Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε µία πιθανότητα που αφορά συγχρόνως δύο ή περισσότερες τµ που προέρχονται από το ίδιο στοχαστικό πείραµα µε δχ Ω Για την καλύτερη αντιµετώπιση τέτοιων προβληµάτων γενικεύουµε την έννοια της κατανοµής µιας τµ και ορίζουµε την από κοινού συνάρτηση κατανοµής δύο τµ ως εξής: F R Χ Υ {ω Ω: Χω και Υω } Η κατανοµή της τµ Χ µπορεί να εξαχθεί από την από κοινού κατανοµή των Χ Υ ως εξής: F lm lm F F και αντίστοιχα F F R R ιακριτές διδιάστατες κατανοµές Στην περίπτωση που οι τµ ΧΥ είναι διακριτές A B τότε µπορούµε να ορίσουµε την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των ΧΥ ως εξής: A B Αν πχ Α Β { } τότε F {} Η συνάρτηση πιθανότητας της τµ Χ µπορεί να εξαχθεί από την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των ΧΥ από την σχέση: B B B και όµοια A Συνεχείς διδιάστατες κατανοµές Θα λέµε ότι η από κοινού κατανοµή δύο τµ ΧΥ είναι συνεχής αν υπάρχει συνάρτηση ΧΥ έτσι ώστε F u v dv du Η συνάρτηση ΧΥ θα καλείται από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των ΧΥ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ προκύπτει από την από κοινού σππ ως εξής: d d d F F u v dv du v dv d d d d ισχύει γενικά ότι g u du g και όµοια u du d Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς 4
Μέση τιµή συνάρτησης δύο ή περισσότερων τµ Αν ΧΥ είναι δύο τµ και Ζ g τότε αποδεικνύεται ότι η µέση τιµή της Ζ δίνεται από την σχέση Z g g αν ΧΥ είναι διακριτές τµ A B A B Z g g d d αν ΧΥ είναι συνεχείς τµ Ιδιαίτερα αν g ΧΥ τότε για συνεχείς τµ ισχύει ότι Z d d d d d d d d d d d d και το ίδιο ισχύει και για διακριτές τµ Άρα γενικότερα χρησιµοποιώντας και την γνωστή ιδιότητα a a θα ισχύει ότι για διακριτές και συνεχείς τµ a b a b a b R Από κοινού κατανοµές µπορούν γενικότερα να ορισθούν για τµ Οι τεχνικές λεπτοµέρειες είναι ανάλογες µε αυτές που είδαµε παραπάνω για Ιδιαίτερα η παραπάνω σχέση µπορεί να γενικευτεί για τµ Συγκεκριµένα αν Χ Χ Χ είναι τµ τότε αποδεικνύεται ότι a a a a για οποιεσδήποτε σταθερές α α α a a a a Παράδειγµα Ας θεωρήσουµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης δύο κύβων Αν Χ είναι το αποτέλεσµα της πρώτης ρίψης και Χ το αποτέλεσµα της δεύτερης ρίψης τότε η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των Χ Χ θα είναι 3 Αν πχ τώρα Ζ Χ Χ είναι το άθροισµα των δύο ρίψεων τότε Z 35 35 7 Επίσης η από κοινού σπ των Χ Ζ θα είναι Z z Z z z z για z και Z z διαφορετικά 3 Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς 5
Παράδειγµα Έστω Χ ο αριθµός των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιµές η κάθε µία από τις οποίες είναι «επιτυχία» µε πιθανότητα και «αποτυχία» µε πιθανότητα q Είναι γνωστό ότι η τµ Χ ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε µέση τιµή Ας δούµε πως µπορούµε εναλλακτικά να βρούµε την µέση τιµή της Χ χωρίς να χρειαστεί να υπολογίσουµε την κατανοµή της Έστω Χ Χ Χ οι τυχαίες µεταβλητές οι οποίες αντιπροσωπεύουν τα αποτελέσµατα των πειραµάτων Ειδικότερα θα είναι ή ανάλογα µε το αν το -πείραµα είναι επιτυχία ή όχι Προφανώς θα