ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε Α=Β, αν είναι του ίδιου τύπου και τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα: δηλαδή α ij =β ij Παράδειγμα 2: Η ισότητα x+ y 2z+ w = x y z w 3 5 1 4 είναι ισοδύναμη με το εξής σύστημα εξισώσεων: x+y=3 x y=1 2z+w=5 z w=4

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 3: Το άθροισμα δυο πινάκων Α και Β του αυτού τύπου m n, ορίζεται να είναι ο πίνακας C που προκύπτει από την πρόσθεση των αντίστοιχων στοιχείων: α α α β β β α α α β β β A=, B= αm1 αm2 αmn βm1 βm2 βmn α +β α +β α +β C= A+ B = α m1 +βm1 α m2 +βm2 α mn +βmn 11 12 1n 11 12 1n 11 11 12 12 1n 1n α 21 +β 21 α 22 +β 22 α 2n +β 21 22 2n 21 22 2n 2n Ορισμός 4: Το γινόμενο ενός αριθμού k επί τον πίνακα Α είναι ο πίνακας που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο του Α με το k. k α11 k α12 k α1n k 21 k 22 k 2n k α α α A = k αm1 k αm2 k αmn Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι το σύνολο των πινάκων τύπου m n αποτελεί διανυσματικό χώρο επί του σώματος F με τις παραπάνω πράξεις.

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρούμε δύο πίνακες A και B τέτοιους ώστε ο αριθμός των στηλών του Α να ισούται με τον αριθμό των γραμμών του Β, δηλαδή ο Α είναι ένας πίνακας τύπου m p και ο Β τύπου p n. α11 α12 α1p β11 β12 β1n α21 α22 α2p β21 β22 β2n A=, B= α m1 αm2 αmp βp1 βp2 βpn Ορισμός 5: Σαν γινόμενο των δυο πινάκων Α, Β ορίζουμε τον πίνακα C τύπου m n, του οποίου το c ij στοιχείο προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την i γραμμή του Α, με την j στήλη του Β. C α11 α12 α1p β11 β1j β1n α α α β c c c c c c 11 12 1n 21 22 2n = i1 i2 ip ij = cij α α α β β β m1 m2 mp p1 pj pn c c c m1 m2 mn όπου c ij =α i1 β 1j + α i2 β 2j + + α ip β pj

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Παράδειγμα 1: Για τους πίνακες: έχουμε: 2 1 1 2 5 A = 1 0, B = 3 4 0 3 4 21 13 22 14 25 10 1 0 10 C = A B = 11 + 0 3 12 + 0 4 15 + 0 0 = 1 2 5 3 1+ 4 3 3 2+ 4 4 3 5+ 4 0 9 10 15 Επειδή ο Α είναι τύπου 3 2 και ο Β 2 3 ορίζεται και το γινόμενο Β Α, που D είναι ο πίνακας: D 2 1 1 2 5 1.2 + 2.1 + 5.( 3) 1.( 1) + 2.0 + 5.4 11 19 = BA = 1 0 3 4 0 = = 3.2 + 4.1+ 0.( 3) 3.( 1) + 4.0 + 0.4 10 3 3 4 Από το παράδειγμα αυτό βλέπουμε ότι γενικά δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα των πινάκων, δηλαδή C=ΑΒ ΒΑ=D.

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Από το ορισμό του πολλαπλασιασμού των πινάκων προκύπτει: 1. Το γινόμενο ενός πίνακα γραμμή επί έναν πίνακα στήλη είναι ένας αριθμός. Πράγματι αν A είναι ένας πίνακας γραμμή και B ένας πίνακας στήλη, τότε β1 β 2 A = ( α α,..., α n ), B = AB = α β + α β +... + α β β n 1, 2 1 1 2 2 n n Το γινόμενο ενός πίνακα στήλη επί έναν πίνακα γραμμή, είναι ένας τετραγωνικός πίνακας. Πράγματι: BA β1 βα 1 1 βα 1 2 βα 1 n β2 2 1 2 2 2 n ( 1, 2,, n ) βα βα βα = α α α = β n β nα 1 β nα 2 β nα n

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ A t Είδη Πινάκων 1. Ανάστροφος Α t (Α t ) ij =(A) ji ή (α ij ) t =α ji t α11 α12 α1n α11 α21 αm1 t 1 4 α21 α22 α2n α12 α22 α 1 2 3 m2 = = = 2 5 4 5 6 3 6 αm1 αm 2 αmn α1n α2n αmn 2. Συζυγής (Α * ) ij =(A) * ji 1+ i2 3 i6 1 i2 3+ i6 * A= = 4 8 i 2 A + 4 8 i 2 3. Συζυγοανάστροφος ή συναφής (Α + ) ij =(A * ) ji ή (α ij ) + =(α ji ) * A 1 + i 2 3 i 6 1 i 2 4 + =, 4 8 i 2 A + 3+ i6 8 i 2

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Είδη Τετραγωνικών Πινάκων 1 0 0 1. Ταυτοτικός πίνακας Ι n (α) ij =δ ji ή (α ij ) t =α ji I 3 = 0 1 0 0 0 1 α11 α12 α1n 0 α22 α2n 2. Άνω τριγωνικός πίνακας 0 0 0 α nn Ομοίως ορίζεται ο κάτω τριγωνικός 3. Διαγώνιος πίνακας α ij =0, για i j τα μη διαγώνια στοιχεία είναι μηδέν 4. Συμμετρικός πίνακας Α α ij =α ji δηλαδή ο ανάστροφος Α t του Α συμπίτει με τον Α: Α t =Α. 1 5 7 2 5 0 6 3 A = 7 6 8 4 2 3 4 1

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Είδη Τετραγωνικών Πινάκων 5. Αντισυμμετρικός πίνακας Α α α ij = α ji, δηλαδή ο ανάστροφος Α t του Α συμπίτει με τον αντίθετο τουα: Α t = Α. Σ έναν αντισυμμετρικό πίνακα τα διαγώνια στοιχεία του είναι όλα μηδέν δό διότι α ii = α ii. 2α ii =0 α ii =0 0 2 5 7 2 0 9 12 B = 5 9 0 8 7 12 8 0 Κάθε πίνακας Α μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα, γιατί πάντα ισχύει η ταυτότητα: 1 t 1 t A= ( A+ A )+ ( A- A ) 2 2 6. Αντίστροφος ενός πίνακα Α, ονομάζεται ο πίνακας, που τον συμβολίζουμε A 1, τέτοιος ώστε: AA 1 =A 1 A=I. 7. Ορθογώνιος είναι ένας πίνακας Α όταν Α t =Α 1 : Α t Α=ΑΑ t =Ι Ίχνος, (trace), ενός τετραγωνικού πίνακα Α, είναι το άθροισμα των διαγωνίων στοιχείων του και γράφεται trace A ή tra.

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΓΡΑΜΜΟΪΣΟΔΥΝΑΜΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Γραμμοπράξεις ή στοιχειώδεις μετασχηματισμοί Γ 1 : Εναλλάσσουμε την θέση δύο γραμμών. Συμβολικά: ri rj 1 2 4 1 2 4 A = 2 5 9 r2 r3 A1 = 3 2 3 3 2 3 2 5 9 Γ 2 : Πολλαπλασιάζουμε μία γραμμή r i του πίνακα με ένα αριθμό α και η γραμμή που προκύπτει αντικαθιστά την αρχική. Συμβολικά: 1 2 4 1 2 4 A= 2 5 9 r2 2r2 A2 = 4 10 18 3 2 3 3 2 3 r i ar i

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΓΡΑΜΜΟΪΣΟΔΥΝΑΜΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Γραμμοπράξεις ή στοιχειώδεις μετασχηματισμοί Γ 3 : Σχηματίζουμε τον γραμμικό συνδυασμό των γραμμών r i και r j με τους αριθμούς α, b δηλαδή αr i +br j και η γραμμή που προκύπτει αντικαθιστά μια από τις r i, r j. Συμβολικά: r ar + br ή r ar + br i i j j i j A 1 2 4 1 2 4 = 2 5 9 r2 2r2 + r1 A3 = 3 8 14 3 2 3 3 2 3

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΛΙΜΑΚΩΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Ορισμός 1 Έστω ένας πίνακας Α τύπου m n. Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής ονομάζεται ηγετικό ή οδηγό στοιχείο της γραμμής, (pivot). Ο πίνακας Α λέγεται κλιμακωτός, (ως προς τις γραμμές), αν (i) οι μηδενικές γραμμές, (εφ όσον υπάρχουν), βρίσκονται πιο κάτω από τις μη μηδενικές, (ii) το ηγετικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι το 1 και βρίσκεται δεξιότερα του αντίστοιχου ηγετικού στοιχείου της προηγούμενης γραμμής, Ένας κλιμακωτός πίνακας λέγεται ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας αν (iii) το ηγετικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι το μόνο μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία αυτό βρίσκεται.

