Μηχανικές Ταλαντώσεις

Μηχανικές Ταλαντώσεις

. Περιοδικά φαινόµενα - Γραµµική αρµονική ταλάντωση Περιοδικά ονοµάζονται τα φαινόµενα ου εαναλαµβάνονται µε τον ίδιο τρόο σε ίσα χρονικά διαστήµατα. Π.χ. οµαλή κυκλική κίνηση, χτύοι καρδιάς, ανανοή, κίνηση εκκρεµούς, εριστροφή γης γύρω αό τον ήλιο κ.ά. Περίοδος (Τ) ενός εριοδικού φαινοµένου ονοµάζεται ο χρόνος ου ααιτείται για µια λήρη εανάληψη του φαινοµένου ή ο χρόνος ου µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών εαναλήψεων του φαινοµένου. Η ερίοδος είναι µονόµετρο µέγεθος και η µονάδα µέτρησής της είναι το sec. Συχνότητα (f) ενός εριοδικού φαινοµένου ονοµάζεται το φυσικό µέγεθος του οοίου το µέτρο θα δίνεται αό το σταθερό ηλίκο του αριθµού Ν των εαναλήψεων του φαινοµένου σε κάοιο χρόνο t, ρος το χρόνο αυτό. Δηλαδή: N f = t Η συχνότητα είναι µονόµετρο µέγεθος και έχει µονάδα µέτρησης το sec - ή κύκλος/sec ή Hz (Hertz). Σχέση µεταξύ εριόδου συχνότητας Εειδή σε χρόνο t ίσο µε µια ερίοδο Τ έχουµε µια εανάληψη του t= T N φαινοµένου έχουµε f = t Þ N= f = Η κυκλική (ή γωνιακή) συχνότητα (ω) είναι το µέγεθος ου αναφέρεται σε όλα τα εριοδικά φαινόµενα και εκφράζει τον αριθµό των εαναλήψεων ενός φαινοµένου σε χρόνο sec. Η κυκλική συχνότητα είναι µονόµετρο µέγεθος και είναι ίση µε το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας στην οµαλή κυκλική κίνηση. Έτσι ισχύουν οι σχέσεις: Τ ω = και ω = f Τ Μονάδα µέτρησης της κυκλικής συχνότητας είναι το rad. sec Κώστας Παρασύρης Φυσικός

Κάθε εριοδική κίνηση ενός σώµατος κατά την οοία το σώµα κινείται αλινδροµικά µεταξύ δύο ακραίων θέσεων λέγεται ταλάντωση (.χ. εκκρεµές, σώµα κρεµασµένο αό ελατήριο). Μεταξύ των δύο αυτών ακραίων θέσεων υάρχει µια θέση στην οοία αν σταµατήσουµε το σώµα, αυτό θα ακινητοοιηθεί µόνιµα. Η θέση αυτή λέγεται θέση ισορροίας (Θ.Ι.) του ταλαντωτή και στη θέση αυτή η συνισταµένη των δυνάµεων θα είναι ίση µε µηδέν. Γραµµική χαρακτηρίζεται η ταλάντωση όου η κίνηση του ταλαντωτή είναι ευθύγραµµη (.χ. σώµα δεµένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου). Αοµάκρυνση () ονοµάζουµε την αλγεβρική τιµή της µετατόισης του σώµατος αό τη θέση ισορροίας του. Πλάτος (Α) ονοµάζουµε τη µέγιστη τιµή της αοµάκρυνσης του σώµατος. Γραµµική ή αλή αρµονική ταλάντωση (Γ.Α.Τ.) λέγεται η ταλάντωση ενός σώµατος ου η αοµάκρυνσή του είναι ηµιτονοειδής (αρµονική) συνάρτηση του χρόνου.. Αλή αρµονική ταλάντωση α) Κινηµατική ροσέγγιση q Εξίσωση αοµάκρυνσης χρόνου (-t) Έστω ένα σώµα ου κινείται αλινδροµικά άνω σ ένα άξονα γύρω αό την αρχή Ο του άξονα. Αν το σώµα εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση, η αοµάκρυνσή του () σε σχέση µε το χρόνο θα δίνεται αό τη σχέση X - O X X = ηµωt Η γωνία φ = ωt ου η τιµή της καθορίζει την τιµή της αοµάκρυνσης του σώµατος τη χρονική στιγµή t ονοµάζεται φάση της ταλάντωσης. Κώστας Παρασύρης Φυσικός

q Εξίσωση ταχύτητας χρόνου (υ-t) Η ταχύτητα του σώµατος κάθε χρονική στιγµή θα δίνεται αό τη σχέση υ ma = ωα όου υ = υma συνωt υ ma η µέγιστη ταχύτητα του σώµατος. q Εξίσωση ειτάχυνσης χρόνου (α-t) Η ειτάχυνση του σώµατος κάθε χρονική στιγµή θα δίνεται αό τη σχέση α = - αma ηµωt αma = ω Α ή α ma = ωυma όου α ma η µέγιστη ειτάχυνση του σώµατος. Παρατήρηση : Όλες οι αραάνω σχέσεις ισχύουν µε την ροϋόθεση ότι το σώµα τη χρονική στιγµή t= βρίσκεται στη θέση ισορροίας του και η ταχύτητά του είναι υ >, δηλαδή κινείται ρος τα θετικά του άξονα. Σε κάθε άλλη ερίτωση οι σχέσεις γίνονται: = ηµ(ωt + φ ) υ = υma συν(ωt + φ ) α = -αma ηµ(ωt + φ ) όου φ είναι η φάση της ταλάντωσης τη χρονική στιγµή t = και ονοµάζεται αρχική φάση της ταλάντωσης. Για την αρχική φάση ισχύει: φ < Έτσι στην ερίτωση ου δεν έχουµε αρχική φάση, η φάση της ταλάντωσης είναι φ = ωt, ενώ όταν έχουµε αρχική φάση είναι φ = ωt + φ. φ χωρίς αρχική φάση φ µε αρχική φάση θ φ θ t t Κώστας Παρασύρης Φυσικός 3

Αό την κλίση της ευθείας µέσω της εφατοµένης της γωνίας θ µορούµε να υολογίσουµε την κυκλική συχνότητα Διαγράµµατα κλίση ευθείας = εφθ = ω Στην ερίτωση ου ένα σώµα κάνει αλή αρµονική ταλάντωση (χωρίς αρχική φάση) τα διαγράµµατα της αοµάκρυνσης, της ταχύτητας και της ειτάχυνσης σε σχέση µε το χρόνο είναι: υ υ ma - T/4 T/ 3T/4 T T/4 T/ 3T/4 T t - υ ma t a a ma T/4 T/ 3T/4 T t - a ma υ > a = a ma a = a = -ama a > a < υ = υ = ±υ υ = < ma > = - Θ.Ι. = υ < Κώστας Παρασύρης Φυσικός 4

q Σχέση ταχύτητας αοµάκρυνσης (υ-) Έστω ένα σώµα ου κάνει αλή αρµονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Οι εξισώσεις της αοµάκρυνσης και της ταχύτητας σε σχέση µε το χρόνο είναι: = ηµωt = ηµ ωt ηµ ωt = Þ Þ Þ υ = υma συνωt υ υ συν = ma ωt υ συν ωt = υ Προσθέτουµε τις δύο τελευταίες εξισώσεις κατά µέλη και έχουµε: ma ηµ ωt + συν ωt = υ + υ ma Þ υ + υ ma = αφού για κάθε γωνία ισχύει ότι ηµ a + συν a =. Όµως υ ma = ωα οότε η τελευταία σχέση γίνεται υ + ω ω + υ = Þ ω = Þ ω + υ = ω Þ υ = ω - ω Þ υ = ± ω - Παρατηρήσεις ) Η τελευταία σχέση µας ειτρέει να υολογίσουµε την ταχύτητα του σώµατος σε κάοια θέση της ταλάντωσης κάοια χρονική στιγµή, χωρίς να γνωρίζουµε τη χρονική αυτή στιγµή, είτε το σώµα ου κάνει την ταλάντωση έχει είτε δεν έχει αρχική φάση φ. ) Το διλό ρόσηµο στο τύο δηλώνει ότι το σώµα για κάοια συγκεκριµένη θέση της ταλάντωσης µορεί είτε να κινείται ρος τη θέση ισορροίας, είτε να αοµακρύνεται αό αυτή. υ 3) Η σχέση + = είναι εξίσωση έλλειψης και η γραφική της ω αράσταση φαίνεται αρακάτω. υ ω - - ω Κώστας Παρασύρης Φυσικός 5