ισχύει ότι και εποµένως επειδή q θα είναι όπως ήταν αναµενόµενο Άσκηση Μία γραµµατέας τοποθετεί στην τύχη διαφορετικά γράµµατα σε φακέλους µε διαφορετικές διευθύνσεις Κάθε γράµµα ταιριάζει µόνο σε έναν φάκελο Ποιο είναι το αναµενό- µενο µέσο πλήθος των γραµµάτων που θα πάνε στο σωστό παραλήπτη; Λύση Θεωρούµε τις τµ Χ Χ Χ έτσι ώστε Χ ή ανάλογα µε το αν το -γράµµα τοποθετηθεί στο σωστό φάκελο ή όχι Το πλήθος των γραµµάτων που θα πάνε στο σωστό παραλήπτη θα είναι ίσο µε Παρατηρούµε ότι η πιθανότητα το -γράµµα να τοποθετηθεί στο σωστό φάκελο να διαλέξει στην τύχη η γραµµατέας το σωστό φάκελο για το -γράµµα είναι ίση µε / γιατί µόνο ένας φάκελος από τους ταιριάζει στο -γράµµα ο κάθε φάκελος έχει την ίδια πιθανότητα επιλογής Εποµένως και άρα τελικά Εποµένως όσα και αν είναι τα γράµµατα κατά µέσο όρο θα τοποθετηθεί σε σωστό φάκελο Ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές Υπενθυµίζεται ότι δύο ενδεχόµενα A Α καλούνται ανεξάρτητα αν ισχύει ότι A I A A A Θα λέµε ότι δύο τµ είναι στοχαστικά ανεξάρτητες όταν µπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχονται από ανεξάρτητα µεταξύ τους πειράµατα Αυστηρότερα δύο τµ Χ Υ : Ω R θα καλούνται στοχαστικά ανεξάρτητες όταν τα ενδεχόµενα [Χ Β ] και [Υ Β ] είναι ανεξάρτητα για κάθε δύο υ- ποσύνολα Β Β του R ηλαδή ισχύει ότι Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς
Αποδεικνύεται ότι αρκεί να ισχύει B B B για κάθε Β Β B για κάθε δηλαδή F F F για κάθε Αν οι ΧΥ είναι διακριτές τότε είναι ανεξάρτητες αν και µόνο αν για κάθε Το ίδιο ισχύει και για συνεχείς τµ αυτή τη φορά θεωρώντας συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας αντί για συναρτήσεις πιθανότητας Παρατηρούµε ότι αν Χ Υ είναι ανεξάρτητες τότε B B B B B B B για κάθε Β Β B B Σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση η πιθανότητα να ισχύει Χ Β δεν αλλάζει εάν γνωρίζουµε ότι Υ Β και αντίστροφα Εποµένως διαισθητικά µπορούµε να πούµε ότι δύο τµ είναι ανεξάρτητες εάν οποιαδήποτε γνώση για την τιµή της µίας τµ δεν αλλάζει την κατανοµή της άλλης τµ δηλ την πιθανότητα της άλλης να πάρει κάποια συγκεκριµένη τιµή Άσκηση Ας θεωρήσουµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης δύο κύβων Αν Χ Χ είναι τα αποτελέσµατα των δύο ρίψεων να εξετάσετε αν οι Χ Χ είναι ανεξάρτητες Αν Ζ Χ Χ είναι το ά- θροισµα των δύο ρίψεων είναι οι τµ Χ Ζ ανεξάρτητες; Λύση Από παραπάνω παράδειγµα γνωρίζουµε ότι η από κοινού συνάρτηση κατανοµής των Χ Χ θα είναι Και επειδή 3 και επαληθεύουµε ότι για κάθε και άρα οι Χ Χ είναι ανεξάρτητες Αντίθετα οι τµ Ζ Χ δεν είναι ανεξάρτητες διότι πχ και Z Z και Z Z µε συνέπεια να ισχύει ότι Z Z 3 3 Παραδείγµατα ανεξάρτητων τµ: - το ύψος δύο φοιτητών που εκλέγονται τυχαία από την αίθουσα - ο χρόνος ζωής δύο διαφορετικών λαµπτήρων κα - οι τιµές ενός προϊόντος σε δύο διαφορετικά εµπορικά καταστήµατα κοκ Παραδείγµατα εξαρτηµένων τµ: - Το ύψος Χ και το βάρος Υ ενός τυχαία επιλεγµένου ανθρώπου Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς 7
