ΣΥΝΕΦΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-ΘΕΩΡΙΑ Έζηω ζσλάρηεζε θαη ποσ αλήθεη ζηο πεδίο ορηζκού ηες. Θα ιέκε όηη ε είλαη ζσλετής ζηο αλ θαη κόλο αλ Αςυνεόσ θα εύναι μύα ςυνϊρτηςη αν δεν υπϊρει το Αν υπϊρει το όριο αλλϊ δεν ιςούται με την αριθμητικό τιμό δηλ. ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΗ ΑΤΝΕΦΕΙΑ Αςυνεόσ διότι το όριο ςτο δενιςούται με την αριθμητικό τιμό Αςυνεόσ διότι δεν υπϊρει το όριο ςτο Εδώ δεν μπορούμε να μιλόςουμε για ςυνϋεια ςτο αφού δεν ορύζεται η ςυνϊρτηςη Αςυνεόσ διότι δεν υπϊρει το όριο ϊςετα αν το Αςυνεόσ διότι το όριο υπϊρει και εύναι το + αλλϊ δεν ιςούται με την αριθμητικό τιμό Αςυνεόσ διότι δεν υπϊρει το όριο Παραδεύγματα 1
1. Να εξεταςθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια οι ςυναρτόςεισ α. αν 1 + 1 αν 1 ςτο 1. 9 + αν 6 αν ςτο γ. Λύςη α. 9 + αν 7 αν 1 και + 1 1 και 1 1. Αρα η εύναι ςυνεόσ ςτο 1 ςτο δ. αν 1 + 1 αν 1 ςτο 1 9. + + 6 + και (-3)=-6 Άρα η εύναι ςυνεόσ ςτο γ. Αλλϊ + + 9 + 6. Αρα αςυνεόσ δ. και + 1 1 Άρα δεν υπϊρει το όριο ςτο 1 2
ΟΡΙΣΜΟΣ Μία ζσλάρηεζε ζα ιέκε όηη είλαη ζσλετής ζηο πεδίο ορηζκού ηες αλ είλαη ζσλετής ζε θάζε ζεκείο ηοσ πεδίοσ ορηζκού ηες Αν οι ςυναρτόςεισ g εύναι ςυνεεύσ ςτο τότε εύναι ςυνεεύσ ςτο και οι + g με g αρκεύ να ορύζονται κοντϊ ςτο ϋςτω Ρ πολυώνυμο τότε ϋουμε δεύξει ότι Ρ g Ρ ϊρα η πολυωνυμικό ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο κϊθε ρητό ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο πεδύο οριςμού τησ διότι Ρ επειδό ςυν ςυν και ημ ημ η ημ και g ςυν εύναι ςυνεεύσ ςτο οι ςυναρτόςεισ εφ και g ςφ εύναι ςυνεεύσ ςτο πεδύο οριςμού τουσ ωσ πηλύκο ςυνεών Η α και g g εύναι ςυνεεύσ ςτο πεδύο οριςμού τουσ Αν η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο και η ςυνϊρτηςη g εύναι ςυνεόσ ςτο f( τότε και η gο εύναι ςυνεόσ ςτο ΣΥΝΕΦΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μηα ζσλάρηεζε ζα ιέκε όηη είλαη ζσλετής ζηο [α,β] αλ ηζτύοσλ είλαη ζσλετής ζηο (α,β) ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Μια ςυνϊρτηςη ςυνεόσ ςε κλειςτό διϊςτημα [α ] ϋει γραφικό παρϊςταςη ςυνεό γραμμό ςτο [α ] 3
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1. Όταν η ϊςκηςη μασ ζητϊει να εξετϊςουμε τη ςυνϋεια ςε ϋνα ςημεύο τότε δουλεύουμε με τον οριςμό τησ ςυνϋειασ ςε ςημεύο Παρϊδειγμα 1 και ) 2. Αν μασ ζητϊει η ϊςκηςη να μελετηθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια ωρύσ να γύνεται αναφορϊ ςε κϊποιο ςυγκεκριμϋνο ςημεύο του πεδύου οριςμού τησ τότε εννοεύται ότι πρϋπει να τη μελετόςουμε ςε όλο το πεδύο οριςμού τησ. Παρϊδειγμα 3. Αν η ςυνϊρτηςη εύναι διπλού η πολλαπλού τύπου τότε: α. Μελετϊμε τη ςυνϋεια ςτα