9 ν ΓΤΜΝΑΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Δ π η ι ν γ ή Α ζ θ ή ζ ε σ λ Γ γ π κ λ α ζ ί ν π Δπηκέιεηα Θόδσξνο Οηθνλνκόπνπινο Α Θ Η Ν Α
Κ Δ Φ Α Λ Α Ι Ο ν
Α. Δ Ρ Ω Σ Η Δ Ι Θ Δ Ω Ρ Ι Α. Πνηνο αξηζκόο ιέγεηαη ξεηόο;. Πόηε δπν αξηζκνί ιέγνληαη αληίζεηνη ;. Πόηε δπν αξηζκνί ιέγνληαη αληίζηξνθνη ; Έρνπλ όινη νη αξηζκνί αληίζηξνθν;. Να βξείηε ην πξόζεκν δπν αξηζκώλ πνπ έρνπλ άζξνηζκα αξλεηηθό θαη γηλόκελν ζεηηθό.. Να βξείηε ην πξόζεκν δπν αξηζκώλ πνπ έρνπλ άζξνηζκα ζεηηθό θαη γηλόκελν αξλεηηθό. 6. Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο δύλακεο α ν, ν Ζ. 7. Να ζπκπιεξώζεηε ηηο ηδηόηεηεο ησλ δπλάκεσλ: α ν α μ =., α ν : α μ =. α ν μ =.., α β ν α ν α ν =, =, = 8. Ση νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ελόο κε αξλεηηθνύ αξηζκνύ α ; 9. Να ζπκπιεξώζεηε ηηο ηδηόηεηεο ησλ ξηδώλ : α α β =., = α, β >. β. Να απνδείμεηε όηη : α β = α β, α, β >.. Ση δηαθέξνπλ νη αξηζκεηηθέο παξαζηάζεηο από ηηο αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο ;. Πνηεο αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο ιέγνληαη κνλώλπκα ;. Πόηε δπν κνλώλπκα ιέγνληαη όκνηα ; πόηε αληίζεηα ; πόηε ίζα ;. Να βξείηε ην βαζκό ηνπ κνλσλύκνπ ν μ ω κ σο πξνο, σο πξνο, σο πξνο σ, σο πξνο θαη σ, σο πξνο θαη, σο πξνο, θαη σ.. Πνηνο είλαη ν βαζκόο ελόο ζηαζεξνύ κνλσλύκνπ ; ελόο κεδεληθνύ κνλσλύκνπ ; 6. Πνηα αιγεβξηθή παξάζηαζε ιέγεηαη πνιπώλπκν ; 7. Ση ιέκε βαζκό ελόο πνιπσλύκνπ ; 8. Πνηα εξγαζία ιέκε αλαγσγή νκνίσλ όξσλ ; 9. Πσο πνιιαπιαζηάδνπκε έλα κνλώλπκν κε έλα πνιπώλπκν ;. Πσο πνιιαπιαζηάδνπκε δπν πνιπώλπκα ;. Πνηα ηζόηεηα ιέγεηαη ηαπηόηεηα ; ζε ηη δηαθέξεη από κηα εμίζσζε ;. Να γξάςεηε θαη λ απνδείμεηε όιεο ηηο βαζηθέο ηαπηόηεηεο.. Πνηα εξγαζία ιέκε παξαγνληνπνίεζε ;. Να γξάςεηε ηελ ηαπηόηεηα ηεο Δπθιείδεηαο δηαίξεζεο..πόηε έλα πνιπώλπκν δ() είλαη δηαηξέηεο ή παξάγνληαο ελόο πνιπσλύκνπ Γ(); 6. Ση νλνκάδνπκε Δ.Κ.Π. δπν ή πεξηζζνηέξσλ αιγεβξηθώλ παξαζηάζεσλ ; 7. Ση νλνκάδνπκε Μ.Κ.Γ. δπν ή πεξηζζνηέξσλ αιγεβξηθώλ παξαζηάζεσλ ; 8. Πνηα αιγεβξηθή παξάζηαζε ιέγεηαη ξεηή θαη πνηα αθέξαηα ; 9. Πσο απινπνηνύκε ξεηέο αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο ;. Με ηη ηζνύηαη ν αληίζεηνο ηνπ αληηζέηνπ ελόο αξηζκνύ;. Με ηη ηζνύηαη ν αληίζηξνθνο ηνπ αληηζηξόθνπ ελόο αξηζκνύ ; β β
Β. Α Κ Η Δ Ι. Να γίλνπλ νη πξάμεηο : α) -ρ ς -.(-ρ - ς ).(-ρ ς - ) β) (-ρς - ).(-ρ - ς ) γ) (ρς ) : (-6ρς ) 9 a δ) : a 6 ε).. ζη). 6,6...,8. δ). Να ππνινγηζζνύλ νη παξαζηάζεηο : Α = Β = Γ = γηα =, Γ = (-) + (-) + 6, Δ =. Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο : Α = 6 7 Β = 8 Γ = 6.. Γ = 8. Δ = Ζ =.... 6, Ε =. Να γίλνπλ νη πξάμεηο : 7.. 8 α). β). γ) 8. 8 δ) :
ε) :. Να ππνινγηζζνύλ νη παξαζηάζεηο : Α = 6 7, Γ = : 7 Β = 6 6. Γίλνληαη ηα κνλώλπκα - θ+ ι- θαη. Να βξείηε ηα θ θαη ι έηζη ώζηε λα είλαη όκνηα. 7. Να γίλνπλ νη αλαγσγέο ζηηο παξαζηάζεηο: α) + β) - + + + γ) θι θ + ι θι ι + θ δ) + + 8. Ν απαιείςεηε ηηο παξελζέζεηο θαη κεηά λα θάλεηε ηηο αλαγσγέο,ζηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο : α) α ( βγ α + β ) ( α βγ β ) β) ( + σ ) ( - σ + ) + ( σ + ) γ) α [ ( α βγ ) - ( α + α + βγ ) ] - βγ δ) ( ) ( σ ) ( σ ) ε) [ - + ( - ) ( ) ] 9. Να γίλνπλ νη πξάμεηο: α) ( + ) ( ) ( + ) β) θ ( θ + ι ) ι ( θ + ι - ) + ι ( ι ) γ) ( + ) ( ) δ) ( ) ( ) - ( - ). Να γίλνπλ νη πξάμεηο : α) ( )( + ) ( + )( ) ( + ) β) ( + ) ( + )( + ) γ) ( + )( + σ) + ( + σ)( + σ ) + (σ + )(σ + ) δ) ( + )( + ) (+)( + ) ( + ). Να γίλνπλ νη πξάμεηο : α) ( )( + )( + )( ) β) ( )( )( + )( + ) γ) ( )( + ) ( ) δ) ( + )( ) ( + ) 6
. Να γίλνπλ νη πξάμεηο : α) ( )( + ) ( + ) β) ( + )( ) ( + ) γ) ( + ) ( + ) δ) ( )( + ) ( 6). Να βξεζνύλ ηα αλαπηύγκαηα : ( + ), ( ), ( + ), ( ), ( + ), ( ), (α β), ( + ), ( ), ( ), (-α β), (- + ),,. Να βξεζνύλ ηα αλαπηύγκαηα : ( )( + ), ( )(+ ), ( + )( ), ( )( + ), ( + )( ), (α + β)(-α +β), ( + )( ), ( + α)(α ). Να βξεζνύλ ηα αλαπηύγκαηα : (α + ), ( ), (- ), ( ) 6. Να γίλνπλ νη πξάμεηο : α) ( + ) ( + )( ) ( ) β) ( + ) ( + )( ) ( + ) γ) ( ) ( 9)( ) δ) ( + )( ) ( + ) + ε) ( ) ( )( + ) + ( + ) ζη) ( )( + ) ( ) δ) ( + ) ( ) ( ) ε) ( )( + ) ( ) ζ) ( + ) ( ) ( + ) η) ( )( + ) ( ) ( ) 7. Ν απνδείμεηε ηηο ηαπηόηεηεο : α) (α + β) + (α β) = (α + β ) β) (α β) (α + β) = - αβ γ) (α - β + γ) = α + β + γ - αβ βγ + γα δ) (α β )( ) + (α + β) = (α + β) ε) α (β γ) + β (γ α) + γ (α β) = - (α β)(β γ)(γ α) 8. Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο : α) 6 + ζη) + β) 8 δ) + 8 7
γ) + 7 + ε) + 9 δ) ζ) α + α α ε) η) ( ) 9 9. Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο : α) + ζ) 6 + β) + η) (α + β) (α + β) + γ) + ηα) 7 δ) 9 α ηβ) ε) ηγ) 6 ( ) ζη) 8 ηδ) + 7 δ) 8 ηε) 9 + 6 + ε) (ρ+). Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο : i) + vii) + ii) + viii) + + 9 iii) α α + α i) 6 6 iv) (α 9) (α + ) ) ( ) 9( ) v) i) 6 + vi) 7 + ii) 6 +. Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο : i) α β αβ vi) + ii) α α + vii) 7 8 iii) viii) α + α α iv) α β α + β i) + v) + 9 + ). Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο : i) + 6 7 v) 7 + 7 + 9 + ii) 8 7 6 + vi) α βγ 6 + αβ αγ iii) (α + β) (α + β) + γ( ), vii) 9 + iv) α β + αβ α β αβ. Να γίλνπλ νη πξάμεηο : i) ii) iii) 6 9 6 : 8 : 6 8
9 iv) 9 :. Να γίλνπλ νη πξάμεηο : i) a ii) 6 6 iii) iv) v) vi) vii) 6 viii) i) ) i) ii) a a iii) iv) v) :
. Να γίλνπλ νη πξάμεηο : i) a a a a ii) : iii) iv) : v) : a a a 6. Να δείμεηε όηη : 7. Ν απινπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο : i) ii) 8 8. Να γίλνπλ νη πξάμεηο : i) ii) iii) iv) : 6 Γ. Τ Ν Θ Δ Σ Δ Α Κ Η Δ Ι 9. Να απινπνηεζεί ε παξάζηαζε :... Αλ,,z ζεηηθνί, λα απινπνηήζεηε ηελ παξάζηαζε :