- Αν Χ είναι η τιµή ενός προϊόντος µία συγκεκριµένη ηµέρα και Υ η τιµή του ίδιου προϊόντος στο ίδιο κατάστηµα µία ηµέρα του επόµενου µήνα τότε οι τµ Χ Υ µπορούν να θεωρηθούν ε- ξαρτηµένες ιότι αν πχ γνωρίζουµε ότι η Χ είναι αρκετά υψηλή τότε συνήθως αυξάνεται και η πιθανότητα να είναι και η Υ υψηλή - Σε ένα δοχείο έχουµε αριθµηµένες σφαίρες από έως και εκλέγουµε στην τύχη δύο σφαίρες χωρίς επανάθεση Αν Χ Υ είναι οι αριθµοί των δύο αυτών σφαιρών τότε πχ και άρα οι Χ Υ είναι εξαρτηµένες κοκ / Για ανεξάρτητες τµ ισχύει η επόµενη χρήσιµη πρόταση Πρόταση Αν Χ Υ είναι ανεξάρτητες τµ τότε για κάθε συναρτήσεις h g ισχύει ότι h g g h Απόδειξη Θα το αποδείξουµε για την περίπτωση που οι Χ Υ είναι συνεχείς Θα είναι h g h g d d h g g d h d g h d d Η απόδειξη για διακριτές τµ είναι παρόµοια χρησιµοποιώντας αθροίσµατα αντί ολοκληρώµατα Η έννοια της ανεξαρτησίας µπορεί να γενικευτεί και για περισσότερες από δύο τµ Συγκεκριµένα οι τµ Χ Χ Χ θα καλούνται ανεξάρτητες αν προέρχονται από ανεξάρτητα πειράµατα Πιο αυστηρά θα καλούνται ανεξάρτητες αν ισχύει ότι B B B B B B για κάθε Β Β Β Αν τµ είναι ανεξάρτητες τότε είναι και ανά δύο ανεξάρτητες το αντίστροφο δεν ισχύει Συνδιακύµανση τυχαίων µεταβλητών Ως συνδιακύµανση Covarace δύο τµ Χ Υ ορίζουµε την ποσότητα Cov [ ] Παρατηρούµε ότι Cov Είναι ενδιαφέρον το γεγονός ότι Cov Επίσης για αb R ισχύει ότι Cov a b ab a b abcov Από την Πρόταση προκύπτει ότι αν ΧΥ είναι ανεξάρτητες τότε Cov Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα δηλαδή αν Cov δεν έπεται πάντα ότι οι ΧΥ είναι ανεξάρτητες τµ Για παράδειγµα ας εξετάσουµε την ειδική περίπτωση που οι τµ ΧΥ παίρνουν τις Τότε Cov Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς 8
Από αυτήν την σχέση µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι αν Υ > Cov > > > ηλαδή η συνδιακύµανση αυτών των τµ είναι θετική αν η πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Υ κάνει πιο πιθανή την πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Χ Γενικότερα για οποιεσδήποτε τµ Χ Υ µπορεί να δειχθεί ότι µία θετική τιµή της Cov αποτελεί ένδειξη για το ότι οι τµ Χ Υ παρουσιάζουν «παρόµοια συµπεριφορά» Με άλλα λόγια - Αν Cov > : Γνωρίζοντας ότι η τµ Υ πήρε µια «µεγάλη» τιµή τότε συνήθως αυξάνεται η πιθανότητα να πάρει και η Χ «µεγάλη» τιµή και αντίστροφα Ενώ γνωρίζοντας η τµ Υ πήρε µια «µικρή» τιµή τότε συνήθως αυξάνεται η πιθανότητα να πάρει και η Χ «µικρή» τιµή και αντίστροφα Όταν Cov > λέµε ότι η Χ και η Υ είναι θετικά συσχετισµένες Στην αντίθετη περίπτωση µία αρνητική τιµή της Cov αποτελεί ένδειξη για το ότι οι τµ Χ Υ παρουσιάζουν «αντίθετη συµπεριφορά» Με άλλα λόγια - Αν Cov < : Γνωρίζοντας ότι η τµ Υ πήρε µια «µεγάλη» τιµή τότε συνήθως αυξάνεται η πιθανότητα να πάρει η Χ µια «µικρή» τιµή και αντίστροφα Ενώ γνωρίζοντας η τµ Υ πήρε µια «µικρή» τιµή τότε συνήθως αυξάνεται η πιθανότητα να πάρει η Χ µια «µεγάλη» τιµή και αντίστροφα Όταν Cov < λέµε ότι η Χ και η Υ είναι αρνητικά συσχετισµένες Για παράδειγµα αν Χ είναι η τιµή ενός προϊόντος τον ένα µήνα και Υ η τιµή του τον επόµενο µήνα τότε περιµένουµε ότι Cov > Αντίθετα αν Χ Υ είναι οι