ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Σωµάτι α (πυρήνας 4 He ) µε µάζα m a και φρτί q a =e και πυρήνας ασβεστίυ 40 Ca 0 µε µάζα mπυρ = 10m a και φρτί Q = 0 e πυρ, βρίσκνται αρχικά σε πλύ µεγάλη απόσταση µεταξύ τυς. Τα δύ σωµατίδια εκτξεύνται ταυτόχρνα τ ένα ενάντια στ άλλ, µε ταχύτητες ίσυ µέτρυ υ. m πυρ υ υ Να υπλγισθύν: Α) Ο λόγς των µέτρων των επιταχύνσεων των στιχειωδών σωµατιδίων κάθε χρνική στιγµή. Β) Η ταχύτητα τυ πυρήνα ασβεστίυ 40 0Ca τη στιγµή πυ µηδενίζεται η ταχύτητα τυ σωµατιδίυ α. Γ) Η ελάχιστη απόσταση στην πία πλησιάζυν τ σωµάτι α και πυρήνας 40 Ca. 0 Δ) Η µέγιστη ηλεκτρική δυναµική ενέργεια τυ συστήµατς των δύ σωµατιδίων και ι ενεργειακές µετατρπές µέχρι εκείνη τη στιγµή. Ε) Οι τελικές ταχύτητες των σωµατιδίων και ι ενεργειακές µετατρπές. Δίνεται η σταθερά Κ c, τ στιχειώδες ηλεκτρικό φρτί e και η µάζα m a τυ σωµατιδίυ α. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τ φαινόµεν: Ελαστική κρύση στιχειωδών σωµατιδίων Σκπός της Άσκησης: Να µελετηθεί η κίνηση φρτισµένων σωµατιδίων υπό την επίδραση της µεταξύ τυς ηλεκτρικής αλληλεπίδρασης. Συγκεκριµένα, να γίνει κατανητό πότε η κίνηση είναι επιταχυνόµενη και πότε επιβραδυνόµενη, πως µια κίνηση µπρεί να είναι µεταβαλλόµενη µε επιτάχυνση-επιβράδυνση πυ διαρκώς αλλάζει, τι σηµαίνει ελάχιστη απόσταση µεταξύ δύ σωµατιδίων και πια θεµελιώδη φυσικά µεγέθη διατηρύνται κατά τη διάρκεια τυ φαινµένυ. Νόµι, Αρχές Διατήρησης και.εργαλεία Τα σωµατίδια κάθε χρνική στιγµή αλληλεπιδρύν ηλεκτρικά µέσω της απωστικής q aqπυρ 40e δύναµης Coulomb µε µέτρ: F = Kc = K c όπυ r η εκάσττε µεταξύ τυς r r απόσταση. Επειδή η µεταξύ τυς απόσταση διαρκώς µεταβάλλεται, µεταβάλλεται και 1
τ µέτρ της δύναµης αλληλεπίδρασης, άρα και τ µέτρ της στιγµιαίας επιτάχυνσηςεπιβράδυνσης a= =, όπως πρκύπτει από τ θεµελιώδη νόµ της µηχανικής. ΣF Fc m m Επειδή ι δυνάµεις αλληλεπίδρασης F c είναι εσωτερικές για τ σύστηµα των σωµατιδίων, τ σύστηµα είναι µνωµέν και διατηρείται η ρµή τυ. Επειδή ι δυνάµεις αλληλεπίδρασης F c είναι συντηρητικές, διατηρείται η µηχανική ενέργεια τυ συστήµατς των φρτισµένων σωµατιδίων, η πία περιλαµβάνει την ηλεκτρική δυναµική τυ συστήµατς και τις κινητικές κάθε σωµατιδίυ. Με πι εργαλεί µπρύµε να υπλγίζυµε τις ενεργειακές ανταλλαγές; Με τ θεώρηµα µεταβλής της κινητικής ενέργειας, εφαρµόζντάς τ ξεχωριστά για κάθε σωµατίδι. Τ ΘΜΚΕ µας επιτρέπει να υπλγίζυµε τ έργ της µεταβλητής δύναµης Coulomb για κάθε σωµατίδι. Α) Οι δυνάµεις αλληλεπίδρασης F c έχυν κάθε στιγµή σχέση δράσης-αντίδρασης, άρα είναι ίσες κατά µέτρ: Fc (1) = Fc (), πότε λόγς των µέτρων των στιγµιαίων επιταχύνσεων-επιβραδύνσεων των στιχειωδών σωµατιδίων είναι ίσς µε: Fc aa m m a πυρ 10ma aa = = = = 10 (1) a F πυρ c ma ma aπυρ m πυρ Οι στιγµιαίες επιταχύνσεις-επιβραδύνσεις δεν είναι σταθερές, αλλά λόγς τυς παραµένει σταθερός. Αυτό ισχύει ακόµα και τη στιγµή πυ µηδενίζεται η ταχύτητα τυ σωµατιδίυ α, αφύ dυ F την ίδια στιγµή τ σωµάτι α έχει επιτάχυνση. ( υ = 0 αλλά a= = c 0 ) dt m B) H λική ρµή τυ συστήµατς των σωµατιδίων παραµένει σταθερή και ίση µε την αρχική: m πυρ υ υ p = p + p p = mυ + m υ p = mυ + 10m υ p = 9mυ λ a πυρ λ a o πυρ λ a o α λ a o () Δηλαδή κάθε χρνική στιγµή και σε κάθε θέση των σωµατιδίων η λική ρµή τυ συστήµατς έχει µέτρ pλ = 9m a υ o και φρά ίδια µε τη φρά της αρχικής ταχύτητας τυ πυρήνα.
