση είναι το διαφορικό στην αντίστοιχη μεταβολή της συνάρτησης. Όταν ένας αριθμός μικρών ανεξάρτητων μεταβολών συμβαίνει ταυτόχρονα σε ένα σύστημα το συνολικό αποτέλεσμα είναι ίσο με το άθροισμα των επιμέρους αποτελεσμάτων. 41

Διαφορικό Συνάρτησης Γενικά για το Διαφορικό Συνάρτησης ισχύει: dy = f (x)dx Το διαφορικό μιας συνάρτησης χρησιμοποιείται (εκτός των άλλων) και για τον προσδιορισμό προσεγγιστικών τύπων. Δηλ. γίνεται χρήση της σχέσης Δy dy Δηλ: f(x + Δx) f(x) f (x)δx Παράδειγμα: Να υπολογιστεί η 42

Πολυώνυνο Taylor Από το Διαφορικό συνάρτησης dy = f (x)δx επειδή Δy dy επομένως: Δy = f (x)dx f(x+xo) f(x) +f (x)dx ή f(x) f(xo) + f (xo)(x-xo) σχέση η οποία αποτελεί μία προσέγγιση της τιμής της f(x) στο σημείο xo. Μία πολύ καλύτερη προσέγγιση μας δίνει το πολυώνυμο του Taylor: 43

Τύπος του Taylor 44

Τύπος του Taylor Όταν είναι x o = 0, ο τύπος λέγεται τύπος ή ανάπτυγμα Maclaurin. Παραδείγματα: f(x)= 2x 3 +x 2-3x+1 και x o =1 να βρεθεί το προσεγγιστικό πολυώνυμο. f(x)=e x γύρω από το 0. f(x) = ημx και f(x) =συνx, με κέντρο το 0. 45

Τύπος του Taylor Πολυώνυμα Taylor της συνάρτησης συνx για n=0 έως 11 γύρω από το σημείο 0. 46

Τύπος του Taylor Πολυώνυμα Taylor της συνάρτησης ημx για n=0 έως 11 γύρω από το σημείο π/2. 47