q Σχέση ειτάχυνσης αοµάκρυνσης (α ) α = -αma ηµωt Þ α = -ω Α ηµωt Όµως εειδή = ηµωt η τελευταία σχέση γίνεται α = -ω Παρατηρήσεις ) Η σχέση α = -ω µας δείχνει ότι στην αλή αρµονική ταλάντωση η ειτάχυνση έχει άντοτε αντίθετο ρόσηµο αό την αοµάκρυνση. ) Η ειτάχυνση έχει φορά άντα ρος τη θέση ισορροίας. 3) Η σχέση α = -ω είναι εξίσωση ευθείας και η γραφική της αράσταση φαίνεται αρακάτω. a ω Α θ -Α -ω Α Α Αό την κλίση της διλανής ευθείας, µέσω της εφατοµένης της γωνίας θ, µορούµε να υολογίσουµε το ω. εφθ =ω q Σχέση ειτάχυνσης ταχύτητας (α υ) a α= - αma ηµωt a = ama ηµ ωt ηµ ωt = a Þ Þ Þ υ = υma συνωt υ υ συν = ma ωt υ συν ωt = υ Προσθέτουµε τις δύο τελευταίες εξισώσεις κατά µέλη και έχουµε: + = a a a + υ Þ a + υ ηµ ωt συν ωt = υ υ ma ma ma ma αφού για κάθε γωνία ισχύει ότι ηµ a + συν a =. Όµως a = ma ωα και υ ma = ωα οότε η τελευταία σχέση γίνεται a υ α +ωu 4 4 + = Þ = Þ α = +ωu ω Þ a= ω -ωu Þ 4 4 ω ω ω ma ma Κώστας Παρασύρης Φυσικός 6

a =± w -u ω ή a =± ω u -u Παρατηρήσεις ) Η τελευταία σχέση µας ειτρέει να υολογίσουµε την ειτάχυνση του σώµατος σε κάοια θέση της ταλάντωσης ου γνωρίζουµε το µέτρο της ταχύτητάς του κάοια χρονική στιγµή, χωρίς να γνωρίζουµε τη χρονική αυτή στιγµή, είτε το σώµα ου κάνει την ταλάντωση έχει είτε δεν έχει αρχική φάση φ. a υ ) Η σχέση + = 4 ω ω αράσταση φαίνεται αρακάτω. a ω ma είναι εξίσωση έλλειψης και η γραφική της -ω ω υ -ω β) Δυναµική ροσέγγιση Όταν ένα σώµα µάζας m εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση, τότε σε τυχαία θέση της τροχιάς του έχει ειτάχυνση α. Η συνολική δύναµη ου δέχεται το σώµα και είναι υεύθυνη για την ειτάχυνσή του, υακούει στο θεµελιώδη νόµο της µηχανικής: F = ma α = -αma ηµωt Þ α = -ω Α ηµωt Þ F = -mω Α ηµωt Όµως εειδή = ηµωt η τελευταία σχέση γίνεται F = -mω Αό τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώµα εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση η συνολική δύναµη ου δέχεται είναι ανάλογη µε την αοµάκρυνση του σώµατος αό το µέσο Ο της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά αό αυτήν. Όταν το σώµα ερνά αό το σηµείο Ο η συνολική δύναµη ου δέχεται ισούται µε µηδέν. Για το λόγο αυτό, το σηµείο Ο ονοµάζεται θέση ισορροίας της ταλάντωσης. Κώστας Παρασύρης Φυσικός 7

Αν συµβολίσουµε το γινόµενο ταλαντωτή), δηλαδή D = mω η σχέση ου δίνει τη δύναµη δίνει mω µε D (ου είναι σταθερό για κάθε F = -D Η αραάνω σχέση είναι γνωστή και σαν συνθήκη για την αραγωγή αλής αρµονικής ταλάντωσης. Η δύναµη F ονοµάζεται δύναµη εαναφοράς (γιατί τείνει να εαναφέρει το σώµα στη θέση ισορροίας) και η σταθερά αναλογίας D σταθερά εαναφοράς η τιµή της οοίας σχετίζεται µε τα φυσικά χαρακτηριστικά του ταλαντούµενου συστήµατος. q Εξίσωση δύναµης χρόνου (F-t) Αό τη σχέση F = -mω Α ηµωt ροκύτει ότι αυτή είναι της µορφής F = -Fma ηµωt όου F = mωα ή F = mωυ ή F = DΑ ma ma F ma ma Το διάνυσµα της δύναµης στην αλή αρµονική ταλάντωση είναι οµόρροο µε αυτό της ειτάχυνσης. Διαγράµµατα Στην ερίτωση ου ένα σώµα κάνει αλή αρµονική ταλάντωση (χωρίς αρχική φάση) τα διαγράµµατα της δύναµης σε σχέση µε το χρόνο και σε σχέση µε την αοµάκρυνση είναι: F ma T/4 T/ 3T/4 T t -F ma F - Α θ mω Α -mω Α Α Αό την κλίση της διλανής ευθείας, µέσω της εφατοµένης της γωνίας θ, µορούµε να υολογίσουµε τη σταθερά εαναφοράς D. εφθ =D Κώστας Παρασύρης Φυσικός 8

F = F ma F> F= F = -Fma F< = - Θ.Ι. = q Σχέση εριόδου σταθεράς εαναφοράς æ ö D = mω Þ D mç = Þ è T ø T = m D Παρατήρηση: Η αραάνω σχέση µας δείχνει ότι η ερίοδος Τ της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη του λάτους Α της ταλάντωσης και η τιµή της καθορίζεται αό τη µάζα m του σώµατος και αό τη σταθερά εαναφοράς D. γ) Ενεργειακή ροσέγγιση Η ενέργεια (ή ολική ενέργεια ή µηχανική ενέργεια) της ταλάντωσης Ε ενός συστήµατος ου εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση ισούται µε την ενέργεια ου ροσφέραµε αρχικά στο σύστηµα για να το θέσουµε σε ταλάντωση. Η ενέργεια αυτή θα δίνεται αό τη σχέση: E = D Αό την τελευταία σχέση ροκύτει ότι το λάτος της ταλάντωσης Α καθορίζεται µόνο αό την ενέργεια ου ροσφέραµε αρχικά στο σύστηµα ώστε να αρχίσει να ταλαντώνεται. Η ενέργεια µιας αλής αρµονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του λάτους της ταλάντωσης. Στη διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια ταλάντωσης εµφανίζεται ως κινητική ενέργεια Κ και ως δυναµική ενέργεια U ταλάντωσης. Ισχύουν: K = m υ και U = D Κώστας Παρασύρης Φυσικός 9