Από αυτό συµπεραίνυµε ότι ι ταχύτητες των σωµατιδίων δε µηδενίζνται την ίδια στιγµή, διότι τότε p λ = 0. Είδς κίνησης Όταν τα σωµατίδια κινύνται αντίρρπα, πλησιάζντας τ ένα τ άλλ, η δύναµη Fc πυ ασκείται στ καθένα, είναι αντίρρπη της ταχύτητας τυ, άρα κάθε σωµατίδι επιβραδύνεται. υ υ 1 F Από τη σχέση (1) µπρύµε να πρβλέψυµε, ότι τ σωµάτι α πυ επιβραδύνεται µε επιβράδυνση, η πία κάθε στιγµή έχει 10πλάσι µέτρ από την επιβράδυνση τυ πυρήνα 40 0Ca, θα µηδενίσει πρώτ την ταχύτητά τυ. υ F υ 1 =0 Εφόσν η λική ρµή διατηρείται, εξισώνυµε την αρχική ρµή µε την ρµή τη στιγµή πυ µηδενίζεται η ταχύτητα τυ σωµατιδίυ α. 9υ pλ ( αρχ ) = pλ ( τελ ) 9maυ = 0+ mπυρυ 9maυ = 10mαυ υ = 10 (3) Γ) Είδς κίνησης Αµέσως µετά τ στιγµιαί µηδενισµό της ταχύτητάς τυ, τ σωµατίδι α, λόγω της απωστικής δύναµης Fc αλλάζει φρά κίνησης και αρχίζει να κινείται µόρρπα µε τν πυρήνα. Τ σωµάτι α τώρα επιταχύνεται, αφύ η Fc είναι µόρρπη της ταχύτητάς τυ. Συνεπώς τ µέτρ της ταχύτητας τυ σωµάτιυ α αρχίζει από µηδέν να αυξάνει, ενώ πυρήνας 40 0Ca συνεχίζει να επιβραδύνεται. υ υ1 F Για όσ χρόν πυρήνας έχει µεγαλύτερη ταχύτητα από τ σωµάτι α, υ > υ1, πυρήνας πλησιάζει τ σωµάτι α, πότε η µεταξύ τυς απόσταση µειώνεται. Καθώς η ταχύτητα τυ πυρήνα µειώνεται και τυ σωµατιδίυ α αυξάνεται, κάπια στιγµή απκτύν ίσες ταχύτητες. 3
Αµέσως µετά, εφόσν πυρήνας συνεχίζει να επιβραδύνεται και τ σωµάτι α να επιταχύνεται, η ταχύτητα τυ α θα γίνει µεγαλύτερη από την ταχύτητα τυ πυρήνα, υ1 > υ, πότε η µεταξύ τυς απόσταση αρχίζει πλέν να αυξάνεται. Συµπέρασµα 40 Τ σωµάτι α και πυρήνας 0Ca πλησιάζυν στην ελάχιστη µεταξύ τυς απόσταση τη στιγµή πυ απκτύν ίσες ταχύτητες: υ1 = υ = υκ υκ υκ F Η κινή ταχύτητα υπλγίζεται από τη διατήρηση της ρµής τυ συστήµατς: pλ ( αρχ ) = pλ ( τελ ) 9maυ = maυκ + mπυρυκ 9maυ = maυκ + 10mαυκ 9 9maυ = maυκ υκ = υ Η ελάχιστη απόσταση υπλγίζεται από τη διατήρηση της µηχανικής ενέργειας τυ συστήµατς: 1 1 q Q 1 1 E = E U + mυ + m υ = K + mυ + m υ a πυρ λ ( αρχ ) λ ( τελ ) a πυρ c a κ πυρ κ rmin e 0e 81υ 80e m + m = K + m + m m m = K aυ 10 aυ c aυκ 10 aυκ aυ a c rmin rmin 40maυ 80e e = Kc rmin = Kc rmin maυ Για αρχική ταχύτητα τέτια ώστε η κινητική ενέργεια τυ σωµατιδίυ α να είναι ίση µε 1 13 1ΜeV, Ka = maυ = 1MeV = 1, 6 10 J, η ελάχιστη απόσταση πρκύπτει περίπυ 15 ίση µε rmin = 15,8 10 m, πότε η ισχυρή πυρηνική δύναµη είναι µηδενική. Δ) Εφόσν η ηλεκτρική δυναµική ενέργεια τυ συστήµατς των δύ σωµατιδίων είναι αντιστρόφως ανάλγη της µεταξύ τυς απόστασης, λαµβάνει τη µέγιστη τιµή της, τη στιγµή πυ τα σωµατίδια πλησιάζυν στην ελάχιστη µεταξύ τυς απόσταση. Άρα: e 0e Kc 40e 0mυ Umax = Kc = U = rmin e Kc m υ a max a 4
