TEXNIKH MHXANIKH 4. ΓΚΛΩΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ dimglo@uniwa.gr Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής Δεκέμβριος 2018 1
Τύποι φορέων/δοκών Αμφιέρειστη Μονοπροέχουσα Αμφιπροέχουσα 2
Τύποι φορέων/δοκών Πρόβολος (πάκτωση) Δικτύωμα Gerber (άρθρωση) 3
Τύποι φορέων/δοκών Θεωρήσεις για την ανάλυση δυνάμεων σε συστήματα δοκών/φορέων 1. Όλες οι εξωτερικές δυνάμεις προβάλλονται στα έδρανα/σημεία/συστήματα στήριξης 2. Όλοι οι φορείς/δοκοί θεωρούνται αβαρής 3. Σε περίπτωση που οι δυνάμεις εφαρμόζονται υπό γωνία, τις αναλύουμε στην οριζόντια και στην κάθετη συνιστώσα τους 4. Δεδομένου ότι ο φορέας/δοκός ισορροπεί, η συνισταμένη των δυνάμεων (οριζόντια και κατακόρυφα) θα είναι μηδέν. Το ανωτέρω ισχύει για την συνισταμένη των ροπών. Με βάση αυτές τις θεωρήσεις υπολογίζουμε τις αντιδράσεις στον κατακόρυφο και στον οριζόντιο άξονα 5. Υπολογίζουμε τις ροπές σε κάθε σημείο στήριξης και στα σημεία εφαρμογής των εξωτερικών δυνάμεων 6. Σχεδιάζουμε το διάγραμμα δυνάμεων [Ν] και το διάγραμμα ροπών [Μ] 4
Αριθμητικό παράδειγμα 1α -Έστω άτρακτος από μαλακό χάλυβα που περιστρέφεται δεχόμενη φορτία P1=500kp και P2=400kp, όπως φαίνεται στο σχήμα. -Ζητούνται: P1 P2 Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα έδρανα στήριξης Α και Β Να σχεδιασθεί το διάγραμμα δυνάμεων Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών A 35cm Γ Δ 30cm B 35cm 5
Αριθμητικό παράδειγμα 1β P1 P2 Η άτρακτος ισορροπεί ως προς τον οριζόντιο (x) και κατακόρυφο (y) άξονα, άρα η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτήν θα είναι ίση με το μηδέν. Επομένως και η συνισταμένη των ροπών που ασκούνται σε αυτήν θα είναι επίσης μηδέν A 35cm Γ Δ 30cm B P x 0 35cm Py 0 6
Αριθμητικό παράδειγμα 1γ P1 P2 A Γ Δ B 35cm Υπολογίζω την συνισταμένη των ροπών ως προς το σημείο Β M 0 100 A 500kp 65cm 400kp 30cm 0 B 500kp 65cm 400kp 30cm A 445kp 100 Υπολογίζω την συνισταμένη των ροπών ως προς το σημείο Α 35cm 30cm M 0 500kp 35cm 400kp 70cm 100 B 0 500kp 35cm 400kp 70cm B 455kp 100 7
Αριθμητικό παράδειγμα 1δ P1 P2 Ροπές κάμψης ως προς το σημείο Α M A A 0 M A 35cm 445kp 35cm 15575kpcm A A 35 35 1 35 13650 M A cm P cm kpcm M A 35 35 30 cm P1 35 30 cm P2 30cm 0 A A Γ 35cm 35cm Δ 30cm B Ροπές κάμψης ως προς το σημείο Β 30 35 2 35 15575 M B 30 35 35 cm P2 35 35 cm P1 35cm 0 A B M B cm P cm kpcm B M B 30cm 13650kpcm M B B 0 8
Αριθμητικό παράδειγμα 1ε Διάγραμμα δυνάμεων και ροπών 9
Αριθμητικό παράδειγμα 1στ Υπολογισμός διαγράμματος δυνάμεων αναλυτικά 1. Θεωρώ σαν θετικές δυνάμεις αυτές που ασκούνται προς τα πάνω και σαν αρνητικές αυτές που ασκούνται προς τα κάτω (μπορεί να γίνει και το αντίθετο) 10