εςωτερικϊ ςημεύα των διαςτημϊτων με τισ πρϊξεισ όπωσ ςτο παρϊδειγμα.. Και μετϊ μελετϊμε τη ςυνϋεια ςτο ςημεύο εκεύνο που αλλϊζει ο τύποσ ρύςκοντασ τα πλευρικϊ όρια και ςυγκρύνοντϊσ τα με την αριθμητικό τιμό. παρϊδειγμα 4 γ. Αν εύναι παραμετρικό και μασ ζητεύται να ρεθούν οι παρϊμετροι για να εύναι ςυνεόσ ςτο ό ςτο πεδύο οριςμού τησ τότε απαιτούμε: ό και ϋουμε να λύςουμε εξύςωςη ό ςύςτημα για την εύρεςη των παραμϋτρων. Παρϊδειγμα 5 Παρϊδειγμα 1 ϊ ύ ϊ ύ + ύ ό Λύςη 48 1 + 9 48 1 + 48 8 6 48 + 48 9 9 1 + 9 1 + 1 9. Αρα υ ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο Παρϊδειγμα 1 ύ ϊ ύ ύ ό 1 Λύςη Φρηςιμοποιώντασ τον οριςμό πρϋπει να ρούμε το. Αλλϊ για να ρούμε το όριο πρϋπει να ρούμε τα πλευρικϊ όρια ςτο 1 αφού αριςτερϊ και δεξιϊ του 1 η ςυνϊρτηςη αλλϊζει τύπο. 4
ημ π και κϊνοντασ τον μεταςηματιςμό 1 ϋω ότι του 1 1 το αφού με 1 1 ό 1 ημ π ημ π 1 ημ π π ημ π επομϋνωσ π και 1 π 1 π + + 1 + 1 + 1 π + 1 + 1 π 1 + + 1 + 1 + 1 π + + 1 + 1 + π 1 π Αρα 1. Αρα η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο 1 Παρϊδειγμα ύ ϋ ϊ ύ + + + Λύςη Σο πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ εύναι Α + Η ημ + εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα ςυνεών τησ ημ και Η + 1 εύναι ςυνεόσ ωσ πολυωνυμικό και επομϋνωσ το πηλύκο τουσ ημ + + 1 ςυνεόσ Η ημ + + 1 εύναι ςυνεόσ ωσ ςύνθεςη ςυνεών τησ και τησ ημ + + 1 Η 4 εύναι ςυνεόσ πολυωνυμικό Η 4 εύναι ςυνεόσ ωσ ςύνθεςη ςυνεών τησ και τησ 4 Η ημ + + 1 4 εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκο ςυνεών 1 Η εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκο ςυνεών τησ ςταθερόσ 1 και τησ πολυωνυμικόσ ημ + και τελικϊ η εύναι ςυνεόσ ςτο Α ωσ ϊθροιςμα των ςυνεών + 1 1 και 4 Παρϊδειγμα 4 5
1 ύ ϋ ϊ ύ 1 Λύςη Αν 1 ϋουμε: Η ημ π εύναι ςυνεόσ ωσ ςύνθεςη των ςυνεών ημ και π Η 1 εύναι ςυνεόσ ωσ πολυωνυμικό ημ π Η εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκον ςυνεών 1 Αν 1 ϋ : Η π εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα των ςυνεών και Η 1 εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα των ςυνεών και 1 Η π εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκο ςυνεών 1 Για 1 κϊνουμε ότι ακρι ώσ και ςτη παρϊδειγμα Παρϊδειγμα 5 + + 1 ύ ϊ ύ + + 1 ύ ώ ύ ό Λύςη Για να εύναι η ςυνεόσ ςτο 1 πρϋπει να ιςύει 1 + α + 1 + α + Για να εύναι ςυνεόσ θα πρϋπει το με 1 ϋ + α + 1 1 να υπϊρει και να εύναι πραγματικόσ αριθμόσ + α + 1 1 + α + 1 1 α + 1 α α Και για α ϋω + + 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + + + 1 + + + 4 1 + + 1 1 + + 6
1 + 1 + 1 1 + + 1 + + 1 + + 4 1 και 1 γ Σελικϊ από την ςϋςη 1 4 + γ 1 και α Επομϋνωσ γ και 7 και α 7