Πρφανώς η ηλεκτρική δυναµική ενέργεια τυ συστήµατς των δύ φρτίων πρέρχεται από ισόπση µείωση της κινητικής των δύ σωµατιδίων. Εφαρµόζντας τ ΘΜΚΕ για τ σωµάτι α έχυµε: 1 1 1 81 0 K K = W mυ mυ = W mυ ( 1) = W W = mυ ( τελ ) ( aρχ ) Fc (1) a κ a Fc (1) a Fc (1) Fc (1) a Εφαρµόζντας τ ΘΜΚΕ για τν πυρήνα 40 0Ca έχυµε: 1 1 K( τελ ) K( aρχ ) = WF () m c πυρυκ mπυρυ = WF c () 1 81 0 0 m υ ( 1) = W W = m υ W = 10mυ 00 WF c () = maυ πυρ Fc () Fc () πυρ Fc () a Αθρίζντας την ελάττωση της κινητικής ενέργειας κάθε σωµατιδίυ, έχυµε: 0 0 Kλ = Ka + Kπυρ = maυ = maυ Kλ = U min Ε) Είδς κίνησης Τ σωµάτι α υπό την επίδραση της Fc επιταχύνεται µε επιτάχυνση πυ τ µέτρ της διαρκώς ελαττώνεται, µέχρι να µηδενιστεί, όταν τα σωµατίδια βρεθύν ξανά σε άπειρη απόσταση και πάψυν να αλληλεπιδρύν. Η φρά κίνησης τυ σωµάτιυ α, εφόσν πλέν συνεχώς επιταχύνεται, δε µπρεί να αλλάξει και θα είναι αντίρρπη της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης υ0. υ υ1 F Ο πυρήνας 40 0Ca αρχικά επιβραδύνεται. Υπάρχει περίπτωση, µέχρι να ξαναβρεθύν σε άπειρη απόσταση πότε θα πάψυν να αλληλεπιδρύν, να µηδενιστεί η ταχύτητά τυ και υπό την επίδραση της Fc να αλλάξει η φρά της κίνησής τυ. Αυτό δε µπρύµε να τ γνωρίζυµε εξαρχής. Θα υπθέσυµε ότι κινείται µόρρπα µε την αρχική τυ ταχύτητα υ0 και αν η αλγεβρική τιµή της ταχύτητάς τυ βρεθεί αρνητική, θα σηµαίνει ότι έχει αλλάξει η φρά της κίνησης. 5
Η επεξεργασία m πυρ υ υ υ υ1 Από τη διατήρηση της ρµής έχυµε: p = p 9 mυ = mυ ' + m υ ' 9 mυ = mυ ' + 10 m υ ' λ ( αρχ ) λ( τελ ) a a 1 πυρ a a 1 α 9 υ = υ ' + 10 υ ' υ ' = 9υ 10 υ ' 1 1 Από τη διατήρηση της µηχανικής ενέργειας έχυµε: 1 1 1 1 Eλ ( αρχ ) = Eλ ( τελ ) U + maυ + mπυρυ = U + maυ1 ' + mπυρυ '... υ = υ ' + 10 υ ' υ = (9υ 10 υ ') + 10 υ '... 1 υ ' 18 υυ ' + 7υ = 0 Η δευτερβάθµια ως πρς υ ' εξίσωση έχει λύσεις: 18υ ± 4υ υ ' = 18υ + 4υ Η θετική λύση: υ ' = = υ και υ1 ' = υ απρρίπτεται, διότι αντιστιχεί στην αρχική κατάσταση, στη στιγµή της εκτόξευσης. Η αρνητική λύση: 18 υ 4 7 υ 7 9 υ ' = υ ' = υ και υ 1 ' = 9υ 10 υ υ 1 ' = υ είναι η δεκτή και δίνει τις τελικές ταχύτητες των σωµατιδίων όταν πάψυν να αλληλεπιδρύν. Ενεργειακά, η κινητική ενέργεια πυ χάνει πυρήνας εµφανίζεται ως αύξηση της κινητικής ενέργειας τυ σωµατιδίυ α. Η ελαστική κρύση συνλικά: 6
m πυρ υ υ F υ υ 1 υ υ 1 =0 F υ υ1 F υκ υκ F υ υ1 Θδωρής Παπασγυρίδης papasgou@gmail.com 7