ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Λυμένα Παραδείγματα Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f : R R, με τύπο f(x) = x 7x + 0. Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τ' ακρότατα. Βήμα Βρίσκουμε την παράγωγο : Βήμα Λύνουμε την εξίσωση : f '(x) = 0 Βήμα 3 f '(x) = ( x 7x + 0 ) = x 7 f '(x) = 0 x 7 = 0 x = 7 x = 7 Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων και μονοτονίας : x 7 f Ο + + Για το πρόσημο παραστάσεων ου βαθμού, ακολουθούμε τον εξής πρακτικό κανόνα : δεξιά του μηδενός ομόσημο (του συντελεστή) του x. f Βήμα 4 T.E. Περιγράφουμε τα αποτελέσματά μας, αναλυτικά :
Μονοτονία 7 Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα :, 7 Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα :, Ακρότατα Η συνάρτηση f παρουσιάζει / έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο 7 / θέση xo = την τιμή : f 7 7 7 7 0 49 4 49 0 49 98 0 4 59 4 Η συνάρτηση δεν έχει τοπικό μέγιστο.
Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f : R R, με τύπο f(x) = x 3 x. Να 3 μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τ' ακρότατα. Βήμα Βρίσκουμε την παράγωγο : f '(x) = ( x 3 x ) = 3 x 4x = x 4x 3 3 Βήμα Λύνουμε την εξίσωση : f '(x) = 0 x 4x = 0 x (x ) = 0 x = 0 ή x = Βήμα 3 Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων και μονοτονίας : x 0 + f + Ο O + Μια παραστάση ου βαθμού,. είναι γενικά ομόσημη (του συντελεστή) του x, με εξαίρεση το διάστημα εντός των ριζών (αν έχει δύο), όπου είναι ετερόσημη. f Βήμα 4 T.M. T.E. Περιγράφουμε τα αποτελέσματά μας, αναλυτικά : Μονοτονία Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα : (, 0] και [, +) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα : [0, ] 3
Ακρότατα Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση xo = 0 την τιμή : f (0) = 3 0 3 6 0 = Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση xo = 6 την τιμή : f () = 3 6 = 6 59 5 = 3 3 3 4
Παράδειγμα 3 x Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = και, στη x συνέχεια, να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία και τ' ακρότατα. Πεδίο ορισμού Πρέπει : x 0 x x x Εναλλακτικά, μπορούμε να γράψουμε : xr {, } Af = R {, } x(, )(, ) (, +) Όλα τα προηγούμενα, έχουν το ίδιο ακριβώς νόημα. Βήμα Βρίσκουμε την παράγωγο : f '(x) = Βήμα x x Λύνουμε την εξίσωση : f '(x) = 0 xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x = 0 x = 0 x = (αδύνατη) Παρατήρηση : Είναι φανερό ότι προκειμένου ένα κλάσμα να ισούται με το μηδέν, αρκεί ο αριθμητής να είναι μηδέν. Με άλλα λόγια, «αδιαφορούμε» παντελώς για τον παρονομαστή. Επιπλέον, 5
όταν ο παρονομαστής είναι υψωμένος στο τετράγωνο, ως θετική ποσότητα δεν επηρεάζει το πρόσημο της παραγώγου. Το τελευταίο θα εξαρτάται, αποκλειστικά, απ' τον αριθμητή. Βήμα 3 Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων και μονοτονίας : Έχει μεγάλη σημασία, στον πίνακα, να ξεχωρίζουν οι περιορισμοί, τους οποίους απαιτεί το πεδίο ορισμού. x + f f Βήμα 4 Περιγράφουμε τα αποτελέσματά μας, αναλυτικά : Μονοτονία Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα : (, ), (, ) και (, +) Η παράγωγος έχει αριθμητή x, ο οποίος είναι ου βαθμού, επομένως, θα είναι παντού ομόσημη του x. Ακρότατα Η f δεν παρουσιάζει ακρότατα. Παρατήρηση : Παρότι ο πίνακας χωρίζεται από της συνηθισμένες γραμμές, η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα για δύο, εξίσου, σημαντικούς λόγους : (α) οι γραμμές δεν αντιστοιχούν σε σημεία εντός του πεδίου ορισμού και (β) η μονοτονία δεν αλλάζει εκατέρωθεν των σημείων αυτών. 6
Παράδειγμα 4 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = x 8 και, στη συνέχεια, να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία και τ' ακρότατα. Πεδίο ορισμού Πρέπει : x 8 0 x 8 x 4 Εναλλακτικά, μπορούμε να γράψουμε : x[4, +) Βήμα Βρίσκουμε την παράγωγο : f '(x) = x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 Βήμα Λύνουμε την εξίσωση : f '(x) = 0 Παρατηρούμε ότι η παράγωγος είναι θετική ποσότητα. Επομένως, καταλαβαίνουμε όχι μόνο πως η εξίσωση f '(x) = 0 είναι αδύνατη, μα επιπλέον και το πρόσημο, του πίνακα μονοτονίας. Βήμα 3 Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων και μονοτονίας : Διαγραμμίζουμε όποιο διάστημα βρίσκεται εκτός πεδίου ορισμού. x + f + + f Τ.Ε. 7
Βήμα 4 Περιγράφουμε τα αποτελέσματά μας, αναλυτικά : Μονοτονία Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα : [4, +) Ακρότατα Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση xo = 4 την τιμή : f(4) = 4 8 = 0 Παρατήρηση : Το σημείο 4 αποτελεί άκρο του πεδίου ορισμού κι έτσι δεν απαιτείται ν' αλλάζει η μονοτονία εκατέρωθεν, ώστε να παρουσιάζεται ακρότατο. Το «εκατέρωθεν» εδώ δεν έχει ούτως ή άλλως νόημα, εφόσον μόνο η μια μεριά είναι εντός πεδίου ορισμού. 8
Παράδειγμα 5 Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = 5x 5x (α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (β) (γ) (δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με τους άξονες x x και y y. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία. Να βρείτε τις θέσεις και τις τιμές των τοπικών ακρότατων. (ε) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο x0 = 0. Πεδίο ορισμού Πρέπει : 5x 5x 0 5x ( x) 0 Ρίζες : x = 0 ή x = x 0 + 5x 5x + Ο O + Συνεπώς : x(, 0][, +) Βήμα Βρίσκουμε την παράγωγο : f '(x) = 5x 5x 5x 5x 5x 5x 5 0x x 8 Βήμα Λύνουμε την εξίσωση : f '(x) = 0 5 0x x 8 = 0 5 0x = 0 0x = 5 x = 9
Βήμα 3 Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων και μονοτονίας : x 0 f + + Ο f Βήμα 4 T.Ε. T.Μ. Περιγράφουμε τα αποτελέσματά μας, αναλυτικά : Μονοτονία Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα : (, 0] Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα : [, +) Ακρότατα Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση xo = 0 την τιμή : f(0) = 5 0 50 = 0 Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση xo = την τιμή : f(0) = 5 5 = 0 0