K+U = m υ + D m υ συν ωt+ D ηµ ωt υ=υma συνωt ma υ =ω Α = ma = = ηµωt = D=mω m ω Α συν ωt + D ηµ ωt D Α συν ωt + D ηµ ωt = = συν ωt+ηµ ωt= = D Α ( συν ωt + ηµ ωt) = D Α = E Άρα E = K +U ή E = m υ + D (=σταθερή) Είσης για την ολική ενέργεια της ταλάντωσης ισχύουν: ma υ =ωα D=mω K ma = m υma m ω Α D Α = E = = Αρχή Διατήρησης Ενέργειας Ταλάντωσης (Α.Δ.Ε.Τ.) Άρα E = K ma = m υ ma και E =Uma = D K= Uma = E K ma =E U= K= Uma = E = - Θ.Ι. = q Εξίσωση κινητικής ενέργειας χρόνου (Κ-t) K = m υ υ = υma συνωt Þ K m = υ ma συν ωt Þ K=E συν ωt Κώστας Παρασύρης Φυσικός

q Εξίσωση δυναµικής ενέργειας χρόνου (U-t) U = D = ηµωt Þ U = D ηµ ωt Þ U=E ηµ ωt Παρατήρηση: Αν η ταλάντωση έχει αρχική φάση οι αραάνω εξισώσεις γίνονται: K=E συν ( ωt+φ ) και U=E ηµ ( ωt+φ ) Διαγράµµατα Στην ερίτωση ου ένα σώµα κάνει αλή αρµονική ταλάντωση (χωρίς αρχική φάση) τα διαγράµµατα της ολικής, της κινητικής και της δυναµικής ενέργειας της ταλάντωσης σε σχέση µε το χρόνο είναι: E,K,U E E K E U T T 3T T 5T 3T 7T T 8 4 8 8 4 8 Παρατηρούµε ότι η κινητική και η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης είναι εριοδικές συναρτήσεις του χρόνου µε ερίοδο Τ ίση µε τη µισή της εριόδου της ταλάντωσης Τ, δηλαδή T = Τ. Η κινητική και η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίσες µεταξύ τους τις χρονικές στιγµές όου: ( ) Κ = U Þ E συν ωt = E ηµ ωt Þεφ ωt = Þ εφωt = ± Þ ωt = k + 4 Þ t = ( k+) Þ Τ 4 t = ( k+) Τ όου k =,,,3,... 8 Αό το αραάνω διάγραµµα είσης αρατηρούµε ότι στη διάρκεια κάθε εριόδου της ταλάντωσης, η δυναµική και η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίσες µεταξύ τους 4 φορές(τα 4 σηµεία τοµής των U, K στο διάγραµµα). t ω= Τ Κώστας Παρασύρης Φυσικός

q Εξίσωση δυναµικής ενέργειας αοµάκρυνσης (U-) & εξίσωση κινητικής ενέργειας αοµάκρυνσης (Κ-) Η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης δίνεται αό τη σχέση: U = D µε -Α + Α.Δ.Ε.Τ. : E=K+UÞ E=K+ D Þ K = E- D µε -Α + Διαγράµµατα Στην ερίτωση ου ένα σώµα κάνει αλή αρµονική ταλάντωση (µε ή χωρίς αρχική φάση) τα διαγράµµατα της ολικής, της κινητικής και της δυναµικής ενέργειας της ταλάντωσης σε σχέση µε την αοµάκρυνση είναι: E,K,U E E U K - - Η κινητική και η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίσες µεταξύ τους όταν το σώµα βρίσκεται στις θέσεις όου: K= U Α.Δ.Ε.Τ. : E=K+U Þ E=U+UÞ E=U Þ D = D Þ = Þ =± Þ =± Κώστας Παρασύρης Φυσικός

q Εξίσωση κινητικής ενέργειας ταχύτητας (Κ-υ) & εξίσωση δυναµικής ενέργειας ταχύτητας (U-υ) Η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης δίνεται αό τη σχέση: K = m υ µε -υma υ +υma Α.Δ.Ε.Τ. : E = K+U Þ E = m υ +U Þ U = E- m υ µε -υma υ +υma Διαγράµµατα Στην ερίτωση ου ένα σώµα κάνει αλή αρµονική ταλάντωση (µε ή χωρίς αρχική φάση) τα διαγράµµατα της ολικής, της κινητικής και της δυναµικής ενέργειας της ταλάντωσης σε σχέση µε την ταχύτητα του σώµατος είναι: E,K,U E E K U -υ -υma ma υ υ ma ma υ Η κινητική και η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίσες µεταξύ τους όταν το σώµα βρίσκεται στις θέσεις όου η ταχύτητά του είναι: U=K Α.Δ.Ε.Τ. : E = K+U Þ E= Κ+Κ Þ E= Κ Þ m υ ma = m υ Þ υma υma υ = Þ υ=± Þ υma υ=± Κώστας Παρασύρης Φυσικός 3

Παρατήρηση: Η σχέση υ= ± ω - µορεί να αοδειχτεί ολύ ιο εύκολα µε τη βοήθεια της αρχής διατήρησης ενέργειας ταλάντωσης: Α.Δ.Ε.Τ. : D=mω E = K+U Þ D = m υ + D Þ m w = m υ + m w Þ υ = w - w Þ υ = ± ω - 3. Το εριστρεφόµενο διάνυσµα Θα αοδείξουµε ότι: Αν ένα σώµα Σ κάνει οµαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας Α τότε η ροβολή του Σ στον άξονα yy κάνει Α.Α.Τ. +Α Σ Σ ωt Άξονας φάσεων -Α Άξονας ταλάντωσης Πράγµατι αό το σχήµα έχουµε: ΟΣ = ΟΣηµφ Û = ηµφ Û = ηµωt Αφού φ=ωt λόγω της οµαλής κυκλικής κίνησης του Σ. Αυτό µορεί να διατυωθεί διαφορετικά: Άρα: Αν ένα σώµα κάνει Α.Α.Τ. µε λάτος Α µορούµε να υοθέσουµε ότι υάρχει ένα άλλο σώµα το οοίο κάνει οµαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας Α, µε κέντρο τη θέση ισορροίας. Για κάθε σώµα ου κάνει ταλάντωση = ηµωt µορούµε να υοθέσουµε ότι υάρχει ένα εριστρεφόµενο διάνυσµα µέτρου Α και γωνιακής ταχύτητας ω. Κώστας Παρασύρης Φυσικός 4

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Æ Όταν δίνεται η αόσταση d των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης, τότε το λάτος Α θα είναι: d = Æ Όταν ένας ταλαντωτής αοµακρύνεται αό τη θέση ισορροίας του κατά και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερος, τότε το λάτος της ταλάντωσής του θα είναι ίσο µε την αρχική αυτή αοµάκρυνση, δηλαδή: = Æ Όταν ένας ταλαντωτής ισορροεί(δηλαδή βρίσκεται στη Θ.Ι. του) και µε κάοιο τρόο αοκτήσει ταχύτητα υ, τότε η ταχύτητα του αυτή θα είναι ίση µε την µέγιστη της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει δηλαδή: υ =υ ma Æ Όταν µας ζητείται η χρονική εξίσωση ενός µεγέθους της ταλάντωσης (.χ., υ, α, F, K, U), τότε γράφουµε στη γενικότερη µορφή της την εξίσωση ου ροβλέει η θεωρία για το µέγεθος αυτό και υολογίζουµε τις τιµές των στοιχείων της εξίσωσης (στο ίδιο σύστηµα µονάδων) αό τα δεδοµένα της άσκησης. α=- ω Α ηµ ωt+φ ρέει αό τα δεδοµένα Π.χ. για την εξίσωση ( ) της άσκησης να υολογίσουµε τις τιµές των ω, Α, φ. Æ Αν δίνεται η χρονική εξίσωση της αοµάκρυνσης ή κάοιου άλλου µεγέθους της ταλάντωσης(ταχύτητας, ειτάχυνσης, δύναµης, δυναµικής ή κινητικής ενέργειας), τότε αό τη σύγκρισή της µε την αντίστοιχη της θεωρίας ροσδιορίζονται ορισµένα µεγέθη της ταλάντωσης καθώς είσης και οι εξισώσεις όλων των υόλοιων µεγεθών της ταλάντωσης. Π.χ. έστω ότι η εξίσωση της αοµάκρυνσης ενός ταλαντωµένου σώµατος είναι =, ηµ ( t + 3 ) (S.I.) τότε: = ηµ ( ), t+ 3 ( ) = ηµ ω t + φ άρα =, m, ω= rad sec και φ rad = 3 Έτσι η εξίσωση της ταχύτητας θα είναι: υ= ω Α συν( ωt+φ ) Þ ( ) υ =, συν t + 3 Κώστας Παρασύρης Φυσικός 5

