ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o Α. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει )(f=, ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ. Μονάδες 1 Β. Πότε μί συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη.. Αν z 1, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει Μονάδες β. Μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο εa, ότν f() f( ) γι κάθε εa Μονάδες
γ. Μονάδες δ. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό. Μονάδες ε. Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, β] κι ισχύει f()< γι κάθε ε [, β], τότε το εμβδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες =, =β κι τον άξον ' είνι ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z=(λ+1)+(λ 1)i, λε Μονάδες Α.. Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς πάνω στην οποί βρίσκοντι οι εικόνες των μιγδικών ριθμών z, γι τις διάφορες τιμές του λε Μονάδες 9 β. Από τους πρπάνω μιγδικούς ριθμούς ν ποδείξετε ότι ο μιγδικός ριθμός z =1-i έχει το μικρότερο δυντό μέτρο. Μονάδες 8
Β. Ν βρεθούν οι μιγδικοί ριθμοί w οι οποίοι ικνοποιούν την εξίσωση όπου z ο μιγδικός ριθμός που νφέρετι στο προηγούμενο ερώτημ. ΘΕΜΑ 3 ο Δίνετι η συνάρτηση f()= -ln(+1), >-1, όπου > κι 1 Μονάδες 8 A. Αν ισχύει f() 1 γι κάθε, > 1 ν ποδείξετε ότι =e Β. Γι =e,. ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι κυρτή. Μονάδες 8 Μονάδες 5 β. ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ ( 1, ] κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [,+ ) Μονάδες 6 γ. ν β, γ ε(-1,) (,+ ), ν ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μι ρίζ στο (1, ) Μονάδες 6
P ΘΕΜΑ 4 ο Έστω f μί συνεχής συνάρτηση στο διάστημ [, ] γι την οποί ισχύει Ορίζουμε τις συνρτήσεις. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι συνεχής στο διάστημ [, ]. Μονάδες 5 β. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι πργωγίσιμη στο διάστημ (, ) κι ότι ισχύει Μονάδες 6 γ. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθμός ε (, ) τέτοιος ώστε ν ισχύει Η()=. Μονάδες 7 δ. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθμός ξ ε (, ) τέτοιος ώστε ν ισχύει Μονάδες 7
ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο ν γράψετε μόνον τ προκτρκτικά (ημερομηνί, κτεύθυνση, εξετζόμενο μάθημ). Ν μην ντιγράψετε τ θέμτ στο τετράδιο.. Ν γράψετε το ονομτεπώνυμό σς στο πάνω μέρος των φωτοντιγράφων, μέσως μόλις σς πρδοθούν. Κμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπετι ν γράψετε. Κτά την ποχώρησή σς ν πρδώσετε μζί με το τετράδιο κι τ φωτοντίγρφ. 3. Ν πντήσετε στο τετράδιό σς σε όλ τ θέμτ. 4. Ν γράψετε τις πντήσεις σς μόνον με μπλε ή μύρο στυλό διρκείς κι μόνον νεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε πάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είνι ποδεκτή. 6. Διάρκει εξέτσης: τρεις (3) ώρες μετά τη δινομή των φωτοντιγράφων. 7. Χρόνος δυντής ποχώρησης: 1. π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμ 1 ο Α. Θεωρί στη σελ. 51 του σχολικού βιβλίου Β. Θεωρί στη σελ. 13 του σχολικού βιβλίου Γ.. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ Θέμ ο z= (λ +1)+(λ -1)i =λ +1 λ =-1 Α.. Αν z= +yi έχω : y=λ-1 λ =y+1 άρ -1=y+1 y=- ' β. y B (, ) Έστω (ε) η ευθεί y=-. Η κάθετη στην (ε) έχει εξίσωση y=-. y=- Από τη λύση του συστήμτος y = βρίσκω ότι το σημείο Μ είνι Μ (1, -1) άρ z=1-i. M A (, -) (ε) y' (β) Τρόπος Δ Το OA B είνι ισοσκελές άρ το Μ είνι το μέσο του ΑΒ + + M, άρ Μ( 1,-1) οπότε z = 1 i.