αριθµοί των δύο σφαιρών που επιλέγουµε χωρίς επανάθεση τότε CovΧΥ < βλ παραδείγµατα εξαρτηµένων τµ παραπάνω Μία πολύ χρήσιµη έκφραση για την διασπορά ενός αθροίσµατος τµ ΧΥ µπορεί να εξαχθεί χρησιµοποιώντας τη συνδιακύµανση των Χ Υ Συγκεκριµένα θα είναι: Cov Εποµένως αν Χ Υ είναι ανεξάρτητες τότε Σε αυτό το σηµείο µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι η διακύµανση του αθροίσµατος δύο θετικά συσχετισµένων τµ είναι Cov > δηλαδή µεγαλύτερη από την διασπορά του αθροίσµατος των Χ Υ στην περίπτωση που αυτές ήταν ανεξάρτητες Αυτό συνάδει µε τις παρατηρήσεις που έγιναν παραπάνω αναφορικά µε την θετική εξάρτηση τµ Πράγµατι αν CovΧ Υ > τότε οι Χ Υ θα έχουν «παρόµοια συµπεριφορά» και εποµένως το ά- θροισµά τους ΧΥ θα λαµβάνει πιο ακραίες τιµές περισσότερο αποµακρυσµένες από την ΕΧΥ σε σχέση µε την περίπτωση που οι Χ Υ ήταν ανεξάρτητες αυτό συµβαίνει διότι στην περίπτωση που CovΧ Υ > οι δύο τµ συνήθως λαµβάνουν «µεγάλες» και «µικρές» τιµές ταυτόχρονα Παρόµοια σχόλια µπορούν να γίνουν και για την περίπτωση αρνητικά συσχετισµένων τµ Γενικότερα για τµ µπορεί να αποδειχθεί ότι Cov ενώ αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τµ Υπογραµµίζεται ότι παρόµοια σχέση ισχύει και για την µέση τιµή η µέση τιµή αθροίσµατος είναι Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς 9
ίση µε το άθροισµα των µέσων τιµών Για την µέση τιµή όµως το αποτέλεσµα αυτό ισχύει πάντοτε είτε είναι εξαρτηµένες οι Χ είτε όχι Αρκετά χρήσιµη είναι η επόµενη πρόταση που αφορά ανεξάρτητες τµ που ακολουθούν κανονική κατανοµή Πρόταση Αν ΧΥ είναι ανεξάρτητες τµ που ακολουθούν κανονική κατανοµή τότε και η τµ ΧΥ ακολουθεί κανονική κατανοµή Γενικότερα αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τµ που ακολουθούν κανονική κατανοµή τότε η τµ Χ Χ Χ ακολουθεί και αυτή κανονική κατανοµή Αποµένει τώρα να βρούµε τις παραµέτρους της κανονικής τµ ΧΥ γνωρίζοντας τις παραµέτρους των Χ Υ Έστω λοιπόν ότι Χ ~ Nµ σ Υ ~ Nµ σ τότε µ µ Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς σ σ η δεύτερη ισότητα ισχύει διότι οι ΧΥ είναι ανεξάρτητες και εποµένως Cov Άρα ~ Nµ µ σ σ Γενικότερα ισχύει η επόµενη πρόταση η οποία αποτελεί απλή συνέπεια των Προτάσεων και Πρόταση 3 Αν Χ~Nµ σ Υ~Nµ σ ανεξάρτητες τµ και α b R τότε a b~ N αµ bµ a σ b σ Γενικότερα αν Χ Χ Χ ανεξάρτητες κανονικές τµ ~ Nµ σ τότε a ~ N a µ Απόδειξη Σύµφωνα µε την Πρόταση οι τµ αχ και bυ αb R ακολουθούν και αυτές κανονική κατανοµή Συνεπώς από την Πρόταση η τµ Ζ αχbυ ακολουθεί κανονική κατανοµή µε a σ a b a b aµ bµ Επίσης εφόσον οι ΧΥ είναι ανεξάρτητες το ίδιο θα ισχύει και για τις αχ b και εποµένως a b a b a σ b a σ b από όπου προκύπτει το πρώτο αποτέλεσµα για δύο τµ Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται και το δεύτερο γενικότερο αποτέλεσµα που αφορά τυχαίες µεταβλητές Άσκηση 3 Το µέγιστο ασφαλές βάρος που µπορεί να µεταφέρει ένας ανελκυστήρας προσωπικού είναι kgr Αν το βάρος των ατόµων που τον χρησιµοποιούν ακολουθεί κανονική κατανοµή N8449 α να βρεθεί η πιθανότητα ώστε το συνολικό βάρος 5 τυχαία επιλεγµένων