ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 5 Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 00 Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 8 Α i Λάθος ii Σωστό iii Λάθος iv Λάθος v Σωστό ΘΕΜΑ Β Β Έχουµε,, κ κ ΑΒ = + = και ΒΓ = κ, + = κ, κ κ Είναι det ( ΑΒ, ΒΓ ) = κ κ = = 0,οπότε ΑΒ ΒΓ Επειδή τα διανύσµατα ΑΒ, ΒΓ έχουν κοινό το σηµείο Β, τότε έχουν τον ίδιο φορέα Έτσι, τα Α, Β και Γ είναι συνευθειακά Β και ΒΟ = (,) Έχουµε Είναι ΑΒ =, ΑΒ ΒΟ = + = < 0, άρα συν ΑΒ, ΒΟ < 0 Οπότε η γωνία ΑΒ, ΒΟ είναι αµβλεία ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5
Β κ κ κ Είναι ΑΒ =,, ΑΓ = κ, + = κ, και ΒΓ = κ, κ 5κ 5 Άρα ΑΒ ΑΓ = κ + = και κ 5 κ ΒΓ = κ + = 5κ 5 Πρέπει 5 κ = κ = ( κ ) κ = κ 8κ + 8 κ 9κ + 9 = Έχουµε = 9 9 = 9,οπότε κ = ή κ = ΘΕΜΑ Γ Γ Η εξίσωση () είναι ισοδύναµη µε την : + λ λ λy + = 0 λ λ λy + + = 0 ( λ ) λy + + λ = 0 () Έστω ότι η () δεν παριστάνει ευθεία Τότε λ = 0και λ= 0 δηλ λ = ± και λ= 0 που είναι αδύνατο Άρα η () για κάθε λ R, παριστάνει ευθεία Γ ος τρόπος : Στην ()θέτουµε διαδοχικά: λ= και λ= 0 οπότε έχουµε : y+ = 0 και + = 0 y = και = Στην () θέτουµε = και y= οπότε έχουµε : + λ λ + + λ = 0 8λ λ = 0 λ = 0 ή λ = Η () λοιπόν δεν ισχύει για κάθε λ R, οπότε δεν υπάρχει σηµείο από το οποίο να διέρχονται όλες οι ευθείες της µορφής () ος τρόπος : Έστω ότι όλες οι ευθείες της µορφής () διέρχονται από το σηµείο (, y ) Μ + 0 Η εξίσωση () γίνεται : λ ( 0) λy0+ = 0 () Η εξίσωση () πρέπει να ισχύει για κάθε λ R,οπότε 0 = 0 0 =, y0 = 0 + 0 και = 0 0 = που είναι αδύνατο Έτσι, δεν υπάρχει σηµείο από το οποίο να διέρχονται όλες οι ευθείες της µορφής () 0 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5
Γ Η () για = λ γίνεται: ( ε ) : + y+ 5= Τα σηµεία τοµής των, ε ε µε τον ' ε : y+ 5= 0 και για λ = γίνεται y y,δηλαδή µε την ευθεία ( ε) : = 0 είναι 5 αντίστοιχα: Α 0, και 5 Β 0, ε, ε προκύπτει από την λύση του συστήµατος: Το σηµείο τοµής Γ των y+= 5 0 ( Σ){ + += 5 0} y 5 Με πρόσθεση και αφαίρεση κατά µέλη έχουµε : 6 + 0 = 0 = και 5 8y = 0 y = 0 οπότε Γ,0 5 5 5 Έχουµε ΑΒ = 0, και ΑΓ =, 5 0 5 5 Οπότε ( ΑΒΓ ) = det ( ΑΒ, ΑΓ ) = 5 5 = = τ µ 6 Γ Από το Ο( 0,0) φέρνουµε ευθεία ( δ) κάθετη στην Είναι λ( ε ) = άρα Η εξίσωση της ( δ) είναι : Το σηµείο τοµής των ( δ) και ε λ δ = y = y = 0 ε είναι το ζητούµενο σηµείο, το οποίο y= 0 προκύπτει από τη λύση του συστήµατος ( Σ){ y = 5} Είναι Άρα D = = 6 9= 5, 5 = = και 5 5 0 y = =, οπότε 5 5 D = = και D 0 5 5, 5 5 y = = 0 5 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5
ΘΕΜΑ λ + y + λ + λ + y + = 0 () Είναι Α = λ, Β = λ + και Γ = λ, οπότε λ Α + Β Γ = ( λ ) + ( λ + ) = 8 > 8 Έτσι, η () παριστάνει ίσους κύκλους µε ακτίνα ρ = = Η () είναι ισοδύναµη µε την λ λ Τα κέντρα των παραπάνω κύκλων είναι: Κ,, για κάθε λ R λ λ Έστω = και y= και µε αφαίρεση κατά µέλη έχουµε: y = ηλ τα κέντρα των κύκλων κινούνται στην ευθεία ( ε ) : y = (Ένας άλλος τρόπος λύσης θα ήταν µε απαλοιφή του λ από τις συντεταγµένες του Κ) Επειδή οι κύκλοι είναι ίσοι, τότε η (ε) είναι η µεσοπαράλληλος των, d ε, δ = d ε, δ = ( δ) ( δ ) µε Οι ευθείες, ( δ) : y+ γ = Έστω Β(,0) ένα σηµείο της (ε) τότε : δ δ αφού είναι παράλληλες της (ε) είναι µορφής: d(ε, δ) = d( Β, δ) = + γ = + γ = + γ = ή + γ = άραγ = 0 ή γ = Οπότε ( δ ) : y= 0 και ( δ ) : y = i Επειδή η (ε) δεν είναι κατακόρυφη και εφάπτεται της παραβολής, πρέπει το σύστηµα των εξισώσεων : = py και y = 0 να έχει µοναδική = p p + p = 0 λύση Έτσι, έχουµε : Πρέπει λοιπόν η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης, να είναι ίση µε µηδέν ηλαδή p 6 p = 0 p = γιατί p p Έτσι ( C) : = 8y µε εστία Ε 0, δηλαδή Ε( 0,) και διευθετούσα δ y= : ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5
ii Έστω Α(, y) ( C ) τότε = 8 ( ) = y + y y y = η : y Η εφαπτοµένη της (C) στο Α είναι : Επειδή ( η) ( ε ) και λη=, λ ε=, τότε = = Από την () έχουµε: 6 = 8y y = Έτσι, η εξίσωση της (η) είναι: y 8 = 0 + y + = 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 5