Αριθμητικό παράδειγμα 1στ Υπολογισμός διαγράμματος δυνάμεων αναλυτικά 2. Ξεκινάω από αριστερά και μετακινούμαι προς τα δεξίά (ή το αντίθετο) αναζητώντας την πρώτη δύναμη που θα συναντήσω. Έστω ότι ξεκινάω από το σημείο Α και κινούμε από αριστερά προς τα δεξιά. Η πρώτη δύναμη που συναντάω είναι η Α που είναι θετική γιατί ασκείται προς τα πάνω (Α= 445kp). Σχεδιάζω ένα βέλος προς τα πάνω μέχρι να συναντήσω την επόμενη δύναμη στο σημείο Γ 11
Αριθμητικό παράδειγμα 1στ Υπολογισμός διαγράμματος δυνάμεων αναλυτικά 3. Στο σημείο Γ ασκείται η δύναμη P1 προς τα κάτω, άρα είναι αρνητική. Η συνισταμένη των δυνάμεων, μέχρι το σημείο Γ, θα είναι +Α-P1=445kp-500kp=-- 55kp. Σχεδιάζω ένα βέλος προς τα κάτω μέχρι να συναντήσω την επόμενη δύναμη στο σημείο Δ γιατί η συνισταμένη των Α και P1 είναι αρνητική. Το νέο βέλος θα πρέπει να έχει μικρότερο μήκος από το πρώτο βέλος αφού 55kp<<445kp. 12
Αριθμητικό παράδειγμα 1στ Υπολογισμός διαγράμματος δυνάμεων αναλυτικά 4. Στο σημείο Δ ασκείται η δύναμη P2 προς τα κάτω, άρα είναι αρνητική. Η συνισταμένη των δυνάμεων, μέχρι το σημείο Δ, θα είναι +Α-P1-P2=445kp- 500kp-400kp=-55kp. Σχεδιάζω ένα βέλος προς τα κάτω μέχρι να συναντήσω την επόμενη δύναμη στο σημείο Β γιατί η συνισταμένη των Α, P1 και Ρ2 είναι αρνητική. Το νέο βέλος θα πρέπει να έχει λίγο μεγαλύτερο μήκος από το πρώτο βέλος αφού 455kp>445kp και αρκετά μεγαλύτερο μήκος από το δεύτερο βέλος αφού 455kp>>55kp 13
Αριθμητικό παράδειγμα 1στ Υπολογισμός διαγράμματος δυνάμεων αναλυτικά 5. Φθάνοντας στο σημείο Β, έχω πλέον συναντήσει όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στον/ην φορέα/δοκό. Στο σημείο Β ασκείται μία δύναμη προς τα πάνω, άρα είναι θετική. Η συνισταμένη των όλων δυνάμεων, από το Α μέχρι το Β, θα είναι +Α-P1-P2+Β=445kp-500kp-400kp+455kp=-0. Κάτι που είναι απολύτως λογικό σύμφωνα με την θεώρηση ότι η δοκός ισορροπεί. 14
Αριθμητικό παράδειγμα 1ζ Υπολογισμός ροπων αναλυτικά διαγράμματος 1. Θεωρώ άξονα αναφοράς τον/ην φορέα/δοκό. Η ροπή στον άξονα αυτόν είναι μηδενική. Σύμφωνα με τους υπολογισμούς στα προηγούμενα βήματα, η ροπή στα σημεία στήριξης Α και Β ήταν μηδενική. Σχεδιάζω ένα σημείο στο Α και στο Β 15
Αριθμητικό παράδειγμα 1ζ Υπολογισμός ροπων αναλυτικά διαγράμματος 2. Ως προς τον άξονα αναφοράς, υπάρχει μια ροπή που ασκείται προς τα κάτω στο σημείο Γ ίση με 15575kpcm. Φέρνω κατακόρυφο που διέρχεται από το Γ και σχεδιάζω ένα σημείο προς τα κάτω 16