Æ Διαφορά φάσης και χρονική διαφορά µεταξύ των µεγεθών της ταλάντωσης. Διαφορά φάσης δύο αρµονικά µεταβαλλόµενων µεγεθών λέγεται η διαφορά των φάσεών τους. Όταν τα δύο µεγέθη έχουν την ίδια γωνιακή συχνότητα ω, τότε η διαφορά φάσης τους είναι σταθερή. Για να βρούµε τη διαφορά φάσης δύο µεγεθών, ρέει τα δύο µεγέθη να εκφράζονται µε τον ίδιο τριγωνοµετρικό αριθµό και να έχουν θετικές µέγιστες τιµές (ή αρνητικές). Έστω = ηµ(ωt+φ)η εξίσωση της αοµάκρυνσης, τότε: -ηµφ = ηµ ( φ +) συνφ=ηµ ( φ+ ) υ = υma συν(ωt + φ ) Þ υ=υma ηµ(ωt+φ + ) α = -αma ηµ(ωt + φ ) Þ α = αma ηµ(ωt + φ + ) Δηλαδή η ταχύτητα ροηγείται σε φάση της αοµάκρυνσης κατά Δφ υ, =φυ -φ = η ειτάχυνση ροηγείται σε φάση της αοµάκρυνσης κατά Δφ =φ -φ = a, a και η ειτάχυνση ροηγείται σε φάση της ταχύτητας κατά Δφ a,υ =φα -φυ = Αυτές οι διαφορές φάσης ερµηνεύονται ως εξής: Όταν κάοιο µέγεθος, ας ούµε η ταχύτητα, άρει ορισµένη τιµή υ = + υma, η αοµάκρυνση θα άρει την αντίστοιχη τιµή = +Α, µετά αό χρόνο Δt ου αντιστοιχεί στη διαφορά φάσης των µεγεθών. Η χρονική διαφορά Δt α) Μεταξύ ταχύτητας αοµάκρυνσης: Τ Τ Τ Δφ = ω Δt Þ Δφ = Δt Þ Δt = Δφ Þ Δt= Þ Δt= Τ 4 β) Μεταξύ ειτάχυνσης αοµάκρυνσης: Τ Τ Τ Δφ = ω Δt Þ Δφ = Δt Þ Δt = Δφ Þ Δt= Þ Δt= Τ γ) Μεταξύ ειτάχυνσης ταχύτητας: Τ Τ Τ Δφ = ω Δt Þ Δφ = Δt Þ Δt = Δφ Þ Δt= Þ Δt= Τ 4 Æ Αρχική φάση ταλάντωσης Ένα σύστηµα ου εκτελεί Α.Α.Τ. έχει αρχική φάση φ στις αρακάτω ιο συνηθισµένες εριτώσεις: Κώστας Παρασύρης Φυσικός 6

α) Για t = ¹ β) Για t = a¹ γ) Για t= υma ¹ δ) Για t = U ¹ ε) Για t = K ¹ K ma στ) Για t ¹ µε t ¹ κτ, κ =,,3,... = ζ) Όταν η εξίσωση της αοµάκρυνσης δεν είναι της µορφής = ηµωt ή η εξίσωση της ταχύτητας δεν είναι της µορφής υ = υma συνωt ή η εξίσωση της ειτάχυνσης δεν είναι της µορφής α = -α ηµωt. ma Γενικά ένα σώµα δεν έχει αρχική φάση όταν τη χρονική στιγµή t= το σώµα βρίσκεται στη Θ.Ι. του και έχει θετική ταχύτητα. Æ Υολογισµός αρχικής φάσης ταλάντωσης Για να βρούµε την αρχική φάση της ταλάντωσης θα ρέει να γνωρίζουµε αό οια θέση ξεκινά η ταλάντωση (δηλαδή την τιµή του όταν t = ) και τη φορά κίνησης του σώµατος (δηλαδή αν u > ή u < ). Α τρόος (µε τη βοήθεια των εξισώσεων των µεγεθών της ταλάντωσης) Βήµα : Στην εξίσωση της ταλάντωσης, = ηµ(ωt+φ), αντικαθιστούµε για t = την τιµή του, οότε καταλήγουµε σε τριγωνοµετρική εξίσωση της µορφής ηµφ = ηµθ. Βήµα : Ειλύουµε την τριγωνοµετρική εξίσωση και καταλήγουµε σε γενικές λύσεις. Βήµα 3: Θέτουµε κ = στις γενικές λύσεις οότε αίρνουµε τιµές για την αρχική φάση φ. Βήµα 4: Με τη βοήθεια της εξίσωσης της ταχύτητας της ταλάντωσης ελέγχουµε και τις λύσεις ου ροέκυψαν και κάνουµε δεκτή αυτή ου εαληθεύει τον εριορισµό ου αναφέρεται στη φορά κίνησης του σώµατος, όως ροκύτει αό την εκφώνηση. Βήµα 5: Αν αορριφθούν και οι λύσεις, θέτουµε κ = στις γενικές λύσεις και ελέγχουµε και άλι τις νέες τιµές της φ. Προσοχή!!! φ < ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί η αρχική φάση, αν για t = είναι =- και υ <. Κώστας Παρασύρης Φυσικός 7

Λύση Στη γενική εξίσωση της ταλάντωσης, = ηµ(ωt+φ), θέτουµε t = και =- οότε έχουµε - = Α ηµφ άρα ηµφ =- δηλαδή ηµφ = -ηµ άρα ηµφ =ηµ(- ) 6 6. Λύνουµε την τριγωνοµετρική εξίσωση ου ροέκυψε και καταλήγουµε στις γενικές λύσεις. φ =κ- () και φ =κ++ () 6 6 Στις () και () θέτουµε κ = οότε αίρνουµε φ =- (αορρίτεται διότι φ < ) και φ =+. 6 6 Ελέγχουµε τη λύση φ =+. Με βάση την εκφώνηση για t = 6 είναι υ <. Παίρνουµε την εξίσωση της ταχύτητας της ταλάντωσης υ=υ συν(ωt+φ). Για t = έχουµε υ = υ συνφ. Θέτουµε ma ma φ =+ οότε θα έχουµε υ=υma συν(+ ) 6 6. Όµως συν(+ )< 6 7 άρα υ < άρα η φ =+ = rad είναι δεκτή. 6 6 Β τρόος (µε τη βοήθεια του εριστρεφόµενου διανύσµατος) Βήµα : Ζωγραφίσουµε το σώµα στη θέση ου βρίσκεται τη χρονική στιγµή t=. Σχεδιάζουµε το εριστρεφόµενο διάνυσµα ου αντιστοιχεί στη θέση αυτή. Προσέχουµε γιατί σε κάθε θέση ου βρίσκεται το σώµα υάρχουν δύο θέσεις για το εριστρεφόµενο διάνυσµα: µία όταν ανεβαίνει το σώµα (θετική ταχύτητα) και µία όταν κατεβαίνει το σώµα (αρνητική ταχύτητα). Βήµα : Υολογίζουµε τη γωνία ου σχηµατίζει το εριστρεφόµενο διάνυσµα µε τον άξονα των φάσεων όταν αυτό στραφεί µε φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού. Αυτή θα είναι και η αρχική φάση της ταλάντωσης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί η αρχική φάση, αν για t = είναι Λύση = και υ >. Κώστας Παρασύρης Φυσικός 8

+Α αρνητική ταχύτητα Α Θετική ταχύτητα Α ηµφ = Þ Α φ Άξονας φάσεων ηµφ = Þ -Α φ = rad 6 Άξονας ταλάντωσης Æ Υολογισµός χρονικών διαστηµάτων στην ταλάντωση η ερίτωση: Για την εύρεση του χρόνου µετάβασης αό µια θέση σε µια άλλη, αν η αρχική και η τελική θέση είναι θέση ισορροίας ή ακραία θέση, τότε η ζητούµενη χρονική διάρκεια είναι κάοιο ακέραιο ολλαλάσιο του Τ 4 ( Τ Δt=κ 4 µε κ=,,3,...). Αυτό συµβαίνει διότι για την αευθείας κίνηση αό τη Θ.Ι. στην ακραία θέση ή αντίστροφα ααιτείται χρόνος Τ 4. Τ 4 Τ 4 - +Α Τ 4 Τ 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Σώµα εκτελεί Α.Α.Τ. χωρίς αρχική φάση. Να βρεθεί το χρονικό διάστηµα ου ααιτείται για τη µετάβαση του σώµατος αό τη Θ.Ι. στην ακραία θέση Α για ρώτη φορά. Λύση Τ 4 - +Α Δt= 3T 4 Τ 4 Τ 4 Κώστας Παρασύρης Φυσικός 9

