dz dz dy = = + = + + dx dy dx

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 3 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (8,33% ΑΝΑ ΘΕΜΑ) ΘΕΜΑ A. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης z ως προς x όταν: y x +3x και z y +. dz dz dy + + + dx dy dx y.( x 3) ( x 3 x)(x 3) ΘΕΜΑ A. Το συνολικό κόστος TC μιας επιχείρησης είναι γραμμική συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής Q. Για επίπεδο παραγωγής 00 μονάδων το κόστος ανήλθε σε 00, ενώ για επίπεδο παραγωγής 300 μονάδων το αντίστοιχο κόστος ήταν 600. α. Ποια είναι η εξίσωση της συνάρτησης του συνολικού κόστους για την συγκεκριμένη επιχείρηση; β. Ποια είναι η συνάρτηση του μέσου κόστους παραγωγής; γ. Ποιο είναι το σταθερό κόστος παραγωγής στην επιχείρηση και ποιο το κόστος αν η παραγωγή φτάσει σε επίπεδο 350 μονάδων; δ. Ποιο είναι το οριακό κόστος παραγωγής; α. Έστω TC το συνολικό κόστος και Q η παραγόμενη ποσότητα. ΤC a + b Q b (600 00)/(300 00) 400/00 4 00 a + 4 00 > a 400 TC 400+4Q β. AC TC/Q 400/Q + 4 γ. FC 400, TC(350)400+4 350800 δ. MC dtc/dq 4

ΘΕΜΑ A.3 Η κυκλοφορία ενός εβδομαδιαίου περιοδικού ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο 5340 φύλλα και τυπική απόκλιση 850 φύλλα. α. Αν κάθε εβδομάδα το περιοδικό αυτό τυπώνεται σε 55000 φύλλα να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι σε μία τυχαία επιλεγμένη εβδομάδα θα μείνουν απούλητα περισσότερα από 8% των φύλλων που τυπώθηκαν. β. Να υπολογιστεί ο αριθμός των φύλλων που θα πρέπει να τυπώνονται κάθε εβδομάδα έτσι ώστε η πιθανότητα ότι σε μία τυχαία επιλεγμένη εβδομάδα η ζήτηση θα είναι μεγαλύτερη από τον αριθμό των φύλλων που τυπώθηκαν να μην ξεπερνά το 5%. Έστω x η εβδομαδιαία κυκλοφορία του περιοδικού. Δίνεται ότι: x ~ Ν (μ5340, σ850) α. Το 8% των φύλλων που τυπώθηκαν είναι 55000 0,08 4400 Αφού θα μείνουν απούλητα περισσότερα από 4400 φύλλα αυτό σημαίνει ότι η ζήτηση (x) είναι μικρότερη ή ίση με 50600 φύλλα. Ζητάμε λοιπόν να υπολογίσουμε την πιθανότητα Ρ(x 50600): x - μ 50600-5340 740 Ρ (x 50600) Ρ( ) Ρ(z ) σ 850 850 Ρ( z 0,6) Ρ(z 0,6) 0,79 0,709 Συνεπώς: Ρ(x 50600) 0,709 ή 7,% β. Έστω Χ η εβδομαδιαία ζήτηση και C ο αριθμός των φύλλων που πρέπει να τυπώνονται κάθε εβδομάδα. Θέλουμε να καθορίσουμε το C έτσι ώστε Ρ(x>C) 0,05. x - μ C 5340 Ρ( Χ > C) 0,05 Ρ( Χ C) 0,05 Ρ( Χ C) 0,95 Ρ( ) 0,95 σ 850 C 5340,64 C 5340,64 850 C 5704 850 Άρα θα πρέπει να τυπώνονται 5704 φύλλα. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ Ερώτημα α: 5,0 μονάδες Ερώτημα β: 5,0 μονάδες Σύνολο: 0,0 μονάδες ΘΕΜΑ A.4 Οι αρχικές ετήσιες αποδοχές (σε χρηματικές μονάδες) των πρώτων αποφοίτων του Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων ενός Πανεπιστημίου είναι οι ακόλουθες: 050 50 50 080 955 90 090 330 40 55 0 080 Να κατασκευαστεί το Θηκόγραμμα των παραπάνω δεδομένων και με βάση αυτό να εξαχθούν συμπεράσματα για τη μορφή της κατανομής τους.