Αριθμητικό παράδειγμα 1ζ Υπολογισμός ροπων αναλυτικά διαγράμματος 3. Ως προς τον άξονα αναφοράς, υπάρχει μια ροπή που ασκείται προς τα κάτω στο σημείο Δ ίση με 13650kpcm. Φέρνω κατακόρυφο που διέρχεται από το Δ και σχεδιάζω ένα σημείο προς τα κάτω. Το σημείο αυτό θα είναι χαμηλότερο από το αντίστοιχο που σχεδίασα για την ροπή στο Γ, καθώς 13560 kpcm<15575 kpcm 17
Αριθμητικό παράδειγμα 1ζ Υπολογισμός ροπων αναλυτικά διαγράμματος 4. Ενώνω τα σημεία, το Α με το Γ, το Γ με το Δ και το Δ με το Β. Το διάγραμμα ροπών έχει ολοκληρωθεί 18
Αριθμητικό παράδειγμα 2α -Έστω άτρακτος από μαλακό χάλυβα που περιστρέφεται δεχόμενη φορτία P1=500kp και P2=400kp, όπως φαίνεται στο σχήμα. -Ζητούνται: Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα έδρανα στήριξης Α και Β Να σχεδιασθεί το διάγραμμα δυνάμεων Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών 19
Αριθμητικό παράδειγμα 2β 1. Μεταφέρω την P1 και την P2 έτσι ώστε το σημείο εφαρμογής τους να ξεκινάει από την άτρακτο 2. Υπολογίζω τις γωνίες των δυνάμενων ως προς την άτρακτο 20
Αριθμητικό παράδειγμα 2γ 3. Αναλύω τις P1 και P2 στις κατακόρυφες και οριζόντιες συνιστώσες τους και σχεδιάζω τις αντιδράσεις στα σημεία στήριξης 4. Υπολογίζω τις συνιστώσες P1x, P1y, P2x και P2y sin cos έ ά Fy Fy F sin ί F ί ά Fx Fx F cos ί F 21
Αριθμητικό παράδειγμα 2δ P1 P1 sin 500kp sin 70 469.8463kp y P1 P1 cos 500kp cos 70 171.0101kp x P2 P2 sin 400kp sin 120 346.4102kp y P2 P2 cos 400kp cos 120 200kp x Η άτρακτος ισορροπεί ως προς τον x και y άξονα, άρα η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτήν θα είναι ίση με το μηδέν. Επομένως και η συνισταμένη των ροπών κάμψης που ασκούνται σε αυτήν θα είναι επίσης μηδέν. Εξετάζουμε τον κατακόρυφο άξονα 5. Υπολογίζω τις κατακόρυφες αντιδράσεις στα έδρανα στήριξης Α και Β Δύναμη στο σημείο B M 0 P1 40cm P2 70cm 90cm B 0 y y y 90cm B P1 40cm P2 70cm y y y P1y 40cm P2 y 70cm 469.8463kp 40cm 346.4102kp 70cm By 478.2507 22kp 90cm 90cm
Αριθμητικό παράδειγμα 2ε Δύναμη στο σημείο A M 0 P2 20cm P1 50cm 90cm 0 y y y 90cm P2 20cm P1 50cm y y y P2 y 20cm P1y 50cm 346.4102kp 20cm 469.8463kp 50cm y 338.0058kp 90cm 90cm Ελέγχω τους υπολογισμούς P 0 P1 P2 0 y y y y y 338.0058kp 469.8463kp 346.4102kp 478.2507kp 0 816.2565kp 816.2565kp 0 23
Αριθμητικό παράδειγμα 2στ 6. Υπολογίζω τις οριζόντιες αντιδράσεις στα έδρανα στήριξης Α και Β P 0 P1 P2 0 x x x x x P1 P2 171.01kp 200kp 28.9kp x x x x 6. Υπολογίζω τις ροπές (ως προς το Α) M A A 0 M A 40cm 13520kpcm A y M A 40 30 cm P1 30cm 9565kpcm A y y M A 40 30 20 P1 30 20 cm P2 20cm 0 A y y y Πιθανές μικρές αποκλίσεις από το 0 για το Μ Β-Α οφείλονται στις στρογγυλοποιήσεις 24
Αριθμητικό παράδειγμα 2ζ 338.01kp Διάγραμμα δυνάμεων και ροπών A Γ Δ B 40cm 131.84kp 30cm 478.25kp 20cm A Γ Δ B 9565kpcm 13520kpcm 40cm 30cm 20cm 25
Αριθμητικό παράδειγμα 3 -Έστω άτρακτος από μαλακό χάλυβα που περιστρέφεται δεχόμενη φορτίο P=400kp, όπως φαίνεται στο σχήμα. -Ζητούνται: Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα έδρανα στήριξης Α και Β Να σχεδιασθεί το διάγραμμα δυνάμεων Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 26
Αριθμητικό παράδειγμα 4 -Έστω άτρακτος από μαλακό χάλυβα που περιστρέφεται δεχόμενη φορτία P1=200kp και P2=300kp, όπως φαίνεται στο σχήμα. -Ζητούνται: Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα έδρανα στήριξης Α και Β Να σχεδιασθεί το διάγραμμα δυνάμεων Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 27
Αριθμητικό παράδειγμα 5 -Έστω άτρακτος από μαλακό χάλυβα που περιστρέφεται δεχόμενη φορτία P1=200kp και P2=300kp, όπως φαίνεται στο σχήμα. -Ζητούνται: Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα έδρανα στήριξης Α και Β Να σχεδιασθεί το διάγραμμα δυνάμεων Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 28
Αριθμητικό παράδειγμα 6α -Έστω δοκός δεχόμενη φορτία P1=200kp και P2=311.127kp, όπως φαίνεται στο σχήμα. -Ζητούνται: Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα έδρανα στήριξης Α, Γ και ΣΤ και στην άρθωση Δ Να σχεδιασθεί το διάγραμμα δυνάμεων Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών 29
Αριθμητικό παράδειγμα 6β -Οστά και αρθρώσεις: Τα οστά μπορούν να θεωρηθούν ως φορέας ο οποίος δέχεται εξωτερικές δυνάμεις -Η ένωση των οστών γίνεται με τη βοήθεια ειδικών δομών που ονομάζονται αρθρώσεις. Οι αρθρώσεις επιτελούν δύο λειτουργίες, ενώνουν τα οστά και επιτρέπουν την μετατόπισή τους -Οι δύο βασικοί τύποι αρθρώσεων είναι οι συναρθρώσεις και οι διαρθρώσεις -Οι συναρθρώσεις ενώνουν τα οστά και επιτρέπουν ελάχιστη έως καθόλου κίνηση μεταξύ τους (π.χ. ηβική σύμφυση, ενώσεις κρανιακών οστών) -Οι διαρθρώσεις είναι αυτές που επιτρέπουν την κίνηση σε διάφορες κατευθύνσεις και με διαφορετικούς βαθμούς ελευθερίας Πηγή: https://en.wikipedia.org/wiki/synovial_joint#/medi a/file:909_types_of_synovial_joints.jpg 30
Αριθμητικό παράδειγμα 6γ -Αποτελούνται μεταξύ άλλων από τον χόνδρο, το υγρό, και την μεμβράνη. Οστά και αρθρώσεις: Τα οστά μπορούν να θεωρηθούν ως φορέας ο οποίος δέχεται εξωτερικές δυνάμεις -Οι αρθρώσεις μεταφέρουν τις δυνάμεις από το ένα οστό στο άλλο Εκπαιδευτική προβολή1: https://www.youtube.com/watch?v=5yymyx7hzpu Εκπαιδευτική προβολή2: https://www.youtube.com/watch?v=ijcftmlsvco Εκπαιδευτική προβολή3: https://www.youtube.com/watch?v=2ia2l_mhxhy Πηγή: https://en.wikipedia.org/wiki/synovial_jo int#/media/file:907_synovial_joints.jpg 31