ΑΚΗΕΙ ΣΗ ΤΝΕΦΕΙΑ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΑΚΗΗ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη με ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο 1 ΑΚΗΗ 2 α + + γ 1 1 1 Για ποιεσ τιμϋσ των α 1 1 Εςτω ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο R ι Αν εύναι + 4 να ρεύτε ιι Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο να υπολογύςετε το + ΑΚΗΗ Έςτω ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο και για κϊθε ικανοποιεύ τη ςϋςη ημ ημ + Αν η f εύναι ςυνεόσ ςτο να υπολογύςετε το (0) ΑΚΗΗ 4 Αν δύο ςυναρτόςεισ, εύναι πραγματικϋσ και η ιςύει g 1 + ημ ςυν + 8 γ η εύναι ςυνεόσ και περιττό ςυνϊρτηςη και να εξετϊςετε αν η εύναι ςυνεόσ ςτο ΑΚΗΗ 5 Έςτω μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο + η οπούα για κϊθε ψ + ικανοποιεύ τη ςϋςη ψ ψ + ψ ι Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο 1 να δεύξετε ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο + ιι Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο α>0 να δειθεύ ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο + ΑΚΗΗ 6 Έςτω μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο η οπούα ικανοποιεύ τισ πιο κϊτω ςυνθόκεσ α + α ςυν + ςυνα για κϊθε α και 1 Να αποδεύξετε ότι Α Η εύναι ςυνεόσ ςτο ςυν ΑΚΗΗ 7 Δύνονται οι ςυναρτόςεισ και g οριςμϋνεσ και ςυνεεύσ ςτο [-α α] με α για τισ οπούεσ ιςύουν οι ςϋςεισ g ημ g ημ + 4 και. ςυν Να ρεθεύ η απόςταςη των ςημεύων που οι γραφικϋσ τουσ παραςτϊςεισ τϋμνουν τον ψ ψ
ΑΚΗΗ 8 Εςτω μύα ςυνϊρτηςη η οπούα εύναι ςυνεόσ ςτο [ 1] και (0)= 1. Να μελετηθεύ ωσ τη ςυνϋεια η ςυνϊρτηςη 1 g 1 1 1 προσ ΑΚΗΗ 9 α. Δύνεται η ςυνϊρτηςη η οπούα ορύζεται ςτο ςύνολο Α α με 4 για κϊθε Α και ςημεύο με τετμημϋνη Α. Αν + 4 να εξεταςθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια η ςυνϊρτηςη ςτο. Αν g: Α ςυνεόσ ςτο και και g να δειθεύ ότι η ςυνϊρτηςη α g [ εύναι ςυνεόσ ςτο Α ΑΚΗΗ 10 Αν για μια ςυνϊρτηςη ƒ που εύναι οριςμϋνη ςτο + ιςύει η ςϋςη ψ + ψ για κϊθε και ψ. Να αποδεύξετε ότι 1. (1)=0 2. 3. ψ 4. Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο 1 εύναι και ςτο + 5. Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο α εύναι ςυνεόσ και ςτο + 6. Αν 1 1 τότε να ρεθεύ το α α με α ΑΚΗΗ 11 Έςτω ƒ μύα ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο 1. α + + α + α + α + και. Να αποδεύξετε ότι : 1) (0)=1 2) + Αν 1 για την οπούα ιςύει τότε η εύναι ςυνεόσ ςτο 9
ΑΚΗΗ 12 Δύνεται η ςυνϊρτηςη ςυν π 1 1 α 1 1) Να ρεθεύ η τιμό του α για να εύναι ςυνεόσ η 2) Αν για τη ςυνϊρτηςη g: ιςύει g 1 α για κϊθε και η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο 1 να αποδειθεύ ότι και η ςυνϊρτηςη g εύναι ςυνεόσ ςτο 1 ΑΚΗΗ 13 Αν για μια ςυνϊρτηςη : ιςύει α α για κϊθε R 1) Να αποδειθεύ ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο α 2) Να εξεταςθεύ αν η ςυνϊρτηςη α α g α εύναι ςυνεόσ ςτο α α α 10
