ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε * ισχύει: ln = Μονάδες 8 Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rlle. Μονάδες 4 Α3. Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y = f () και, τότε τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβο- η f είναι παραγωγίσιμη στο λής του y ως προς το στο σημείο ; A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δυο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς το φανταστικό άξονα. β) Αν f : Α είναι μια συνάρτηση -, τότε : - f f ( y) = y, y f (A) γ) Έστω f συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, ) (,β). Αν lim f () = και f ()>, τότε lim =+ f (). ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ δ) Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης είναι πάντοτε μεγαλύτερο από ένα τοπικό ελάχιστο της ίδιας συνάρτησης. ε) Αν το A(,f( )) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε f ( ) =. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίνεται ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z, z είναι οι ρίζες της εξίσωσης: z z Β. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση και να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο. 3 B. Αν z = + i, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία A(z ), B(z ), Γz ( 3), όπου z 3, είναι ισόπλευρο και εγγεγραμμένο στο μοναδιαίο κύκλο. Β3. Αν u =z z i, ποίους ισχύει: u = z z +i και w οι μιγαδικοί για τους ο- w = (), τότε να αποδείξετε ότι: w u + w +u wu =6. Β4. Αν w, w, w3, w 4 είναι τέσσερις από τους μιγαδικούς w που ικανοποιούν τη σχέση () του ερωτήματος Β3, τότε να αποδείξετε ότι w + w + w 3 + w4 + + + = w w w w 4 3 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο (,) (,+ ). Αν: f () + lim = + και f ()= τότε : Γ. Να αποδείξετε ότι: α) f() = (μονάδες ) και ' f () = (μονάδες 4). β) για κάθε ισχύει: ' f () + +f() =. f() Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = είναι σταθερή + (μονά- στο (μονάδες 4) και δες ). f() = + για κάθε Γ3. Να μελετήσετε την παράγωγο f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες της f. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ4. Να αποδείξετε ότι για κάθε α,β ισχύει: f(α) f(β) α β ΘΕΜΑ Δ Έστω g μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : limg() =. Για κάθε ισχύει g(). Θεωρούμε επίσης την παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο, για την οποία για κάθε ισχύει: f () dt = +g(). t Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει f ()>. Δ. Να αποδείξετε ότι f () = και να βρείτε την ευθεία που εφάπτεται στη C στο σημείο της f A,f () (μονάδες 4). Δ3. Να αποδείξετε ότι, αν η f είναι κυρτή (κοίλα άνω), τότε για κάθε α> υπάρχει τουλάχιστον ένα (,α) για το οποίο ισχύει: α f (t)dt = f ( ) ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ4. Αν g() = για κάθε, τότε: α) Να αποδείξετε ότι: f () =+e. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: τις ευθείες h() = συν f( +), π =, =π και τον άξονα των. Μονάδες 4 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιό σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, ε- ξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: :3 ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΕΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