Κατατάσσω τα δεδομένα σε αύξουσα τάξη: X X X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 0 X X 90 955 050 080 080 090 0 40 50 50 330 55 (α) Για να κατασκευαστεί το Θηκόγραμμα χρειάζεται να υπολογιστούν τα ακόλουθα στοιχεία: X min, X max, M, Q, Q 3. X min 90 X max 55 X X X X X + 0,5*(X X ) 090 + 0,5*(0 090) 05 M n + + 3 6,5 6 7 6 Q X n+ X + X 3 X 3,5 X 3 + 0,5* (X 4 - X 3 ) 050 + 0,5* (080 050) 4 4 4 Q3 X 3(n+ ) X 3*(+ ) X 39 X 9,75 X 9 + 0,75* (X0 - X 9 ) 50 + 0,75* (50 50) 4 4 4 Με βάση τα στοιχεία αυτά κατασκευάζουμε το Θηκόγραμμα των δεδομένων. 057,5 5 Xmin90 Q057,5 M05 Q35 Xmax55 900 000 00 00 300 400 500 600 (β) Από το Θηκόγραμμα παρατηρούμε ότι Q M > M 3 Q (δηλαδή ότι το διαχωριστικό ενδιάμεσο τμήμα στο εσωτερικό του ορθογώνιου πλαισίου βρίσκεται πλησιέστερα προς το αριστερό άκρο του). X max - Q 3 > Q X min (δηλαδή το μήκος της δεξιάς απόληξης είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο της αριστερής) Κατά συνέπεια συμπεραίνουμε ότι η κατανομή των δεδομένων παρουσιάζει θετική ασυμμετρία. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ Υπολογισμός στοιχείων για την κατασκευή Θηκογράμματος: 6,0 μονάδες Κατασκευή Θηκογράμματος και συμπεράσματα: 4,0 μονάδες Σύνολο: 0,0 μονάδες 3

ΘΕΜΑ Α.5 Μια βιομηχανία παραγωγής χυμών φρούτων διαθέτει 000 κιλά πορτοκάλια για την παραγωγή χυμού σε δύο συσκευασίες, μικρή και μεγάλη, με αντίστοιχο κέρδος 300 και 800 νομισματικές μονάδες ανά κουτί. Το μικρό μέγεθος απαιτεί για την παραγωγή του 0, ώρες εργασίας και κιλό πορτοκάλια ανά κουτί, ενώ το μεγάλο μέγεθος απαιτεί 0,3 ώρες εργασίας και κιλά πορτοκάλια ανά κουτί. Για την αντιμετώπιση της ζήτησης η παραγωγή πρέπει να έχει ολοκληρωθεί μέσα σε μια ημέρα και προς το σκοπό αυτό η βιομηχανία διαθέτει 30 εργαζόμενους το κανονικό ωράριο των οποίων είναι 8 ώρες εργασίας την ημέρα. (α) Διαμορφώστε το μαθηματικό μοντέλο που εντοπίζει το άριστο σχέδιο παραγωγής με βάση τη μεγιστοποίηση του κέρδους. (5μ) (β) Να προσδιορισθεί γραφικά η βέλτιστη λύση του μοντέλου. (5μ) Ερώτημα (α) Ορίζουμε ως μεταβλητές απόφασης εκείνες οι οποίες προσδιορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης που στην προκειμένη περίπτωση είναι το συνολικό κέρδος. Το συνολικό κέρδος καθορίζεται από το μείγμα της παραγωγής δηλαδή από το πόσα κουτιά μεγάλου και πόσα μικρού μεγέθους θα παραχθούν. Αν λοιπόν παραχθούν x κουτιά μικρής συσκευασίας και x κουτιά μεγάλης συσκευασίας τότε το συνολικό κέρδος θα είναι z 300x + 800x, που είναι η αντικειμενική συνάρτηση του μοντέλου η ο ποία πρέπει να μεγιστοποιηθεί. Για την κατασκευή των περιορισμών του προβλήματος έχουμε τα εξής: ο περιορισμός της κατανάλωσης ωρών εργασίας υποδεικνύει ότι η συνολική κατανάλωση αυτού του παραγωγικού συντελεστή δεν δύναται να ξεπεράσει τη μέγιστη διαθέσιμη ποσότητα που είναι ίση με 40 ώρες. Άρα, θα απαιτηθούν 0,x + 0,3x ώρες που μπορούν να είναι το πολύ 40. Για τα φρούτα που χρησιμοποιούνται, έχουμε συνολικά 000 κιλά, επομένως η συνολική κατανάλωση, που είναι x + x κιλά πορτοκάλια, δεν δύναται να ξεπεράσει τα 000 κιλά. Ανακεφαλαιώνοντας, έχουμε το ακόλουθο μοντέλο στο οποίο φυσικά έχουμε ενσωματώσει και τους περιορισμούς μη αρνητικότητας των μεταβλητών: maximize z 300x + 800x με τους περιορισμούς 0,x + 0,3x 40 x + x 000 x 0, x 0 4

