Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Transcript

1 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

2 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 3. Επίλυση Crammer 4. Επίλυση Gauss 5. Οµογενές σύστηµα 6. Επίλυση µε αντίστροφο πίνακα Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γραµµικά συστήµατα Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

4 Γραµµικό σύστηµα mxn ονοµάζεται κάθε σύνολο m γραµµικών αλγεβρικών εξισώσεων πουηκαθεµιάτουςπεριέχει nτοπολύ αγνώστους. m, n N Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

5 α x +α x α x = b n n 1 α x +α x α x = b n n α x +α x α x = b m1 1 m2 2 mn n m i=1,..., m α, R j=1,..., n. ij bi Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

6 Κάθε εξίσωση του συστήµατος παριστάνειένα συνδυασµό πληροφοριών για τις άγνωστες ποσότητες x 1, x 2,, x n πουπεριέχει. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

7 Αν m=n τότε το σύστηµα λέγεταιτετραγωνικό. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

8 α x + α x α x = n α x + α x α x = n α x + α x α x = m1 1 m2 2 mn n n n b 1 b 2 b m A α11 α12... α1 n α α... α... αm 1 αm 2... αmn n = x1 x 2 x= x n b1 b 2 b= b m A x= b Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

9 Ο επαυξηµένος πίνακας του παραπάνω συστήµατος είναι ο [ A: b] E α α... α α α... α... α α... α n n 2 = = b m1 m2 mn m 1 b b Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

10 1 A x= b x= A b A x= b A A x = A b A A x= A b ( ) ( ) 1 1 I x= A b x= A b ΠΟΤΕ ΕΧΕΙ ΛΥΣΗ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

11 ΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΠΟΡΕΙ ΓΕΝΙΚΑ ΝΑ ΕΧΕΙ ΜΟΝΑ ΙΚΗ ΛΥΣΗ (συµβιβαστό) ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ (αόριστο) ΚΑΜΙΑ ΛΥΣΗ (αδύνατο) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

12 ΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΙΣ ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ mκαι nτου ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

13 m > n Το σύστηµα περιέχει περισσότερους συνδυασµούς πληροφοριών (=εξισώσεις εξισώσεις)απ όσουςείναιαπαραίτητοι για να οριστούν οι άγνωστες ποσότητες. Έτσι, πρέπει η λύση κάθε υποσυστήµατος nxnνα ικανοποιεί τις υπόλοιπες m-n εξισώσεις, ώστε το σύστηµα να είναι συµβιβαστό. Αν η λύση έστω και ενός υποσυστήµατος δεν ικανοποιεί τις εξισώσεις που αποµένουν, τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

14 m < n Το σύστηµα περιέχει λιγότερους συνδυασµούς πληροφοριών (=εξισώσεις εξισώσεις)απ όσουςείναιαπαραίτητοι για να οριστούν οι άγνωστες ποσότητες. Έτσι, το σύστηµα επιδέχεται απειρίαλύσεων, η οποία προκύπτει από τη θεώρηση των n-m αγνώστων ως παραµέτρων και τη συνεπακόλουθη λύση του mxm συστήµατος συναρτήσει αυτών των παραµέτρων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

15 m = n Το σύστηµα µπορεί να έχεικαµία, µια ήάπειρες λύσεις. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

16 m = n ΜΟΝΑ ΙΚΗ ΛΥΣΗ => ΥΠΑΡΧΕΙ Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ => ΜΗ ΜΗ ΕΝΙΚΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑ A A 1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

17 m = n ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΟΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΗ ΕΝΙΚΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ => A=0 και όλες οι υποορίζουσες επίσης =0 ΚΑΜΙΑ ΛΥΣΗ => A=0 και κάποια από τις υποορίζουσες 0 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

18 m = n Αντίστοιχα ΜΟΝΑ ΙΚΗ ΛΥΣΗ => rank ( A) = rank ( E) = n ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ => rank ( A) = rank ( E) < n ΚΑΜΙΑ ΛΥΣΗ => rank A rank E ( ) ( ) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

19 Το σύστηµα. b=0 A x= b λέγεταιοµογενές, όταν Το οµογενές σύστηµα δεν είναι ποτέ αδύνατο µιας και έχει πάντα τη µηδενική λύση. αν αν A 0, τότε έχει µόνο τη µηδενική λύση A=0, έχει άπειρες λύσεις. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

20 Μέθοδος επίλυσης Cramer Έστω το τετραγωνικό γραµµικό σύστηµα A x= b µε.τότεηλύσηδίνεταιαπότησχέση A 0 Ai xi = A όπου η υποορίζουσα είναι ίδια µε την, µε µόνη Ai A διαφορά ότι η i-στήλη της έχει αντικατασταθεί από A τον (σταθεροί όροι). Μαθηµατικά b Ι Ακαδ. Έτος /24

21 Να λυθεί το σύστηµα Παράδειγµα 1 κ+ λ + µ = 3 3κ + 2λ 2µ = 3. 6κ + λ + µ = 2 Η ορίζουσά του είναι A = = + = = και οι υποορίζουσές του A κ = = + = 7 1= = A λ = = + = = Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /

22 και οι υποορίζουσές του Κ2: Γραµµικά συστήµατα Παράδειγµα A κ = = + = 7 1= = A λ = = + = = A µ = = + = = Άρα 20 A κ 3 1 κ = = = x= 3 A 20 3 Aλ 10 1 λ = = = y= 2 A 20 2 και Aµ 10 1 µ= = = z= 2. A 20 2 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

23 Μέθοδος επίλυσης Gauss Έστω το τετραγωνικό γραµµικό σύστηµα A x= b. Εκτελώντας γραµµοπράξεις έως ότου µετασχηµατιστεί ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος σε τριγωνικό άνω, οτελευταίος άγνωστος υπολογίζεται απευθείας, ενώ οι υπόλοιποι προκύπτουν από διαδοχικές αντικαταστάσεις. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

24 Παράδειγµα Να λυθεί το σύστηµα x 1 +x 2-2x 3 =1 5x 1 -x 2 +4x 3 =11 2x 1 +3x 2 -x 3 =1 Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ( Γ ) ( ) [ ] 2 5Γ 1 Γ 2 Γ 3 2Γ E A: b Γ = = ( 3 2) Γ Γ Γ+ Γ Γ ( Γ3 /32) Γ Οπότε είναι x1 + x2 2x3 = 1 x1 = 2 x2 + 3x3 = 1 x2 = 1 x3 = 0 x3 = 0 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /24