Για παραγγελίες των βιβλίων

Transcript

1 Για παραγγελίες των βιβλίων 369

2 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α. Έστω f μια συνάρτηση oρισμένη σ ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι εάν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής G () = F () +c, c, είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G () = F () +c, c. Β. Να διατυπωθεί ο ορισμός του σημείου καμπής. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. Η εικόνα f (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.. Εάν f είναι συνάρτηση συνεχής στο (α,β), τότε η f παίρνει στο (α,β) μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. 3. Tα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγος της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται ακρότατα της f στο Δ.

3 4. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του. Εάν η f είναι κυρτή στο (α, ) και κοίλη στο (,β) ή αντιστρόφως, τότε το σημείο Α (,f ( )) είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. 5. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα [α,β]. Eάν υπάρχει (α,β) ώστε f ( ) =, τότε f (α) = f (β). ΘΕΜΑ o A. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = (3λ 5) + (μ )i και z = (μ ) + (λ )i. Εάν A (w ) είναι η εικόνα του μιγαδικού w = z + z η οποία κινείται πάνω στην ευθεία (ε ): y = +, ενώ Β (w ) είναι η εικόνα του μιγαδικού w = z z η οποία κινείται πάνω στην ευθεία (ε ): y =. Nα βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί μ, λ. B. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] με f ( ) = και f () =, για την οποία ισχύει f (), για κάθε (,). Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(,). ΘΕΜΑ 3 o Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z για τους οποίους ισχύει 5 ( z 3 z ). z z ( Re(z z )) (i) Να υπολογίσετε τα μέτρα των μιγαδικών z, z. 3

4 (ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο και τον μιγαδικό αριθμό w = f ( z ) d 8[f ( z ) + f ( z + z )]i, για τον οποίο ισχύει Re(w) = 8 Im(w). (α) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f () =, έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα στο διάστημα (,5). (β)εάν ισχύει f (t) dt = ημα, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός ξ(,α): f (ξ) = συνξ. (iii) Βρείτε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται μεταξύ της g () = 3 και της εφαπτομένης της g στο σημείο Α(,g ( )). ΘΕΜΑ 4 o Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη και κοίλη στο καθώς και τη συνάρτηση ολοκλήρωμα G () = f (t) dt,. (i) Nα μελετηθεί η G ως προς τη κυρτότητα στο. (ii) Να αποδείξετε ότι, για κάθε f ( + ) f ( + ) < f (t) dt f (t) dt < f ( + ) f (). 4

5 Β. Εάν f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α,β] και h () = f (t) g(t) dt f (t) dt g (t) dt, α β. Nα αποδείξετε ότι η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β). Γ. Nα υπολογίσετε το όριο lim dt. t ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 9 ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΠΑ.Λ ΠAΡΑΣΚΕΥΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σ ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι εάν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f () = g (), για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε Δ ισχύει f () = g () + c. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να διατυπωθούν οι ορισμοί κυρτής και κοίλης συνάρτησης. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 5

6 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. Εάν η f συνεχής στο [α,β] και f ()d, τότε f (), για κάθε [α,β].. Εάν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f () g (), κοντά στο, τότε lim f () 3. Ισχύει 3, για κάθε (, +). lim g (). ΜΟΝΑΔA ΜΟΝΑΔA ΜΟΝΑΔA 4. Eάν η f () = e ( 5 + α),, έχει σημείο καμπής στο, τότε α = Εάν ΘΕΜΑ o lim f () =, τότε f () <, κοντά στο. Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση μιγαδικής μεταβλητής f (z) = z λz + 9, όπου λ πραγματική παράμετρος. ΜΟΝΑΔA ΜΟΝΑΔA Εάν z, z είναι οι ρίζες της εξίσωσης f (z) =, όπου z, z δεν είναι πραγματικοί αριθμοί. (i) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της παραμέτρου λ. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 (ii) Να αποδείξετε ότι ο u = z 9 + z 9 είναι πραγματικός. (iii) Να υπολογίσετε τα μέτρα των z, z. ΜΟΝΑΔΕΣ 3 6