ΘΕΩΡΗΜΑ ΒΟLZANO-WEIERSTRASS Έςτω ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο ςύνολο Α για την οπούα ιςύουν: Εύναι ςυνεόσ ςε [α ] Α α Σότε η εξύςωςη =0 ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο α η υπϊρει τουλϊιςτον ϋνα α τϋτοιο ώςτε η η ςυνϊρτηςη μηδενύζεται ςε ϋνα τουλϊιςτον ςημεύο ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Γεωμετρικϊ το θεώρημα ςημαύνει ότι το διϊγραμμα τησ ςυνϊρτηςησ τϋμνει τον ϊξονα ςε ϋνα τουλϊιςτον ςημεύο ςτο α Σο θεώρημα μασ δύνει μϋθοδο να προςδιορύςουμε τα διαςτόματα που η εξύςωςη ϋει ρύζεσ Η αναγκαιότητα τησ ςυνϋειασ φαύνεται ςτο παρακϊτω παρϊδειγμα 1. Παρϊδειγμα Δύδεται η ςυνϊρτηςη με τύπο εφ Να εξεταςθεύ αν ϋει ρύζα ςτο π π 4 Η ςυνϊρτηςη δεν ορύζεται ςτο και ενώ π 4 π 4 εφ π 4 εφ π 4 1 1 1 και δεν ϋει ρύζεσ ςτο π π 4. Παρϊδειγμα 1 αν [ 1 ] Δύνεται η ςυνϊρτηςη + 1 αν ] Παρατηρούμε ότι 1 1 4 + 1 5 Αλλϊ δεν ϋει ρύζεσ ςτο [-1 ] διότι δεν εύναι ςυνεόσ ςτο αφού 1 1 11
ΠΡΟΟΦΗ Σο θεώρημα δεν εύναι ικανό και αναγκαύα ςυνθόκη εύναι ικανό αλλϊ όι αναγκαύα δηλαδό αν ƒ α ƒ ςημαύνει ότι η εξύςωςη δεν ϋει ρύζα ςτο [α ] δηλ αν δεν ιςύει τι θεώρημα δεν ϋπεται ότι δεν ϋει ρύζα η εξύςωςη ƒ ΑΜΕΗ ΤΝΕΠΕΙΑ ΣΟΤ ΘΕΩΡΗΜΑΣΟ BOLZANO Εύναι όταν μύα ςυνϊρτηςη δεν μηδενύζεται ςε ϋνα διϊςτημα Δ και εύναι ςυνεόσ ςτο Δ τότε διατηρεύ ςταθερό το πρόςημο ςτο Δ. Διότι αν δεν διατηρούςε ςταθερό το πρόςημο τότε θα υπόραν Δ με ƒ και ƒ Άρα ƒ ƒ Άρα από ΘΒ ϋω Δ ώςτε ƒ το οπούο εύναι ϊτοπο. ΕΚΥΡΑΕΙ 1. Ζητεύται να δειθεύ ότι υπϊρει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο α. Θεώρημα Bolzano 2. Ζητεύται να δειθεύ ότι υπϊρει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [α ]. Σότε αποδεικνύομε ότι ƒ α ƒ και μετϊ παύρνω τισ παρακϊτω περιπτώςεισ ƒ α ƒ και οι ρύζεσ θα εύναι το α η το ƒ α ƒ και εφαρμόζω θεώρημα Άςκηςη 1. 3. Zητεύται να δειθεύ ότι υπϊρει ρύζα αλλϊ δεν δύνει το διϊςτημα. Σότε α. Βρύςκουμε μόνοι μασ τα ϊκρα του διαςτόματοσ δύνοντασ τιμϋσ αρακτηριςτικϋσ που ωσ ςυνόθωσ εύναι το μηδϋν η γύρω από το μηδϋν Παρϊδειγμα. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη + 1 ϋει μύα ρύζα ςτο. Βρύςκουμε τα όρια τησ ςυνϊρτηςησ ςτα ϊκρα του πεδύου οριςμού τησ. Παρϊδειγμα. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη + α + + γ ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα R 4. Ζητεύται να δειθεύ ότι ϋει μύα ακρι ώσ ρύζα ςτο διϊςτημα α η [α ] δεύνουμε ότι υπϊρει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο α η [α ] αποδεικνύουμε ότι εύναι μόνο μύα αποδεικνύοντασ 1. ότι εύναι γνηςύωσ αύξουςα η 2. δεόμενοι ότι ϋει δύο ρηςιμοποιώντασ το θεώρημα ROLLE που θα δούμε αργότερα. 