Β. w + w 1 = γι w=+yi έχω + + = y yi 1 1 i ( ) y 1 1 w = + y, w = yi άρ + y + 1 yi = 1 i άρ + + = y = 1 y = 1 Γι y = 1 έχω + 1 + 1 = 1 + 1 = = 3 ή = 4 Άρ οι λύσεις είνι: w1 = 3+ i w = 4+ i Θέμ 3 ο Α. f( ) 1 Ισχύει: ( ) ( ) ( ) f = ln + 1 = 1 ln1 = 1 άρ f f() Οπότε η f προυσιάζει στο κρόττο. Η f είνι συνεχής στο (-1,+ ) κι το εσωτερικό σημείο ( ) πό θεώρημ Fermat: f'()= (1) 1 f'()= ln Έχουμε: + 1 (1) -1,+ άρ άρ f'()=ln-1 ln-1= ln =1 ln =lne =e Β.. Γι =e: f() = e ln(+ 1), > 1 f'() 1 1 1 ( + 1) = e + f''() = e + > γι κάθε > 1 Άρ f ''()> γι κάθε >-1, οπότε f κυρτή στο (-1,+ ) 1 β. f'()=e + 1 Επειδή η f είνι κυρτή η f ' είνι γνησίως ύξουσ. Άρ το είνι μονδική ρίζ της f '()=
Γι Γι f'γν.υξ. < f'() < f'() f'() < f ' γν. υξ. > f '() > f '() f '() > -1 + f '() - + f() Άρ η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (-1, κι γνησίως ύξουσ στο,+ ). Προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο το f()=1 κι f()>1 γι κάθε -1, (, + ) ( ) γ. f( β ) 1 f( γ ) + 1 = ( )(f( β) 1) + (f( γ) 1)( 1) = 1 Εάν g( ) = ( - )(f(β) -1) + ( -1)(f(γ)-1) Η g είνι συνεχής στο 1, ως πράξεις συνεχών g(1)=-(f(β)-1), g()=f(γ)-1 Άρ g(1) g() = -(f(β)-1)(f(γ)-1)< διότι : f(β)-1> κι f(γ) -1 > φού f()>1 γι κάθε (-1,) (, + ) Άρ πό θεώρημ Bolzano υπάρχει μί τουλάχιστον ρίζ της g()= στο (1,). Θέμ 4 ο. Η G() συνεχής στο (, ως πράξεις συνεχών: Η Η() συνεχής ως πργωγίσιμη φού t f(t) συνεχής. Η Η() συνεχής ως πηλίκο συνεχών Η f(t)dt συνεχής ως πργωγίσιμη φού f συνεχής 1 1 t 1 (1 t ) t 1 G() = 6 lim = 6 lim = 6 lim = 6 = 3 t t t t t (1+ 1 t ) t (1+ 1 t ) Άρ G()=3 * H() H() lim G() = lim f(t)dt 3 lim f(t)dt 3 3 3 + + + = + = + + =
H() H'() f() * lim = lim = lim = f() = + + ' + 1 Οπότε lim G() = G() + Άρ G() συνεχής στο, β. Η G() πργωγίσιμη στο (,) ως πράξεις πργωγίσιμων: H() G'() = f(t)dt + 3 ' ' H() = f(t)dt + H'() H() ' = f() f() H() = f() f() H() H() = f() = γ. Η G() συνεχής στο, (1) Η G() πργωγίσιμη στο (,) () H() με G'() = G()=3 H() G() = f(t)dt + 3 = + = + tf(t)dt = + f(t)dt 3 tf(t)dt f(t)dt (t )f(t)dt = + 3 = 3 Άρ G()=3, οπότε G()=G() 3 3 '
Άρ πό θεώρημ Rolle ισχύει ότι υπάρχει 1 τουλάχιστον ε(,) ώστε H( ) G'()= = Η( ) = δ. Η G() συνεχής στο, Η G() πργωγίσιμη στο (,) άρ πό θεώρημ μέσης τιμής υπάρχει 1 τουλάχιστον ξ ε(,) ώστε: G( ) G() H( ξ) G( ) 3 G'(ξ)= = ξ Η( ) f(t)dt + 3 3 f(t)dt ( γ) H( ξ) H( ξ) = = ξ ξ f(t)dt H( ξ) = Η() ξ = ξ f(t)dt ξ ξ t f(t)dt =ξ f(t)dt (β) Τρόπος f(t)dt Εφρμόζουμε θεώρημ Rolle στη συνάρτηση Φ()=G()+ διάστημ, στο Επιμέλει Α. Ανδρέου Γ.Γρίβς Κ.Δικίος Μ.Μιχλοδημητράκη Χ.Νούσος Ν. Ξενιάδης