Εξετάσεις 11 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 Εξετάσεις Ιουνίου 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας-Πληροφορικής) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ ΤΟΥΜΠΑ THΛ: wwwsyghronogr

2 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία Απόδειξη σελ7(παλιό σχολ βιβλίο) ή σελ 99 (νέο σχολ βιβλίο) Α α) Ο ισχυρισμός είναι Ψευδής (Ψ) β) Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι - αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες Για παράδειγμα η συνάρτηση f,, για την οποία ισχύει: Στο διάστημα, η είναι γνησίως φθίνουσα με,, Στο διάστημα η f είναι γνησίως αύξουσα με,,, f Δηλαδή η f είναι -, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη f f Α Θεωρία σελ (παλίο σχολ βιβλίο) ή σελ 6 (νέο σχολ βιβλίο) Α α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Σ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β f, R Β * Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων * R ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων f f 8 8 Σελίδα από

3 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 8 f 8 ή ό Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: - f f TM H f παρουσιάζει στο o τοπικό μέγιστο, το f Β Η συναρτήσεων f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 8 f, * R * R ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της f για την κυρτότητα : f - - f f Σελίδα από

4 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8, Η f είναι κοίλη σε καθένα από τα διαστήματα, και Η f δεν έχει σημεία καμπής R * B Επειδή η f έχει πεδίο ορισμού το, θα αναζητήσουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη στο και πλάγιες ασύμπτωτες στο και στο Κατακόρυφη ασύμπτωτη στο lim f lim επειδή lim και lim f lim επειδή lim Άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Πλάγιες ασύμπτωτες στο και στο Για να είναι η ευθεία y όρια f lim και ασύμπτωτη της lim f να είναι πραγματικοί αριθμοί C f C f στο (αντίστοιχα στο ) αρκεί τα (αντίστοιχα f lim και lim f ) f lim lim lim, οπότε lim f lim lim Επομένως, η ευθεία y Ομοίως βρίσκουμε ότι: Σελίδα από, οπότε είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο

5 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 f lim, οπότε lim f, οπότε Επομένως, η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο Β Με βάση τα προηγούμενα ερωτήματα η γραφική παράσταση της f είναι η εξής: Σελίδα 5 από

6 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 ΘΕΜΑ Γ Έστω l 8m, τετράγωνο περιμέτρου και κύκλος περιμέτρου 8 Τότε ισχύει: Πλευρά τετραγώνου: Ακτίνα κύκλου: a 8 (αφού L 8 ), όπου 8 και ύ Γ Έστω ώ, όπου:, τότε το ζητούμενο εμβαδό δίνεται από την σχέση: 6 E Άρα: , για 6 6 6,8 Γ Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη πολυωνυμική συνάρτηση, με: 6 8 Άρα: Επομένως, προκύπτει: 8 ΟΕ Σελίδα 6 από

7 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Άρα, η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για 6 6 o, την τιμή Επίσης, για o, παρατηρούμε ότι: 8 Πλευρά τετραγώνου: a 8 8 Διάμετρος κύκλου: o Άρα, πράγματι το άθροισμα των εμβαδών ελαχιστοποιείται όταν η πλευρά του τετραγώνου γίνει ίση με την διάμετρο του κύκλου Γ Αρχικά θα υπολογίσουμε τα όρια στα άκρα του διαστήματος,8 Έχουμε: lim lim lim lim 6 6 Άρα, για,, επειδή η 6 6 6,, είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα ισχύει: Όμως: , ισχύει , ισχύει (αφού,, 5,5 5 6 ) Άρα, 5,, δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε 5 Επιπλέον, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, άρα μοναδική ρίζα Σελίδα 7 από

8 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Ομοίως, για,8, επειδή η 6 6,8, Όμως: 5 αδύνατη στο,8 είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα ισχύει:, άρα 5,8, άρα η 5 είναι Τελικά, υπάρχει μοναδικό,,8 τέτοιο ώστε 5 ΘΕΜΑ Δ f e, R, Δ Η f είναι συνεχής στο R ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων f e e e, R Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων f e e, R f e e f e e f e e Το πρόσημο της f και η κυρτότητα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: α f - + f ΣΚ Η f είναι κοίλη στο, και κυρτή στο, και ορίζεται η εφαπτομένης της σημείο,f, οπότε έχουμε σημείο καμπής το,f ή, C f στο Σελίδα 8 από

9 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Δ Από τα προηγούμενα έχουμε: α f - + f ΟΕ Σύνολο τιμών της f f ή A, f f, lim f f A,, επειδή f ύ και lim f lim e f ή A, f lim f, lim f, f A, επειδή lim f f ύ και lim f lim e lim e όπου e e lim lim lim e DLH Από () έχουμε lim f To f A ά ό A, ώ : f f A, Σελίδα 9 από

10 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 To f A ά ό A, ώ : f f A, Ο πίνακας μεταβολών της f είναι: χ f X α X f f TM TE Για κάθε, έχουμε: Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f f f f Για κάθε, έχουμε: Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, f f <f f Για κάθε, έχουμε: Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, f f <f f Για κάθε, έχουμε: Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f f f f Οπότε έχουμε: η f είναι γνησίως αύξουσα στο, Η f παρουσιάζει στο η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο, τοπικό μέγιστο το f και στο f τοπικό ελάχιστο το Σελίδα από

11 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Δ α τρόπος, Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα και - Επίσης, έχουμε: e e e f f : στο, f f, Άρα με a, Άρα, για έχουμε: Οπότε f f, (αφού ) Άρα η εξίσωση f f είναι αδύνατη στο, β τρόπος Αρχικά θα δείξουμε ότι Υποθέτουμε ότι, τότε: f, f f f e e e άτοπο Άρα Έστω ότι η εξίσωση f f έχει μία τουλάχιστον ρίζα, Για την f στο, έχουμε: Η f συνεχής στο, Η f παραγωγίσιμη στο, και f f f f, οπότε: Άρα από θεώρημα Rolle προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχστον, τέτοιο, ώστε: f άτοπο, επειδή f για κάθε,, Σελίδα από

12 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Δ Για έχουμε: f e, R Η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο σημείο,f είναι: y f f y y Δείξαμε στο Δ ότι η f είναι κυρτή στο,, για κάθε η ευθεία της εφαπτομένης με εξαίρεση το σημείο επαφής f f Η ισότητα ισχύει μόνο για, οπότε: f d d Θα υπολογίσουμε το,f d d C f, οπότε: βρίσκεται πάνω από την Θέτουμε t t t d t dt d tdt Άρα Για : t Για : t Οπότε d t t tdt t t dt 5 t t 5 t t dt Επομένως, από () προκύπτει ότι: f d 5 Σελίδα από

13 Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Σελίδα από