7 z (iv) Εάν z z z + Διαμαντής Α. Τσεκούρας =, να υπολογίσετε τη παράμετρο λ. (v) Για λ =, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει w z + w z =. Εάν w, w είναι δύο διαφορετικοί μιγαδικοί του ανωτέρου γεωμετρικού τόπου, με εικόνες συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων, να υπολογίσετε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του w w. ΘΕΜΑ 3 o Θεωρούμε τη δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[,+ ) με f () = και f () > f ʹ(), για κάθε >. (i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g () = f () είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ). ΜΟΝΑΔΕΣ 7 (ii) Να αποδείξετε ότι, για κάθε > υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(,): f ()ξ = f ʹ(ξ). ΜΟΝΑΔΕΣ 7 (iii) Να μελετήσετε, στο (,+ ) ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση f () h () =. ΜΟΝΑΔΕΣ 7

8 (iv) Να λυθεί η ανίσωση f () > f ( ) στο (,+ ). ΘΕΜΑ 4 o Α. Θεωρούμε τη συνεχής συνάρτηση f: καθώς και τις F () = f (t) dt και g () = F(u) du + e, για κάθε. (i) Να αποδείξετε ότι f (t) dt =. (ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει (,): 3f (t) dt t =. ΜΟΝΑΔΕΣ 3 (iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(,): f (ξ) = 6ξ. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Β. Θεωρούμε τη μη σταθερή, παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με f συνεχή στο και f () =, για την οποία ισχύει f (t) u e f (u) du dt (f (t) 48t) dt, για κάθε. (i) Nα μελετηθεί η συνάρτηση g () = + f (), ως προς τη μονοτονία ακρότατα. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 (ii) Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται από τη g, τον άξονα και την ευθεία =. ΜΟΝΑΔΕΣ 3 8

9 ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΠΑ.Λ ΔΕΥΤΕΡΑ 9 ΑΠΡΙΛΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση f () =, [,+ ). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) και ισχύει f () =. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να διατυπωθεί το Θεώρημα Βolzano (μονάδες 3) και το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών (μονάδες 3), για κάθε Θεώρημα, να σχεδιάσετε στο πίσω μέρος του τετραδίου σας (millimetre), τη γεωμετρική γραφική του ερμηνεία (μονάδες ). ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. Εάν η σύνθεση fοg είναι τότε η g είναι. ΜΟΝΑΔΑ. Εάν η f παραγωγίσιμη στο [α,β] με f (α) = α και f (β) = β, τότε υπάρχει ξ(α,β): f (ξ) =. ΜΟΝΑΔΑ 9

10 3. Εάν f, g αμφότερες γνησίως φθίνουσες σ ένα διάστημα Δ, τότε η σύνθεση fοg είναι επίσης γνησίως φθίνουσα στο Δ. ΜΟΝΑΔΑ 4. Εάν z, z είναι δύο μιγαδικοί με μέτρο και zz z z w = z z zz, τότε w =. ΜΟΝΑΔΑ 5. Εάν f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα [,] για την οποία ισχύει f () >. Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [,] για την οποία ισχύει g () >, για κάθε [,]. Εάν F () = ΘΕΜΑ o f (t) g(t) dt, [,] τότε F () >, για κάθε στο διάστημα (,]. ΜΟΝΑΔΑ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί (i) Να υπολογίσετε τον μιγαδικό w = i και w = + i. w = w + w. (ii) Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση f (z) = z z i, z i. (α) Να υπολογίσετε τη τιμή του f (w). ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ 3 (β) Εάν f (z) φανταστικός, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z.

