ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης 9ο Φροντιστήριο Επιµέλεια: Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Η τ.µ. X ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ = και διασπορά σ = : X N(,). (α) P( X < 8) =; (Εκφράστε την απάντησή σας ϐάσει τιµών της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής της τυπικής Γκαουσιανής, Φ(u).) (ϐ) E[(X 4) ] =; (α) (ϐ) P( X < 8) = P( 8 < X < 8) ( ) ( ) 8 8 = Φ Φ = Φ(.6) Φ( ) = Φ(.6) ( Φ()) = Φ(.6)+Φ() E [ (X 4) ] = E[X 8X +6] = E[X ] 8E[X]+6 = var(x)+e [X] 8E[X]+6 = +4 8 +6 = 4 Ασκηση. ύο συνεχείς τ.µ. X και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας { c, y, +y f X,Y (,y) =, αλλιώς. (α) ώστε τη γραφική παράσταση της από κοινού σ.π.π. Υπολογίστε τη σταθερά c και τις περιθωριακές σ.π.π. f X () και f Y (y). ώστε τη γραφική παράσταση των δύο σ.π.π. Είναι οι τ.µ. X και Y ανεξάρτητες; (ϐ) Υπολογίστε την πιθανότητα του γεγονότος {X Y}. (γ) Υπολογίστε την πιθανότητα του γεγονότος {X +Y }. (δ) Υπολογίστε τις δεσµευµένες σ.π.π. f X/Y (/y) και f Y/X (y/).
Πιθανότητες - /9ο Φροντιστήριο (α) Η περιοχή όπου η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι c ϕαίνεται στο Σχήµα (). Πρόκειται για ένα τρίγωνο µε ϐάση και ύψος. Για την σταθερά c πρέπει, ή ή + + f y (,y)ddy =, c =, c =, όπου το γινόµενο είναι το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τριγώνου. Γενικά ισχύει ότι f X () = + f XY(,y)dy. Από το Σχήµα () ϕαίνεται ότι, Για, f X () = + cdy = + Για, f X () = cdy =. y -+y= y= - +y= Σχήµα : (a,i). f ( ) X f ( ) Y y - Y Σχήµα : (a,ii). Άρα, +, f X () =,, αλλού. Οµοίως για y, f Y (y) = + f XY(,y)dy = y y cd = ( y). ηλαδή, { ( y), y f Y (y) =, αλλού. Προφανώς, Σχήµα (), f XY (,y) f X ()f Y (y) και οι τυχαίες µεταβλητές XY δεν είναι ανεξάρτητες.
Πιθανότητες - /9ο Φροντιστήριο 3 (ϐ) Παρατηρούµε τη γραφική παράσταση του Σχήµατος (3). Το ολοκλήρωµα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας στο γραµµοσκιασµένο τρίγωνο µε ϐάση (,) και ύψος 3 στο σηµείο ( 3, 3 ) ισούται µε την πιθανότητα P(X Y). Άρα, P(X Y) = 3 = 6. (γ) Οµοίως από το Σχήµα (4) έχουµε ότι, f ( ) X / /3 (,/) - /3 Σχήµα 3: Ερώτηµα (3β). f ( ) X 3 (, ) 4 4 E / E - / 3/ y Σχήµα 4: Ερώτηµα (3γ). P(X +Y) ) = c E = c (E E ) = ( 3 3 4 ) = 7 6. (δ) f X Y ( y) = f XY(,y) f Y (y) =, y, < y <, ( y) f Y X (y ) = f XY(,y) f X () =, < y <,. Ασκηση 3. Η ποσότητα X του καφέ που ϐρίσκεται σε πακέτα γρ. είναι τ.µ. που ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή και διασπορά, X N(, ). Αγοράζουµε τρία πακέτα των γρ. Ποια είναι η πιθανότητα:
Πιθανότητες - /9ο Φροντιστήριο 4 (α) ένα µόνο πακέτο από τα τρία να περιέχει τουλάχιστον 49 γρ. καφέ (ϐ) το καθένα από τα τρία να έχει ϐάρος µεταξύ 49 και γρ Εκφράστε την απάντησή σας ϐάσει των τιµών Φ() =.977 και Φ() =.843 της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής της τυπικής Γκαουσιανής. Ισχύει το εξής: X N (,) Z = X (α) Εχουµε: Εποµένως, ϑα είναι: P (X 49) = P P ( από τα 3 πακέτα έχει ϐάρος 49) = N (,) ( X 49 ) = P (Z ) = P (Z ) = Φ( ) =.977 ( ) 3 (.977) (.977) =.4 (ϐ) Εχουµε: P (49 X ) = P ( 49 X = P ( Z ) = Φ() Φ( ) = Φ()+Φ() =.843+.977 =.88 ) Εποµένως, ϑα είναι: P (και τα 3 πακέτα είναι µεταξύ 49 και gr) = (.88) 3 =.4837 Ασκηση 4. Οι συνεχείς τ.µ. X και Y έχουν από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π):., <, y <, +y < f X,Y (,y) = c, <, y <, +y <, αλλού. (α) ώστε τη γραφική παράσταση της από κοινού (σ.π.π) και υπολογίστε τη σταθερά c. (ϐ) Υπολογίστε την περιθωριακή σ.π.π, f Y (y), της τ.µ. Y. (γ) Υπολογίστε την πιθανότητα P(X +Y /). (δ) Υπολογίστε την πιθανότητα P(X +Y ) (α) Στο παρακάτω σχήµα ϕαίνεται η γραφική παράσταση της από κοινού (σ.π.π). Υπολογίζουµε τη σταθερά c ως εξής:
Πιθανότητες - /9ο Φροντιστήριο Σχήµα : Το πεδίο τιµών για τις τ.µ (X,Y) της άσκησης 4 3 E OAΓ +c E AΓ = 3 +c = 3 4 + c = c = / (ϐ) Για την περιθωριακή (σ.π.π) ως προς την τ.µ. Y έχουµε: f Y (y) = + Άρα, έχουµε: y 3 f X,Y (,y)d = d+ y d = 3 y + (γ) Υπολογίζουµε την πιθανότητα: (δ) Υπολογίζουµε την πιθανότητα: f Y (y) = { 3 y = 3 ( y)+ ( y) = 3 y y, y < S, αλλού. P(X +Y /) = 3 E OBZ = 3 / = 3 6 P(X +Y ) = P(X +Y < ) = 3 E OAΓ E AΓGA = 3 (π 4 ) =.8 Ασκηση. Οι συνεχείς τ.µ X, Y έχουν σύνολο τιµών το γραµµοσκιασµένο χωρίο S που ϕαίνεται στο σχήµα. Οι X και U έχουν οµοιόµορφη από κοινού κατανοµή, δηλαδή η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π), f X,Y (,y) είναι σταθερή και ίση µε c > για όλα τα (,y) S, και µηδέν αλλού. { c,(,y) S f X,Y (,y) =, αλλού. (α) Υπολογίστε τη σταθερά c. (ϐ) Υπολογίστε την πιθανότητα P(X < 3Y). (γ) Υπολογίστε την πιθανότητα P(Y < /) (δ) Υπολογίστε την περιθωριακή σ.π.π, f X (), της τ.µ. X.
Πιθανότητες - /9ο Φροντιστήριο 6 Σχήµα 6: Το πεδίο τιµών για τις τ.µ (X,Y) της άσκησης (α) Πρέπει, f X,Y (,y)ddy = c E s = c + = c = 3 (ϐ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται: P(X < 3Y) = <3y f X,Y (,y)ddy = P(X 3Y) = c E OAB = OB AB 3 = 3 3 = 4 9 = 9 =.6 Σχήµα 7: Γραφική παράσταση ερωτήµατος (ϐ), άσκησης (γ) Για τη Ϲητούµενη πιθανότητα υπολογίζουµε: P(Y < ) = c E OABΓ = (+.). = 7 3 =.833 (δ) Για την περιθωριακή σ.π.π της τ.µ X έχουµε:
Πιθανότητες - /9ο Φροντιστήριο 7 Σχήµα 8: Γραφική παράσταση ερωτήµατος (γ), άσκησης Σχήµα 9: Γραφική παράσταση ερωτήµατος (δ), άσκησης Για < και > : f X () = Για : f X () = f X,Y (,y)ddy = [ ] 3 dy = 3 y = 3 Για : Εποµένως, f X () = [ ] 3 dy = 3 y = 3 3, f X () = 3, <, αλλού