Ερώτημα (β) Για να βρούμε την άριστη λύση γραφικά, χαράσσουμε τις ευθείες που αντιστοιχούν στους δύο περιορισμούς και εντοπίζουμε την κοινή περιοχή ισχύος, δηλαδή την εφικτή (κυρτή) περιοχή του προβλήματος που εδώ είναι η περιοχή που ορίζεται από τις κορυφές ΟΑΒΓ (δηλαδή το εφικτό σύνολο του προβλήματος είναι το κυρτό πολύγωνο ΟΑΒΓ). Η άριστη λύση, σύμφωνα με τη θεωρία του γραμμικού προγραμματισμού, εντοπίζεται σε μία εκ των κορυφών. Επομένως ένα τρόπος για να εντοπίσουμε την άριστη (βέλτιστη) λύση είναι να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των τεσσάρων κορυφών της εφικτής περιοχής και να αντικαταστήσουμε αυτές στην αντικειμενική συνάρτηση. Για να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των τεσσάρων κορυφών επιλύουμε ανά δύο τα απλά γραμμικά συστήματα των ευθειών των οποίων οι κορυφές είναι τα σημεία τομής. Στον επόμενο πίνακα έχουμε τις συντεταγμένες όλων των κορυφών μαζί με την τιμή του Ζ. Κορυφές, συντεταγμένες και τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Κορυφή x x z Α 0 800 640 000 Β 00 400 680 000 Γ 000 0 600 000 O 0 0 0 Η μέγιστη τιμή εντοπίζεται στην κορυφή B(00, 400) που με αντικατάσταση στην αντικειμενική συνάρτηση δίνει το βέλτιστο z 680000. Άρα, η συνάρτηση έχει μέγιστο στο σημείο B(00, 400) δηλαδή η άριστη λύση είναι x 00 και x 400 με μέγιστη τιμή της * αντικειμενικής συνάρτησης ίση με z 680000 που παριστάνει το μέγιστο κέρδος. Ο άλλος τρόπος εντοπισμού της άριστης λύσης είναι ή χάραξη των καμπυλών (ευθειών) ίσου κέρδους (ισοσταθμικές ευθείες) που αντιστοιχούν στην οικογένεια των παραλλήλων ευθειών που ορίζεται από την αντικειμενική συνάρτηση. Ακολούθως σαρώνεται η εφικτή περιοχή προς την κατεύθυνση αύξησης τις τιμής του z, για να εντοπιστεί η άριστη λύση στην τελευταία κορυφή που τέμνει η αντικειμενική συνάρτηση την εφικτή περιοχή πριν να φύγει στην μη εφικτή περιοχή. Η εξίσωση της οικογένειας των παραλλήλων ευθειών που παριστάνεται από την αντικειμενική συνάρτηση είναι η x -(300/800)x + (/800)z. Χαράσσουμε μία αντικειμενική για κάποια αυθαίρετη τιμή του z, (βλ. για παράδειγμα την ισοσταθμική για z40000) και στη συνέχεια σαρώνοντας την εφικτή περιοχή βλέπουμε ότι το τελευταίο σημείο στο οποίο την τέμνει πριν να φύγει στην μη εφικτή περιοχή είναι το σημείο Β (υπάρχει η αντίστοιχη διακεκομμένη ισοσταθμική του μεγίστου). Αυτό είναι το βέλτιστο σημείο και μόνο γι αυτό αρκεί να βρούμε τις συντεταγμένες του λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων 0,x + 0,3x 40 και x + x 000, των οποίων είναι η τομή. Έτσι, βρίσκουμε το σημείο Β(00, 400) και αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του στην αντικειμενική συνάρτηση παίρνουμε την άριστη τιμή z * 680000. 5

ΘΕΜΑ Α.6 Σε ένα κατάστημα καλλυντικών υπάρχουν ταμεία. Τις ώρες αιχμής, οι πελάτες καταφθάνουν μπροστά στα ταμεία ακολουθώντας κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό άφιξης 0 άτομα την ώρα και δημιουργούν μία κοινή ουρά αναμονής. Κάθε ταμίας είναι σε θέση να εξυπηρετήσει 6 άτομα ανά ώρα κατά μέσο όρο (κατανομή Poisson). Το κόστος αναμονής/παραμονής κάθε πελάτη στο σύστημα είναι την ώρα, ενώ το κόστος εργασίας είναι 5 ανά ώρα. (α) Υπολογίστε τους δείκτες λειτουργικότητας: μέσο μήκος ουράς αναμονής, μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα, μέσο χρόνο αναμονής, μέσο χρόνο παραμονής στο σύστημα και την πιθανότητα ένας πελάτης να βρει και τους δύο ταμίες αδρανείς. (7μ) (β) Υπολογίστε το συνολικό λειτουργικό κόστος του συστήματος. (3μ) Πρόκειται για ένα σύστημα Μ/Μ/s, όπου έχουμε δύο θέσεις εξυπηρέτησης δηλαδή s. Οι θέσεις εξυπηρέτησης είναι τα δύο ταμεία μπροστά από τα οποία σχηματίζεται μία ουρά. Χρησιμοποιούμε ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου την ώρα. Ο μέσος ρυθμός άφιξης λ, της κατανομής Poisson, είναι λ 0 άτομα/ώρα και ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης μ, της κατανομής Poisson στην εξυπηρέτηση, είναι μ6 άτομα ανά για κάθε ταμία. Ερώτημα α Για να βρούμε τους ζητούμενους δείκτες πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το P 0 που είναι ταυτόχρονα και η ζητούμενη πιθανότητα ένας εισερχόμενος πελάτης να βρει και τους δύο 6

ταμίες αδρανείς. Το P 0 δίνεται από τον τύπο P0 s n s ( λ / μ) ( λ / μ) sμ + n 0 n! s! sμ λ μετά τις πράξεις προκύπτει ίσο με P 0. Συνεπώς, οι υπόλοιποι δείκτες είναι: ( λ s ) λμ μ Το μέσο μήκος της ουράς αναμονής: Lq P 0 3,7879 πελάτες. ( s )!( sμ λ) λ Το μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα: L L q + 5,4545 πελάτες μ Lq Ο μέσος χρόνος αναμονής: W 0,3788 ώρες (,73 λεπτά). λ q L Ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα είναι: W Wq + 0,5455ώρες (3,73 λ μ λεπτά). και Ερώτημα β Το συνολικό κόστος λειτουργίας είναι TC WC + SC c w L + c s s δηλαδή είναι (για c w ανά ώρα, c s 5 ανά ώρα, L5,4545 και s), οπότε TC 5,4545 + 5 5,4545 ανά ώρα. 7

ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΙΛΟΓΗ 3 ΑΠΟ ΤΑ 6 ΘΕΜΑΤΑ (6.67% ΑΝΑ ΘΕΜΑ) ΘΕΜΑ B. Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης ενός αγαθού μιας επιχείρησης περιγράφεται από την εξίσωση q 3 p, όπου q είναι η ζητούμενη ποσότητα του προϊόντος, και p η αντίστοιχη τιμή. (α) Να υπολογισθεί η συνάρτηση των οριακών εσόδων MR της επιχείρησης σε σχέση με το επίπεδο παραγωγής Q. (έσοδα τιμή ποσότητα) (β) Να υπολογιστεί το οριακό έσοδο ΜR και το μέσο έσοδο AR της επιχείρησης για q5 και q30 (γ) Να βρεθεί το επίπεδο παραγωγής που μεγιστοποιεί τα έσοδα της επιχείρησης και να υπολογισθεί το μέγιστο έσοδο, επιβεβαιώνοντας ότι η λύση είναι το μέγιστο. (α) R q(3 q) q + 3q (β) MR q + 3 q 5 MR ΑR R(5)/5 (-5 +3,5)/5 7 q 30 MR 8 ΑR R(30)/30 (-30 +3,30)/30 (γ) ΚΠΠ MR 0 > q 6 ΚΔΠ MR' <0 ΘΕΜΑ B. Έστω ότι μια επιχείρηση έχει συνάρτηση συνολικών εσόδων και Q το επίπεδο παραγωγής. TR 4 9 U όπου U Q 3 (α) Βρείτε το οριακό έσοδο MR με βάση τον κανόνα παραγώγισης για σύνθετες συναρτήσεις. (β) Ποιες είναι οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες για το μέγιστο έσοδο, και σε ποιο σημείο παραγωγής επιτυγχάνεται; dtr dtr du. 4 U. 4( Q 3) dq du dq dtr ΚΠΠ: 0 Q 3 dq 3 3 dtr ΚΔΠ: ( Q 3) < 0 dq Επομένως μέγιστο έσοδο για Q 3 8