3. Άςκηςη 4 5. Ζητεύται να δειθεύ ότι η εξύςωςη ϋει το πολύ π μύα ρύζα. Σότε δεν ρειϊζεται να αποδεύξουμε ότι υπϊρει ρύζα αλλϊ να αποκλεύςουμε να υπϊρουν δύο. Σο πρό λημα αντιμετωπύζεται ςυνόθωσ με τη μϋθοδο τησ εισ ϊτοπον απαγωγόσ αργότερα 6. Ζητεύται να δειθεύ ότι υπϊρουν δύο τουλϊιςτον ό δύο ακρι ώσ ςε ϋνα διϊςτημα 12
Σότε πρϋπει να ωρύςω το αρικό διϊςτημα ςε δύο διαςτόματα που να μην ϋουν κοινϊ ςημεύα και να αποδεύξω ότι υπϊρει μια ρύζα ςε κϊθε διϊςτημα. Σο διϊςτημα το ωρύζω ςε κϊποιο αρακτηριςτικό ςημεύο το οπούο φαύνεται από τα δεδομϋνα τισ περιςςότερεσ φορϋσ. Ένα αρακτηριςτικό ςημεύο εύναι το μϋςο του διαςτόματοσ. Παρϊδειγμα. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη 5 + ϋει δύο τουλϊιςτον ρύζεσ ςτο -1,1) Λύςη : Αν 5 + τότε (0)=2, (-1)=-4 και (1)=-. Εφαρμόζοντασ ΘΒ ςτο [-1 ] ϋω μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο -1 και ϊλλη μύα φορϊ ςτο [ 1] ϋω ϊλλη μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο 1. Άρα τελικϊ δύο τουλϊιςτον ρύζεσ ςτο -1,1) ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΩΝ ΣΙΜΩΝ Έζηω ζσλάρηεζε ƒ ποσ ορίδεηαη ζηο [α,β] θαη ηζτύοσλ ε ƒ είλαη ζσλετής ζηο [α,β] θαη ƒ(α) ƒ(β) ηόηε ε ƒ παίρλεη όιες ηης ηηκές αλάκεζα ζηης ηηκές ƒ(α) θαη ƒ(β) δειαδή αλ σποζέζοσκε όηη (ε) είλαη κηα ηηκή αλάκεζα ζηης ƒ(α) θαη ƒ(β) ηόηε σπάρτεη ηέηοηο ώζηε ƒ ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Η εικόνα ƒ Δ ενόσ διαςτόματοσ Δ μϋςω μια ςυνεούσ ςυνϊρτηςησ και μη ςταθερόσ ςυνϊρτηςησ ƒ εύναι διϊςτημα. Αν η ƒ εύναι ςταθερό όι το ςύνολο τιμών τησ εύναι μονοςύνολο μύα τιμό. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΗ ΚΑΙ ΕΛΑΦΙΣΗ ΣΙΜΗ Αλ κηα ζσλάρηεζε είλαη ζσλετής ζηο [α,β] ηόηε ε παίρλεη κία κέγηζηε ηηκή θαη κία ειάτηζηε ηηκή. Δειαδή σπάρτοσλ [ ] ηέηοηοη ώζηε ώζηε λα ηζτύεη γηα θάζε τ R ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ: Από το θεώρημα ενδιαμϋςων τιμών και το θεώρημα μεγύςτησ και ελαύςτησ τιμόσ προκύπτει ότι αν η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ [α ] τότε το ςύνολο Δ [, ] Αν η εύναι γνηςύωσ αύξουςα τότε = α και = ϊρα το ςύνολο τιμών Δ [ α ] Αν η ƒ εύναι γνηςύωσ φθύνουςα τότε = και = α ϊρα το ςύνολο τιμών Δ [ ( ), (α)] 13