z. z z z z z. Να βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο :. γηα =. Να ππνινγηζζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο : (-) λ+ + (-) λ+ όπνπ λ θπζηθόο αξηζκόο.. Να δείμεηε όηη γηα θάζε θπζηθό αξηζκό λ ε παξάζηαζε λ+ + λ+ δηαηξείηαη κε ην.. Αλ, ζεηηθνί, λα απινπνηήζεηε ηελ παξάζηαζε : 6 a. Αλ, λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ πνπ επαιεζεύεη ηελ ηζόηεηα : 6 a a 6. Να ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο θαη κε, 7. Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο : i) α αβ + β γ viii) + ii) α β + α β i) α + β + α β + αβ iii) - + 8 6 ) (α + β γ ) α β iv) α αβ + β α + β i) + + 9 v) (α + ) α ii) α + β α β vi) + iii) + vii) + 8. Αλ, λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο : θαη. 9. Αλ 7, λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :
θαη.. Αλ + = θαη =, λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο : + θαη +.. Να γίλνπλ νη πξάμεηο : i) ii) : iii) iv) v) 6. Αλ = θαη =, λα βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο +.. Να ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε 9999.. Να δείμεηε όηη ν αξηζκόο 6,είλαη πνιιαπιάζην ηνπ.. Ν απνδείμεηε όηη 6. 6. Να δείμεηε όηη ην ηεηξάγσλν θάζε πεξηηηνύ, είλαη πεξηηηόο. ( Τπόδεημε : θάζε πεξηηηόο παξηζηάλεηαη : λ + ) 7. Αλ γηα ηνπο αξηζκνύο θαη ηζρύεη : ( + ) = ( + ), λ απνδείμεηε όηη =. 8. i) Γηα θάζε α θαη β, λα δείμεηε όηη α + β αβ. ii) Αλ α, β ζεηηθνί αξηζκνί, λα εμεηάζεηε αλ κπνξεί λα ηζρύεη, γηα κηα a γσλία θ, όηη ζπλθ =. 9. Να γίλνπλ νη πξάμεηο : + + a ++a
. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο : α +α+ α α : α α, αλ α =. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο : + + + : +, αλ =. Γ! ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΣΙ ΑΚΗΔΙ ΣΟΤ νπ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ. α) -6, β) -, γ) - 7, δ) 6 β, ε) σ -, ζη), δ). Α=, Β=6, Γ=-7, Γ=/, Δ=/6. Α=, Β=, Γ=, Γ=, Δ=, Ε=, Ζ=. α), β), γ), δ) 6, ε) -,. Α=, Β=, Γ=6/, 6. θ=, ι=, 7. α) - -, β) - +, γ) ι -θ, δ) +, 8. α) α -βγ, β) ++σ, γ)α -α, δ), ε), 9. α), β) θ -θ, γ), δ),. α), β) --, γ) + +σ, δ) -.α) - -7 ++6, β) -7 +, γ), δ),. α) -, β) -, γ) -, δ),. ++, -+, ++9, -+, + +, -+, α -αβ+9β, 9 +6+, - +, 6 -+9, α +αβ+β, -6+9,,,. -9, -, -, -, -9, 9β -α, -9, α -,. 8α +α +6α+, 7-+6-8, -8-6 - -7, 8 - +6-6, 6. α) - +6+9, β) -7, γ), δ) -, ε), ζη) --7, δ), ε) - +-, ζ), η) - 8. α) (-)(+), β) (-)(+), γ) (+)(+), δ) (-)( ++), ε) (-)(+), ζη) (+)(-), δ) (+)( -+), ε) (-), ζ) (α+)(α- ), η) (-)(+), 9. α) (+)(-), β) (-)(+), γ) (-), δ) ( -α)( +α), ε) (-)(+)(+ ), ζη) (-)( ++), δ) (-)(+), ε) (+8)(-), ζ) (- )( +), η) (α+β-), ηα) (-)(+), ηβ) (-)(+), ηγ) (+)(7-), ηδ) (+)( -+9), ηε) (ρ+),. i) (+)( -+), ii) (+)(-),
iii) ( -α)(α-)(α+), iv) (α-)(α+) (α-), v) (+)(-)(+ ), vi) (-)(-), vii) (-), viii) (+), i) (-)(+)( -+ )( ++ ), ) (+7)(7-), i) (-)( +) ii) ( -),. i) αβ(α-β)(α +αβ+β ), ii) (+)(-α), iii), iv) (α+β)( -), v) ( +), vi) (+)(-), vii) (-)(9 +6+), viii) (α-)(+α ), i) (+)(-), ) ( -)( +),. i) (+7)(-), ii) (-), iii) (-)(α+β+γ), iv) αβ(α+β)(-)( ++ ), v) (+), vi) (+αγ)(αβ-), vii) (-),. i) -, ii), iii) -, iv),. i), ii), iii), iv), v), vi) -, vii), viii), i), ), i) β-α, ii), iii)- iv), v),. i), ii), iii), iv) α, v) a, 7. i), ii), 8. i), ii), iii), iv) -, 9.,. z,.,.,. 6,. = -, 6. ίζνη, 7. i) (α-β-γ)(α-β+γ) ii) (+)( -+)(α-β)(α +αβ+β ), iii) -(-)(-), iv) (α-β)(α-β-), v) (α-) (α+), vi) (-+)(+-), vii) (-)(-), viii) -(-)(+), i) (α+β)(α +β ), )(α-β-γ)(α-β+γ)(α+β+γ)(α+β-γ),i)( ++ )( -+ ), ii) (α -αβ-β )(α +αβ-β ), iii) (+)(-), 8. 8, 76, 9. 7,,. 7, 6,. i), ii) (α+)(β+), iii), iv), v) -,. 6,., 8. ii) δελ κπνξεί λα ηζρύεη, 9. + a,.,.
Κ Δ Φ Α Λ Α Ι Ο ν
Α. Δ Ρ Ω Σ Η Δ Ι Θ Δ Ω Ρ Ι Α. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε α + β =.. Να ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο : i) α + γ =, κε αγ<. ii) α + γ =, κε αγ>. iii) α + β =, κε α. iv) α + β + γ =, κε α.. ηελ εμίζσζε α + β + γ =, κε α, πνηα πνζόηεηα ιέκε δηαθξίλνπζα;. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε α + β + γ =, κε α κε ηνλ ηύπν ηεο δηαθξίλνπζαο.. Να ζπκπιεξώζεηε ηα θελά : i) αλ α > β ηόηε α β, ii) αλ α < β ηόηε α β, iii) αλ α β > ηόηε α β, v) αλ α β < ηόηε α β, vi) αλ α β = ηόηε α β, vii) αλ α > β ηόηε α + γ β + γ, α viii) αλ α > β θαη γ > ηόηε αγ βγ θαη, i) αλ α > β θαη γ < ηόηε αγ βγ θαη γ.. β γ α γ.. β γ ) αλ α > β θαη γ> δ ηόηε α + γ. β + δ, i) αλ α > β > θαη γ> δ > ηόηε α γ. β δ, ii) αλ α > β θαη β > γ ηόηε α.. γ. 6. Να ζπκπιεξώζεηε ηα θελά : i) αλ α β = ηόηε α = ή β =, ii) αλ α + β = ηόηε α = και β =, iii) αλ α β ηόηε α και β. 7. Να γξάςεηε ηελ κεηαβαηηθή ηδηόηεηα. 8. Μπνξνύκε νκνηόζηξνθεο αληζόηεηεο : i) λα ηηο πξνζζέζνπκε θαηά κέιε ; ii) λα ηηο αθαηξέζνπκε θαηά κέιε ; iii) λα ηηο πνιιαπιαζηάζνπκε θαηά κέιε ; iv) λα ηηο δηαηξέζνπκε θαηά κέιε ; Β. Α Κ Η Δ Ι - Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Σ Α,. Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : i) = ii) + = iii) = iv) 8 = v) ( )( + ) ( + ) = vi) + = vii) + = + viii) + = i) = ) + 8 = i) + 7 + 6 = ii) + = 6
7 iii) = iv) - + 6 = v) ( )( 7 + ) = vi) ( )( 9) = vii) ( )( + ) = viii) = i) ( + ) = ) ( ) =. Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : i) + = ii) = iii) + = iv) 6 = v) + + 6 = vi) 6 + + 6 = vii) + 7 + = viii) = i) + 8 = ) 9 + 9 = i) + + = ii) + 6 = iii) = iv) + = v) vi) + =. Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : i) 8 ii) iii) iv) 6 v) vi) vii) 9 8 viii) 6 i) 7 7 ) 6 7 i) ii) iii)
8. Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) i) ) i). Αλ ηζρύεη (α + β) > (β + α), λα δείμεηε όηη α > β. 6. Αλ ηζρύεη <, λα δείμεηε όηη ( + ) < ( ) 7. Αλ ηζρύεη α < β, λα δείμεηε όηη α < α+β < β. 8. Αλ ηζρύεη < <, λα βξείηε κεηαμύ πνηώλ αξηζκώλ βξίζθνληαη νη αξηζκνί :, + θαη. 9. Αλ ηζρύεη < < θαη < <, λα δείμεηε όηη 6< < 6 θαη 6< <.. Αλ ηζρύεη < < < ω, λα δείμεηε όηη ω > θαη ω <.. Αλ ηζρύεη < θαη <, λα δείμεηε όηη + < +.