ΘΕΜΑ Β.3 Μια βιομηχανία Β προμηθεύεται ανταλλακτικά για τις μηχανές της από δύο προμηθευτές Π και Π σε ποσοστό 65% και 35% αντίστοιχα. Η ποιότητα των ανταλλακτικών διαφέρει ανάμεσα στις δύο εταιρείες όπως διαπιστώνεται από τα ιστορικά στοιχεία που τηρούνται στο Τμήμα Ποιοτικού Ελέγχου της βιομηχανίας Β (βλ. παρακάτω πίνακα). % Αποδεκτών Ανταλλακτικών % Ελαττωματικών Ανταλλακτικών Προμηθευτής Π 98 Προμηθευτής Π 95 5 Με βάση τα παραπάνω στοιχεία: α. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι ένα τυχαίο επιλεγμένο ανταλλακτικό που φθάνει στη βιομηχανία Β είναι αποδεκτό. β. Αν ένα τυχαίο επιλεγμένο ανταλλακτικό που φθάνει στη βιομηχανία Β κριθεί ως ελαττωματικό να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι προέρχεται από τον προμηθευτή Π. Έστω Π το ενδεχόμενο προμήθειας από την εταιρεία Π Π το ενδεχόμενο προμήθειας από την εταιρεία Π Α το ενδεχόμενο αποδεκτού προϊόντος Ε το ενδεχόμενο ελαττωματικού προϊόντος Δίνονται ότι: Ρ(Π)0,65, Ρ(Π)0,35 Ρ(Α/Π)0,98, Ρ(Ε/Π)0,0, Ρ(Α/Π)0,95, Ρ(Ε/Π)0,05 α. Ζητάμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα Ρ(Α) Από το Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας έχουμε: Ρ(Α) Ρ(Π) Ρ(Α/Π) + Ρ(Π) Ρ(Α/Π) (0,65) (0,98)+(0,35) (0,95) 0,637 + 0,335 0,9695 Ρ(Α) 0,9695 0,97 Άρα Ρ(Ε) 0,9695 Ρ(Ε) 0,0305 0,03 β. Ζητάμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα Ρ(Π/Ε) Από το Θεώρημα Bayes έχουμε: Ρ( Π ) Ρ( Ε / Π ) (0,35) (0,05) Ρ( Π / Ε) Ρ( Ε) 0,0305 Ρ( Π / Ε) 0,5738 0,57 0,075 0,5738 0,0305 ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ Ερώτημα α: 5,0 μονάδες Ερώτημα β: 5,0 μονάδες Σύνολο: 0,0 μονάδες 9