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΛΙΜΑΚΩΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 1 0 Κλιμακωτός πίνακας 1 1 0 1 1 Ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΛΙΜΑΚΩΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 1 4 5 6 1 1 2 1 3 2 0 1 0 2 0 1 1 0 0 1,, 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ΑΝΗΓΜΕΝΟΙ ΚΛΙΜΑΚΩΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 1 3 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2, 0 1 2 0, 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Πως ένας mxn πίνακας Α μετασχηματίζεται σε κλιμακωτό χρησιμοποιώντας κατάλληλα τις γραμμοπράξεις Γ 1, Γ 2 και Γ 3 0 0 3 1 2 0 0 3 1 2 4 1 2 1 1 r r 4 1 2 1 1 3 4 A = B = 0 0 0 0 0 2 2 1 1 3 0 0 0 0 0 2 2 1 1 3 2 2 1 1 3 r 1 r 4 1 2 1 1 2 B C= 0 0 3 1 2 0 0 0 0 0 2 2 1 1 3 2 0 3 0 1 7 0 0 3 1 2 0 0 0 0 0 r2 r2 2r1 D = 1 1 1/2 1/2 3/2 r1 r1/2, r2 r2/3, r3 r3/3 0 1 0 1/3 7/3 D E= 0 0 1 1/3 2/3 0 0 0 0 0 1 0 1/2 1/6 5/6 1 0 0 0 7/6 r 0 1 0 1/3 7/3 1 r1 + r 2 = r r r 0 1 0 1/3 7/3 R = 0 0 1 1/ 3 2/ 3 0 0 1 1/3 2/3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E 1 1 3 /2

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ α 11 x 1 +α 12 x 2 =ββ 1 β1α22 β 2α12 β 2α11 β 1α21 α 21 x 1 +α 22 x 2 =β x 2 1=, x2 = D=α 11 α 22 α 12 α 21 0. α α α α α α α α 11 22 12 21 11 22 12 21 α α 11 12 A = α 21 α 22 Ορισμός 1: Ονομάζουμε ορίζουσα του πίνακα Α (determinant), την ποσότητα D,, την οποίαθασυμβολίζουμε μ με: det A α α 11 12 = A = =α11α22 α12α21 α21 α22 α α α 11 12 13 A = α21 α22 α α22 α23 α21 α23 α21 α22 23 det A =α11 det α 12 det +α13 det α 32 33 31 33 31 32 31 α 32 α α α α α α α 33 32 33 31 33 31 32

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ορισμός 2: Έστω ένας πίνακας Α. Ορίζουμε ως ελάσσονα ορίζουσα D ij, του στοιχείου α ij την ορίζουσα του πίνακα, που προκύπτει από τον πίνακα Α αν αφαιρέσουμε την i-γραμμή και την j-στήλη. 1 2 4 3 2 3 2 5 9 D 11 = 2 3 3 3 3 2 D 12 = D13 5 9 2 9 2 5 2 4 D = 5 9 = 21 Ορισμός 3: Ορίζουμε ως συμπολλαπλασιαστή Α ij του στοιχείου α ij το γινόμενο της αντίστοιχης ελάσσονος ορίζουσας D ij επί (-1) i+j : A ij =(-1) i+j D ij ( ) 11 + 2 3 A 11= 1 D11 = D11 = ( ) 2 + 1 2 4 A 21= 1 D21 = D21 = 5 9 5 9 α22 α23 α21 α23 α21 α22 det A =α11 det α 12 det +α 13 det = α32 α33 α31 α33 α31 α32 =α Α +α Α +α Α 11 11 12 12 13 13 ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά την πρώτη γραμμή

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Παράδειγμα 1: Να υπολογιστεί η ορίζουσα του πίνακα: 2 3 4 A = 1 4 5 1 3 4 11 + 4 5 12 + 1 5 13 + 1 4 det A = 2( 1) det + ( 3)( 1) det + ( 4)( 1) det = 3 4 1 4 1 3 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = 2 4 4 5 3 + 3 1 4 5 4 1 3 4 = 1 Ας αναπτύξουμε την ίδια ορίζουσα κατά την δεύτερη στήλη: 1 2 1 5 2 2 2 4 3 2 2 4 det A + + + = ( 3 )( 1 ) det + 4 ( 1 ) det + ( 3 )( 1 ) det = 1 4 1 4 1 5 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = 3 1 4 5 + 4 2 4 4 + 3 2 5 4 1 = 1