η ερίτωση : Για την εύρεση του χρόνου µετάβασης αό µια θέση σε µια άλλη, αν ή η αρχική ή η τελική θέση ή και οι δύο δεν είναι ούτε θέση ισορροίας ούτε ακραία θέση, τότε υάρχουν τρόοι λύσης. Α τρόος (µε τη βοήθεια της εξίσωσης αοµάκρυνσης της ταλάντωσης) Βήµα : Βρίσκουµε την εξίσωση της αοµάκρυνσης του σώµατος (αν δεν δίνεται) ροσέχοντας αν έχουµε αρχική φάση. Βήµα : Υολογίζουµε το χρόνο µετάβασης του σώµατος αό την αρχική του θέση στη θέση και έειτα το χρόνο µετάβασης του σώµατος αό την αρχική του θέση στη θέση. Βήµα 3: Τέλος αφαιρούµε τους δύο χρόνους. Παρατήρηση: Για τον υολογισµό του χρόνου αό την αρχική θέση του σώµατος σε µια άλλη, αντικαθιστούµε στην εξίσωση της αοµάκρυνσης όου και λύνουµε την τριγωνοµετρική εξίσωση ως ρος το χρόνο. Προσέχουµε ότι έχουµε µορφές λύσεων. Αό τα δεδοµένα της άσκησης και αό τον εριορισµό ότι t> υολογίζουµε τον χρόνο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ æ ö Σώµα εκτελεί Α.Α.Τ. µε εξίσωση =, ηµ ç t+ (S.I.). Να βρείτε è 3 ø οια χρονική στιγµή το σώµα διέρχεται για τρίτη φορά µετά την t= αό τη θέση = +, m. Λύση æ ö æ ö æ ö = Þ =, =, ηµ ç t+,=, ηµ ç t+ Þηµ ç t+ = Þ è 3 ø è 3 ø è 3 ø æ ö ηµ ç t + = ηµ è 3 ø 6 η οµάδα λύσεων: t+ = κ+ Þ t=6κ- 3 6 Þ κ =,,,... η οµάδα λύσεων: t+ =κ+- Þ t=6κ+ 3 6 Στη συνέχεια αντικαθιστούµε και στις δύο οµάδες λύσεων όου κ=,,, και κατατάσσουµε τις θετικές τιµές ου βρίσκουµε κατά αύξουσα σειρά. Έτσι ροκύτουν οι τιµές: t = sec, t = 5 sec, t = 7 sec,... 3 Δεκτή τελικά είναι η t 3 = 7 sec αφού θέλουµε το σώµα να διέρχεται για τρίτη φορά αό τη θέση. Κώστας Παρασύρης Φυσικός

Β τρόος (µε τη βοήθεια του εριστρεφόµενου διανύσµατος) Βήµα : Ζωγραφίσουµε το σώµα στην αρχική του θέση. Σχεδιάζουµε το εριστρεφόµενο διάνυσµα ου αντιστοιχεί στη θέση αυτή. Προσέχουµε γιατί σε κάθε θέση ου βρίσκεται το σώµα υάρχουν δύο θέσεις για το εριστρεφόµενο διάνυσµα: µία όταν ανεβαίνει το σώµα (θετική ταχύτητα) και µία όταν κατεβαίνει το σώµα (αρνητική ταχύτητα). Βήµα : Σχεδιάζουµε στο ίδιο σχήµα την τελική θέση του σώµατος και το αντίστοιχο εριστρεφόµενο διάνυσµα. Βήµα 3: Υολογίζουµε αό τα σχήµατα ου δηµιουργήθηκαν τις γωνίες ου σχηµατίζονται µεταξύ των εριστρεφόµενων διανυσµάτων και κάοιου άξονα. Βήµα 4: Υολογίζουµε την γωνία Δφ ου γράφει το εριστρεφόµενο διάνυσµα για να µεταβεί αό την αρχική στην τελική θέση του. Βήµα 5: Τέλος αό τη σχέση Δφ = ω Δt Þ Δφ = Δt Þ Τ υολογίζουµε το χρονικό διάστηµα. Τ Δt = Δφ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί το χρονικό διάστηµα για να µεταβεί ένα σώµα αό την θέση = m και υ> στη θέση = - 3 m για ρώτη φορά. Το σώµα κάνει Α.Α.Τ. µε λάτος Α= 4 m και ερίοδο Τ= sec χωρίς αρχική φάση. Λύση Α τρόος ω= Þω= Þω= rad Τ sec = = = 4 ηµt Þ = 4 ηµt Þηµt = Þ ηµt = ηµ 6 η οµάδα λύσεων: t= κ+ Þ t=κ+ 6 6 Þ κ =,,,... η οµάδα λύσεων: 5 t= κ+- Þ t=κ+ 6 6 Για κ= στην η οµάδα λύσεων αίρνουµε τη ζητούµενη τιµή του χρόνου. Άρα t = sec. 6 Οµοίως: = =- 3 3 æ ö =4 ηµt Þ - 3 =4 ηµtþηµt=- Þ ηµt = ηµ ç - è 3 ø Κώστας Παρασύρης Φυσικός

η οµάδα λύσεων: t=κ- Þ t=κ- 3 3 Þ κ =,,,... æ ö 4 η οµάδα λύσεων: t= κ+-ç - Þ t=κ+ è 3 ø 3 Για κ= στην η οµάδα λύσεων αίρνουµε τη ζητούµενη τιµή του 4 χρόνου. Άρα t = sec. 3 4 7 Άρα Δt=t -t = - Þ Δt = sec 3 6 6 Β τρόος Το σώµα θα άει αό την θέση στην ακραία θέση +Α και µετά θα κατέβει ρος τη θέση και θα βρεθεί στη θέση µε αρνητική ταχύτητα. Αό το διλανό σχήµα έχουµε: ηµφ= ηµφ= Û φ=/6 Û φ=/3 Άρα αό την αρχική µέχρι την τελική θέση θα είναι γωνία Δφ = /3 + / + /3 = 7/6 rad. Δφ = ω Δt Þ Δφ = Δt Þ Τ Δφ Τελική θέση +Α -Α Τ 7 Δt = Δφ Þ Δt = Þ 6 φ φ 7 Δt = sec 6 Αρχική θέση Γενική αρατήρηση Παρατηρούµε ότι και για τον υολογισµό της αρχικής φάσης της ταλάντωσης καθώς και για τον υολογισµό του χρόνου µετάβασης αό µια θέση σε µια άλλη, ο τρόος υολογισµού µε τη βοήθεια του εριστρεφόµενου διανύσµατος είναι ολύ ιο σύντοµος και δεν ααιτεί αρκετή τριγωνοµετρία. Κώστας Παρασύρης Φυσικός

Æ Ελατήρια Τα ελατήρια χρησιµοοιούνται άρα ολύ στις ασκήσεις µε ταλαντώσεις. Η δύναµη ου ασκεί ένα ελατήριο δίνεται αό τον νόµο του Hooke: F = - Κ όου: ελ Κ = η σταθερά ελατηρίου = η συσείρωση ή ειµήκυνση του ελατηρίου αό τη θέση φυσικού µήκους (Θ.Φ.Μ.) Εοµένως: Ένα ελατήριο στη θέση φυσικού µήκους δεν ασκεί καµία δύναµη. Όσο ιο µεγάλη είναι η µετακίνησή του αό την Θ.Φ.Μ. τόσο µεγαλύτερη είναι η δύναµή του. Ακόµα: Η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου όταν βρίσκεται σε ειµήκυνση (συσείρωση) είναι και αυτή µετρηµένη αό την θέση φυσικού µήκους Θ.Φ.Μ. και δίνεται αό τον τύο U ελ = Κ. Το έργο της δύναµης του ελατηρίου όταν µετακινούµε την ελεύθερη άκρη του ελατηρίου αό µία θέση µε συσείρωση (ειµήκυνση) σε µία θέση µε συσείρωση (ειµήκυνση) υολογίζεται άντα ως εξής: W = - ΔU ÞW = - (U -U ) W = U -U Ή W = Κ - Κ ελ Þ ελ(τελ) ελ(αρχ) ελ(αρχ) ελ(τελ) Με λόγια: Το έργο της δύναµης του ελατηρίου ου το άκρο του µετακινείται αό µία αρχική θέση σε µία τελική θέση είναι ίσο µε την διαφορά αρχικής µείον τελικής δυναµικής ενέργειας ελατηρίου. Ο τύος αυτός ισχύει ΠΑΝΤΑ για το έργο δύναµης ελατηρίου όοια και να είναι η αρχική και η τελική θέση του ελατηρίου. Στο διλανό σχήµα το σώµα βρίσκεται σε κάοια τυχαία θέση κατά την διάρκεια της ταλάντωσής του. Τότε έχουµε: Ενέργεια ελατηρίου: U ελ = K( o +) Ενέργεια ταλάντωσης: U = Κ Παρατηρούµε ότι U ¹ U Είσης: ελ Τ T Θ.Φ.Μ. Θ.Ι. Τυχαία o Κώστας Παρασύρης Φυσικός 3