ΘΕΜΑ Β.4 α. Στον τελικό αγώνα κυπέλλου μπάσκετ μεταξύ των δύο ομάδων Α και Β, η ομάδα Β προηγείται της Α με ένα πόντο. Με το σφύριγμα της λήξης η ομάδα Α κερδίζει φάουλ σε προσπάθεια παίκτη της για τρίποντο, γεγονός που δίνει στον παίκτη τη δυνατότητα εκτέλεσης 3 ελεύθερων βολών σε νεκρό χρόνο. Αν ο παίκτης που θα εκτελέσει τις βολές έχει αστοχήσει στις 5 από τις 85 βολές που εκτέλεσε μέχρι τώρα σε αγώνες, να υπολογιστεί η πιθανότητα η ομάδα Α να κατακτήσει το κύπελλο. β. Να υπολογιστεί πόσοι αριθμοί μικρότεροι από το 500 μπορούν να σχηματισθούν χρησιμοποιώντας όλα ή ορισμένα από τα ψηφία 3, 4, 5, 6 και. 7. Επανάληψη του ίδιου ψηφίου σ' έναν αριθμό δεν επιτρέπεται. α. Πρόκειται για Διωνυμική Κατανομή. Ο παίκτης που θα εκτελέσει τις βολές έχει πιθανότητα επιτυχίας σε μια βολή: 85 5 34 p 0,4 85 85 p ή 40% Έστω x ο αριθμός των εύστοχων βολών από τις 3 που θα εκτελέσει. Η ομάδα του θα κατακτήσει το κύπελλο αν x. Άρα θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα P(x ) Ρ( x / n 3, p 0,4) Ρ( Χ < / n 3, p 0,4) [ Ρ( x 0/ n 3, p 0,4) + Ρ( x / n 3, p 0,4) ] 3 0 3 *0,4 *0,6 + 0 Άρα P(x ) 0,35 ή 35,% *0,4 *0,6 ( 0,6 + 3*0,4*0,36) 0,648 0, 35 3 3! 0!*3! ** 0,6 + 3! *0,4*0,36!*! β. Οι μικρότεροι από το 500 αριθμοί (Α) που μπορούν να σχηματισθούν είναι: A Όλοι οι μονοψήφιοι ( Μ) + Όλοι οι διψήφιοι ( Δ) + Όλοι οι τριψήφιοι που αρχίζουν από 3 ή 4 ( Τ) Οι μονοψήφιοι είναι 5 (όσα και τα ψηφία: 3, 4, 5, 6, 7) Μ 5 (Εναλλακτικά: Μ Ρ (5,) 5! / 4! 5) Οι διψήφιοι είναι: Δ Ρ(5,) 5! / 3! 5 * 4 Δ 0 (Εναλλακτικά Δ Ρ(5,) * Ρ(4,) (5! / 4!) * (4! / 3!) 5 * 4 0) Οι τριψήφιοι είναι: Τ * Ρ(4,) * (4! /!) * 4 * 3 Τ 4 (Εναλλακτικά Τ *Ρ(4,)* Ρ(3,) * (4! / 3!) * (3! /!) * 4 * 3 4) Άρα το σύνολο των αριθμών είναι Α Μ + Δ + Τ 5 + 0 + 4 Α 49 ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ Ερώτημα α: 5,0 μονάδες Ερώτημα β: 5,0 μονάδες Σύνολο: 0,0 μονάδες 0

ΘΕΜΑ Β.5 Δύο αντίπαλες πολιτικές παρατάξεις σχεδιάζουν τη στρατηγική τους για την επόμενη τηλεοπτική συζήτηση των αρχηγών τους. Για κάθε αντίπαλο υπάρχουν κάποια θέματα που μπορούν να αποτελέσουν κύρια θέματα της συζήτησης και για κάθε συνδυασμό θεμάτων το κόμμα Α αναμένεται να επωφεληθεί ως (θετικό ή αρνητικό) ποσοστό που αποσπάται από το Β σύμφωνα με τον ακόλουθο πίνακα Παράταξη Α Παράταξη Β Β Β Β3 Α -3 0 Α 3 4 Α3 4 0 Α4 Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε πλευρά και την τιμή του παιγνιδιού. (0μ) Θα λύσουμε το πρόβλημα ξεκινώντας με διαγραφή όσων περισσοτέρων υποδεέστερων στρατηγικών. Η στρατηγική Α διαγράφεται επειδή είναι υποδεέστερη της Α (στην προκειμένη περίπτωση είναι υποδεέστερη όλων των άλλων στρατηγικών του παίκτη Α) και δεν εφαρμόζεται ποτέ από έναν ορθολογιστή παίκτη. Έτσι ο πίνακας γίνεται Β Β Β3 Α 3 4 Α3 4 0 Α4 Στη συνέχεια διαγράφεται η στρατηγική Α4 διότι είναι υποδεέστερη της Α και ο πίνακας γίνεται Β Β Β3 Α 3 4 Α3 4 0 Στη συνέχεια διαγράφεται η στρατηγική Β διότι είναι υποδεέστερη της Β και ο πίνακας γίνεται Β Β3 Α 4 Α3 0 Στη συνέχεια διαγράφεται η στρατηγική Α3 διότι τώρα είναι υποδεέστερη της Α και ο πίνακας γίνεται Β Β3 Α 4 Κατόπιν διαγράφεται η στρατηγική Β3 αφού είναι υποδεέστερη της Β και έχουμε τον τελικό πίνακα που ακολουθεί: Β Α