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ 1) Η ορίζουσα κάθε τετραγωνικού πίνακα συμπίπτει με την ορίζουσα του αναστρόφου: det(a)=det(a t ). 11 12 11 21 det α α 11 22 12 21 11 22 21 12 det α α =α α α α =α α α α = α 21 α22 α12 α22 2) Για κάθε τετραγωνικό πίνακα n n ισχύει:det(λα)=λ n det(a) 11 12 2 2 11 12 det λα λα 11 22 12 21 ( 11 22 12 21 ) det α α = λα λα λα λα = λ α α α α = λ λα21 λα22 α21 α22 3) Αν δυο γραμμές ή δυο στήλες του πίνακα Α είναι ίδιες ή ανάλογες τότε detα=0 0. α α = α λα α λα = λ α α α α = ( ) 11 12 det 11( 12) 12( 11) 11 12 12 11 0 λα 11 λα 12

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ 4) Εάν εναλλάξουμε δυο γραμμές, (ή στήλες), του πίνακα Α, τότε η ορίζουσα του πολλαπλασιάζεται με 1. det α α 21 22 11 12 det α α =α21α12 α22α 11 = ( α11α22 α12α 21) = α11 α12 α21 α22 5) Εάν μια γραμμή, (ήστήλη), του πίνακα Α πολλαπλασιασθεί με τον αριθμό λ, τότε η ορίζουσα του πολλαπλασιάζεται επί λ. λα11 λα12 α11 α12 det =λα11α22 λα12α 21 =λdet α21 α22 α21 α22 6) Εάν τα στοιχεία μιας γραμμής, (ή στήλης), είναι άθροισμα δυο προσθετέων, τότε η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των δυο οριζουσών που η μια έχει τους πρώτους προσθεταίους και η άλλη τους δεύτερους: a11 a12 + b a11 a12 a11 b det = det + det a 21 a22 + c a21 a 22 a21 c

. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ 7) Η ορίζουσα ενός πίνακα δεν αλλάζει εάν οποιοδήποτε πολλαπλάσιο μιας γραμμής, (στήλης), του πίνακα προστεθεί σε μια άλλη γραμμή, (στήλη). Π.χ. α11 α 12 + λα11 α11 α12 det =α11( α 22 +λα21) ( α 12 +λα11) α 21 =α11α22 α12α 21 = det α 21 α 22 +λα21 α21 α22 8) Η ορίζουσα ενός διαγώνιου πίνακα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του: deta=αα 11 α 22 αα nn. α det 0 11 α 0 22 = α α 9) Η ορίζουσα του γινομένου δυο n n πινάκων ισούται με το γινόμενο των οριζουσών τους: det(ab)=det(a)det(b). Π.χ. 11 22 11 12 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22 det α α β β det α β + α β α β + α β = α 21 α22 β21 β22 α21β 11 + α22β21 α21β 12 + α22β22 Για το άθροισμα δεν ισχύει ανάλογη ιδιότητα: det(a+b) deta+detb.

. det A Ο γενικός τύπος: ij ij ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ n = α j1 = ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ A για τον υπολογισμό της ορίζουσας ενός πίνακα, δεν είναι εύχρηστος επειδή χρειάζονται n! πράξεις Με έναν ισχυρό υπολογιστή, που εκτελεί ένα εκατομμύριο πράξεις το δευτερόλεπτο, θα χρειαστεί 3,6 δευτερόλεπτα για να υπολογίσει μία ορίζουσα 10 10 επειδή 10!=3.628.800 και 77 χιλιάδες χρόνια για μια ορίζουσα 20 20, επειδή 20! 2.4 10 18. H ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο των διαγωνίων στοιχείων του, δηλαδή χρειαζόμαστε n-1 πολλαπλασιασμούς Μετασχηματίζουμε τον αρχικό πίνακα σε τριγωνικό έτσι ώστε η ορίζουσα του αρχικού να συμπίπτει με την ορίζουσα του τριγωνικού. Ο τρόπος αυτός ονομάζεται απαλοιφή του Gauss, και στηρίζεται στις ιδιότητες των οριζουσών

. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ Την μέθοδο απαλοιφής του Gauss ας την δούμε μέσα από ένα παράδειγμα. Έστω ότι έχουμε τον πίνακα: A 2 3 4 A = 1 4 5 1 3 4 2 3 4 2 3 4 r 2 1/2r 1+ r 2 = 1 4 5 A1 = 0 5/ 2 3 1 3 4 1 3 4 A A r3 1/2r1+ r3 = 0 5/ 2 3 1 2 2 3 4 0 3/ 2 2 2 3 4 r3 3/5r2+ r3 A Det(A)=Det(A )=2(5/2)(-1/5)=-1 2 A3 = 0 5/ 2 3 3 1 0 0 1/5

. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Έστω Α -1 ο αντίστροφος του Α. Από την σχέση ΑΑ -1 =Α -1 Α=Ι n, προκύπτει: det( AA ) det( A)det( A ) deti 1 det( A ) 1 1 1 1 = = n = = det( A ) Για να ισχύει η παραπάνω σχέση θα πρέπει deta 0 Τότε ο πίνακας Α λέγεται ομαλός ή μη ιδιάζων, Ο αντίστροφος πίνακας Α -1 δίνεται από τον τύπο: ( A ) α ij = = -1-1 ij i+j (-1) D D ji D=detA D ij είναι η "ελάσσων ορίζουσα" του στοιχείου α ij,

. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Παράδειγμα 1: Έστω ο πίνακας i+j (-1) Dji -1-1 ji ( A ) = αij = ij ) D D 2 5 A = 1 3 Κατ' αρχήν D=2 3-1 5=6-5=1 0 Άρα ο αντίστροφος A -1 υπάρχει Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις ελάσσονες ορίζουσες: Επομένως α α 1+1 1 (-1) D11 2 11 = =(-1 ).3=3 1 (1) D = = -1 1 2+1 1 (-1) D12 21 Τλ Τελικά 3 5 1 A = 1 2 α α 1 12 1+2 (1) (-1) D21 = = -5 1 (1) D = =2 1 2+2 1 (-1) D22 22 D 11 =3 D 12 =1 D 21 =5 D 22 =2

. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ -1-1 ji ( A ) = αij = ij i+j (-1) D Στην πράξη ο τύπος αυτός D Στην πράξη ο τύπος αυτός είναι δύσχρηστος Σχηματίζουμε τον διαμερισμένο πίνακα [Ι n A] 1 2 3 = 0 1 2 0 0 1 A 3 1 0 01 2 3 [ I A] = 0 1 00 1 2 0 0 10 0 1 Στη συνέχεια προσπαθούμε με πεπερασμένο πλήθος στοιχειωδών πράξεων στις γραμμές του να τον μετατρέψουμε σε πίνακα της μορφής [Χ Ι n ] Αποδεικνύεται ότι Χ=Α -1.

. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ 1 2 3 Παράδειγμα 3: Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 0 1 2 0 0 1 Διαμερισμένος πίνακας του Α 1 0 01 2 3 1 0 3 1 2 0 [ Ι3 Α] = 0 1 00 1 2 r1 r1+ 3r 3 0 1 0 0 1 2 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0 1 r2 r2 2r3 1 0 3 1 2 0 0 1 20 1 0 0 0 1 0 0 1 r1 r1 2r2 1 2 7 0 0 1 1 Τελικά A = 0 1 2 1 2 7 1 0 0 0 1 20 1 0 0 0 1 0 0 1

. ΥΠΟΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΒΑΘΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρούμε έναν πίνακα Α τύπου n m. Κάθε πίνακας, που προκύπτει από τον Α εάν αφαιρέσουμε έναν αριθμό στηλών, ή έναν αριθμό γραμμών ή και τα δυο, ονομάζεται υποπίνακας του πίνακα Α. Παράδειγμα 1: Εάν από τον πίνακα 3 3: 0 1 2 A = 1 5 2 2 0 7 αφαιρέσουμε την 2 η γραμμή r η 2 και την 2 στήλη c 2 θα προκύψει ο υποπίνακας 2 2: 2: r 2 0 2 A c = 2 2 7 Ορισμός 3: Ο θετικός αριθμός r λέγεται βαθμός ενός πίνακα Α, αν υπάρχει μη μηδενική υποορίζουσα r τάξης και όλες οι υποορίζουσες τάξεως k>r, εφ όσον υπάρχουν, είναι ίσες με μηδέν. Ο βαθμός ενός πίνακα Α συμβολίζεται με rank(a).

. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ a x + a x + + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2n n 2... a x + a x + + a x = b m 1 1 m 2 2 mn n m Ax = b Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν ένα σύστημα m γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους. Μια διατεταγμένη n-άδα (x 1,x 2,,x n ) λέγεται λύση του συτήματος, αν επαληθεύει όλες τις εξισώσεις του. Ένα γραμμικό σύστημα λέγεται συμβιβαστό, αν έχει μια τουλάχιστον λύση εάν έχει άπειρες λύσεις λέγεται αόριστο εάν δεν έχει καμία λύση, το σύστημα λέγεται ασυμβίβαστο ή αδύνατο.

. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος βασίζεται στην μέθοδο απαλοιφής του Gauss Πεπερασμένου πλήθους στοιχειώδεις πράξεις, (γραμμοπράξεις), στις εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος το μετατρέπει σε άλλο ισοδύναμο με το αρχικό, δηλαδή σε σύστημα το οποίο έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις με το αρχικό. [ A b ] a a a b a a a b a 1 a 2 a b 11 12 1n 1 21 22 2n 2 = m m mn m επαυξημένος πίνακας του συστήματος Θεώρημα 1: Αν ο πίνακας Α και ο επαυξημένος [Α b] του συστήματος m εξισώσεων με n αγνώστους Αx=b έχουν τον ίδιο βαθμό, δηλαδή αν rank(a)=rank[a b]=r, τότε το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με το σύστημα r εξισώσεων με n αγνώστους της μορφής:

. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) x + a x + + a x = b a x a x j 1 j j 1 j j 1 1 j j 1 j j 1 2 2 r r r+ 1 r+ 1 n n ( k) ( k) ( k) ( k) x + + a x = b a x a x j 2 j j 2 2 j j 2 j j 2 r r r+ 1 r+ 1 n n... ( k) ( k) x = b a x j r rj j ( k ) r r+ 1 r+ 1 n n a rj x j είναι μια κλιμακωτή μορφή του επαυξημένου πίνακα

.. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Παράδειγμα 1: Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα: x1 2x2 + x3 = 4 1 2 1 4 2x1+ 6x2 x3 = 6 Ο προσηρτημένος πίνακας είναι: [ Ab ] = 2 6 16 x 1 3x2 + 2x3 = 7 1 3 2 7 Παρατηρούμε ότι rank(a)=rank[a b]=3 και επομένως το σύστημα έχει λύση. 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 = 2 6 16 2 6 16 0 10 3 2 1 3 2 7 0 1 1 3 0 1 1 3 r3 r3 r1 r2 r2 2r1 [ A b] 1 2 1 4 1 2 1 4 1 r3 r3 + r2 10 0 10 3 2 = 0 10 3 2 3 2 7 28 0 0 1 3 0 0 10 10 10 10 Η λύση είναι: x = 4, x = 1, x = 2 3 2 1 x 2x + x = 4 1 2 3 10x 3x = 2 2 3 7 28 x3 = 10 10

.. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Παράδειγμα 4: Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα: Βρίσκουμε τους βαθμούς των πινάκων Α και [Α b] Για συντομία εργαζόμαστε με τον επαυξημένο πίνακα x + x 3x = 1 1 2 3 2x + x 2x = 1 1 2 3 x + x + x = 3 1 2 3 x + 2x 3x = 1 1 2 3 [ A b ] 1 1 3 1 1 1 3 1 r2 r2 2 r r 1 4 r4+ r2 r 1 2 1 2 1 3 r3 r 1 0 1 4 3 r3 r r 3 4 r4 r 1 4 = 1 1 1 3 0 0 4 4 1 2 3 1 0 1 0 2 1 1 3 1 1 1 3 1 r 0 1 4 3 2 r 2 r4 r4 4 r 0 1 4 3 3 = ( k) ( k) [ A b ] 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 4 5 0 0 0 5 Άρα rank(a)=3, λύση. rank[a b]=4 και το σύστημα είναι ασυμβίβαστο, δεν έχει

.. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Παράδειγμα 5: Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα: Βρίσκουμε τους βαθμούς των πινάκων Α και [Α b] χρησιμοποιώντας τον επαυξημένο πίνακα x1+ x2 + x3 + x4 + x5 = 7 3x1+ 2x2 + x3 + x4 3x5 = 2 x2 + 2 x3 + 2 x4 + 6 x5 = 23 5x + 4x + 3x + 3x x = 12 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 7 3 2 1 1 3 2 r r 3r 0 1 2 2 6 23 r r + r = r4 r4 5 r1 r4 r4 r2 0 1 2 2 6 23 0 1 2 2 6 23 5 4 3 3 112 0 1 2 2 6 23 2 2 3 3 3 2 [ A b] 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 7 0 1 2 2 6 23 r 0 1 2 2 6 23 2 r2 ( k) ( k) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Άρα rank(a)=rank[a b]=2, το σύστημα είναι συμβιβαστό και ισοδύναμο με το σύστημα Α (k) x=b (k), δηλαδή με το σύστημα:

.. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ x + x + x + x + x = 7 x + x = 7 x x x x + 2x + 2x + 6x = 23 x = 23 2x 2x 6x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 οι λύσεις του οποίου, (άρα και του αρχικού), είναι: x = a, x = b, x = c, x = 23 2a 2 b, 6 c, x = 16+ a+ b+ 5c 3 4 5 2 1 όπου α,b,c είναι αυθαίρετοι αριθμοί

.. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισμός : Το γραμμικό σύστημα: a x a x a x 11 1 + 12 2 + + 1n n = 0 21 1 + 22 2 + + 2n n = 0 a x a x a x... a x + a x + + a x = 0 m1 1 m2 2 mn n 0 του οποίου οι σταθεροί όροι είναι μηδέν, λέγεται ομογενές γραμμικό σύστημα Παρατήρηση : Το ομογενές γραμμικό σύστημα είναι συμβιβαστό, αφού rank(a)=rank[a 0]. Μία προφανής λύση του είναι η μηδενική: x x x n 1 = 2 = = = 0

ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.. Παράδειγμα : Να λυθεί το ομογενές σύστημα: x1+ x2 3x4 x5 = 0 x1 x2 + 2x3 x4 = 0 4x1 2x2 + 6x3+ 3x4 4x5 = 0 2x + 4x 2x + 4x 7x = 0 1 2 3 4 5 Για την εύρεση μη μηδενικής λύσης μετατρέπουμε τον πίνακα Α σε κλιμακωτό: A 1 1 0 3 1 1 1 0 3 1 r2 r2 r1 r3 r3 4r 1 r3 r3 3r 1 1 2 1 0 2 r4 r4 2 r 0 2 2 2 1 1 r4 r4+ r2 = 4 2 6 3 4 0 6 6 15 0 2 4 2 4 7 0 2 2 10 5 1 1 0 3 1 1 r 2 r 1 1 0 3 1 2 2 1 0 2 2 2 1 r3 r3 0 1 1 1 1/2 9 r4 r4 12r3 0 0 0 9 3 0 0 0 1 1/3 0 0 0 12 4 0 0 0 12 4

.. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1 0 3 1 0 1 1 1 1/2 = ( k ) A 0 0 0 1 1/3 0 0 0 0 0 Άρα r=rank(a)=3< n=5 και το σύστημα έχει μη μηδενικές λύσεις. Αυθαίρετες τιμές παίρνουν n r=5 3=2 άγνωστοι και οι υπόλοιποι ορίζονται μονότιμα από αυτούς. Τα πρώτα μη μηδενικά στοιχεία των μη μηδενικών γραμμών του πίνακα Α (k) βρίσκονται στην 1 η, 2 η, και 4 η στήλη. Άρα οι άγνωστοι x, x και x 1 2 4 ορίζονται μονότιμα ως συναρτήσεις των x3 και x5 που παίρνουν αυθαίρετες τιμές.

ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.. Το σύστημα, που δόθηκε, είναι ισοδύναμο με το: x 1 + x2 3x4 x5 = 0 x 1 + x 2 3 x 4 x 5 = 0 1 1 x2 x3 x4 x5 = 0 x2 x4 = x3 + x5 2 2 1 1 x4 x5 = 0 x4 x5 3 = 3 και οι λύσεις του είναι οι: 1 5 7 x 3 = a, x 5 = b, x 4 = b, x 2 = a+ b, x 1= b a 3 6 6 όπου α και b είναι αυθαίρετοι αριθμοί.

ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.. Τελικά Συμπεράσματα