Δύναµη ελατηρίου (µέτρο) F ελ =Κ( o +) Δύναµη ταλάντωσης (µέτρο) F T = D = K Δηλαδή: Τα µεγέθη της ταλάντωσης τα µετράµε αό την θέση ισορροίας Θ.Ι. ενώ τα µεγέθη του ελατηρίου τα µετράµε αό την θέση φυσικού µήκους Θ.Φ.Μ. Παρατήρηση: όταν το ελατήριο είναι στο οριζόντιο είεδο εειδή η Θ.Ι. ταυτίζεται µε τη Θ.Φ.Μ. τότε η δύναµη του ελατηρίου και η δύναµη της ταλάντωσης θα έχουν την ίδια τιµή, όως και η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου µε τη δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης. Σε κάθε άλλη ερίτωση (κατακόρυφο ελατήριο, ελατήριο σε κεκλιµένο είεδο) οι τιµές αυτές θα είναι διαφορετικές. Æ Μεθοδολογία για την αόδειξη ότι ένα σώµα κάνει Α.Α.Τ. Αρκεί να δείξουµε ότι το σώµα δέχεται δύναµη εαναφοράς δηλαδή της µορφής F = - D. Τα βήµατα ου ακολουθούµε είναι: Βήµα : Ζωγραφίζουµε το σχήµα µε το σώµα στη θέση ισορροίας. Βήµα : Σχεδιάζουµε τις δυνάµεις στη θέση ισορροίας. Εφαρµόζουµε την σχέση ισορροίας ΣF= και βρίσκουµε µία σχέση για τις δυνάµεις στο σώµα. Βήµα 3: Ζωγραφίζουµε το σώµα σε µία θέση ου αέχει αό τη θέση ισορροίας. Έχουµε εκτρέψει το σώµα κατά. Βήµα 4: Σχεδιάζουµε τις νέες δυνάµεις στη θέση αυτή. Κάοια ή κάοιες δυνάµεις ρέει να είναι διαφορετικές (µεγαλύτερες ή µικρότερες) αό τις ροηγούµενες. Βήµα 5: Υολογίζουµε την νέα συνισταµένη δύναµη ΣF. Σκοός µας είναι να την µετατρέψουµε σε µία εξίσωση της µορφής F = - D όου D µία σταθερά (ανεξάρτητη του ). Για να το ετύχουµε θα χρειαστούµε (εν γένει) την εξίσωση ου βρήκαµε για τη θέση ισορροίας. Ως θετικές δυνάµεις λαµβάνουµε εκείνες ου έχουν την ίδια φορά µε εκείνη ου εκτρέψαµε το σώµα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για το αρακάτω σχήµα: Στη Θ.Ι. : ΣF = Þ Β - F ελ = Þ Β = K o () Τυχαία θέση ΙΙΙ : ΣF = Β F ελ Þ ΣF = Β Κ( o + ) Þ ΣF = Β Κ o Κ και λόγω της () είναι ΣF = Κ Κώστας Παρασύρης Φυσικός 4

Άρα το σώµα κάνει Α.Α.Τ. µε D = K Θ.Φ.Μ. Θ.Ι. Κ Ι φ ΙΙ B Fελ φ B By ΙΙΙ B F ελ φ B By o Παρατήρηση : Στην ερίτωση του συστήµατος ελατήριο σώµα είτε στο οριζόντιο, είτε στο κεκλιµένο, είτε στο κατακόρυφο είεδο αν εκτρέψουµε το σώµα αό τη Θ.Ι. του αυτό θα εκτελέσει Α.Α.Τ. µε σταθερά εαναφοράς ίση µε τη σταθερά του ελατηρίου (D=K). Παρατήρηση : Είσης ένα σώµα εκτελεί Α.Α.Τ. αρκεί να αοδείξω ότι η ειτάχυνση και η αοµάκρυνσή του συνδέονται µε βάση τη σχέση α=-ω. Æ Αν σε µια τυχαία θέση της ταλάντωσης γνωρίζουµε το µέτρο της ταχύτητας του υ, τότε χρησιµοοιούµε την Α.Δ.Ε.Τ. και υολογίζουµε κάοιο µέγεθος όως το λάτος, τη σταθερά εαναφοράς ή την κυκλική συχνότητα. Α.Δ.Ε.Τ. : E=Κ+U Þ D = m υ + D Æ Αν µας δίνουν την εξίσωση της αοµάκρυνσης ή της ταχύτητας ή της ειτάχυνσης σε σχέση µε το χρόνο και δεν είναι της µορφής = ηµ(ωt+φ) ή υ=υ συν(ωt+φ) ή α=-α ηµ(ωt+φ) και ma ma θέλουµε να βρούµε τις υόλοιες εξισώσεις, ρέει να έχουµε υόψιν µας ότι η ταχύτητα ροηγείται της αοµάκρυνσης κατά rad ενώ υολείεται της ειτάχυνσης κατά rad όµως ο τριγωνοµετρικός αριθµός είναι ο ίδιος. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω υ = 5 ηµ(t + ) 6. Τότε: Κώστας Παρασύρης Φυσικός 5

= ηµ(t + - ) και α = αma ηµ(t + + ) 6 6. Æ Γραφικές αραστάσεις =f(t), u=f(t), a=f(t) η ερίτωση: Αν οι εξισώσεις είναι χωρίς αρχική φάση, ή η αρχική φάση είναι /,, 3/ τότε τα ράγµατα είναι ολύ αλά γιατί οι ζητούµενες γραφικές είναι οι γραφικές αραστάσεις ηµίτονου, συνηµίτονου και οι αντίθετές τους. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. = ηµ(ωt + ) = συνωt T/4 T/ 3T/4 T t -. = ηµ(ωt + ) = - ηµωt T/4 T/ 3T/4 T t - 3 3. = ηµ(ωt + ) = - συνωt T/4 T/ 3T/4 T t - η ερίτωση: Αν όµως η αρχική φάση είναι κάοια άλλη, τότε είτε θα ρέει να καταφύγουµε στην βοήθεια του εριστρεφόµενου διανύσµατος είτε θα ρέει να µορούµε να δουλεύουµε µε µεγάλη άνεση τις τριγωνοµετρικές εξισώσεις. Ας δούµε όµως αναλυτικά το τι θα ρέει ακριβώς να κάνουµε σε κάθε ερίτωση µε την µορφή του αρακάτω αραδείγµατος. Κώστας Παρασύρης Φυσικός 6

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να γίνουν η γραφική αράσταση της αοµάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου της αλής αρµονικής ταλάντωσης υλικού σηµείου ου εριγράφεται αό την εξίσωση αοµάκρυνση = ηµ(ωt+ ) 3. Α τρόος Θα ροσαθήσουµε να φτιάξουµε την γραφική αράσταση µε την βοήθεια της τριγωνοµετρίας. Βήµα : Ξεκινάµε ρώτα σχεδιάζοντας την γραφική αράσταση ενός ηµιτόνου. Θα ρέει βέβαια να ροσέξουµε ότι η µέγιστη τιµή στην γραφική αράσταση δεν θα είναι η µονάδα, αλλά θα είναι το λάτος της ταλάντωσης (σχήµα α) t - σχήµα α Βήµα : Βάζουµε όου t= και ειλύουµε την εξίσωση αοµάκρυνσης βρίσκοντας την θέση του σώµατος την t=, δηλαδή: t= 3 =ηµ(ωt+ )= ηµ Þ = 3 3 Βήµα 3: Μετακινούµε τον άξονα y y µέχρι να «ακουµήσει» την τιµή ου βρήκαµε ριν, δηλαδή στην τιµή 3 =. Η θέση αυτή είναι και η σωστή θέση του άξονα γιατί έτσι την t= το σώµα βρίσκεται στην θέση 3 = σύµφωνα και µε τον ορισµό την αρχικής φάσης. Βέβαια υάρχουν τιµές 3 =, µια ριν την µεγιστοοίηση του λάτους και µια µετά την µεγιστοοίηση του λάτους. Για να δούµε οια θα ειλέξουµε βρίσκουµε την ταχύτητα του σώµατος την t=. Αν υ> τότε ειλέγουµε αυτή ου είναι αριστερά αό την µεγιστοοίηση του λάτους, διαφορετικά αν υ< ειλέγουµε αυτή ου είναι δεξιά αό τη µεγιστοοίηση του λάτους. Στην ερίτωσή µας έχουµε: Κώστας Παρασύρης Φυσικός 7