. Αλ ηζρύεη < <, λα δείμεηε όηη + 6 <.. Να δείμεηε όηη ηζρύεη α + β α β.. Να δείμεηε όηη ηζρύεη α + > α.. Αλ θι, λα ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο : α) θ- θαη ι-, β) -ι θαη -θ γ) κ-θ θαη κ-ι, δ) 7ξ-θ θαη 7ξ-ι 6. Αλ αβ, λα ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο α-β+ θαη β-α+6. 7. Αλ αβγ, λα δείμεηε όηη : αβ(β-γ)(γ-α). 8. Αλ, λα δείμεηε όηη : (-)(-)(-). 9. Αλ αβ, λα δείμεηε όηη : a θαη.. Αλ - θαη -, λα βξείηε κεηαμύ πνίσλ αξηζκώλ πεξηέρνληαη νη ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ : α) +, β), γ) +, δ) -. Αλ θαη, νκόζεκνη,λα δείμεηε όηη. Να ιπζνύλ νη αληζόηεηεο : α) (-)-(-), β). Να βξεζνύλ νη θνηλέο ιύζεηο ησλ αληζνηήησλ : (-) (-) θαη. Αλ α β, λα δείμεηε όηη : a 9
Γ! Τ Ν Θ Δ Σ Δ Α Κ Ζ Δ Η. Να βξείηε δπν δηαδνρηθνύο θπζηθνύο αξηζκνύο πνπ λα έρνπλ γηλόκελν. 6. Να βξείηε ηηο δηαζηάζεηο ελόο νξζνγσλίνπ, αλ μέξνπκε όηη δηαθέξνπλ θαηά θαη ην νξζνγώλην έρεη εκβαδόλ 78 cm. 7. Αλ ζην δηπιάζην ελόο αξηζκνύ πξνζζέζνπκε ηνλ 7 αληίζηξνθό ηνπ, πξνθύπηεη ν αξηζκόο. Να βξείηε ηνλ αξηζκό. 8. Να βξείηε δπν αξηζκνύο πνπ λα έρνπλ άζξνηζκα θαη γηλόκελν 9. 9. Μηα βξύζε γεκίδεη κηα δεμακελή. Μηα άιιε γηα λα ηελ αδεηάζεη ρξεηάδεηαη κηα ώξα πεξηζζόηεξν. Αλ αλνίμνπλ θαη νη δπν καδί ε δεμακελή γεκίδεη ζε ώξεο. Πόζεο ώξεο θάλεη ε πξώηε βξύζε γηα ηελ γεκίζεη;. Γίλεηαη ε παξάζηαζε : Α = 9 α) Πνηεο ηηκέο δελ κπνξεί λα πάξεη ν ; β) Να απινπνηεζεί ε παξάζηαζε Α. γ) Να ιπζεί ε εμίζσζε Α =.. Να ιπζεί ε εμίζσζε :.. Να βξεζεί ν ώζηε νη αξηζκνί : α) Α = 9 θαη Β = + 7 λα είλαη αληίζεηνη. β) Γ = θαη Γ = λα είλαη αληίζηξνθνη.. Γίλεηαη ε εμίζσζε : a a α) Πνηνη αξηζκνί δελ κπνξεί λα είλαη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο; β) Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ α ώζηε ε εμίζσζε απηή λα έρεη ιύζε =.. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ θαη πνπ επαιεζεύνπλ ηελ εμίζσζε : ( ) + ( + 6) =.
. Να εμεηάζεηε αλ ε ιύζε ηεο εμίζσζεο : 6, επαιεζεύεη ηελ εμίζσζε :. 6. Σν άζξνηζκα ησλ θιαζκάησλ θαη κε πνηόλ αξηζκό πξέπεη λα είλαη ίζν, ώζηε ε εμίζσζε πνπ ζα πξνθύςεη λα έρεη ιύζε = ; Πνηα είλαη ε άιιε ιύζε απηήο ηεο εμίζσζεο; 7. Να βξεζνύλ ηξεηο δηαδνρηθνί αθέξαηνη αξηζκνί, ώζηε ην γηλόκελό ηνπο λα είλαη ίζν κε ην άζξνηζκά ηνπο. 8. Αλ Α = ( 9) ( + )( ) θαη Β = ( ), α) λα απινπνηεζεί ην θιάζκα B A. β) λα ιπζεί ε εμίζσζε : B A. 9. Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : i) ( )( 7) = ( )( ) ii) 6 iii) ( + ) ( + ) = ( 7) iv) v) vi) vii) ( + ) 9( ) = viii) viii) i) i)
Γ! ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΣΗ ΑΚΖΔΗ ΣΟΤ νπ ΚΔΦΑΛΑΗΟΤ.i),, ii) -,, iii) -,, iv) -,, v) - /,, vi), vii) -,,, viii),, i) -,, ) -,, i) -6, -, ii), iii) -,, iv) -6,, v),,, vi) -,,, vii) -,,, viii) -,, i) -,, ) -, -,,,. i) -, ½, ii), -/, iii), /, iv) /, -/, v) -, -/, vi) -/, -/, vii) -, -/, viii), -/, i) -, /, ), /, i) -, -, ii) 9,, iii) -, 7, iv) -,, v),, vi) αδύλαηε,.η) -, ii), iii), iv ) /, v) αδύλαηε, vi), vii), viii), i) 9, ) -, i), ii) -/,, iii) /,,.i) -, ii), iii) 6, iv), v) -, vi) -/,, vii) -7, viii) αόξηζηε κε -,,, i), ) -/,, i) -, 8. 7 < <, < + <, < < 7.α) θ-ι-, β) -ι-θ, γ) κ-θκ-ι, δ) 7ξ-θ7ξ-ι, 6. α-β+ β-α+6,.α) -+7, β) --9, γ) -+8, δ) ---,. α), β) /,. -,. 8, 9, 6.8,, 7. /, /, 8.7,, 9. ώξα,. α) -/, /, β), γ),.-, -, -,,. α) ή7, β) ή/,.α) -,, β) -,. =, =-,. όρη, 6. 7/6, 7.,, ή-,, ή -, -, -, 8.α) (-)(+), β), -, 9.i) -,,, ii) -, /, iii)-/,, iv), v) 9, vi) -/,, vii) -8, -/, viii)-7, i).
Κ Δ Φ Α Λ Α Η Ο ν
Α Δ Ρ Ω Σ Η Δ Ι Θ Δ Ω Ρ Ι Α. Ζ εμίζσζε α + β = γ κε α ή β, ηη παξηζηάλεη γξαθηθά ;. Ζ εμίζσζε = θ κε θ, ηη παξηζηάλεη γξαθηθά ;. Ζ εμίζσζε = θ κε θ, ηη παξηζηάλεη γξαθηθά ;. Πνηα εμίζσζε παξηζηάλεη ηνλ άμνλα ;. Πνηα εμίζσζε παξηζηάλεη ηνλ άμνλα ; 6. Πνηα είλαη ε κνξθή ηεο εμίζσζεο πνπ ιέγεηαη γξακκηθή ; 7. Αλ νη δπν γξακκηθέο εμηζώζεηο ελόο ζπζηήκαηνο είλαη παξάιιειεο επζείεο, πόζεο ιύζεηο έρεη ην ζύζηεκα ; 8. Αλ νη δπν γξακκηθέο εμηζώζεηο ελόο ζπζηήκαηνο ηέκλνληαη, πόζεο ιύζεηο έρεη ην ζύζηεκα ; 9. Αλ νη δπν γξακκηθέο εμηζώζεηο ελόο ζπζηήκαηνο ζπκπίπηνπλ, πόζεο ιύζεηο έρεη ην ζύζηεκα ;.Πνηα είλαη ε κνξθή ηεο γξακκηθήο εμίζσζεο πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ; Β Α Κ Η Δ Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Σ Α. Γηα πνηα ηηκή ηνπ κ ε επζεία + = κ, δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ;. Γίλνληαη νη επζείεο ε : (ι + ) + (ι + ) = ι, γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι. α) Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο Α ησλ επζεηώλ ε, γηα ι = θαη ι = -. β) Γηα ι = ε επζεία ε, δηέξρεηαη από ην Α ;. Γίλνληαη νη επζείεο ε : = θαη ε : = +. α) Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκείο Α θαη Β ησλ παξαπάλσ επζεηώλ κε ηνλ άμνλα. β) Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο Γ ησλ παξαπάλσ επζεηώλ. γ) Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ.. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ = θαη + =.. Γηαζέηνπκε έλα ραξηνλόκηζκα ησλ θαη ζέινπκε λα ην αληαιιάμνπκε κε θέξκαηα ησλ θαη. Να βξείηε ηελ γξακκηθή εμίζσζε πνπ ζπλδέεη ην πιήζνο ησλ θεξκάησλ θαη. Να θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζή ηεο θαη λα δηαπηζηώζεηε πόζα θάξκαηα ησλ θαη πόζα θέξκαηα ησλ είλαη δπλαηόλ λα πάξνπκε.