Η λύση υποδεικνύει αμιγείς στρατηγικές με την εφαρμογή της στρατηγικής Α για τον παίκτη Α και της στρατηγικής Β για τον παίκτη Β με τιμή του παιγνίου V το κέρδος του Α και η ζημία του Β. Η λύση θα μπορούσε να βρεθεί με απευθείας εφαρμογή του κριτηρίου minimax, στον αρχικό πίνακα του προβλήματος, χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών δηλαδή: Β Β Β3 Minimum σειράς Maximin Α -3 0-3 Α 3 4 Α3 4 0 0 Α4 Maximum στήλης 4 4 Minimax Η επίλυση με άμεση εφαρμογή του κριτηρίου minimax υποδεικνύει και πάλι τις αμιγείς στρατηγικές Α για τον παίκτη Α και Β για τον παίκτη Β με τιμή του παιγνίου V, το κέρδος του Α και η ζημία του Β. ΘΕΜΑ Β.6 Ο διοικητής ενός τάγματος κατά τη διάρκεια μίας άσκησης θέλει να εγκαταστήσει ένα ενσύρματο σύστημα επικοινωνίας μεταξύ 9 ομάδων που έχουν αναπτυχθεί στην περιοχή και έχει υπό τη διοίκησή του. Το ακόλουθο δίκτυο υποδεικνύει τις αποστάσεις μεταξύ των ομάδων σε χιλιόμετρα και τα διαφορετικά μονοπάτια σύνδεσης από τα οποία μπορούν να περάσουν καλώδια. Αν υποθέσουμε ότι το κόστος εγκατάστασης του συστήματος επικοινωνίας είναι ανάλογο του καλωδίου που θα χρησιμοποιηθεί, χρησιμοποιήστε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης ώστε να διασυνδεθούν όλες οι ομάδες μεταξύ τους άμεσα ή έμμεσα, με το ελάχιστο δυνατό συνολικό κόστος. (0μ)

Είναι πρόβλημα ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου. Ξεκινάμε αυθαίρετα από οποιοδήποτε κόμβο, έστω τον κόμβο. Συνδέουμε τον πλέον κοντινό του, που είναι ο κόμβος 5, μέσω της ακμής -5 με μήκος. Οι κόμβοι {, 5} είναι συνδεδεμένοι. Ο πιο κοντινός στους {, 5} είναι ο κόμβος 3 με την ακμή 5-3 μήκους. Συνδεδεμένοι τώρα είναι οι κόμβοι {, 5, 3}. Συνδέουμε στη συνέχεια τον κόμβο 7 με την ακμή 5-7 μήκους 3. Συνδεδεμένοι καθίστανται οι κόμβοι του συνόλου {, 5, 3, 7}. Ο πιο κοντινός στους συνδεδεμένους είναι ο κόμβος 6 με την ακμή 7-6 μήκους 3. Το σύνολο γίνεται {, 5, 7, 3, 6}. Επόμενος συνδέεται ο κόμβος με τον κόμβο 6 μέσω της ακμής 6- μήκους. Το σύνολο γίνεται τώρα {, 5, 7, 3, 6, }. Ο επόμενος που συνδέεται είναι ή ο κόμβος 4, ή ο κόμβος 8, με μήκος ακμής 4 και στις δύο περιπτώσεις (ακμές 5-4 ή 8-7 αντιστοίχως). Αυθαίρετα επιλέγουμε τον κόμβο 8 και τον συνδέουμε. Το σύνολο γίνεται {, 5, 7, 3, 6,, 8}. Ο πιο κοντινός στους συνδεδεμένους είναι τώρα ο κόμβος 9 που συνδέεται στον κόμβο 8 με την ακμή 8-9 μήκους 3. Το σύνολο γίνεται {, 5, 7, 3, 6,, 8, 9} και τελευταίος συνδέεται ο κόμβος 4 με την ακμή 5-4 μήκους 4. Αν προηγουμένως είχαμε συνδέσει πρώτα τον κόμβο 4 με την ακμή 5-4, στη συνέχεια θα είχαμε συνδέσει τον κόμβο 8 και τελευταίο τον κόμβο 9. Φυσικά το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Το άθροισμα των ακμών που χρησιμοποιήθηκαν είναι και είναι το ελάχιστο συνολικό. Ανακεφαλαιώνοντας, το ελάχιστο ζευγνύον δέντρο φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα στο οποίο έχουμε διατηρήσει μόνο τις ενεργοποιημένες ακμές, ενώ όπως προαναφέρθηκε το ελάχιστο συνολικό μήκος καλωδίων είναι χιλιόμετρα. 3