11 (γ) Εάν f (f (z)) =, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. (iii) Εάν o μιγαδικός z ανήκει στον γεωμετρικό τόπο του ΜΟΝΑΔΕΣ 7 ερωτήματος (iiβ) και o μιγαδικός z ανήκει στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος (iiγ), να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του z z. ΘΕΜΑ 3 o Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(,+ ) με για την οποία ισχύει f () = και f () =, f (y) f (y) + yf (), για κάθε, y(,+ ). (i) Να αποδείξετε ότι f () = ln, >. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 (ii) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, ακρότατα και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f στο Μ(,f ()). ΜΟΝΑΔΕΣ (iii) Να αποδείξετε ότι ln >, για κάθε (,+ ). (iv) Eάν > >, να αποδείξετε ότι > (v) Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που ΜΟΝΑΔΕΣ 8 περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα των και τις ευθείες = e, = e. ΜΟΝΑΔΕΣ 6

12 ΘΕΜΑ 4 o Α. Nα υπολογίσετε το ολoκλήρωμα Ι = 4 dt d 3 t. B. Δίνεται συνάρτηση f συνεχή στο [α,β] με f (α) < και f (t) dt >. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β): f (ξ) =. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση Η () = 3 dt. ln t (i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Η (). ΜΟΝΑΔΕΣ 7 (ii) Nα μελετηθεί η H () ως προς τη μονοτονία ακρότατα.

13 ΘΕΜΑ Α ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & Β ΟΜΑΔΑΣ ΕΠΑ.Λ. Σάββατο 9 Απριλίου ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α. Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις f, g τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει (f + g) ( ) = f ( ) + g ( ). ΜΟΝΑΔΕΣ Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ; Α 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. Εάν η f δεν είναι «-» σ ένα διάστημα Δ, τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ. Εάν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη, γνησίως μονότονη στο και η γραφική παράσταση της διέρχεται από τα σημεία τότε g () >, για κάθε. Μ (,) και Μ (,) ΜΟΝΑΔΕΣ 3

14 3. Εάν η μιγαδική εξίσωση z ² + αz + β =, έχει δύο ρίζες z, z ισχύουν z + z = β και z z = α. ΜΟΝΑΔΕΣ 4. Έστω οι συναρτήσεις f, g, h για τις οποίες lim h() = h () f () g (), για κάθε κοντά στο και lim g (), τότε lim f () = 5. Εάν η f συνεχής στο [,], τότε ΘΕΜΑ Β f (t) dt = lim g (). f (t) dt. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z, w για τους οποίους ισχύει izw + w = z + i και ( + i)z +4 i = 5. Β. Δίνονται οι αριθμοί z = 4i και z = + i, ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ να προσδιορίσετε ποιος από z, z ανήκει στο γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, δίνεται ο πίνακας Α. H εικόνα Α του z ανήκει στο γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z H εικόνα Β του z Β. ανήκει στο γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z Γράψτε στο τετράδιο σας, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΟΝΑΔΑ Β. Nα προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. 4

15 Β 3. Nα προσδιορίσετε τη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ, που ορίζουν οι εικόνες των Α (z ) και Β (z ). Β 4. Nα βρείτε τη μέγιστη απόσταση της εικόνας του z, από τη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ, που υπολογίσατε στο ερώτημα (Β 3 ). 9 (Δίνεται ) ΜΟΝΑΔΕΣ 7 z z Β 5. Εάν u =, να αποδείξετε ότι η εικόνα του u κινείται w w πάνω στον μοναδιαίο κύκλο. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε τη συνάρτηση f () = 3( )e ( 3 8) όπου Γ. Nα μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να υπολογίσετε τα ακρότατα της. ΜΟΝΑΔΕΣ Γ. Να αποδείξετε την ανίσωση 3( )e e, για κάθε ΜΟΝΑΔΕΣ 3 Γ 3. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(,): f (ξ) =. ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Γ 4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f () =. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Γ 5. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα των και τις ευθείες = και =. 5

16 ΘΕΜΑ Δ Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση f () = ( )συν,. (i) Nα υπολογίσετε το όριο lim f (). (ii) Eάν Α = lim f () και για την f ισχύει f (t) dt + f (t) dt = Α, για κάθε ( π,π) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = ( t t) t dt d. ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Δ. Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο [,+ ) η γραφική παράσταση της οποίας βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω από τον άξονα των, για κάθε (,+ ). (i) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ, ξ 3 (,4) ώστε 4 f (t) dt = f (ξ ) + f (ξ ) + f (ξ 3 ). (ii) Nα αποδείξετε ότι u f (t) dt du < (iii) Nα αποδείξετε ότι u f (t) dt du < f (t) dt, για κάθε (,+ ). u ΜΟΝΑΔΕΣ 7 f (t) dt du ΜΟΝΑΔΕΣ 6. 6