6. Έλα ζρνιείν γηα ηελ πξαγκαηνπνίεζε κηαο εθδξνκήο πήξε πξνζθνξέο από ηαμηδησηηθά γξαθεία. Σν πξώην ήζειε γηα νπνηνδήπνηε πξννξηζκό, ην δεύηεξν /km θαη ην ηξίην εθάπαμ θαη /km. Ζ ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηνλ αξηζκό ησλ km πνπ ζα γίλνπλ κε ηα ρξήκαηα πνπ θνζηίδεη ε εθδξνκή παξηζηάλνληαη γξαθηθά κε ηηο επζείεο ε, ε θαη ε ζην παξαθάησ ζρήκα. 6 ε : -= ε : -+= ε : = α) Να αληηζηνηρίζεηε ηελ πξνζθνξά θάζε γξαθείνπ κε κηα από ηηο επζείεο ε, ε θαη ε. β) Πόζα km πξέπεη λα γίλνπλ, ώζηε ηα ρξήκαηα λα είλαη ηα ίδηα από ην δεύηεξν θαη ηξίην γξαθείν ; γ) Αλ θάλνπκε km, πνην είλαη ην θζελόηεξν γξαθείν; δ) Αλ θάλνπκε km, πνην είλαη ην θζελόηεξν γξαθείν; ε) Πόηε είλαη πην ζπκθέξνπζα ε θάζε πεξίπησζε; 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα: i) iii) 8 v) vii) ii) iv) vi) viii) 6
6 i) ) 6 i) ii) iii) iv) 6 v) 7 vi) vii) 7 8. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα : i) ii) iii) 9. Αλ ην ζύζηεκα α + β = 9 α + β = έρεη ιύζε = θαη = -, λα βξείηε ηα α, β..να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α( 7, ) θαη Β(, - )..Να βξείηε ηα ι, κ, ώζηε ε εμίζσζε + (ι + κ) + ι κ = λα έρεη ξίδεο ηνπο αξηζκνύο θαη..να βξείηε δπν παξαπιεξσκαηηθέο γσλίεο πνπ δηαθέξνπλ θαηά 76 ν..να βξείηε δπν αξηζκνύο πνπ έρνπλ άζξνηζκα θαη δηαθνξά..έλα μελνδνρείν δηαζέηεη δσκάηηα δίθιηλα θαη ηξίθιηλα. Αλ ζπλνιηθά δηαζέηεη θξεβάηηα, πόζα δίθιηλα θαη πόζα ηξίθιηλα δσκάηηα έρεη ;.Έλαο πηελνηξόθνο έηξεθε θόηεο θαη θνπλέιηα. Όηαλ ηνλ ξώηεζαλ πόζεο θόηεο
θαη πόζα θνπλέιηα έρεη, γειώληαο απάληεζε όηη δελ ζπκάηαη αθξηβώο αιιά όια καδί έρνπλ θεθάιηα θαη 8 πόδηα. Μπνξείηε λα ηνλ βνεζήζεηε λα ζπκεζεί ; 6.Να βξείηε δπν αξηζκνύο πνπ έρνπλ άζξνηζκα θαη ην ηξηπιάζην ηνπ πξώηνπ, ηζνύηαη κε ην πεληαπιάζην ηνπ δεπηέξνπ. 7.Με κπνξνύκε λα αγνξάζνπκε 9 ζηπιό θαη δηαβήηεο ή 6 ζηπιό θαη 6 δηαβήηεο (όια ηα ζηπιό έρνπλ ηελ ίδηα ηηκή, ην ίδην θαη νη δηαβήηεο). Πόζν ζηνηρίδεη ην θάζε ζηπιό θαη πόζν ν θάζε δηαβήηεο; 8.Έλαο θξνπηέκπνξνο ρξεζηκνπνηώληαο θαθάζηα ησλ kg θαη ησλ kg ζπζθεύαζε kg κήια. Μπνξείηε λα βξείηε πόζα θαθάζηα ησλ kg θαη πόζα ησλ kg ρξεζηκνπνίεζε ; 9.Ο Θνδσξήο θαη ε Φαλή έρνπλ ζπλνιηθά. Αλ ν Θνδσξήο δώζεη ζηε Φαλή, ηόηε ε Φαλή ζα έρεη δηπιάζηα ρξήκαηα από ηνλ Θνδσξή. Μπνξείηε λα βξείηε πόζα ρξήκαηα είρε ν θαζέλαο ηνπο αξρηθά ;.Σν άζξνηζκα ησλ ςεθίσλ ελόο δηςήθηνπ αξηζκνύ είλαη. Αλ ελαιιάμνπκε ηε ζέζε ησλ ςεθίσλ ηνπ, πξνθύπηεη αξηζκόο κεγαιύηεξνο θαηά 7 από ηνλ αξρηθό. Να βξείηε ηνλ αξρηθό αξηζκό..γπν απηνθίλεηα θηλνύληαη κε ζηαζεξέο ηαρύηεηεο θαη απέρνπλ κεηαμύ ηνπο kg. Αλ θηλεζνύλ πξνο ηε ίδηα θαηεύζπλζε ζα ζπλαληεζνύλ κεηά από h, ελώ αλ θηλεζνύλ ζε αληίζεηε θαηεύζπλζε ζα ζπλαληεζνύλ ζε min. Με πνηα ηαρύηεηα θηλείηαη ην θάζε απηνθίλεην;.έλαο νηλνπνηόο ήζειε λα θηηάμεη l θξαζί ν (αιθννιηθώλ βαζκώλ). Γηα ην ιόγν απηό αλέκεημε θξαζί ν κε θξαζί ν. Πόζα l αλέκεημε από ην θάζε είδνο ;.Ζ πεξίκεηξνο ελόο νξζνγσλίνπ είλαη 6cm. Αλ απμήζνπκε ην κήθνο ηνπ θαηά cm θαη κεηώζνπκε ην πιάηνο ηνπ θαηά cm, ηόηε ην εκβαδόλ ηνπ απμάλεηαη θαηά cm. Να βξείηε ηηο αξρηθέο δηαζηάζεηο ηνπ νξζνγσλίνπ..να βξείηε δπν αξηζκνύο πνπ δηαθέξνπλ θαηά θαη ν έλαο ηζνύηαη κε ην δηπιάζην ηνπ άιινπ απμεκέλνπ θαηά..έλα νξζνγώλην έρεη πεξίκεηξν 6m θαη εκβαδόλ m. Να βξείηε ηηο δηαζηάζεηο ηνπ. a 6 6.Αλ ην ζύζηεκα έρεη ιύζε ρ= θαη =, λα a ππνινγίζεηε ηα α θαη β. 7
7.Να βξεζνύλ δπν αξηζκνί πνπ λα έρνπλ ιόγν θαη δηαθνξά. 8.Γίλεηαη πνιπώλπκν P()= -β+γ. Να βξείηε ηα β θαη γ αλ μέξεηε όηη P(-)= θαη P()=7. 9.Σν άζξνηζκα ησλ δηαζηάζεσλ ελόο νξζνγσλίνπ είλαη cm θαη ε δηαγώληνο ηνπ cm.να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ..ζ εμίζσζε +α + β= έρεη ξίδεο (ιύζεηο) =- θαη =. Να βξείηε ηα α θαη β..έλαο καλάβεο έρεη 9 Kg πνξηνθάιηα θαη καληαξίληα καδί. Αλ ηα πνξηνθάιηα έρνπλ /Kg θαη ηα καληαξίληα /Kg, λα βξείηε πόζα Kg είρε από ην θάζε είδνο, αλ μέξνπκε όηη πνπιώληαο απηά εηζέπξαμε. Γ Τ Ν Θ Δ Σ Δ Α Κ Η Δ Ι.Οη αθκέο δπν θύβσλ δηαθέξνπλ θαηά cm, ελώ νη όγθνη ηνπο δηαθέξνπλ θαηά 6cm.Να βξείηε ηηο αθκέο ησλ θύβσλ..να ιπζεί ην ζύζηεκα + + 8 = =.Να βξείηε ηα, αλ ηζρύεη : ( +) + ( + 8) =. Να ιπζεί ην ζύζηεκα = 6 = 6. Να βξείηε ηα, αλ ηζρύεη : + +6 + =. 7.Αλ νη επζείεο ε : (θ + ) + (ι ) = 6 θαη ε : (θ + ) ι = 6 ηέκλνληαη ζην ζεκείν Μ(, ) λα ππνινγίζεηε ηα θ θαη ι. + 6 = 8.Να ιπζεί ην ζύζηεκα 8 = 8 = 9. Να ιπζεί ην ζύζηεκα 6+ =.Οη ζεκεξηλέο ειηθίεο δπν αδειθηώλ δηαθέξνπλ θαηά 9 ρξόληα. Όκσο ζε ρξόληα ν έλαο ζα έρεη δηπιάζηα ειηθία από ηνλ άιιν. Πνηεο είλαη νη ζεκεξηλέο ηνπο ειηθίεο ;.Ζ Βάζσ αγόξαζε από ην θπιηθείν ηνπ ζρνιείνπ ηπξόπηηεο θαη πνξηνθαιάδα 8
θαη έδσζε,. Σελ άιιε κέξα ε Μαξία γηα ηπξόπηηα θαη πνξηνθαιάδεο έδσζε,. Πόζα ηειηθά έθαλε ε θάζε ηπξόπηηα θαη ε θάζε πνξηνθαιάδα;. Να ιπζεί ην ζύζηεκα : + = + z = z + =. Έλα νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( Α = 9 Ο ) έρεη πεξίκεηξν m θαη ππνηείλνπζα m. Να βξεζνύλ ηα κήθε ησλ θαζέησλ πιεπξώλ ηνπ. Γ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΣΗ ΑΚΖΔΗ ΣΟΤ νπ ΚΔΦΑΛΑΗΟΤ. κ =,. α) Α(-,), β) λαη,. α) Α(-,), Β(,), β) Γ(,), γ) (ΑΒΓ) = η.κ.. = /,. (, ) = (,) ή (,) ή (6,) ή (8,), 6. α) ε = ν, ε = ν, ε = ν, β) km, γ) ην ν, δ) ην ν, ε) θάησ από km ην ν, πάλσ από km θαη θάησ από km ην ν, πάλσ από km ην ν, 7. i) =-,=-, ii) =-,=, iii) =,=-, iv) =,=-, v) αδύλαην, vi) αόξηζην, vii) =-,=6, viii) =,=,i) =,=, ) =,=, i) =,=, ii) =,=, iii) =,=-, iv) =,= ή =-,=, v) =,=, vi) =,= ή =,=/, vii) =,= ή =/7,=-9/7, 8. i) =,=/, ii) =,=, iii) =,= ή =,=- ή =-,= ή =-,=-, 9. α =, β = -,. =,. ι = -, κ =,. ν, 8 ν,. 8, 7,. δίθιηλα θαη 9 ηξίθιηλα,. θόηεο θαη 7 θνπλέιηα, 6., 9, 7. ην ζηπιό, ν δηαβήηεο, 8. 8 ησλ kg, ησλ kg, 9. 7 ν Θνδσξήο θαη ε Φαλή,. 7,. 7km/h, 6km/h,. l ησλ ν θαη 6 l ησλ ν,. 6cm, cm,. θαη,. θαη, 6. α=,β=, 7. 8 θαη 7, 8. β= θαη γ=, 9. 8cm,.. α=,β=-8,. Kg πνξηνθάιηα θαη Kg καληαξίληα,. =, = ή =-, =-,. =,=- ή =, =,. =-, =-,. =, =, 6. =, =-, 7. θ=6, ι=7/, 8. =-, =, 9. =, =,. θαη 9,.,7 ε ηπξόπηηα θαη,6 ε πνξηνθαιάδα,. =, =, z=,. m, m, 9