Αριθμητικό παράδειγμα 6δ 1. Μεταφέρω την P1 και την P2 έτσι ώστε το σημείο εφαρμογής τους να ξεκινάει από την άτρακτο 2. Υπολογίζω τις γωνίες των δυνάμενων ως προς την άτρακτο 32
Αριθμητικό παράδειγμα 6ε 3. Αναλύω την P2 στην κατακόρυφη και οριζόντια συνιστώσα της 4. Υπολογίζω τις συνιστώσες P2x και P2y sin cos έ ά Fy Fy F sin ί F ί ά Fx Fx F cos ί F 33
Αριθμητικό παράδειγμα 6στ P2 P2 sin 311.127kp sin 135 220kp y P2 P2 cos 311.127kp cos 135 220kp x 5. Χωρίζουμε σε δύο μέρη το αρθρωτό σύστημα. Προκύπτουν δύο διαφορετικά συστήματα κάθε ένα από τα οποία αναλύω ξεχωριστά. Σημειώνω τις αντιδράσεις στο κάθε σύστημα (κόκκινα βέλη) Μονοπροέχουσα δοκός ΑΔ Αμφιέρειστη δοκός ΔΣΤ o Δ P2x P2 Ε -135 o P2y 20cm 10cm ΣΤ 34
Αριθμητικό παράδειγμα 6ζ 6. Ξεκινάω από το πιο απλό σύστημα, δηλαδή την αμφιέρειστη δοκό ΔΣΤ. Υπολογίζω τις κατακόρυφες αντιδράσεις στο έδρανο στηρίξεως ΣΤ και στην άρθρωση Δ M 0 P2 20cm 30cm 0 y P2y 20cm 220kp 20cm y 146.67kp 30cm 30cm y o Δ P2x P2 Ε -135 o P2y 20cm ΣΤ M 0 P2 10cm 30cm 0 y P2y 10cm 220kp 10cm y 73.33kp 30cm 30cm y 10cm P 0 P2 0 x P2 220kp x x x x 35
Αριθμητικό παράδειγμα 6η 7. Συνεχίζω με την μονοπροέχουσα δοκό ΑΔ M 0 P1 30cm 50cm 55cm 0 A 50cm 55cm P1 30cm y y 55cm P1 30cm 146.67kp 55cm 200 30cm 281.337kp 50cm 50cm M 0 5cm P1 25cm 55cm 0 55cm P1 25cm 5cm P1 25cm 5cm 200 25cm 281.337 5cm 65.333kp 55cm 55cm y P 0 0 x 220kp x x x x 36
Αριθμητικό παράδειγμα 6θ 8. Υπολογίζω τις ροπές στην ΔΣΤ M 0 M 10cm 1466kpcm y M 30cm P2 20cm 0 y y o Δ P2x P2 Ε -135 o P2y 20cm 10cm ΣΤ 9. Υπολογίζω τις ροπές στην ΑΔ M 0 M 30cm 1960kpcm M 50cm 1 20cm 733.35kpcm M 55cm 1 25cm 5cm 0 37
Αριθμητικό παράδειγμα 6ι 10. Σχεδιάζω το διάγραμμα δυνάμεων και ροπών για ολόκληρη την δοκό 38
Αριθμητικό παράδειγμα 7 -Έστω δοκός δεχόμενη φορτία P1=100kp και P2=250kp, όπως φαίνεται στο σχήμα. -Ζητούνται: Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα έδρανα στήριξης Α, Γ και ΣΤ και στην όρθωση Δ Να σχεδιασθεί το διάγραμμα δυνάμεων Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 39
ΓΛΩΣΣΑΡΙ - ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣ Πηγή: Διαδικτυακή ή άλλη πηγή από την οποία ανακτήθηκαν τα δεδομένα (π.χ. εικόνες, γραφήματα, πίνακες) Εκπαιδευτική προβολή: Διαδικτυακό βίντεο που περιγράφει βασικές αρχές λειτουργίας και εφαρμογές Ασκήσεις: Άλυτες ασκήσεις για μελέτη στο σπίτι 40