Αν η εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ α τότε αν Κ και Λ αν η εύναι γνηςύωσ αύξουςα τότε το Δ Κ Λ αν η εύναι γνηςύωσ φθύνουςα τότε το Δ Λ Κ ΓΕΝΙΚΑ Αν η εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ [α ] τότε το [α ] [, ] ƒ Δ Αν η εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ [α ] τότε ϋει ςύγουρα μύα μϋγιςτη και μύα ελϊιςτη τιμό Γενικϊ ρηςιμοποιεύται όταν μασ ζητεύται να ρούμε το ςύνολο τιμών Aν ςτο ςύνολο τιμών υπϊρει η τιμό μηδϋν τότε υπϊρει Δ τϋτοιο ώςτε δηλ ύπαρξη ρύζασ αντύ του Θ. ΕΤΡΕΗ ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ ΣΗ ΜΕ ΤΝΕΦΕΙΑ ΚΑΙ ΤΝΕΠΕΙΑ Θ. BOLZANO Παρϊδειγμα 1 Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη: ημ για κϊθε Να ρεθεύ ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ Λύςη Για κϊθε ιςύει ημ εύναι ςυνεόσ ςτο τότε και επομϋνωσ αρκεύ να ρούμε το ημ ημ αν με. Επειδό η ςυνϊρτηςη. Και τελικϊ ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ Παρϊδειγμα Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη + 1 για κϊθε α. Να δεύξετε ότι η διατηρεύ ςταθερό πρόςημο. Να ρεθεύ ο τύποσ τησ Λύςη α. Αφού η εύναι ςυνεόσ για να αποδεύξω ότι διατηρεύ ςταθερό πρόςημο πρϋπει να αποδεύξω ότι δεν μηδενύζεται ςτο πεδύο οριςμού τησ. Έςτω ότι υπϊρει τϋτοιο ώςτε. Σότε αν ςτη δοθεύςα θϋςω όπου το θα ϋω + 1 1 ϊτοπο ϊρα η διατηρει ςταθερό πρόςημο. 14
Από τη δοθεύςα ϋω + 1 + + + 1 + + 1. Επειδό και η ςυνϊτηςη + εύναι ςυνεόσ και δεν μηδενύζεται διότι αν υπόρε ξ τϋτοιο ώςτε ξ τότε θα εύαμε από την + + 1 για ξ ότι: ξ + ξ ξ + 1 διατηρεύ ςταθερό πρόςημο επομϋνωσ: ξ + 1 ϊτοπο. Αρα και η + 1 ό για κϊθε + + 1 ό για κϊθε + 1 για κϊθε + 1 για κϊθε + 1 για κϊθε ό + 1 για κϊθε ΗΜΕΙΩΗ Αν ςτην εκφώνηςη μασ ϋδινε 1 ό τότε ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ θα όταν + 1 Παρϊδειγμα Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη 4 1 για κϊθε Αν να ρεθεύ ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ Λύςη Η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ. Έςτω ότι υπϊρει ξ τϋτοιο ώςτε ξ τότε αν ςτη δοθεύςα θϋςω ξ θα ϋω: ξ 4 ξ 1 1 1 ξ. Δηλαδό το οπούο εύναι ϊτοπο Άρα η δεν μηδενύζεται και επομϋνωσ διατηρεύ ςταθερό πρόςημο. Και από τη δοθεύςα ϋω: 4 1 4 + 4 + + Αν θεωρόςω τη ςυνϊρτηςη - τότε και η εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα ςυνεών και δεν μηδενύζεται πουθενϊ. Διότι αν υπόρε ξ τϋτοιο ώςτε ξ τότε από την Άρα + + ξ + +. Ατοπο + για κϊθε ό + για κϊθε + για κϊθε R Αν ςτη δοθεύςα θϋςω όπου τότε 4 ό 4 το εύναι ϊτοπο ϊρα 4 και ςυνεπώσ + + για κϊθε R 15 + + για κϊθε R ό
Παρϊδειγμα 4 Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη για κϊθε Να ρεύτε το τύπο τησ Λύςη Έςτω ξ τϋτοιοσ ώςτε ξ από τη δοθεύςα ςϋςη θα ϋω αν θϋςω ξ ξ ξ ξ ξ. Επομϋνωσ η μοναδικό ρύζα εύναι η. τα διαςτόματα και + η διατηρεύ ςταθερό πρόςημο. Εςτω τότε θϊ ϋουμε με οπότε με και Παρόμοια όταν +. με + υνδυϊζοντασ και τισ δύο περιπτώςεισ θα ϋω: αν + αν αν αν αν + αν αν - και + ό και ό αν αν αν + αν αν + αν αν 16
ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΦΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ-ΑΚΗΕΙ ΑΚΗΗ 1 Εςτω η ςυνϊρτηςη : [ 1] [ 1] ςυνεόσ. Να αποδεύξετε ότι υπϊρει [1, ] ώςτε ΑΚΗΗ 2 Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη ςτο διϊςτημα [ ] και για κϊθε [ ] Να αποδεύξετε ότι υπϊρει τουλϊιςτον ϋνα [ ] ώςτε + ΑΚΗΗ Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη : [α ] ώςτε να ιςύει α + α, Να αποδεύξετε ότι υπϊρει τουλϊιςτον ϋνα θ [α ] ώςτε θ ΑΚΗΗ 4 Έςτω μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο διϊςτημα Δ [α ] με f Δ Δ και 1 για κϊθε Δ. Να δειθεύ ότι Α η εύναι ςυνεόσ ςτο Δ Β η ςυνϊρτηςη εύναι γνηςύωσ φθύνουςα Γ Τπϊρει μοναδικό [α ] τϋτοιο ώςτε ΑΚΗΗ 5 Έςτω, ςυναρτόςεισ ςυνεεύσ ώςτε - για κϊθε και ςταθερό θετικό πραγματικό αριθμό. Αν η γραφικό παρϊςταςη τησ τϋμνει τον ςε δύο ςημεύα με ετερόςημεσ τετμημϋνεσ να αποδεύξετε η εξύςωςη ϋει μύα τουλϊιςτον λύςη ςτο ΑΚΗΗ 6 Έςτω η ςυνϊρτηςη + για κϊθε πραγματικό αριθμό και ςυνεόσ ςτο. Αν οι αριθμού 1 και εύναι δύο διαδοικϋσ λύςεισ τησ εξύςωςησ και η εξύςωςη g δεν ϋει ρύζεσ τουσ αριθμούσ 1 και να δεύξετε ότι g 1 g ΑΚΗΗ 7 Αν η εξύςωςη + [ α ] + α + όπου ςυνεόσ ςυνϊρτηςη ςτο [α. ] ϋει δύο πραγματικϋσ ρύζεσ να δειθεύ ότι η ϋει τουλϊιςτον μύα ρύζα ςτο [α ]. ΑΚΗΗ 8 Δύνεται η ςυνϊρτηςη : [α ] ςυνεόσ ςτο [α ] με α και ο μιγαδικόσ α +. Αν να δειθεύ ότι η εξύςωςη ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [α ]. ΑΚΗΗ 9 Έςτω η ςυνϊρτηςη : [α ] ςυνεόσ ςτο [α ] και οι μιγαδικού α + α και + με α. Αν + να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [α ]. 17
ΑΚΗΗ 1 Να δειθεύ ότι η εξύςωςη -εημ 1 με ε 1 ϋει μια μόνο ρύζα ςτο -1,2) εξύςωςη Kepler) ΑΚΗΗ 11 Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη ςτο και α. Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό +. Αν ιςύουν α α α α και για κϊποιο ιςύει α α α α και α α να αποδεύξετε ότι α ΑΚΗΗ 1 Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη και 1-1 ςε κϊποιο διϊςτημα Δ. Σότε η ςυνϊρτηςη εύναι γνηςύωσ μονότονη ςτο Δ. ΑΚΗΗ 13 Έςτω ςυνϊρτηςη ςυνεόσ ςτο ώςτε να ικανοποιεύ τισ ςυνθόκεσ 4 1 και 4ημ 4 Να αποδεύξετε ότι η γραφικό παρϊςταςη C f τησ ςυνϊρτηςησ τϋμνει την γραφικό παρϊςταςη τησ παρα ολόσ ψ + 1 ςε ςημεύο με τετμημϋνη ςτο διϊςτημα 1. ΑΚΗΗ 14 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεόσ ςτο [α ] με f α f να δειθεύ ότι υπϊρει α τϋτοιο ώςτε α + ΑΚΗΗ 15 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεόσ ςτο [α ] και [α ] να δειθεύ ότι υπϊρει ξ α τϋτοιο ώςτε v f ξ + + + ΑΚΗΗ 16 Έςτω ςυνϊρτηςη : ςυνεόσ με 1 για κϊθε. Να δειθεύ ότι η ςυνϊρτηςη εύναι ςταθερό ΑΚΗΗ 17 Θεωρούμε τη ςυνεό ςυνϊρτηςη f ςυνεό ςτο [α ] και τουσ θετικούσ αριθμούσ με + + 8. Να δειθεύ ότι υπϊρει γ [α ] τϋτοιο ώςτε + + 8 γ ΑΚΗΗ 18 Δύνεται η ςυνεόσ ςυνϊρτηςη f: και ιςύει 1 για κϊθε Α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g(x)=f(x)-x διατηρεύ ςταθερό πρόςημο ςτο Β. Αν f 1 τότε 1. να ρεύτε το τύπο τησ f. να υπολογύςετε το 18