α- τόµων που χρησιµοποιούν ταυτόχρονα τον ανελκυστήρα να είναι µικρότερο από το µέγιστο α- σφαλές βάρος β Να βρεθεί το πλήθος των ατόµων που επιτρέπεται να τον χρησιµοποιούν ταυτόχρονα ώστε η πιθανότητα το συνολικό βάρος τους να είναι µικρότερο από το µέγιστο ασφαλές βάρος να είναι τουλάχιστο 99% Λύση Έστω Χ Χ Χ 5 το βάρος των 5 ατόµων Από την εκφώνηση είναι γνωστό ότι ~ N8449 ενώ οι Χ Χ Χ 5 είναι µεταξύ τους ανεξάρτητες τµ Εποµένως αν W 5 είναι το συνολικό βάρος των 5 ατόµων τότε σύµφωνα µε την Πρόταση 3 η W ακολουθεί κανονική κατανοµή µε
και 5 5 W 5 5 84 5 5 W 5 5 49 5 Άρα W ~ N5 N35 και συνεπώς η τµ W ~ N 35 Ζητείται η πιθανότητα W W < < Φ Φ 85 Φ85 35 35 35 β Έστω ότι το ζητούµενο πλήθος των ατόµων είναι ίσο µε Θα πρέπει το συνολικό βάρος τους < Kg 99% ή ισοδύναµα < 99 Όµοια µε το α θα ισχύει ότι και συνεπώς η τµ ~ N 84 Z ~ N 7 Εποµένως το να είναι τέτοιο ώστε να ισχύει ότι N8449 84 84 < 99 < 99 7 7 84 84 Φ Φ33 33 84 3 7 7 Θέτοντας τελικά θα πρέπει 84 3 84 3 και συνεπώς το θα πρέπει να βρίσκεται µεταξύ των ριζών του παραπάνω πολυωνύµου 3± 3 4 84 3± 8998 497 478 84 8 και επειδή > θα πρέπει να είναι < 4 78 ή ισοδύναµα < 84 Άρα τελικά θα πρέπει Άσκηση 4 συνέχεια του παραδείγµατος Έστω και πάλι ο αριθµός Χ των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιµές η κάθε µία από τις οποίες είναι «επιτυχία» µε πιθανότητα και «αποτυχία» µε πιθανότητα q Η τµ Χ ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε µέση τιµή και διασπορά Όµοια µε το παράδειγµα ας δούµε πως µπορούµε εναλλακτικά να βρούµε τη διασπορά της Χ χωρίς να χρειαστεί να υπολογίσουµε την κατανοµή της Έστω και πάλι οι τµ Χ Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς
Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Χ Χ έτσι ώστε ή ανάλογα µε το αν το -πείραµα είναι επιτυχία ή όχι Προφανώς θα ι- σχύει ότι και Οι τµ Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους αφού προέρχονται από ανεξάρτητα πειράµατα Συνεπώς όπως ήταν αναµενόµενο Παρατηρούµε ότι κάτι ανάλογο δεν µπορεί εύκολα να εφαρµοστεί και στην περίπτωση της Άσκησης εν µπορούµε δηλαδή εκεί άµεσα να υπολογίσουµε την διασπορά της Χ από τις διασπορές των Χ διότι οι Χ που απαρτίζουν το άθροισµα δεν είναι ανεξάρτητες Σε αυτή την περίπτωση χρειάζεται να υπολογίσουµε και τις συνδιακυµάνσεις µεταξύ των Χ Αλλά ας δούµε α- ναλυτικότερα το πρόβληµα Άσκηση 5 Μία γραµµατέας τοποθετεί στην τύχη διαφορετικά γράµµατα σε φακέλους µε διαφορετικές διευθύνσεις Κάθε γράµµα ταιριάζει µόνο σε έναν φάκελο Αν Χ εκφράζει πλήθος των γραµµάτων που θα πάνε στο σωστό παραλήπτη ποια η διασπορά της τµ Χ; Λύση Θεωρούµε και πάλι τις τµ Χ Χ Χ έτσι ώστε Χ ή ανάλογα µε το αν το -γράµµα τοποθετηθεί στο σωστό φάκελο ή όχι Θα είναι Η διασπορά της τµ µπορεί να υπολογιστεί από την σχέση Cov και εποµένως θα πρέπει να υπολογίσουµε τα Cov Γνωρίζουµε από την λύση της άσκησης ότι ΕΧ / Επίσης Χρησιµοποιώντας τον τύπο g g Z B A θα έχουµε ότι Άρα Cov και τελικά Cov Εποµένως όσα και αν είναι τα γράµµατα η διασπορά του πλήθους των σωστά τοποθετηµένων φακέλων θα είναι