æ t= ö υ=υma συνç ωt+ =υma συν > è 3ø 3 Άρα ειλέγουµε την τιµή 3 = ου είναι αριστερά αό την µεγιστοοίηση του λάτους. Βήµα 4: Στη συνέχεια θα ρέει να βάλουµε τις χρονικές στιγµές στον άξονα των χρόνων. Αυτό µορεί να γίνει ειλύνοντας ξανά την τριγωνοµετρική εξίσωση ου ροκύτει αό την µεγιστοοίηση της αοµάκρυνσης: = = ηµ(ωt+ ) Þ = ηµ(ωt+ ) Þηµ(ωt+ )=Þ 3 3 3 κ= ηµ(ωt+ )=ηµ( ) Þωt+ =κ+ Þ 3 3 ω= Τ T ωt= - Þt= Þ t= 3 6ω Έτσι έχουµε βρει την χρονική στιγµή ου µεγιστοοιείται το λάτος. Η συνέχεια είναι ολύ αλή. Ο ρώτος µηδενισµός θα T T T συµβεί την χρονική στιγµή t = + =. Το σώµα θα βρεθεί στην 4 3 µέγιστη αρνητική αοµάκρυνση ( Α) την χρονική στιγµή T T 7T t = + =, θα ξαναεράσει αό την θέση ισορροίας την 4 T 3T T 5T t = + = = κ.ο.κ. (σχήµα β). Δηλαδή αφού έχουµε βρει 4 6 την τιµή ου γίνεται η ρώτη µεγιστοοίηση, ο ρώτος µηδενισµός κλ. (εξαρτάται αό την ερίτωση), βρίσκουµε τις υόλοιες χρονικές στιγµές ροσθέτοντας Τ/4, Τ/4, κλ. Εντελώς αντίστοιχα εργαζόµαστε για τον σχεδιασµό των γραφικών αραστάσεων τόσο της ταχύτητας όσο και της ειτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου, ροσέχοντας ότι η αρχική συνάρτηση για την ταχύτητα είναι η συνηµίτονο ενώ η αρχική συνάρτηση για την ειτάχυνση είναι η αντίθετη του ηµιτόνου δηλαδή η (-ηµ). Κώστας Παρασύρης Φυσικός 8

Παλιός άξονας + Α 3 T 4T 7T T T t - σχήµα β Β τρόος (Με εριστρεφόµενο διάνυσµα) Βήµα : Σχεδιάζουµε το στρεφόµενο της αοµάκρυνσης την χρονική στιγµή t=. +Α Α 3 t= φ -Α Βήµα : Με βάση το στρεφόµενο και µε την βοήθειά του σχεδιάζουµε τους άξονες. Παρατηρούµε αν η ροβολή του στρεφόµενου «ανεβαίνει» ή «κατεβαίνει». Την ίδια ακριβώς ορεία θα ακολουθήσει και η γραφική µας. +Α Α 3 + t= φ t -Α - Κώστας Παρασύρης Φυσικός 9

Βήµα 3: Βρίσκουµε µε βάση το τριγωνάκι ου σχηµατίζει το στρεφόµενο µε τον y y άξονα τη γωνία ξ. Αό αυτήν µορούµε να βρούµε τον χρόνο: ξ=ωtþ t= ξ. Όµως η γωνία ξ στο αράδειγµά ω ω= Τ ξ T µας είναι ξ=/6 συνεώς ο χρόνος θα είναι t= Þt= Þ t= ω 6ω. Η χρονική αυτή στιγµή είναι εκείνη στην οοία η αοµάκρυνση γίνεται µέγιστη για ρώτη φορά. Η συνέχεια είναι γνωστή: συµληρώνουµε τον άξονα των χρόνων ροσθέτοντας Τ/4, κλ. Ας µην ξεχνάµε βέβαια ότι στο στρεφόµενο διάνυσµα η ταχύτητα ανααρίσταται µε ένα στρεφόµενο κάθετο σε αυτό της αοµάκρυνσης και άντα στο ιο µροστά τεταρτηµόριο. Έτσι µορούµε να σχεδιάσουµε και το στρεφόµενο της ταχύτητας άρα να κάνουµε την γραφική της αράσταση µε αντίστοιχο τρόο. +Α + Α 3 ξ t= φ 7T T 4T T T t -Α - Æ Όταν θέλουµε να βρούµε σε οια θέση ή οια χρονική στιγµή ο λόγος της δυναµικής ρος την κινητική ενέργεια της ταλάντωσης έχει µια συγκεκριµένη τιµή λ, εφαρµόζουµε την Α.Δ.Ε.Τ. και βρίσκουµε τη σχέση µεταξύ της στιγµιαίας δυναµικής µε την µέγιστη δυναµική (αν θέλουµε αοµάκρυνση), ή µεταξύ της στιγµιαίας κινητικής µε την µέγιστη κινητική (αν θέλουµε ταχύτητα). Δηλαδή αν θέλουµε να βρούµε σε οια θέση ισχύει U=λΚ τότε: U=λ ΚÞ K= U λ U D U+K=Uma Þ U+ =Uma Þ D + = D Α Þ λ λ + = Α και λύνουµε ως ρος. λ Κώστας Παρασύρης Φυσικός 3

Αν θέλουµε να βρούµε τι ταχύτητα έχει το σώµα όταν ισχύει U=λΚ τότε: U=λΚ U+K=Κma Þ λκ+κ=κma Þ λ mυ+ mυ = mυ ma Þ λ υ +υ =υ και λύνουµε ως ρος υ. ma ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Σώµα εκτελεί Α.Α.Τ.. Να βρεθεί σε οια θέση η κινητική ενέργεια είναι τριλάσια της δυναµικής Λύση K=3U U+K =Uma Þ U+3U =Uma Þ4U =Uma Þ 4 D = D Α Þ Α Α 4 = Α Þ = Þ= ± 4 Æ ΣΩΜΑΤΑ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΠΑΦΗ ΚΑΙ ΕΚΤΕΛΟΥΝ Α.Α.Τ. Όταν δύο σώµατα m και m ου βρίσκονται σε εαφή εκτελούν κοινή αρµονική ταλάντωση, τότε έχουν την ίδια κυκλική συχνότητα ( ω =ω =ω), την οοία υολογίζουµε θεωρώντας ότι έχουµε ένα σώµα µάζας m=m +m. Το κάθε σώµα όµως έχει την δική του σταθερά εαναφοράς D =mω και D =mω Η σταθερά εαναφοράς του συστήµατος θα είναι D= m +m ω D +D ( ) = Αν το σύστηµα ου εκτελεί την Α.Α.Τ. είναι δεµένο σε ελατήριο, τότε η σταθερά D του συστήµατος θα είναι ίση µε την σταθερά του ελατηρίου Κ (D=K). Το σύστηµα έχει σταθερά εαναφοράς D = m +m ω = ( ) K Αυτό έχει σταθερά εαναφοράς D =mω m m Αυτό έχει σταθερά εαναφοράς D =mω η ερίτωση: Κίνηση σε κατακόρυφη διεύθυνση Βήµα : Σχεδιάζουµε το σύστηµα σε µια τυχαία θέση του στον θετικό ηµιάξονα καθώς εκτελεί Α.Α.Τ. και σηµειώνουµε τις δυνάµεις ου ασκούνται στο σώµα µάζας m. Βήµα : Γράφουµε για το σώµα ου µας ενδιαφέρει (αυτό το οοίο Κώστας Παρασύρης Φυσικός 3