Κ Δ Φ Α Λ Α Η Ο ν
Α Δ Ρ Ω Σ Η Δ Ι Θ Δ Ω Ρ Ι Α. Ση γλσξίδεηε γηα ηελ ζπλάξηεζε = α, κε α ;. Ση γλσξίδεηε γηα ηελ ζπλάξηεζε = α, κε α ;. Ση γλσξίδεηε γηα ηελ = α +β+γ, κε α ή α ; Β Α Κ Η Δ Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Σ Α. Αλ ε ζπλάξηεζε = λ+ παίξλεη ειάρηζηε ηηκή θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη από ην ζεκείν Μ(, λ), λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ι.. Μηα παξαβνιή έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ, θνξπθή ην Ο(,) θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν Μ(,8). Να βξείηε ηελ εμίζσζή ηεο.. Να ζρεδηάζεηε ηελ παξαβνιή =. Αλ Α, Β, Γ είλαη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο κε ηνπο άμνλεο, λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ.. Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο θ, ι, ώζηε ε ζπλάξηεζε = + θ + ι, γηα = λα παίξλεη ηελ ειάρηζηε ηηκή = -.. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ι, ώζηε ε παξαβνιή = (ι + ) λα έρεη κέγηζην θαη λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν Μ(, ι ). 6. Να ζρεδηάζεηε ηηο παξαβνιέο : i) =, κε -, ii) = -, κε -, iii) =, κε -. 7. Να ζρεδηάζεηε ηηο παξαβνιέο: = -, = - +, = - + +. 8. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαβνιήο = θ θ πνπ έρεη κέγηζην θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(,-). 9. Γίλεηαη ε παξαβνιή = -θ + θ. Να βξείηε ην θ έηζη ώζηε ην ζεκείν Α(,6) λ αλήθεη ζ απηή.. Γίλεηαη ε παξαβνιή = + α πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(,). Να εμεηάζεηε αλ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη από ην ζεκείν Β(-,-).. Να βξείηε πνηεο από ηηο παξαθάησ ζπλαξηήζεηο έρνπλ κέγηζην θαη πνηεο ειάρηζην :
π : = -, π : = -,, π : =, π : =, π : = -.. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ζεηηθνύ αθέξαηνπ αξηζκνύ ι, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο παξαβνιήο = (ι-6), βξίζθεηαη από ηνλ άμνλα θαη θάησ.. Να βξείηε ηνλ κε αξλεηηθό αξηζκό ι, ώζηε ε παξαβνιή = ( λ + ) λα παξνπζηάδεη ειάρηζην.. Να ιπζεί γξαθηθά ε εμίζσζε : + =. Να ιπζεί γξαθηθά ε αλίζσζε : + < 6. Να ιπζεί γξαθηθά ε αλίζσζε : < 7. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαθάησ παξαβνιήο. 8 6 - - - - -6-8 8.Να βξείηε ηελ κέγηζηε ή ηελ ειάρηζηε ηηκή ησλ ζπλαξηήζεσλ : =, = - - + 9.Να βξείηε ηα α θαη β έηζη ώζηε γηα = - / ε ζπλάξηεζε = α + + β λα παξνπζηάδεη ειάρηζην..να βξείηε ηελ παξαβνιή πνπ έρεη θνξπθή ην ζεκείν Κ(, - ) θαη δηέξρεηαη
από ην ζεκείν Α (, )..Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ι, ώζηε νη εμηζώζεηο = ( ι + ι 6 ) θαη = - ( + ι ) λα παξηζηάλνπλ παξαβνιέο ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηνλ άμνλα..έλα κεηαβιεηό νξζνγώλην έρεη πεξίκεηξν cm. Αλ ε κηα δηάζηαζή ηνπ είλαη cm, λα εθθξάζεηε ην εκβαδόλ ηνπ σο ζπλάξηεζε ηνπ. ηε ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ γηα ηελ νπνία ην εκβαδόλ γίλεηαη κέγηζην. Σέινο λα βξείηε ην κέγηζην απηό εκβαδόλ..ηηο πιεπξέο ΑΒ, ΒΓ, ΓΓ, ΓΑ ελόο ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Δ, Ε, Ζ, Θ αληίζηνηρα, ηα νπνί α ζρεκαηίδνπλ έλα λέν ηεηξάγσλν ην ΔΕΖΘ. Αλ ΑΒ=ΒΓ=ΓΓ=ΓΑ=cm θαη ΔΒ=ΕΓ=ΖΓ=ΑΘ= cm, λα εθθξάζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ΔΕΖΘ ζπλαξηήζεη ηνπ. ηε ζπλερεία λα βξείηε πόηε ην εκβαδόλ γίλεηαη ειάρηζην θαη λα βξείηε ην ειάρηζην απηό εκβαδόλ..γίλεηαη ε παξαβνιή = + (ι ι ) +. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ι ώζηε ε παξαβνιή λα έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηελ επζεία =. Γ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΣΗ ΑΚΖΔΗ ΣΟΤ νπ ΚΔΦΑΛΑΗΟΤ. ι=,. =,. η.κ.,. θ=-, ι=,. ι=-, 8. θ=-, 9. θ=- ή θ=,. δηέξρεηαη από ην Ο(,) θαη από ην Β(-,-),. π,π,π κέγηζην, π,π ειάρηζην,. ι= ή,. ι=,. =- ή =,. -< <, 6. - < <, 7. =, 8. ειάρηζην /, κέγηζην, 9. α =, β = 7/,. = +,. ι =,. Δ= - +, = cm, Δ=cm,. Δ= +, =,, E=,cm,. ι= ή ι= -,
Κ Δ Φ Α Λ Α Η Ο ν
Α! ΤΝΟΠΣΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΣΖ ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ. Υαξαθηεξηζηηθή ηδηόηεηα ηεο κεζνθαζέηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο:«κάζε ζεκείν ηεο κεζνθαζέηνπ ελόο επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο, ηζαπέρεη από ηα άθξα ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο». Γύν γσλίεο ιέγνληαη ζπκπιεξσκαηηθέο όηαλ έρνπλ άζξνηζκα 9 ν.. Γπν γσλίεο ιέγνληαη παξαπιεξσκαηηθέο όηαλ έρνπλ άζξνηζκα 8 ν.. Δθεμήο παξαπιεξσκαηηθέο είλαη νη γσλίεο: α β. Γπν θαηαθνξπθήλ γσλίεο είλαη ίζεο. 6. Αλ δπν παξάιιειεο επζείεο ηέκλνληαη από κηα ηξίηε επζεία ηόηε ηζρύεη: α) Οη εληόο ελαιιάμ γσλίεο είλαη ίζεο. β) Οη εληόο εθηόο θαη επί η απηά γσλίεο είλαη ίζεο. γ) Οη εληόο θαη επί η απηά γσλίεο είλαη παξαπιεξσκαηηθέο ζ=θ, θ=σ θ+λ=8 ν 7. Δίδε ηξηγώλσλ: α) σο πξνο ηηο πιεπξέο ζ θ λ σ ηζόπιεπξν ηζνζθειέο ζθαιελό β) σο πξνο ηηο γσλίεο νξζνγώλην ακβιπγώλην νμπγώλην 8. ηνηρεία ηξηγώλνπ: α) θύξηα ζηνηρεία : πιεπξέο θαη γσλίεο β) δεπηεξεύνληα ζηνηρεία: i) Γηάκεζνο:Σν επζύγξακκν ηκήκα πνπ ελώλεη κηα 6
