ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-2: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 205 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 9//205 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 23//205 Σηµείωση : Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστή για τις πράξεις. είξτε όµως όλα τα ϐήµατα της λύσης σας. Ασκηση.. Η αρχική κινητική του ενέργεια είναι K = 2 mu2 = 320 kj 2. Σε ύψος ενός χιλιοµέτρου, η δυναµική του ενέργεια είναι U g = mgh = 39.24 kj Από την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, ισχύει K i + U i = K f + U f 320000 + 0 = 2 mu2 f + 39240 2 280760 u = 4 u = 374.7 m/s 3. Στο µέγιστο ύψος, η ταχύτητα του δοχείου είναι µηδέν, και όλη η κινητική του ενέργεια έχει µετατραπεί σε δυναµική. Άρα µεταξύ εδάφους και µέγιστου ύψους K i = U f 320000 = mgh max h max = 8555 m Ασκηση 2. Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, W F = K + U + W fk Το έργο της δύναµης F ϑα είναι W F = F x = 00 5 = 500 J Οι µεταβολές στην κινητική και δυναµική ενέργεια του συστήµατος κιβώτιο-γη-έδαφος είναι K = K f K i = 2 mu2 f 0 = 60 J U = U f U i = mgh 0 = 588 J
Φυσική Ι - 205/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 2 Άρα το έργο της δύναµης τριβής f k είναι W fk = W F K U = 852 J Οµως ξέρουµε ότι το έργο της δύναµης τριβής δίνεται και ως W fk = f k x cos(80 o ) = f k = W f k x = 56.8 N που σηµαίνει ότι το µέτρο της είναι 56.8 N και η ϕορά της αντίθετη στη µετατόπιση. Ασκηση 3. Θεωρούµε ότι οι Ϲώνες ασφαλείας ακινητοποιούν τον επιβάτη σε απόσταση x = 2 m. Η δύναµη F που ασκούν στη διάρκεια αυτής της απόστασης µειώνει σιγά σιγά την κινητική ενέργεια του επιβάτη στο µηδέν. Άρα από το ϑεώρηµα µεταβολής κινητικής ενέργειας - έργου, ϑα έχουµε K = W F K f K i = W F 0 2 mu2 i = F x cos(80 o ) 2 mu2 i = F x F = 5. kn Ασκηση 4. Επιλέγουµε ως διάταξη µηδενικής δυναµικής ενέργειας για το σώµα µάζας m 2 ως τη ϑέση του όταν το ελατήριο είναι στο ϕυσικό µήκος του, και για το σώµα µάζας m όταν ϐρίσκεται στη χαµηλότερη ϑέση του στο επικλινές επίπεδο, ακριβώς πριν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο. Από Σχήµα : Σχήµα Άσκησης 4. την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, αν συµβολίσουµε τη ϐαρυτική δυναµική ενέργεια µε U g και την ελαστική δυναµική ενέργεια µε U e, έχουµε Ei mech = Ef mech K i + U gi + U ei = K f + U gf + U ef 0 + m 2 gh + 2 kx2 = 2 m totu 2 f + m gh sin(40 o ) + 0 58.8 + 5 = 25u 2 + 25.2 u f =.24 m/s
