ΗΥ215 - Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Σχετικά έγγραφα
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

x(t) = e st = e (σ+j2πf)t (7.1) h(t)e st dt (7.4) H(s) = y(t) = H{e st } = H(s)e st (7.5)

Σήματα και Συστήματα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

x(t) = 4 cos(2π600t π/3) + 2 sin(2π900t + π/4) + sin(2π1200t) (1) w(t) = y(t)z(t) = 2δ(t + 1) (2) (2 sin(2π900t + π/4) t= 1 + sin(2π1200t) )

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ.

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

() min. xt δεν έχει μετασχηματισμό LAPLACE () () () Αν Λ= το σήμα ( ) Αν Λ, έστω σ. Το σύνολο μιγαδικών αριθμών. s Q το ολοκλήρωμα (1) υπάρχει.

LCs 2 + RCs + 1. s 1,2 = RC ± R 2 C 2 4LC 2LC. (s 2)(s 3) = A. = 4 s 3 s=2 s + 2 B = (s 2)(s 3) (s 3) s=3. = s + 2. x(t) = 4e 2t u(t) + 5e 3t u(t) (2)

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Χ(j2πf) = X(s) s=j2πf

ΓΧΑ σύστημα h(t), H(s)

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

= 5 cos(2π500t π/2) + 9 cos(2π900t + π/3) cos(2π1400t) (9) H(f) = 4.5, αλλού

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π.

Χ(j2πf) = X(s) s=j2πf

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

x(t) = 4 cos(2π600t π/3) + 2 cos(2π900t + π/8) + cos(2π1200t) (3)

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

x[n]z n = ) nu[n]z n z 1) n z 1 (5) ( 1 z(2z 1 1]z n +

X(e jω ) = x[n]e jωn (16.1) x[n] < (16.2) a n u[n] = a n =

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1)

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

( t) όπου το * αντιστοιχεί σε συνέλιξη και. (t 2) * x 2

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 5: Γραφική Μέθοδος Υπολογισμού του Συνελικτικού Ολοκληρώματος. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) =

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

x(t) = 4 cos(2π400t π/3) + 2 cos(2π900t + π/8) + cos(2π1200t) h(t) = 2000sinc(2000t) = h(t) = 2000sinc(2000t) H(f) = rect

Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

e jπt/t δ(t it) 1 T e jπft δ(f k T δ(t (i+ 1 2 )T) 1 T x((i+ 1 2 )T) = 1 x(t it) = i X( k 2T )δ(f k 2T ) 1 T

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

Μετασχηµατισµός Laplace

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

x(t)e jωt dt = e 2(t 1) u(t 1)e jωt dt = e 2 t 1 e jωt dt =

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Ευστάθεια συστημάτων

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

Transcript:

ΗΥ215 - Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς ΔΙΑΛΕΞΗ 16 Η Μετασχηματισμός Laplace

Ο Μετασχηματισμός Laplace (review)

Ο Μετασχηματισμός Laplace (review) Ορισμός Μετασχ. Laplace X s = + x t e st dt (γ ) Μη-αιτιατό σήμα

Ο Μετασχηματισμός Laplace (review) Γνωστά ζεύγη x t = e at u t, a R X s = 1 s a, σ > a x t = e bt u t, b R X s = 1 s b, σ < b x t = e at u t e bt u t, a, b R X s = 2s a + b s a s b, a < σ < b x t = δ t X s = 1, s

Ο Μετασχηματισμός Laplace (review) Παρατηρήσεις: 1. Το πεδίο σύγκλισης καθορίζει μοναδικά κάθε ζεύγος μετασχ. Laplace 2. Πόλοι: θέσεις του μιγαδικού επιπέδου που απειρίζουν το μετασχηματισμό Αν ο μετασχηματισμός εκφράζεται ως ρητή συνάρτηση του s, οι ρίζες του παρονομαστή είναι πόλοι 3. Μηδενικά: θέσεις του μιγαδικού επιπέδου που μηδενίζουν το μετασχηματισμό Αν ο μετασχηματισμός εκφράζεται ως ρητή συνάρτηση του s, οι ρίζες του αριθμητή είναι μηδενικά 4. Πεδία σύγκλισης: προκύπτουν από την ανάγκη σύγκλισης του ολοκληρώματος του μετασχηματισμού Laplace