ρόκειται να χάσει την εαφή του) την συνθήκη της αλής αρµονικής ταλάντωσης: ( ) ΣF =-mω ÞN-mg=-mω Þ N=m g-ω (#) y Η τελευταία σχέση µας δίνει την τιµή της δύναµης εαφής ου ασκείται στο σώµα ου µας ενδιαφέρει. Η δύναµη αυτή έχει µια µέγιστη και µια ελάχιστη τιµή. Μέγιστη για την ερίτωση όου = και ελάχιστη για την ερίτωση όου = +. Θέση +Α: N min =m( g-ω) Θέση -Α: N ma =m( g+ω) Όταν ζητείται να µην χάνεται η εαφή του σώµατος µάζας m µε το σώµα µάζας Μ ρέει: N ³ Þ (#) min ( ) m g-ω g-ω ³ Þ g ³ ω ¹ ³ m Þ Η τελευταία σχέση µας υολογίζει την οριακή τιµή κάοιου mg αό τα µεγέθη ω, T, f ή ου εριέχονται σε αυτή τη σχέση. η ερίτωση: Κίνηση σε οριζόντια διεύθυνση Βήµα : Στην τυχαία θέση σηµειώνουµε τις δυνάµεις στο σώµα µάζας m και γράφουµε την αναγκαία συνθήκη ώστε να εκτελεί Α.Α.Τ.: ΣF = -mω Þ-T = -mω Þ T = mω (#) Βήµα : Όταν µας ζητούν να µην συµβαίνει ολίσθηση του σώµατος µάζας m άνω στο άλλο σώµα µάζας Μ, θα ρέει η τριβή Τ να είναι η στατική τριβή και να ισχύει η συνθήκη: (#) T Τ Þ Τ µν Þ mω µν στ ολ ( + ) ( M) Αλλά ΣF y = ÞN - mg = ÞN = mg N min N ma mg N mg ( m) Þ + - ( ακραία θέση) τυχαία θέση ( Δ) ( Θ.Ι. ) ( ακραία θέση) Κώστας Παρασύρης Φυσικός 3

mω µmg Þ ω µg Η σχέση ισχύει για κάθε, άρα και για =, οότε: ( Θ.Ι. ) æακραία ö ç è θέση ø ω µg + Η τελευταία σχέση µας υολογίζει την οριακή τιµή κάοιου αό τα µεγέθη ω, T, f ή ου εριέχονται σε αυτή τη σχέση. Æ ΚΡΟΎΣΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ T N mg ( m) ( M) Α) Ελαστική κρούση Ισχύει εκτός της Α.Δ.Ο. και η Α.Δ.Κ.Ε. (Αρχή Διατήρησης Κινητικής Ενέργειας). Προσοχή!!! Στην ελαστική κρούση δεν αλλάζουν:. η Θ.Ι. του ταλαντούµενου σώµατος και. η ερίοδος της ταλάντωσης ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η ερίτωση: Το m είναι αρχικά στη Θ.Ι. και είναι ακίνητο m ( Θ.Ι. ) uur υ m ( ριν) ( + ) uur υ m ( µετά) υ= Α m Υολογίζω την ταχύτητα του m αό τον τύο υ = υ m +m. Εειδή η κρούση ραγµατοοιείται στη Θ.Ι. θα είναι η µέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει έειτα το m. Άρα: Þ υ υ ma =υ ω Α=υ Þ Α= ω Κώστας Παρασύρης Φυσικός 33

η ερίτωση: Το m εκτελεί ήδη ταλάντωση και σε κάοια τυχαία θέση της τροχιάς του συγκρούεται µε το m Στην ερίτωση αυτή υολογίζω αό Α.Δ.Ο. και Α.Δ.Κ.Ε. την ταχύτητα του σώµατος µάζας m µετά την κρούση. r r r r Α.Δ.Ο. : r r p ολ(αρχ) =pολ(τελ) Þp ( αρχ) +p ( αρχ) = p + p Þ ( τ ελ) (τ ελ ) mυ -mυ =mυ +mυ () Α.Δ.Κ.Ε. : Kολ(αρχ) = Kολ(τελ) Þ K( αρχ) + K ( αρχ) = K( τελ) + K ( τελ) mυ + mυ = mυ + mυ Αό τις σχέσεις () και () υολογίζουµε την ταχύτητα υ. () Þ ( + ) m (Ι) uur υ ( Θ.Ι. ) uur υ m ( ριν) uur υ ( µετά) υ= Α Στη συνέχεια αό Α.Δ.Ε.Τ. για την τυχαία θέση (Ι) υολογίζουµε το νέο λάτος της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει το m. Α.Δ.Ε.Τ. : E= Κ+U Þ Κ = m Þ υ + Κ =... Παρατήρηση: Αν η κρούση του m µε το m γίνει στη Θ.Ι. και το m έχει ταχύτητα όταν βρίσκεται εκεί, ισχύει ότι και στην ερίτωση, µόνο ου η ταχύτητα του m ριν την κρούση θα υολογίζεται αό Α.Δ.Ο. και Α.Δ.Κ.Ε.. B) Πλαστική κρούση Όταν η κρούση είναι λαστική ισχύει µόνο η Α.Δ.Ο. όταν η λαστική κρούση ραγµατοοιείται σε οριζόντιο είεδο, τότε δεν έχουµε αλλαγή θέσης ισορροίας. Κώστας Παρασύρης Φυσικός 34

όταν η λαστική κρούση ραγµατοοιείται σε κατακόρυφο ή λάγιο είεδο, τότε η θέση ισορροίας αλλάζει. η ερίοδος της ταλάντωσης αλλάζει. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η ερίτωση: Βλήµα σφηνώνεται σε σώµα ου βρίσκεται στη Θ.Ι. του και είναι αρχικά ακίνητο Α.Δ.Ο. : r r r r r p ολ(αρχ) =pολ(τελ) Þ p ( αρχ) +p ( αρχ) =p συσ( τ ελ) mυ ( ) Þ = mυ = m +m V V m +m Η ταχύτητα αυτή θα αοτελεί την µέγιστη ταχύτητα του συσωµατόµατος για την ταλάντωση ου θα εκτελέσει. V V=υma Þ V =ω ΑÞ Α= ω Þ m ( Θ.Ι. ) uur υ m ( ριν) ur V m +m ( µετά) V= Α Κώστας Παρασύρης Φυσικός 35

η ερίτωση: Η κρούση γίνεται σε τυχαία θέση της ταλάντωσης ( Θ.Ι. ) ( + ) m uur υ uur υ m ur V m +m V= Α r r r r Α.Δ.Ο. : r p ολ(αρχ) =pολ(τελ) Þ p ( αρχ) +p ( αρχ) =p συσ( τ ελ) mυ -mυ m +m ( ) Þ = mυ -m υ = m +m V V Þ Α.Δ.Ε.Τ. : E= Κ+U Þ Κ = ( m + m ) V + Κ Þ =... η 3 ερίτωση : Η Θ.Ι. αλλάζει mg Θ.Ι.:ΣF y =ÞKΔ l= mgþ Δ l= () K ν.θ.ι. : ΣF y = ÞK ( Δl + ) = ( m + m) g Þ KΔl +K =mg +mgþ () mg K = () r r r r Α.Δ.Ο. : r p ολ(αρχ) =pολ(τελ) Þ p ( αρχ) +p ( αρχ) =p Þ συσ( τ ελ) m υ ( ) Þ = mυ = m +m V V m +m Α.Δ.Ε.Τ. : E= Κ+U Þ Κ = ( m + m ) V + Κ Þ =... Κώστας Παρασύρης Φυσικός 36

Κ ( + ) ( Θ.Φ.Μ. ) ( Θ.Ι. ) ( ν.θ.ι. ) Δl uur υ F ελ ( ) m mg ( ) m ur V ( m + m ) F ελ ( m +m) g +Α -Α ( ριν ) ( µετά) Κώστας Παρασύρης Φυσικός 37