5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή. Παρατηρήσεις : Αν 0 Β τότε: α. Η ευθεία µε εξίσωση () έχει συντελεστή διεύθυνσης Α λ = Β δ= Β Α. β. Η ευθεία µε εξίσωση () είναι παράλληλη στο µη µηδενικό διάνυσµα (, ) γ. Η ευθεία µε εξίσωση () είναι κάθετη στο µη µηδενικό διάνυσµα k = ( A,B). B. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία - Mέθοδος Για να δείξουµε ότι µία εξίσωση της µορφής: Ax + By + Γ = 0, όπου τα Α, Β, Γ δίνονται συναρτήσει µιας παραµέτρου, παριστάνει ευθεία, πρέπει να δείξουµε ότι τα Α και Β δε µηδενίζονται ταυτόχρονα (για την ίδια τιµή της παραµέτρου). ίνεται η εξίσωση (µ - )x + (µ + )y + (µ - 3µ + ) = 0 µ R (). Να βρείτε τις τιµές του µ για τις οποίες η () παριστάνει ευθεία. Πότε είναι παράλληλη στον άξονα x x, πότε στον y y και πότε διέρχεται από την αρχή των αξόνων; µ = 0 µ = ± Εποµένως για µ = - η () δεν παριστάνει ευθεία. µ + = 0 µ = Για να είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα x x πρέπει να ισχύουν συγχρόνως :

70. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας µ = 0 και µ, δηλαδή µ =. Για να είναι ευθεία παράλληλη στον y y πρέπει να ισχύουν συγχρόνως : µ + = 0 και µ, που είναι αδύνατο. Άρα η () δεν γίνεται παράλληλη στον y y για καµία τιµή του µ. Για να περνά από την αρχή Ο πρέπει να ισχύουν συγχρόνως : µ 3µ + = 0 και µ δηλαδή µ = ή µ =. Κατηγορία - Mέθοδος Για να αποδείξουµε ότι ένα σύνολο ευθειών της µορφής: ε +λ ε = 0, λ R () διέρχονται από το ίδιο σηµείο: ος τρόπος ίνουµε αυθαίρετα δύο τιµές στην παράµετρο λ και προκύπτουν έτσι οι εξισώσεις δύο ευθειών. Βρίσκουµε το σηµείο τοµής αυτών των δύο ευθειών,λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων τους και εξετάζουµε αν οι συντεταγµένες του, επαληθεύουν την αρχική εξίσωση (). Αν την επαληθεύουν, τότε όλες οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση () θα διέρχονται από το σηµείο αυτό. ος τρόπος Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση που δίνεται σε πολυωνυµική εξίσωση ως προς λ ( αν δεν δίνεται έτσι). Για να είναι το πολυώνυµο ως προς λ, του ου µέλους,της εξίσωσης ίσο µε µηδέν για κάθε τιµή της παραµέτρου λ, πρέπει οι συντελεστές του να είναι ίσοι µε µηδέν. ίνεται η εξίσωση: -x - +λ (x + 3y -) = 0, λ R (). α. Να αποδειχθεί ότι: i. Για κάθε λ R η εξίσωση () παριστάνει ευθεία. ii. Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την () διέρχονται από το ίδιο σηµείο. β. Ποια από τις παραπάνω ευθείες είναι κάθετη στην ευθεία (η): y= x+3; α. i. Η () γράφεται ισοδύναµα: (λ - )x + 3λy - λ - = 0. λ = 0 λ= Επειδή το σύστηµα 3λ= 0 λ = 0 είναι αδύνατο, δεν υπάρχει του x και του y. Άρα η () παριστάνει ευθεία για κάθε λ R ώστε να µηδενίζονται συγχρόνως οι συντελεστές λ R.

Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 7. ii. ος τρόπος 5 Για λ = 0 και λ =, παίρνουµε τις ευθείες: -x - = 0 και y = 0. 3 5 Αυτές τέµνονται στο σηµείο, 3 και έχουµε: 5 (λ ) ( ) + 3λ λ = 0. 3 5 Άρα, όλες οι ευθείες της παραπάνω µορφής διέρχονται από το σηµείο, 3. ος τρόπος Έστω ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από το σηµείο (x 0, y 0 ), τότε: (λ )x 0 + 3λy0 λ = 0 (x0 + 3y0 ) λ x0 = 0 x0 + 3y0 = 0 5 x0 =,y0 =. x0 = 0 3 5 Άρα όλες οι ευθείες διέρχονται από το σηµείο, 3. 5 Η εξίσωση () αποτελεί µία δέσµη ευθειών µε κέντρο το σηµείο, 3. β. Έστω (ε) µία ευθεία της οικογένειας των ευθειών (). λ 0 λ Πρέπει λε λ η = = λ= 6λ λ=. 3λ 4 3 3 7 Για λ= παίρνουµε από την () την ευθεία: x y = 6x + 3y = 7. 4 4 4 Για λ = 0 είναι x = 0 x = η οποία δεν είναι κάθετη στην Κατηγορία - Mέθοδος 3 y = x+ 3 Αν το σύνολο των ευθειών () της προηγούµενης µεθόδου µας δοθεί ή το βρούµε µε δύο παραµέτρους, απαλείφουµε τη µία από τις δύο µε κάποια σχέση που δίνεται ή προκύπτει από τα δεδοµένα. ύο σηµεία Α και Β κινούνται επάνω στους θετικούς ηµιάξονες Οx και Oy ενός ορθογωνίου συστήµατος συντεταγµένων Οxy, έτσι ώστε να ισχύει: + = (). Να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σηµείο. ( ΟΑ) ( ΟΒ) Έστω Α(α,0) και Β(0,β) µε α, β 0 β. Βρίσκουµε την εξίσωση της ΑΒ. Είναι λαβ =. α

7. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας β Εποµένως η εξίσωση της ΑΒ είναι: y = ( x α). Η ευθεία ΑΒ λοιπόν είναι µία α µεταβλητή ευθεία, αφού στην εξίσωσή της έχει δύο παραµέτρους. Πρέπει να απαλείψουµε την µία παράµετρο. Από τη σχέση () έχουµε: α αβ β α = α = α= β( α ) β ( ) (είναι α γιατί αν α = δε θα µπορούσε να ισχύει η ()). α α α α Έτσι η εξίσωση της ΑΒ γίνεται λόγω της σχέσης (): y = ( x α) y = ( x α) που είναι εξίσωση ευθείας µε µία όµως παράµετρο και τη γράφουµε µε µορφή πολυωνύµου ως προς την παράµετρο. Έτσι = + αy y x α 0 α y + x y = 0. H τελευταία εξίσωση αληθεύει για κάθε τιµή του λ, αν και µόνον αν, ισχύουν : y = 0 y = και x = y =.Εποµένως η ΑΒ διέρχεται από το σταθερό σηµείο (,). x y = 0 x = y έχουµε: ( α ) y x α + = ( ), Κατηγορία - Mέθοδος 4 Πως υπολογίζουµε την οξεία γωνία δυο ευθειών. Έστω ότι οι ευθείες ε, ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ, λ αντίστοιχα. Θεωρούµε διανύσµατα δ, δ τέτοια ώστε: δ// ε και δ // ε Υπολογίζουµε τη γωνία των διανυσµάτων δ, δ απο τον τύπο: Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών µε εξισώσεις: (ε ): -x + y = 3 και (ε ): 4x + 3y = 5 Θα υπολογίσουµε τη γωνία δύο διανυσµάτων παραλλήλων προς τις προηγούµενες ευθείες. Οι ευθείες ε και ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης: λ συνφ = δ δ δ δ Τότε η οξεία γωνία θ των ευθειών θα είναι ίση ή παραπληρωµατική της γωνίας φ των δύο διανυσµάτων. 4 = και λ =. 3

Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 73. Άρα είναι παράλληλες προς τα διανύσµατα δ = (,) και δ = (3, 4). Εποµένως, η οξεία γωνία των ευθειών ε και ε είναι ίση ή παραπληρωµατική της γωνίας των διανυσµάτων δ και δ. Από τον τύπο του εσωτερικού γινοµένου, έχουµε : δ δ 3 + (4) 5 0 συνφ = = = =, οπότε θ 79,7 αφού συνφ > 0. δ 5 δ + 3 + ( 4) 5 5 Κατηγορία - Mέθοδος 5 Για να αποδείξουµε ότι µια εξίσωση της µορφής Ax + Bxy+Γ y + x+ Ey + Z= 0 παριστάνει δύο ευθείες, παραγοντοποιούµε το πρώτο µέλος. Αυτό γίνεται εύκολα, αν θεωρήσουµε το πρώτο µέλος τριώνυµο ου βαθµού ως προς x ή ως προς y. (Πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύµου να είναι θετική). Να δείξετε ότι: α. η εξίσωση 6x - xy - y = 0 παριστάνει δύο ευθείες. β. Η οξεία γωνία που σχηµατίζουν είναι 45 0. α. Θεωρούµε το πρώτο µέλος ως τριώνυµο ου βαθµού του y. Τότε η διακρίνουσα του είναι: = ( x) 4 ( ) 6x = 5x. Οι ρίζες του δίνονται από τον τύπο: x± 5x y = x y = οπότε 6x xy y = 0 (y x)(y + 3x) = 0. y = 3x Εποµένως, οι ευθείες που παριστάνει η 6x xy y = 0 έχουν εξισώσεις: y = x και y = 3x β. Οι ευθείες y = x και y = -3x έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ = και λ = -3 αντιστοίχως. Άρα, είναι παράλληλες προς τα διανύσµατα δ = (, ) και δ = (, 3). Εποµένως, η οξεία γωνία θ των ευθειών είναι ίση ή παραπληρωµατική της γωνίας φ των διανυσµάτων- δ δ + ( 3) 5 δ και δ.είναι συνφ = = = =, δηλαδή φ = 35 ο. δ δ 5 0 50 Εποµένως θ = 45 0. Κατηγορία - Mέθοδος 6 Για να βρούµε τη σχετική θέση δύο ευθειών επιλύουµε το σύστηµα των εξισώσεών τους. Αν οι εξισώσεις των ευθειών έχουν κάποια παράµετρο, κάνουµε διερεύνηση του συστήµατος, συνήθως µε ορίζουσες.

74. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών (ε ): µx - y = µ + και (ε ): x - y =, µ R. µx y = µ + Έχουµε το σύστηµα: ( Σ) : x y= µ D = = µ +, x µ µ + Dy = = µ µ = µ µ + D = = µ + = µ +, D α. Αν D 0 µ το (Σ) έχει µοναδική λύση x = x D = και Dy =, άρα οι δύο ευθείες D τέµνονται στο σηµείο (, -). β. Αν D = 0 µ = το (Σ) γίνεται (ε ): x - y = και (ε ): x - y =. ηλαδή οι ευθείες ταυτίζονται. Κατηγορία - Mέθοδος 7 Eύρεση γεωµετρικού τόπου: Όταν ζητείται ο γεωµετρικός τόπος σηµείου Μ(x, y) του οποίου οι συντεταγµένες είναι εκφρασµένες συναρτήσει µίας παραµέτρου κάνουµε απαλοιφή της παραµέτρου και βρίσκουµε τη σχέση µεταξύ των συντεταγµένων x και y του σηµείου Μ. Να βρεθεί η γραµµή επάνω στην οποία κινείται το σηµείο Μ(3λ+, λ), λ R. y x = 3 + x = 3λ+ Είναι x 3y = 0 y = λ y λ = Άρα το Μ κινείται επάνω στην ευθεία µε εξίσωση x 3y = 0. Κατηγορία - Mέθοδος 8 Όταν ζητείται ο γεωµετρικός τόπος σηµείου Μ και δεν δίνονται οι συντεταγµένες του, προσπαθούµε από τα δεδοµένα της άσκησης να τις εκφράσουµε συναρτήσει µίας παραµέτρου και στη συνέχεια να κάνουµε απαλοιφή της παραµέτρου

Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 75. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων τοµής των ευθειών λx + (λ -)y = λ και (λ+)x+λy=λ+, για όλες τις τιµές του λ R. Ευκολα διαπιστώνουµε, οτι οι παραπάνω εξισώσεις παριστάνουν ευθείες για κάθε τιµή του λ R.Θα προσδιορίσουµε τα σηµεία τοµής των ευθειών συναρτήσει της παραµέτρου λ. λ x + ( λ )y = λ Το σύστηµα έχει πάντα λύση αφού η ορίζουσα του συστήµατος ( λ+ )x +λ y = λ+ είναι: λ λ D = =λ λ + = 0 λ+ λ λ λ Dx = = λ λ + λ λ+ =λ+ λ+ λ λ λ Dy = = λ +λ λ λ = λ λ+ λ+. Εποµένως το σηµείο τοµής των ευθειών είναι το σηµείο Μ(λ+, λ). Θέτουµε x = λ +, y = λ. Με απαλοιφή του λ παίρνουµε x + y = που είναι η εξίσωση του ζητούµενου γεωµετρικού τόπου. Κατηγορία - Mέθοδος 9 Όταν µας ζητούν ή προκύπτει από την άσκηση, γεωµετρικός τόπος σηµείου που δίνεται µε δύο παραµέτρους, απαλείφουµε διαδοχικά τις δύο παραµέτρους. Να βρεθεί ο.γ.τ. του Μ(α + β, 3α + 5β) µε α, β R και α + β =. Είναι α β β α Μ α+ α,3α+ 5 α + = =. Οπότε το σηµείο Μ γίνεται ( ( )) δηλαδή Μα ( +, α+ 5) και έτσι απαλείψαµε τη µία παράµετρο. x = α+ α = x Έστω y = x + + 5 y = x + 7. y = α+ 5 y = ( x ) + 5 Εποµένως το Μ κινείται στην ευθεία y = x + 7. Mέθοδος 0 Όταν σε µία ευθεία γνωρίζουµε το συντελεστή διεύθυνσης λ, τη γράφουµε στη µορφή: y = λx + β και υπολογίζουµε το β από τα υπόλοιπα δεδοµένα της άσκησης.

76. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία (ε): 9x + y - = 0 και ορίζουν µε τους άξονες τρίγωνο µε εµβαδόν ίσο µε m. Η ευθεία (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -9 οπότε η ζητούµενη ευθεία (ζ) θα έχει τον ίδιο συντελεστή λ ζ = -9. Άρα (ζ): y = - 9x + β. Βρίσκουµε τα σηµεία στα οποία η (ζ) τέµνει τους άξονες. Θέτουµε στην εξίσωσή της y = 0 και έχουµε: x = β/9. Εποµένως Α(β/9, 0). Θέτουµε στην εξίσωση της x = 0 και έχουµε: y = β. Εποµένως Γ(0, β). Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΓ είναι: β (OAΓ) = β β 9 Άρα β = β = 36 β = ±6. 9 αλλά (ΟΑΓ) = Εποµένως οι ζητούµενες ευθείες είναι οι: (ζ ): y = -9x + 6 και (ζ ): y = -9x - 6 Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση ίνεται η εξίσωση (ε) : ( ) ( ) ( ) λ λ x λ 3λ+ y λ + λ = 0, λ R. Να αποδειχθεί ότι: α. H παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες για κάθε πραγµατική τιµή του λ. β. Όλες οι ευθείες που ορίζονται απο την παραπάνω εξίσωση, διέρχονται απο το ίδιο σηµείο για κάθε τιµή του λ. α. Η εξίσωση (ε) είναι της µορφής Ax + By + Γ= 0 η οποία παριστάνει ευθεία όταν Α 0 ή Β 0 λ=, λ= 0 Επειδή το σύστηµα λ λ = λ 3λ+ = 0 3± 5 λ= είναι αδύνατο, δεν υπάρχει λ R ώστε να µηδενίζονται συγχρόνως οι συντελεστές του x και του y. Άρα η (ε) παριστάνει ευθεία για κάθε λ R. β. Για λ = 0 προκύπτει η ευθεία µε εξίσωση : x + y - = 0 () Για λ = προκύπτει η ευθεία µε εξίσωση : y - = 0 ()

Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 77. Απο τη λύση του συστήµατος : { x + y - = 0 και y - = 0 } παίρνουµε x = και y =. Άρα οι ευθείες () και () τέµνονται στο σηµείο Ρ(, ). Οι συντεταγµένες του Ρ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας (ε) για κάθε λ πραγµατι- λ λ λ 3λ+ λ + λ = 0 κό, αφού: ( ) ( ) ( ) Άρα όλες οι ευθείες που παριστάνει η (ε), διέρχονται απο το σταθερό σηµείο Ρ(,) για κάθε τιµή του πραγµατικού αριθµού λ. Άσκηση ίνεται η εξίσωση (σ) : ( ) ( ) λ x+ λ +λ 3y 5= 0, λ R i. Για ποιες τιµές του λ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία; ii. Για ποιες τιµές του λ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία α. παράλληλη στον άξονα x x. β. παράλληλη στον άξονα y y. i. H (σ) παριστάνει ευθεία για τις τιµές του λ, για τις οποίες δεν µηδενίζονται συγχρόνως οι συντελεστές των x και y. λ = ή λ= λ = 0 Έχουµε: 3. Άρα λ =. λ +λ 3 = 0 λ= ή λ= Άρα η (σ) παριστάνει ευθεία, όταν και µόνο όταν, λ. ii. α. H (σ) παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα x x, όταν και µόνο όταν: λ = η λ = λ = 0 3.Aρα λ = λ + λ 3 0 λ και λ 5 Εποµένως, είναι η ευθεία µε εξίσωση: y + 5 = 0 y = β. H (σ) παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα y y, όταν και µόνο όταν: λ και λ λ 0 3. Αρα λ 3 = λ + λ 3 = 0 λ = η λ = Εποµένως, είναι η ευθεία µε εξίσωση : x - 4 = 0 x = 4. Άσκηση 3 Nα βρείτε την οξεία γωνία που σχηµατίζουν οι ευθείες µε εξισώσεις: ( ε ) : y = µx και ( ε ) : ( µ + ) x = ( - µ )y, µ R. Θα υπολογίσουµε τη γωνία δύο διανυσµάτων παράλληλων προς τις προηγούµενες ευθεί-

78. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας ες. Θεωρούµε τα διανύσµατα δ = (, µ ), δ = ( µ, + µ ) ( ) ( ) δ δ µ +µ +µ Είναι: συνδ, δ = = = δ δ +µ ( µ ) + ( +µ ) +µ +µ +µ = = Εποµένως, η οξεία γωνία των ευθειών ε και ε είναι ίση µε τη γωνία των διανυσµάτων δ και δ, που είναι 45 0. Σχόλιο : Η αµβλεία γωνία των ευθειών, είναι 35 0. Άσκηση 4 ίνεται η εξίσωση: x y 4λy λx 3λ = 0, λ R () α. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιµή του λ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ζεύγη καθέτων µεταξύ τους ευθειών. β. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων τοµής των άπειρων αυτών ζευγών καθέτων ευθειών. α. Είναι: x y 4λy λx 3λ = 0 x λx y 4λy 3λ = 0 Η παραπάνω είναι εξίσωση ου βαθµού ως πρός x µε διακρίνουσα: ( ) ( ) ( ) = λ 4 y 4λy 3λ = 4 λ+ y 0, για κάθε λ πραγµατικό. Εποµένως έχει ρίζες: ( ) ( ) λ 4 λ+ y λ+ 4 λ+ y x = = λ y, x = = 3λ+ y Άρα η εξίσωση () παριστάνει τις κάθετες ευθείες µε εξισώσεις y = - x - λ και y = x - 3λ. y = x λ β. Απο τη λύση του συστήµατος: προσδιορίζουµε τις συντεταγµένες των ση- y = x 3 λ µείων τοµής των ευθειών. Έχουµε: x 3λ = x λ x = λ x =λ,οπότε y =λ 3λ y = λ Με απαλοιφή του λ απο τις { } x, y =λ = λ παίρνουµε: y = - x που είναι η εξίσωση του γεωµετρικού τόπου των σηµείων τοµής των καθέτων µεταξύ τους ευθειών.

Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 79. Άσκηση 5 Σε καρτεσιανό σύστηµα Οxy, η εξίσωση ευθείας: (λ + λ + )x - (λ - λ + )y - (λ + λ) = 0 όπου λ Α= { 0,,,...,9} παριστάνει τις πορείες 0 πλοίων που κατευθύνονται σε κάποιο λιµάνι. α. Να βρεθεί η θέση του λιµανιού. β. Ανοικτά του λιµανιού στο σηµείο (, ) υπάρχει φάρος που δε λειτουργεί. Να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση, κάποιο από τα πλοία να συγκρουστεί µε τον φάρο. γ. Εξετάστε αν κάποιο από τα 0 πλοία κινείται παράλληλα µε µικρό σκάφος που κινείται στην ίδια περιοχή και του οποίου η πορεία δίνεται από την εξίσωση x - 3y - = 0. α. Το λιµάνι βρίσκεται στο σηµείο από το οποίο διέρχονται όλες οι ευθείες µε εξισώσεις: (λ + λ + )x - (λ - λ + )y - (λ + λ) = 0 () για οποιαδήποτε τιµή του λ Α. Θέτουµε δύο τιµές στο λ και βρίσκουµε έτσι τις εξισώσεις δύο ευθειών από τις (). π.χ. για λ = 0 και λ = βρίσκουµε τις ευθείες: x - y = 0 και 4x - y - 3 = 0. Οι ευθείες αυτές τέµνονται στο σηµείο του οποίου οι συντεταγµένες είναι λύση του συστήµατος : x y = 0 4x y 3= 0 που φανερά είναι το σηµείο (, ). Οι συντεταγµένες του σηµείου αυτού επαληθεύουν την εξίσωση () για κάθε λ πραγµατικό, αφού ισχύει: (λ +λ+ ) ( λ λ+ ) ( λ + λ ) = 0 λ +λ+ λ +λ λ λ = 0 0= 0 Άρα το σηµείο (, ) ανήκει σε όλες τις ευθείες () και συνεπώς το λιµάνι βρίσκεται στη θέση (, ). β. Για να συγκρουστεί κάποιο πλοίο µε τον φάρο πρέπει να υπάρχει λ { 0,,,...,9} τέτοιο ώστε η ευθεία που θα προκύψει να διέρχεται από το σηµείο (, ). Όµως: (λ + λ+ ) (λ λ+ ) (λ + λ) = 0 λ + λ = 0. Η τελευταία είναι ου βαθµού ως πρός λ µε αρνητική διακρίνουσα, οπότε είναι αδύνατη. Έτσι καµία από τις ευθείες (), δεν διέρχεται από το σηµείο (, ) και εποµένως δεν υπάρχει περίπτωση κάποιο πλοίο να συγκρουστεί µε τον φάρο. γ. Θα προσδιορίσουµε το λ ώστε κάποια από τις ευθείες () να έχει συντελεστή διεύθυνσης 3. Πρέπει: λ +λ+ = 5 λ 4 λ+ 8 = 0 λ = λ λ+ 3 ή 4 4 λ=.η λ= απορρίπτεται. 5 5 Για λ =, παίρνουµε την εξίσωση x - 3y - 8 = 0 (). Άρα, υπάρχει πλοίο, αυτό που η πορεία του καθορίζεται από την εξίσωση (), που κινείται παράλληλα προς το µικρό σκάφος.

80. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Παρατήρηση: 4 Για λ= προφανώς θα πάρουµε την ίδια εξίσωση, αφού από ένα σηµείο µπορούµε να 5 φέρουµε µόνο µία παράλληλη προς γνωστή ευθεία. Άσκηση 6 Τί γραµµές παριστάνουν οι εξισώσεις: α. (x + y + ) - 4 = 0 () β. x - y = 0 () γ. x - xy + y - 5x + 5y + 6 = 0 (3) α. Μετασχηµατίζουµε την () και έχουµε: (x + y + -)(x + y + + ) = 0 (x + y)(x + y + 4) = 0 x + y = 0 ή x + y + 4 = 0. Εποµένως η () παριστάνει τις δύο παραπάνω ευθείες. β. x - y = 0 x ± y = 0. Εποµένως η () παριστάνει δύο ευθείες y = x και y = -x (είναι οι διχοτόµοι των γωνιών xοy και x Οy). γ. Από την (3) (x y) - 5(x - y) + 6 = 0. Θέτουµε x - y = t και έχουµε: t - 5t + 6 = 0. Η τελευταία σχέση είναι τριώνυµο προς t και έχει ρίζες t = και t = 3. Εποµένως: x - y = ή x - y = 3 Η (3) παριστάνει αυτές τις δύο ευθείες. Άσκηση 7 ίνεται η οικογένεια των ευθειών µε εξίσωση (x - y - 5) + λ (x - 6y -5) = 0, λ R. Nα εξετάσετε αν η ευθεία (ε): x + 00y = 5 ανήκει σε αυτή την οικογένεια ευθειών. Βρίσκουµε το σηµείο από το οποίο περνούν όλες οι ευθείες της δοσµένης οικογένειας, (το κέντρο της δέσµης όπως λέγεται), λύνοντας το σύστηµα τους. x y 5= 0 x = 5 και y = 0. x 6y 5= 0 Εποµένως όλες οι ευθείες διέρχονται από το σηµείο Κ(5, 0). Η ευθεία (ε) ανήκει σε αυτή την οικογένεια ευθειών, αφού διέρχεται και αυτή από το σηµείο Κ. (Οι συντεταγµένες του σηµείου επαληθεύουν την εξίσωσή της). Άσκηση 8 Το σηµείο Α κινείται επάνω στην ευθεία y = x. Να δείξετε ότι το συµµετρικό του ως προς την ευθεία (ε): x + y + = 0 κινείται επάνω στην ευθεία µε εξίσωση : y = 7x +. Επειδή το σηµείο Α κινείται πάνω στην ευθεία y = x, έχει συντεταγµένες Α(α,α). Είναι λ ε =. Επειδή ΑΚ (ε) λ ΑΚ =

Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 8. Εποµένως η εξίσωση της ΑΚ είναι: y - α = (x - α) y - α = x - α y = x - α. Λύνουµε το σύστηµα των (ε) και ΑΚ για να βρούµε το σηµείο Κ: x + y + = 0 y = x α α- Είναι: x + (x - α) + = 0 x + 4x - α + = 0 5x = α - x = 5 α 4α 5α -α- y= x α y= α y= y= 5 5 5 α- -α- Άρα το σηµείο Κ έχει συντεταγµένες: K, 5 5 Το σηµείο Κ είναι µέσο του ΑΒ. Από τον τύπο που µας δίνει το µέσο ευθυγράµµου τµήµατος, γνωρίζοντας το Α και το Κ µπορούµε να υπολογίσουµε το Β. Έτσι έχουµε: x + x α+ x A B Β α -α- = x = 5α+ 5x = 4α x = K B B 5 5 y + y α+ y A B Β α -7α-4 = y = 5α+ 5y = α 4 y = K B B 5 5 -α- -7α-4 Έποµένως: B, 5 5 -α- -7α-4 Έχουµε λοιπόν το σηµείο B, µε µια παράµετρο α και θέλουµε να βρούµε 5 5 την ευθεία στην οποία κινείται. -α- -7α-4 Θέτουµε: x = () και y = () και απαλείφουµε την παράµετρο α. 5 5 Απο () προκύπτει α = -5x - και αντικαθιστώντας στη (): 7( 5x ) 4 y = 5y = 35x + 4-4 35x - 5y + 0 = 0 7x - y + = 0 y = 7x + 5 Παρατήρηση : Εδώ επειδή δίνεται η ευθεία στην οποία κινείται το Β θα µπορούσαµε απλώς να εξετάσου- µε αν η δοσµένη ευθεία επαληθεύεται απο τις συντεταγµένες του. Άσκηση 9 Να υπολογισθεί ο κ R έτσι ώστε η ευθεία (ζ): -κx + y - 3 = 0 να διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών (ε ): x + 5y = και (ε ): x - y + = 0. Βρίσκουµε το σηµείο τοµής των δύο ευθειών λύνοντας το σύστηµά τους: (ε ):x+ 5y= x = και y =. ηλαδή οι δύο ευθείες τέµνονται στο σηµείο Α(, ). (ε ):x y= Για να περνάει η (ζ) από το Α πρέπει να επαληθεύεται η εξίσωσή της από τις συντεταγµένες του Α. Εποµένως: -κ + -3 = 0 κ = -

8. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άσκηση 0 ίνεται η εξίσωση της ευθείας () ε :Αx+ Bψ+ Γ= 0 µε Α 0 και Β 0. Να δείξετε ότι: Γ α. Τέµνει τους άξονες στα σηµεία Κ,0 Α και Γ Λ 0, Β Γ Γ β. Αν ονοµάσουµε τις συντεταγµένες = α και = β, η εξίσωση (ε) παίρνει Α Β τη µορφή x + y =. α β α. Για να βρούµε τα σηµεία στα οποία µία ευθεία τέµνει τους άξονες θέτουµε στην εξίσωσή της διαδοχικά x = 0 και y = 0. Έτσι έχουµε: Για y = 0 : Γ Κ,0 Α Για x = 0: Γ Ax + Γ = 0 x =, A 0, δηλαδή η ευθεία τέµνει τον x x στο σηµείο Α Γ By + Γ = 0 y =,Β 0, δηλαδή η ευθεία τέµνει τον y y στο σηµείο Β Γ Λ 0, Β. Αx Βy x y x y ii. Ax + By +Γ= 0 Ax + By = Γ + = + = + = Γ Γ Γ Γ α β Α B Παρατήρηση: Γ Γ (Οι αριθµοί α = και β = λέγονται συντεταγµένες επί την αρχή της ευθείας (ε)). Α Β. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού µ η εξίσωση: (µ - µ)x + (µ - )y + µ + 3 = 0 παριστάνει ευθεία γραµµή; Πότε η ευθεία αυτή είναι παράλληλη µε τον άξονα y y; Πότε είναι παράλληλη µε τον άξονα x x; Πότε περνάει από την αρχή των αξόνων; (Υπ.: Χρησιµοποιήσετε τη µέθοδο ) (Απ.:Για να είναι ευθεία πρέπει: µ. Για να είναι παράλληλη στον y y πρέπει µ =. Για να είναι παράλληλη στον x x πρέπει µ = 0. Για να περνάει από το Ο πρέπει µ = 3 )

Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 83.. είξτε ότι η εξίσωση: θ θ συν+ x ηµ y +συνθ = 0 παριστάνει ευθεία για κάθε τιµή του θ [ 0, π ]. είξτε ότι όλες οι ευθείες που περιγράφονται µε την παραπάνω εξίσωση διέρχονται απο σταθερό σηµείο. (Απ.: Η Ax + By + Γ = 0 είναι ευθεία όταν Α 0 ή Β 0 (Μέθοδος ). Για το β ερώτηµα χρησιµοποιήστε τη µέθοδο ). Είναι (0, ) 3. Θεωρούµε την εξίσωση: ( ) ( ) x y 0, R α +α+ + α α+ α α = α i. Για ποιες τιµές του α η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία; ii. Για τις τιµές του α που θα βρείτε να εξετάσετε αν οι αντίστοιχες ευθείες διέρχονται απο το ίδιο σηµείο. (Απ.: [i. Για κάθε α R / ii. το (, -)]. (Όπως η άσκηση )) 4. ίνεται η ευθεία µε εξίσωση (ε): α x +β y + γ = 0 µε α + β 0. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται απο το σηµείο ( x, y ) και είναι παράλληλη α x x +β y y = 0. στην (ε) έχει εξίσωση: ( ) ( ) (Απ.: Από τη ζητούµενη ευθεία γνωρίζουµε ένα σηµείο και το συντελεστή διεύθυνσης. Ελέγξτε την περίπτωση β = 0 ) 5. Αν 3x + y - 5 = 0 και x - 3y + 5 = 0 είναι οι εξισώσεις δύο πλευρών παραλληλογράµµου ΑΒΓ και Κ (,4) είναι το κέντρο του, να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ είναι τετράγωνο. (Υπ.: είξτε ότι το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο και στη συνέχεια, ότι ( ΑΒ) = ( ΒΓ) ) 6. ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις: (ε ): x - 3y = 0 και (ε ): -x + 4y +3 = 0 και το σηµείο Α(-,). Να βρείτε σηµείο Μ της ε τέτοιο ώστε το µέσο του ΑΜ να ανήκει στην ε. 3 (Απ.: Μ, 5 5 ) 7. ίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ µε Α(-,9) και διαγωνίους δ :x - y + = 0 και δ : 3x + y - 6 = 0. Να βρεθούν οι συντεταγµένες των άλλων κορυφών του ορθογωνίου. (Απ.: ( ( 3, 3 ), ( ), (, 3 ) ) Γ Β + ) 8. ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις: x + y =, x + y =, µε αβ 0 και α ±β α β β α

84. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας i. Να βρείτε το κοινό τους σηµείο, έστω Μ. ii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΟΜ, όπου Ο η αρχή των αξόνων. iii. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΜ µε Α(α,β). αβ αβ (Απ.: i. Μ, α + β α + ii. ΟΜ β : y = x β, iii. A Μ :y β = ( x α) ) α 9. Ορθή γωνία ΒΑΓ στρέφεται γύρω απο την κορυφή της Α(4,6) και οι πλευρές της τέµνουν τους θετικούς ηµιάξονες x x και y y στα σηµεία Β και Γ αντίστοιχα. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του µέσου Μ του ευθυγράµµου τµήµατος ΒΓ. 3 (Απ.: x + 3y = 3, 0 x.) Ε ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Ορθή γωνία ΒΑΓ στρέφεται γύρω απο την κορυφή της Α(,) και οι πλευρές της τέµνουν τους θετικούς ηµιάξονες x x και y y στα σηµεία Β και Γ αντίστοιχα. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της προβολής Μ του Α πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ. (Απ: x+ y =,0 x )