Ο Μετασχηματισμός Laplace (review) Ιδιότητες: 1. Ένα πεδίο σύγκλισης δεν περιέχει ΠΟΤΕ πόλους! 2. Ένα πεδίο σύγκλισης μπορεί να είναι a) Ένα ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου δεξιά από μια ευθεία που ορίζει ένας πόλος b) Ένα ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου αριστερά από μια ευθεία που ορίζει ένας πόλος c) Μια λωρίδα του μιγαδικού επιπέδου μεταξύ δυο ευθειών που ορίζονται από δυο πόλους d) Όλο το μιγαδικό επίπεδο 3. Ο Μετασχ. Laplace μπορεί να έχει κανέναν, έναν, ή περισσότερους πόλους. Το ίδιο και μηδενικά. 4. Αν ένα σήμα είναι δεξιόπλευρο, τότε το πεδίο σύγκλισης του μετασχ. Laplace του είναι το 2a). 5. Αν ένα σήμα είναι αριστερόπλευρο, τότε το πεδίο σύγκλισης του μετασχ. Laplace του είναι το 2b). 6. Αν ένα σήμα είναι αμφίπλευρο, τότε το πεδίο σύγκλισης του μετασχ. Laplace είναι το 2c). 7. Αν ένα σήμα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε το πεδίο σύγκλισης του μετασχ. Laplace του είναι το 2d).

Μετασχηματισμός Laplace και Μετασχηματισμός Fourier Παρατηρήστε ότι X f = X s = X σ + j2πf s=j2πf σ=0 Άρα ο Μετασχ. Fourier είναι μια «υποπερίπτωση» του μετασχ. Laplace? Άρα ο μετασχ. Laplace είναι μια «γενίκευση» του μετασχ. Fourier? Η αλήθεια είναι ότι ο μετασχ. Fourier μπορεί να προκύψει εκτιμώντας το μετασχ. Laplace επάνω στο φανταστικό άξονα, δηλ. για s = j2πf Όπως και ότι μπορούμε μερικές φορές να πάρουμε το μετασχ. Laplace από το μετασχ. Fourier θέτοντας j2πf = s Όμως κάποια πράγματα θέλουν προσοχή

Μετασχηματισμός Laplace και Μετασχηματισμός Fourier 1. Για να γίνει η εκτίμηση X f = X s s=j2πf πρέπει το πεδίο σύγκλισης του μετασχ. Laplace να περιέχει το φανταστικό άξονα 2. Ακόμα κι αν δεν τον περιέχει, δε σημαίνει ότι ο μετασχ. Fourier δεν υπάρχει Απλώς δεν υπολογίζεται μέσω του μετασχ. Laplace Μπορεί να υπάρχει μέσω συναρτήσεων Δέλτα π.χ. 3. Αν το ολοκλήρωμα του μετασχ. Fourier συγκλίνει, τότε ο μετασχ. Laplace υπάρχει για κάποιο πεδίο σύγκλισης και μπορεί να υπολογιστεί θέτοντας j2πf = s Για παράδειγμα, όταν ο μετασχ. Fourier είναι ρητή συνάρτηση του j2πf Ενώ αν χρησιμοποιούμε γενικευμένες συναρτήσεις π. χ. δ t δουλεύει, η γενίκευση αυτή δε

Μετασχηματισμός Laplace και Μετασχηματισμός Fourier Για παράδειγμα, ξέρουμε ότι x t = e at u t, a > 0 X f = 1 a + j2πf Βρήκαμε πριν ότι x t = e at u t X s = 1, σ > a a + s Παρατηρήστε ότι X f = X s s=j2πf αλλά και ότι X s = X f j2πf=s

Μετασχηματισμός Laplace και Μετασχηματισμός Fourier Αντίθετα, ξέρουμε ότι Μπορούμε να δείξουμε ότι Παρατηρήστε ότι αλλά και ότι x t = u t X f = 1 2 δ f + 1 j2πf x t = u t X s = 1 s, σ > 0 X f X s s=j2πf X s X f j2πf=s Ο λόγος είναι ότι το πεδίο σύγκλισης του μετασχηματισμού δεν περιέχει το φανταστικό άξονα, αλλά και το ότι ο μετασχ. Fourier δεν προκύπτει από σύγκλιση του ορισμού Χρειαζόμαστε γενικευμένη συνάρτηση για τη σύγκλιση

Μετασχηματισμός Laplace και Μετασχηματισμός Fourier Πέρα όμως από τις τυπικές μαθηματικές σχέσεις, τι άλλο υπάρχει? Ας δούμε ένα παράδειγμα Ας υπολογίσουμε τους μετασχηματισμούς του σήματος x t = e at u(t) για a = 2 και a = 4 Προφανώς μπορούμε εύκολα να βρούμε ότι X f = 1 a + j2πf X f = 1 a 2 + 4π 2 f 2 και X s = 1 a + s X s = 1 (a + σ) 2 +4π 2 f 2 Ας απεικονίσουμε τις δυο περιπτώσεις για τις διαφορετικές τιμές του a Προσέξτε ότι το s = a είναι ο πόλος του μετασχηματισμού Laplace!

Μετασχηματισμός Laplace και Μετασχηματισμός Fourier

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace

PhD