ΑΚΗΗ 19 Οι ςυναρτόςεισ και g εύναι ςυνεεύσ ςτο [ 5] και g για κϊθε [ 5] Να δειθεύ ότι υπϊρει ξ ξ 1 5 ώςτε g ξ ξ- 5-ξ ΑΚΗΗ Δύνεται η ςυνϊρτηςη με τύπο + + α με α. Να δειθούν 1. ότι η εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο πεδύο οριςμού τησ 2. να ρεθεύ το ςύνολο τιμών τησ 3. να δειθεύ ότι η εξύςωςη ϋει μύα μόνο ρύζα 19
ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΣΗ ΤΝΕΦΕΙΑ-ΟΡΙΑ ΑΚΗΗ 1 Αν ημ + να υπολογύςετε 1.. 5 1 ΑΚΗΗ Αν ημ για κϊθε να ρεύτε το αν υπϊρει ΑΚΗΗ Αν ημ + ημ + + να δεύξετε ότι ΑΚΗΗ 4 Αν για μια ςυνϊρτηςη f ιςύει + 4 + 4ςυν για κϊθε x να δεύξετε ότι η f εύναι ςυνεόσ ςτο ΑΚΗΗ 5 Αν για μύα ςυνϊρτηςη f οριςμϋνη ςτο [ π] ιςύει Α. Να δεύξετε ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο π 1 + ημ + ημ για κϊθε [ π] Β. να υπολογύςετε το ςυν Γ. να υπολογύςετε το ΑΚΗΗ 6 Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g ςυνεεύσ ςτο με + g. Nα δειθεύ ότι η εξύςωςη f(x)g(x)=x ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [-1,1] ΑΚΗΗ 7 Να δεύξετε ότι η εξύςωςη lnx+ ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο 1) 20
ΑΚΗΗ 8 Έςτω η ςυνϊρτηςη f ςυνεόσ ςτο [α ] τϋτοια ώςτε f(x για κϊθε [α ] και ϋνασ μη μηδενικόσ μιγαδικόσ αριθμόσ τϋτοιοσ ώςτε + 1 α καθώσ και + 1. Να δεύξετε ότι 1. Η εξύςωςη α + ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο -1,1) 2. α ΑΚΗΗ 9 Για τη ςυνϊρτηςη ƒ: δύνεται ότι εύναι ςυνεόσ ςτο 1 και ƒ 1 να ρεθεύ το ΑΚΗΗ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη ƒ: Αν 1 εφ π + + 1 για την οπούα ιςύουν ι. + 1 και ιι. και ζητεύται 1. Να ρεθεύ 2. Σο R. ο κ ώςτε η ςυνϊρτηςη g να εύναι ςυνεόσ ςτο 5 4 + κ ΑΚΗΗ 11 Aν για τη ςυνϊρτηςη :[1 4] ιςύει α+ α + για κϊθε α [1,4] 1 4 να μελετηθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια η g 1 4 5 ΑΚΗΗ 1 Αν η ςυνϊρτηςη με πεδύο οριςμού το και ςύνολο τιμών + εύναι ςυνεόσ ςτο 4 και 4 ημ π π 4 τότε 1) Να ρεθεύ η τιμό (4) 21
2) Να ρεθεύ το όριο 5 + 4 4 ΑΚΗΗ 13 Αν η ςυνϊρτηςη ορύζεται ςτο 1 + και ψ ψ ψ ψ για ψ 1. Να δειθεύ ότι 1. Η ςυνϊρτηςη g εύναι ςυνεόσ ςτο 1 + 2. Αν η εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςυνϊρτηςη με τότε η εξύςωςη g ϋει ακρι ώσ μύα ρύζα ςτο 1 + ΑΚΗΗ 14 Εςτω g δύο ςυναρτόςεισ με πεδύο οριςμού το. Αν η g εύναι ςυνεόσ ςτο α και και με Να δειθεύ ότι g ςυνεόσ g α 22