θνξπθή κε ην κέζν ηεο απέλαληη πιεπξάο. Κάζε ηξίγσλν έρεη δηακέζνπο (κ α,κ β,κ γ ) πνπ δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν, πνπ ιέγεηαη θέληξν βάξνπο ή βαξύθεληξν.(ρ.) ii) Γηρνηόκνο:Σν επζύγξακκν ηκήκα πνπ ρσξίδεη κηα γσλία ζε δπν ίζεο γσλίεο θαη βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ ηξηγώλνπ. Κάζε ηξίγσλν έρεη δηρνηόκνπο (δ α,δ β,δ γ ) πνπ ζπληξέρνπλ (ρ.) iii) Τςνο: Ζ απόζηαζε κηαο θνξπθήο από ηελ απέλαληη πιεπξά. Κάζε ηξίγσλν έρεη ύςε(π α,π β,π γ ) πνπ δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν πνπ ιέγεηαη νξζόθεληξν.(ρ.) ρ. ρ. ρ. 9. ε θάζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη: α) 8 β) α<β+γ, β<α+γ, γ<α+β άύ γ). Σν ηζόπιεπξν ηξίγσλν έρεη ίζεο πιεπξέο θαη ίζεο γσλίεο κε 6 ν ε θαζεκία. Σα ύςε ηνπ είλαη ηαπηόρξνλα θαη δηάκεζνη θαη δηρνηόκνη.. Σν ηζνζθειέο ηξίγσλν έρεη ηηο απέλαληη από ηηο ίζεο πιεπξέο ηνπ γσλίεο ίζεο. Ζ δηάκεζνο πξνο ηελ βάζε ηνπ είλαη ηαπηόρξνλα θαη ύςνο θαη δηρνηόκνο.. Παξαιιειόγξακκν: είλαη ην ηεηξάπιεπξν πνπ έρεη ηηο απέλαληη πιεπξέο ηνπ παξάιιειεο. Ιδηόηεηεο: α) Οη απέλαληη Γ Ε Γ πιεπξέο ηνπ είλαη ίζεο. β) Οη απέλαληη γσλίεο ηνπ είλαη ίζεο. γ) Οη δηαγώληνη δηρνηνκνύληαη. δ) Δ=(βάζε).(ύςνο). Α Β. Οξζνγώλην: είλαη ην ηεηξάπιεπξν πνπ έρεη όιεο ηνπ ηηο γσλίεο ίζεο(νξζέο). Ηζρύνπλ όιεο νη ηδηόηεηεο ηνπ Α β Γ α Β Γ 7
παξαιιεινγξάκκνπ θαη επί πιένλ : α) Οη δηαγώληνί ηνπ είλαη ίζεο, β) Δ=α.β. Ρόκβνο: είλαη ην ηεηξάπιεπξν πνπ έρεη Γ ίζεο πιεπξέο. Ηζρύνπλ όιεο νη ηδηόηεηεο ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ θαη επί πιένλ νη δηαγώληέο ηνπ είλαη θάζεηεο θαη δηρνηνκνύλ ηηο γσλίεο ηνπ. Δ= Α Γ Β. Σεηξάγσλν:είλαη ην ηεηξάπιεπξν πνπ έρεη Α Β ίζεο πιεπξέο θαη ίζεο γσλίεο. Ηζρύνπλ όιεο νη ηδηόηεηεο ηνπ παξαιιεινα γξάκκνπ, ηνπ νξζνγσλίνπ θαη ηνπ ξόκβνπ. Δ=α Γ α Γ 6. Σξαπέδην: είλαη ην ηεηξάπιεπξν πνπ Α έρεη απέλαληη πιεπξέο παξάιιειεο. Όηαλ ΑΓ=ΒΓ ιέγεηαη ηζνζθειέο ηξαπέδην. Γ Όηαλ είλαη ηζνζθειέο ηζρύεη:,. π β β Β Γ 7. Κύθινο (Ο,ξ): είλαη ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ ηνπ επηπέδνπ πνπ απέρνπλ από ην Ο απόζηαζε ξ. Σόμν ΑΒ, ρνξδή ΑΓ, δηάκεηξνο ΑΓ, επίθεληξε, εγγεγξακκέλε, ε ε είλαη εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ ζην ζεκείν επαθήο Ε θαη ηζρύεη Μήθνο θύθινπ Γ=πξ ή Γ=πδ Α Γ Ο Β Γ Κάζε εγγεγξακκέλε γσλία ηζνύηαη κε ην κηζό ηεο αληίζηνηρεο επίθεληξεο. Ζ επίθεληξε θαη ην αληίζηνηρν ηόμν ηεο είλαη ίζσλ κνηξώλ. Γει. ˆ ˆ, ˆ ˆ ε Ε, κέηξν ˆ έ ό (ζε κνίξεο), 8
ˆ έ έ ό (ζε κνίξεο) 8. Κξηηήξηα ηζόηεηαο ηξηγώλσλ : ν. Γύν ηξίγσλα είλαη ίζα, αλ έρνπλ ηηο αληίζηνηρεο πιεπξέο ηνπο ίζεο, κία πξνο κία. ν : Γύν ηξίγσλα είλαη ίζα, αλ έρνπλ δύν πιεπξέο ίζεο κηα πξνο κία θαη ηηο πεξηερόκελεο ππ απηέο γσλίεο ίζεο. ν : Γύν ηξίγσλα είλαη ίζα, αλ έρνπλ κηα πιεπξά ίζε θαη ηηο πξνζθείκελεο γσλίεο ζηηο ίζεο πιεπξέο αληίζηνηρα κία πξνο κία ίζεο. Αλ ηα ηξίγσλα είλαη νξζνγώληα, ηόηε είλαη ίζα, όηαλ : α) έρνπλ δύν πιεπξέο ίζεο κία πξνο κία. β) έρνπλ πιεπξά ίζε θαη νμεία γσλία ίζε αληίζηνηρα. 9. Σα ζεκεία ηεο δηρνηόκνπ κηαο γσλίαο ηζαπέρνπλ από ηηο πιεπξέο ηεο γσλίαο θαη αληίζηξνθα : αλ έλα ζεκείν ηζαπέρεη από ηηο πιεπξέο κηαο γσλίαο,ηόηε ζα βξίζθεηαη πάλσ ζηε δηρνηόκν ηεο.. Όηαλ παξάιιειεο επζείεο νξίδνπλ ίζα ηκήκαηα ζε κηα επζεία, ηόηε ζα νξίδνπλ ίζα ηκήκαηα θαη ζε θάζε άιιε επζεία πνπ ηηο ηέκλεη.. α) Αλ από ην κέζν κηαο πιεπξάο ηξηγώλνπ θέξνπκε παξάιιειν πξνο κηα πιεπξά ηνπ, ηόηε απηή δηέξρεηαη από ην κέζν ηεο ηξίηεο πιεπξάο. β) Σν επζύγξακκν ηκήκα πνπ ζπλδέεη ηα κέζα ησλ δύν πιεπξώλ ηξηγώλνπ είλαη παξάιιειν πξνο ηελ ηξίηε πιεπξά θαη ηζνύηαη κε ην κηζό ηεο. 9
. Ζ δηάκεζνο πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ππνηείλνπζα ελόο νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ, είλαη ίζε κε ην κηζό ηεο ππνηείλνπζαο.. Θεώξεκα ηνπ Θαιή: Όηαλ παξάιιειεο επζείεο ηέκλνπλ δύν άιιεο επζείεο, ηόηε ηα ηκήκαηα πνπ νξίδνληαη ζηε κία είλαη αλάινγα πξνο ηα αληίζηνηρα ηκήκαηα πνπ νξίδνληαη ζηελ άιιε.. Κάζε παξάιιειε πξνο κηα πιεπξά ηξηγώλνπ, ρσξίδεη ηηο άιιεο πιεπξέο ηνπ, ζε ίζνπο ιόγνπο.. Οκνηνζεζία : Αλ ην πνιύγσλν Π είλαη νκνηόζεην ηνπ πνιπγώλνπ Π κε ιόγν νκνηνζεζίαο ι, ηόηε : i) ην Π είλαη κεγέζπλζε ηνπ Π, όηαλ ι > ii) ην Π είλαη ζκίθξπλζε ηνπ Π, όηαλ ι< iii) ην Π είλαη ίζν κε ην Π, όηαλ ι =. Οκνηόηεηα: α) Γύν πνιύγσλα είλαη όκνηα, όηαλ έρνπλ ηηο πιεπξέο ηνπο αλάινγεο θαη ηηο αληίζηνηρεο γσλίεο ηνπο ίζεο. β) Γύν ηξίγσλα είλαη όκνηα όηαλ έρνπλ ηηο δύν γσλίεο ηνπο ίζεο κία πξνο κία. γ) Σα νκνηόζεηα πνιύγσλα είλαη όκνηα. 6. Ο ιόγνο ησλ πεξηκέηξσλ δπν νκνίσλ πνιπγώλσλ είλαη ίζνο κε ην ιόγν νκνηόηεηαο ησλ. 7. Ο ιόγνο ησλ εκβαδώλ δπν νκνίσλ πνιπγώλσλ είλαη ίζνο κε ην ηεηξάγσλν ηνπ ιόγνπ νκνηόηεηαο. Β Α Κ Ζ Δ Η - Π Ρ Ο Β Λ Ζ Μ Α Σ Α. Να δείμεηε όηη γηα ην ηξίγσλν ΑΒΓ, ηζρύεη : ˆ ˆ ˆ. Β. Γύν θύθινη (Κ,ξ ) θαη (Λ,ξ ) ηέκλνληαη ζηα Α θαη Β. Να δείμεηε όηη ˆ ˆ θαη όηη ε ΚΛ κεζν ΑΒ.. Να δείμεηε όηη ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ, ζρεκαηίδνπλ ηζνζθειέο ηξίγσλν. Α θ Γ
. Να δείμεηε όηη νη θνξπθέο Β θαη Γ ηξηγώλνπ ΑΒΓ, απέρνπλ ίζεο απνζηάζεηο από ηελ δηάκεζό ηνπ ΑΜ.. ε κηα γσλία ˆ, ζηηο πιεπξέο Ο θαη Ο παίξλνπκε ηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα, έηζη ώζηε ΟΑ=ΟΒ. Να δείμεηε όηη θάζε ζεκείν ηεο δηρνηόκνπ ηεο ˆ ηζαπέρεη από ηα Α θαη Β. 6. ε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ θέξνπκε ην ύςνο ΑΓ. Να δείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΑΓΒ θαη ΑΓΓ είλαη όκνηα. Μεηά λα γξάςεηε ηηο αλαινγίεο ησλ νκνιόγσλ πιεπξώλ ηνπο. 7. ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), Κ, Λ, Μ είλαη ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ηνπ ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αληίζηνηρα. Να δείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΑΚΛΜ είλαη ξόκβνο. 8. Να δείμεηε όηη ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ελόο ηεηξαπιεύξνπ ζρεκαηίδνπλ παξαιιειόγξακκν. 9. ην παξαθάησ ζρήκα ηα Κ,Λ,Ρ,Μ είλαη ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ, ΑΓ, ΓΓ θαη ΓΒ αληίζηνηρα. Να δείμεηε όηη ΚΛ=ΜΡ.. ε ηξίγσλν ΑΒΓ θέξνπκε ηελ δηάκεζν ΑΜ θαη ηελ πξνεθηείλνπκε θαηά ηκήκα ΜΓ = ΑΜ. Να δείμεηε όηη : i) ηα ηξίγσλα ΑΒΜ θαη ΓΓΜ είλαη ίζα, ii) ην ΑΓΓΒ είλαη παξαιιειόγξακκν.. Να ππνινγίζεηε ην ζε θάζε κηα από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο, αλ μέξνπκε όηη ΓΔ//ΒΓ.. ε ηξαπέδην ΑΒΓΓ (ΑΒ//ΓΓ) είλαη ΑΒ=cm θαη ΓΓ=9cm. Αλ Ο είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ, λα εμεηάζεηε αλ ηα ηξίγσλα ΑΟΒ θαη ΓΟΓ είλαη όκνηα θαη κεηά λα