17 ΘΕΜΑ Α ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & Β ΟΜΑΔΑΣ ΕΠΑ.Λ. Μεγάλη Δευτέρα 9 Απριλίου ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α. Eάν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F () = είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι f (t)dt f (), για κάθε Δ. f (t) dt, Δ, ΜΟΝΑΔΕΣ Α. Πότε μια συνάρτηση ονομάζεται κυρτή και πότε μια συνάρτηση ονομάζεται ή κοίλη; Α 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. Εάν η f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ, με f (), για κάθε Δ, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ. Εάν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, τότε ισχύει lim f () = f ( ). ΜΟΝΑΔΕΣ 7

18 3. Εάν β f () d = α β α g () d, τότε f () = g () για κάθε [α, β]. ΜΟΝΑΔΕΣ 4. Εάν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β], τότε η f δεν έχει ακρότατα στο [α,β] ΜΟΝΑΔΕΣ 5. Εάν ισχύει z + z = τότε και μόνο τότε z = z =, όπου z, z C. ΘΕΜΑ Β ΜΟΝΑΔΕΣ Θεωρούμε τους μη μηδενικούς μιγαδικούς z, z C, για τους οποίους ισχύουν z =, z = και z + z = (i) Να αποδείξετε ότι + =. z z z z ΜΟΝΑΔΕΣ (ii) Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις f () = z + z + z z, και g () = 4Re(z z ) 3 + +,. (α) Να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία στο. (β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, g τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο στο (,). ΜΟΝΑΔΕΣ 6 (γ) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι «-» στο και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός ξ τέτοιος ώστε να ισχύει f (ξ) =. ΜΟΝΑΔΕΣ 3 (δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι «-» και στη συνέχεια να υπολογίσετε τα ολοκλήρωματα Ι = g (t) dt και Ι = f (t) dt. ΜΟΝΑΔΕΣ 8

19 ΘΕΜΑ Γ Γ. Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [,+ ) με f () =,επίσης η f είναι κοίλη στο (,+ ), εάν ισχύει ( + )f () + g () = f ( + ), για κάθε (,+ ). (i) Nα αποδείξετε ότι η g συνεχής στο (,+ ). ΜΟΝΑΔΕΣ (ii)να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(,): (ξ )g (ξ) = ξ (ξ ). ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 f () = ( )ln, > (i) Να υπολογίσετε το όριο e lim. f () (ii) Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και να βρεθ oύν τα ακρότατα της. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 (iii) Nα βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f () = α, εάν ισχύει < α <. ΘΕΜΑ Δ Δ. Θεωρούμε τη παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[,+ ) για την οποία ισχύει f () > f (), για κάθε (,+ ). (i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g () = f () είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ). ΜΟΝΑΔΕΣ (ii) Να αποδείξετε ότι, για κάθε > υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(,): f (t) dt = f (ξ). 9

20 (iii) Να μελετήσετε, στο (,+ ) ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση f (t) h () = dt. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 (iv) Να λυθεί η ανίσωση f (t) dt > f (t) dt στο (,+ ). ΜΟΝΑΔΕΣ 3 Δ. Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο διάστημα [,], για την οποία ισχύει f () + f ( ) = 3 +, για κάθε [,]. (i) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης G () = f (t) dt στο σημείο της Μ(,G()). (ii) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, (,): G (ξ) = ξ και ( ξ)f ( ) = ξ. ΜΟΝΑΔΕΣ 3 ΜΟΝΑΔΕΣ 6 K Α ΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

21 ΘΕΜΑ Α ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & Β ΟΜΑΔΑΣ ΕΠΑ.Λ. Τρίτη Απριλίου 3 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση f () = ν, νν {,}. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () = ν ν. ΜΟΝΑΔΕΣ Α. Να διατυπώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο +. Α 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος 6. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, θα λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, εάν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ 7. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ. Eάν η f δεν είναι «-» στο Δ υπάρχει Δ ώστε f ( ) =. ΜΟΝΑΔΕΣ