Φυσική Ι - 205/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 3 Ασκηση 5. Η ϐαρυτική δυναµική ενέργεια του bungee-jumper όταν ϐρίσκεται επάνω στη γέφυρα είναι U gi = mgy = mgl max υποθέτοντας ότι η ϐαρυτική δυναµική ενέργεια είναι µηδέν στο επίπεδο της επιφάνειας του νερού. Από την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ του σηµείο επάνω στη γέφυρα και του σηµείου όταν ο bungee-jumper έχει εκτελέσει το άλµα και ϐρίσκεται µε το κεφάλι αριβώς επάνω από το νερό (έχοντας οριακά µηδενική ταχύτητα), έχουµε E mech f = E mech i µε U e την ελαστική δυναµική ενέργεια του σχοινιού. Άρα K f + U gf + U ef = K i + U gi + U ei 0 + 0 + 2 k(l max L jumper L 0 ) 2 = 0 + mgl max + 0 οπότε 2 k(l max L jumper L 0 ) 2 = mgl max L 0 = L max L jumper = 24.6m 2mgLmax k Ασκηση 6. Από την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, έχουµε ότι και άρα u f = Για y i y f = 7.2 m και u i = 4.2 m/s, είναι K f + U f = K i + U i 2 mu2 f + mgy f = 2 mu2 i + mgy i 2 u2 f + gy f = 2 u2 i + gy i u 2 i + 2g(y i y f ) u f = 8.5m/s Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις της κίνησης, έχουµε µια αρχική ταχύτητα u i, η οποία έχει συνιστώσες u xi = u i cos(θ i ) i u yi = u i cos(θ i ) j Η τελική x συνιστώσα της ταχύτητας, u xf, είναι ίση µε την αρχική x συνιστώσα της αρχικής ταχύτητας, u xi : u xf = u xi = u i cos(θ i ) Η τελική συνιστώσα στον y άξονα, µπορεί να ϐρεθεί από τη σχέση u 2 yf = u2 yi 2g(y f y i )
Φυσική Ι - 205/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 4 Ετσι, η τελική ταχύτητα του ϐράχου όταν χτυπά το έδαφος ϑα είναι u f = u 2 xf + u2 yf = (u 2 i cos2 (θ i ) + (u 2 yi 2g(y f y i )) = (u 2 i cos2 (θ i ) + u 2 i sin2 (θ i ) 2g(y f y i ) = u 2 i 2g(y f y i ) = u 2 i + 2g(y i y f ) που είναι η ίδια σχέση µε τη µέθοδο της διατήρησης της µηχανικής ενέργειας. Ασκηση 7.. Σύµφωνα µε το Σχήµα (2) η δύναµη τριβής ολίσθησης δίνεται από τη σχέση Σχήµα 2: Σχήµα Άσκησης 7. f k = µ k N = µ k mg Το έργο της δύναµης τριβής κατά µήκος της διαδροµής είναι W f = f k d = µ k mgd Εφαρµόζοντας αρχή διατήρησης της ενέργειας στο σύστηµα του σώµατος-ελατηρίου-γης από το σηµείο Α ως το σηµείο Γ, έχουµε WF A Γ = K A Γ + Ug A Γ + Ue A Γ mgdµ k = 2 mu2 Γ 0 + 0 mgh + 0 2 kx2 u 2 Γ = kx2 m + 2gh 2gdµ k u 2 Γ = 7.64 u Γ = 4.2 m/s
Φυσική Ι - 205/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 5 2. Εφαρµόζουµε την αρχή διατήρησης της ενέργειας στο σύστηµα σώµατος-ελατηρίου από το σηµείο Α ως το σηµείο Β: WF A Β = K A Β + Ue A Β mgdµ k = 2 mu2 Β 0 + 0 2 kx2 u 2 Β = kx2 m 2gdµ k u 2 Β = 2.98 u Β =.72 m/s Ασκηση 8.. Η κυµατοσυνάρτηση γράφεται ως 0.75 = 0.35 sin(99.6t) sin(99.6t) = 0.5 Η µικρότερες δυο γωνίες που δίνουν ηµίτονο ίσο µε 0.5 είναι οι 30 o και 50 o, οι οποίες αντιστοιχούν σε 0.523 και 2.68 rad. Άρα 99.6t = 0.523 = t = 5.26 ms 99.6t 2 = 2.68 = t 2 = 26.3 ms Άρα t = t 2 t = 2 ms 2. Η απόσταση που διανύει το κύµα είναι d = ω 99.6 2 0 3 t = k.25 s =.68 m Ασκηση 9. Αφού η αντίδραση του ϑεατή είναι 0. s και η απόσταση µεταξύ δυο ϑεατών είναι 0.5 m, η ταχύτητα του κύµατος είναι u = x t = 0.5 0. = 5 m/s. Ο χρόνος που χρειάζεται για µια πλήρη περιφορά γύρω από το γήπεδο είναι Σχήµα 3: Σχήµα Άσκησης 8 - ιαστάσεις σταδίου. T = L u = 2πr + 2a u = 60π + 200 5 = 40 s