22 8. Εάν η f συνεχής στο [α,β], ισχύει f ( t) dt = f ( α) f ( β). 9. Εάν Α (,y ) και Β (,y ),Ο (,) είναι οι εικόνες των ΜΟΝΑΔΕΣ μιγαδικών z = + y i, z = + y i, τότε ΟΑ ΟΒ, τότε ισχύει Re(z z ). ΜΟΝΑΔΕΣ. Εάν η f έχει πεδίο ορισμού το, τότε δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. ΘΕΜΑ Β ΜΟΝΑΔΕΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w και u για τους οποίους ισχύει (z i)( z + 3 i) + ( + i)w + + i i = 36 + i και 4 u = λ + μi + με λ, μ[, ] και i μ = ( λ)( + λ). Β. Nα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z, w και u. Β. (i) Nα αποδείξετε ότι u + u 6 =. (ii) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου z w.

23 Β 3. Επίσης θεωρούμε τους μιγαδικούς u, u για τους οποίους ισχύει ότι η εικόνα του u κινείται πάνω στην ευθεία ισχύει η ισότητα (ε ): y + 5 = και u = ( + i)u + u. (i) Να βρείτε την ευθεία (ε ) πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του μιγαδικού u. (ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των γεωμετρικών τόπων των μιγαδικών z, w με τον γεωμετρικό τόπο του μιγαδικού u. (iii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε τις συναρτήσεις z u και w u. f () = 4 ln , (,+ ). g () = 3 + λ 6ln, (,+ ) με λ. ΜΟΝΑΔΕΣ 3 Γ. Να μελετηθεί η f ως προς τη κυρτότητα στο (,+ ), επίσης να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το ακρότατο της. Γ. Nα βρείτε το πλήθος των ακροτάτων της g για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Γ 3. Να υπολογίσετε τα όρια lim [f ()f ()f ()] και lim (g ()f ()ημ f () ). Γ 4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ln =

24 Γ 5. Για λ = 4, να υπολογίσετε το εμβαδόν E (Ω) του επίπεδου χωρίου που περικλείεται από την g τον άξονα των και τις ευθείες = και = e. ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει και (f (t) e )dt = e e f () + ( + ), για κάθε. καθώς επίσης και τη δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση Η () = για την οποία ισχύουν και g παραγωγίσιμη στο. ( ) g(t)dt 5, 3, 5μ, = 3Η () = Η () =, όπου μ(,+ ) Δ. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f (t) dt = e f () +, e έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (,). ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Δ. Εάν είναι η μοναδική ρίζα του ερωτήματος Δ, να αποδείξετε f ( ) ότι υπάρχει ξ(, ) τέτοιο ώστε f (ξ) >. Δ 3. Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου μ, όταν μ(,+ ). ΜΟΝΑΔΕΣ 4

25 Δ 4. Να βρείτε την εξίσωση (ε) της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο της Α(,g ()). ΜΟΝΑΔΕΣ 3 Δ 5. Eάν επίσης δίνεται συνάρτηση h παραγωγίσιμη στο (,+ ) με h () = 7, για την οποία ισχύει ln g () + h () = 9 +, για κάθε (,+ ) και η ευθεία (ε) που υπολογίσατε στο ερώτημα Δ 4, εκτός από εφαπτομένη της g στο σημείο της Α(,g ()) είναι ταυτόχρονα και ασύμπτωτη της g στο +. (i) Να βρείτε την ασύμπτωτη της h στο +. (ii) Εάν επίσης η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, να αποδείξετε ότι η εξίσωση h () = έχει μοναδική ρίζα στο (,). ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 K Α ΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Όλα τα Θέματα Προσομοίωσης του Συγγραφέα Διαμαντή Α. Τσεκούρα θα τα βρείτε στο blog tsekοuras-ekdosis.blogspot.com 5

26 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 6

27 Νέα έκδοση Μάρτη Επανέκδοση Σεπτέμβρης 7

28 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 8