ππνινγίζεηε ηνπο ιόγνπο : θαη.. ε δύν ηζνζθειή ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΔΕ έρνπκε ΑΒ=ΑΓ=cm, ΓΔ=ΓΕ=6cm, ˆ 6 θαη ˆ Να δείμεηε όηη ηα ηξίγσλα είλαη όκνηα θαη λα ππνινγίζεηε ηελ ΔΕ, αλ μέξνπκε όηη ΒΓ=cm.. Σα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΔΕ είλαη όκνηα. Αλ ΑΒ=cm, ΒΓ=8cm, ΑΓ=cm θαη ΔΕ=cm, λα ππνινγίζεηε ηηο πιεπξέο ΓΔ θαη ΓΕ.. ην δηπιαλό ζρήκα είλαη ΓΔ//ΒΓ, ΑΒ=, ΓΒ= Γ Δ θαη ην εκβαδόλ ηνπ ΑΓΔ είλαη cm. Να βξείηε ην Β Γ εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. 6. ε ηξίγσλν ΑΒΓ, θέξνπκε ηα ύςε ηνπ ΒΓ θαη ΓΔ. Να δείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΑΔΓ είλαη όκνηα. 7. ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), λα δείμεηε όηη ην κέζν Μ ηεο ΒΓ, ηζαπέρεη από ηηο ίζεο πιεπξέο ηνπ. Α 8. ην δηπιαλό ζρήκα έρνπκε: Α ΓΔ//ΒΓ θαη ΔΕ//ΑΒ. Να ππνινγίζεηε ην ΓΔ θαη ην ΓΕ. Γ Δ Β Ε 9. Γίλεηαη ε γσλία oˆ θαη ην εζσηεξηθό ηεο ζεκείν Μ. Αλ ην Μ ηζαπέρεη από ηηο πιεπξέο ηεο, λα δείμεηε όηη ε ΟΜ είλαη δηρνηόκνο ηεο oˆ.. ε ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ πξνεθηείλνπκε ηηο πιεπξέο ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ πξνο ηηο θνξπθέο Β,Γ,Α αληίζηνηρα, έηζη ώζηε ΒΓ=ΓΔ=ΑΕ. Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΓΔΕ είλαη ηζόπιεπξν. Γ. ην δηπιαλό ζρήκα είλαη ΑΓ=ΑΓ θαη ΑΔ=ΑΓ. Να απνδείμεηε όηη : ΔΓΓΓ. Γ Δ Α Γ
. ην δηπιαλό ζρήκα είλαη 9 θαη ˆ. Να δείμεηε όηη Β. Α (Τπνδ. : Να θέξεηε ηελ δηάκεζν ΑΜ ηνπ ηξηγ.αβγ). ε ηξίγσλν ΑΒΓ, Μ θαη Ν είλαη ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ηνπ ΑΒ, ΑΓ αληίζηνηρα. Αλ ΜΝ=+ θαη ΒΓ= +, λα ππνινγίζεηε ηελ πιεπξά ηνπ ΒΓ.. ε ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ, είλαη ˆ ˆ 9 θαη Δ ην κέζν ηνπ ΓΒ, λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΔΓ είλαη ηζνζθειέο.. Αλ ε πιεπξά ελόο ηεηξαγώλνπ απμεζεί θαηά %, πόζν % ζα απμεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ; 6. Πξνεθηείλνπκε ηηο ίζεο πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ, ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ ΑΒΓ, θαηά ίζα ηκήκαηα ΒΓ= ΓΔ. Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ θαη Δ ηζαπέρνπλ από ηελ ΒΓ. 7. ηηο πιεπξέο ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ ηζνπιεύξνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ, παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ,Δ,Ε αληίζηνηρα έηζη ώζηε ΑΓ=ΒΔ=ΓΕ. Να δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΓΔΕ είλαη ηζόπιεπξν. 8. Σα παξαθάησ ηξίγσλα είλαη όκνηα. Να ππνινγίζεηε ηηο πιεπξέο ηνπ δεπηέξνπ ηξηγώλνπ. Γ 6m Δ 8m Δ m 9. ε θύθιν (Ο,ξ) έρνπκε δύν θάζεηεο ρνξδέο ΑΒ θαη ΓΓ πνπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν Μ. Να δείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΑΜΓ θαη ΒΜΓ είλαη όκνηα.. ην παξαθάησ ζρήκα ε ΑΔ είλαη δηρνηόκνο ηεο γσλίαο ΒΑΓ. Να δείμεηε όηη: i) ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΑΓΔ είλαη όκνηα, ii) ηα ηξίγσλα ΑΓΓ θαη ΑΒΔ είλαη όκνηα, iii) ηα ηξίγσλα ΑΔΒ θαη ΓΔΒ είλαη όκνηα.
Α Ο Β Γ Γ Δ. ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ΑΒ=ΑΓ ) είλαη ΑΒ =. Αλ ε πεξίκεηξνο ηνπ ΒΓ 6 ηξηγώλνπ είλαη cm, λα βξεζνύλ ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ θαη ην ύςνο ηνπ ΑΓ.. Οξζνγώλην παξαιιειόγξακκν έρεη δηαζηάζεηο cm θαη cm. Έλα άιιν όκνην πξνο απηό έρεη πεξίκεηξν 8cm. Να ππνινγηζζνύλ νη δηαζηάζεηο ηνπ. Γ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΣΗ ΑΚΖΔΗ ΣΟΤ νπ ΚΔΦΑΛΑΗΟΤ.,,,. /,,.,. ή (, - 6,) ή (7, ) ή (, 6,8),. 7cm, 6. m, 8.,,6,.,. 6,% 8. m,m,m.. ΑΒ=ΑΓ=cm, ΒΓ=cm, ΑΓ=8cm,. cm, cm
Κ Δ Φ Α Λ Α Η Ο ν
Α! ΤΝΟΠΣΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΣΖ ΣΡΗΓΧΝΟΜΔΣΡΗΑ. Σξηγσλνκεηξηθνί αξηζκνί νμείαο γσλίαο σ : Β σ α γ β Α Γ έ ά ˆ ί ί ά ί έ ά ί ά. Σξηγσλνκεηξηθνί αξηζκνί νπνηαζδήπνηε γσλίαο κηθξόηεξεο ή ίζεο ησλ 8 ν : έ ό έ ό έ έ Μ(,) ξ σ. Πξόζεκν ηξηγσλνκεηξηθώλ αξηζκώλ : ηεηαξηεκ. ηξ.αξηζκ. ν ν εκ σ + + ζπλ σ + - εθ σ + -. Σξηγσλνκεηξηθνί αξηζκνί ζπκπιεξσκαηηθώλ θαη παξαπιεξσκαηηθώλ γσληώλ: εκ(9 ν σ ) = ζπλσ ζπλ(9 ν σ )= εκσ εκ(8 ν σ) = εκσ ζπλ(8 ν σ) = - ζπλσ εθ(8 ν σ) = - εθσ 6
. Σξηγσλνκεηξηθνί αξηζκνί βαζηθώλ γσληώλ : γσλία ηξηγσλ. ν ν ν 6 ν 9 ν 8 ν αξηζκνί εκσ / / / ζπλσ / / / - εθσ / - 6. Σξηγσλνκεηξηθέο ηαπηόηεηεο. Γηα θάζε γσλία o σ 8 o ηζρύεη : i) ii) iii) iv) 7. Νόκνο ησλ εκηηόλσλ. «ε θάζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη:» 8. Νόκνο ηνπ ζπλεκηηόλνπ. «ε θάζε ηξίγσλν ηζρύεη : α = β + γ βγζπλα β = γ + α γαζπλβ γ = α + β αβζπλγ» 9. Σύπνο ππνινγηζκνύ κηαο γσλίαο ηξηγώλνπ, αλ μέξνπκε ηηο πιεπξέο ηνπ :,, 7
Β! ΑΚΖΔΗ ΣΡΗΓΧΝΟΜΔΣΡΗΑ Αλ 9 θαη, λα βξείηε ην ζπλσ θαη ηελ εθσ.. Αλ 9 8 θαη παξάζηαζε., λα ππνινγίζεηε ηελ. Ν απνδείμεηε όηη: i) εκ + ζπλ 8 =, ii) εκ 7 + εκ 67 =. Να ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο : Α = εκ(9 ) ζπλ B = εθ(8 ) + εθ Γ = εκ(8 ) ζπλ(9 ) Γ = ζπλ(8 ) + εκ(9 ). Να ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε : 6 6 6. Να ππνινγηζζεί ε παξάζηαζε : 7. Αλ ζπλ = θαη 9, λα ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε Α = εκ εθ. 8. Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο παξάζηαζεο: 8 8 9. Να βξείηε ηηο ηηκέο πνπ κπνξεί λα πάξεη ε παξάζηαζε :, γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ.. Να ππνινγηζζνύλ νη παξαζηάζεηο : Α = (εκ9 ζπλ8 ).(ζπλ9 ζπλ ) Β = (εκ8 + ζπλ8 ) (ζπλ + εκ9 ). έλα ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη α=m ˆ 8 θαη ˆ 7. Να ππνινγίζεηε ηηο πιεπξέο β θαη γ.(υξεζηκ.πίλαθεο) 8
. ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη β=m, γ=8m θαη ˆ. Να ππνινγίζεηε ηελ πιεπξά ηνπ α.(υξεζηκ. Πίλαθεο). Έλα ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη α=m, β=m θαη γ=m. Να βξείηε ην είδνο ηνπ σο πξνο ηηο γσλίεο.. Έλα ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη α=8m, β=m θαη ˆ. Να ππνινγίζεηε ηελ γ πιεπξά ηνπ.. Έλα ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη β=m θαη ˆ. Αλ γ=8m, λα βξείηε ηελ. 6. ε θύθιν αθηίλαο cm, έρνπκε ην ηξίγσλν ΑΒΓ κε ˆ 8 θαη ηόμν Να ππνινγίζεηε ηηο πιεπξέο ΑΒ θαη ΒΓ. AB. 7. Να ππνινγηζζνύλ νη παξαζηάζεηο : 8 8 6, 6 6 8. Να εμεηάζεηε αλ ππάξρεη γσλία σ έηζη ώζηε λα είλαη 9. Αλ ηαπηόρξνλα θαη. θαη 9 8., λα δείμεηε όηη a. Αλ α = εκθ θαη β = ςζπλθ, λα δείμεηε όηη:.. Να δείμεηε όηη : εκ(8 σ)εκ(9 σ) + ζπλ(9 σ)ζπλ(8 σ) =.. Αλ α= 7 m, β=m θαη γ=m, λα βξείηε ηελ θαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. 9
. Να δείμεηε όηη: ζπλ + ζπλ6 + εκ - ζπλ + εθ - εθ =.. Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ˆ, m θαη ˆ, λα ππνινγίζεηε ηηο πιεπξέο α θαη β.. Να δείμεηε όηη ε παξάζηαζε : Α = εκσζπλ(9 - σ) + ζπλσεκ(9 - σ), είλαη αλεμάξηεηε ηνπ σ. 6. Να βξεζεί ην πξόζεκν ηεο παξάζηαζεο Α = εκ8.ζπλ.εθ7.εκ7 7. Αλ α = ζπλσ, β = εκθ.εκσ θαη γ = ζπλθ.εκσ, λα δείμεηε όηη : α + β + γ =. 8. Να εμεηάζεηε αλ ππάξρεη γσλία σ έηζη ώζηε λα ηζρύεη : εκσ = θαη ζπλσ = ηαπηόρξνλα. 9. Να δείμεηε όηη : i) (ζπλσ - εκσ) + εκσ.ζπλσ = ii) (εκσ + ζπλσ) + (ζπλσ εκσ) =.. Αλ 9 8 θαη ζπλ =, λα βξείηε ην.. Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη βζπλγ = γζπλβ, λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο.. ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη α =, 6 θαη ππνινγίζεηε ηελ γσλία ηνπ Β.. Να. Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ˆ 6 θαη β=γ, λα δείμεηε όηη ˆ 9.
Γ! ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΣΧΝ ΑΚΖΔΧΝ ΣΟΤ νπ ΚΔΦΑΛΑΗΟΤ. ζπλσ=,,.,. Α=Β=Γ=Γ=,. Α= -, 6. Α=, 7. Α=, 8. Α<, 9. -6 Α,. Α=-, Β = - 6,. β,m, γ,77m,. α6,m,. ακβιπγώλην,. γ,6m,. 6, 6. ΑΒ=7,88m, ΒΓ=6,6m,. 7. Α=, Β=, 8. λαη,. 6, m,. α=β=, 6., 8. όρη,. =,. 6
ΑΚΖΔΗ ΔΠΑΝΑΛΖΦΖ Δ. Να δείμεηε όηη : ( + 9)( + ) ( + 6) = ( ). Δ. Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο: i) - 9 ii) α β α + iii) ( 9)( + ) ( )( + ) iv) α + α v) - + 8 + 6 Δ. Να ππνινγηζζνύλ νη παξαζηάζεηο : Α = a a a a, Β = a a a a 8 Δ. Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : i) ( )( + ) = ( + )( + 6) ii) + 8 = 8 6 iii) E. ε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 9 ), είλαη θαη θέξνπκε ην ύςνο ΑΓ. Να δείμεηε όηη : i) Σα ηξίγσλα ΑΓΒ θαη ΑΓΓ είλαη όκνηα. ii) Αλ m θαη ΒΓ = 6m, λα ππνινγίζεηε ηελ ΑΒ, ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη ην επζ. ηκήκα ΒΓ. Δ6. Έλαο παίθηεο ηνπ κπάζθεη ζ έλα παηρλίδη πεηπραίλεη 9 πόληνπο, βάδνληαο ζπλνιηθά θαιάζηα από ειεύζεξεο βνιέο θαη δίπνληα. Πόζα δίπνληα θαη πόζεο βνιέο πέηπρε; Δ7. Αλ α + β = α β, λα δείμεηε όηη α = β ή α = -β. Δ8. Αλ α = β + γ, λα δείμεηε όηη : α (β + γ ) = αβγ. Δ9. Να εμεηάζεηε αλ νη επζείεο : θαη + = είλαη παξάιιειεο. Δ. Να βξείηε ηα α θαη β, έηζη ώζηε ε επζεία κε εμίζσζε = α + β, λα δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α(,-) θαη Β(-,8) θαη ζηε ζπλέρεηα λα δείμεηε όηη απηή ε επζεία
δηέξρεηαη θαη από ην ζεκείν Γ(,-8). Δ. α) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε : A + 6 = 6. + 7 β) ην δηπιαλό ζρήκα είλαη ΓΔ//ΒΓ. Γ Δ Να ππνινγίζεηε ην. + Β Γ Δ. Γίλεηαη ε εμίζσζε : 6 = () α) Να ιύζεηε ηε εμίζσζε. β) Αλ ε κεγαιύηεξε ξίδα (ιύζε) ηεο () είλαη ην εκίηνλν ηεο γσλίαο σ, κε 9 σ 8, λα βξείηε ην ζπλσ θαη ηελ εθσ. γ) Να δείμεηε όηη ε παξάζηαζε είλαη ίζε κε. Δ. Γίλνληαη νη παξαζηάζεηο Α =, B = + 8. α) Να γίλνπλ γηλόκελα νη παξαζηάζεηο Α θαη Β. β) Να ιπζεί ε εμίζσζε : Α + Β =. γ) Να ιπζεί ε εμίζσζε : Δ. Να ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο (8 ) (9 ), (8 ) (9 ) 6 θαη λα δείμεηε 6 όηη -Α + Β =. Δ. Γίλεηαη ην ζύζηεκα : ( ) ( ) α) Να ιύζεηε ην ζύζηεκα. β) Αλ ε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Μ(,), λα δείμεηε όηη ην Μ αλήθεη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο επζείαο κε εμίζσζε =.. E6. Γίλνληαη νη παξαζηάζεηο α) Να ηηο απινπνηήζεηε. β) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε : θαη..
Δ7. Γίλεηαη ε εμίζσζε : =. α) Να ηελ ιύζεηε. β) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε : 6. Δ8. Γίλεηαη ε εμίζσζε : + = (). α) Να ηελ ιύζεηε. β) Γίλεηαη όηη εκσ =. Να εμεηάζεηε αλ ε κεγαιύηεξε ξίδα ηεο () κπνξεί λα είλαη ην ζπλσ. γ) Μπνξείηε λα βξείηε ηελ εθσ ; Δ9. Γίλνληαη νη παξαζηάζεηο A = + θαη B = 9. α) Να ηηο παξαγνληνπνηήζεηε. β) Να απινπνηήζεηε ηελ παξάζηαζε Δ. Γίλεηαη ε εμίζσζε + = θαη ην ζύζηεκα.αθνύ ιύζεηε ηελ εμίζσζε 8 θαη ην ζύζηεκα, λα εμεηάζεηε αλ ηα ζεκεία Α(, ) θαη Β(,) είλαη ζεκεία ηεο επζείαο = +, όπνπ, είλαη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο κε θαη, νη ιύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο. Δ. Γίλεηαη ην ζύζηεκα.. Αθνύ ιύζεηε ην ζύζηεκα λα εμεηάζεηε αλ ε ιύζε ηνπ κπνξεί λα είλαη δύν ηξηγσλνκεηξηθνί αξηζκνί ηεο ίδηαο γσλίαο (πνηαο άξαγε;). Δ. Γίλεηαη έλα ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ε παξάζηαζε Κ = 6ημ +συ ν 6 εφ. Οη γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ είλαη αλάινγεο κε δηαδνρηθνύο άξηηνπο αξηζκνύο αληίζηνηρα, πνπ έρνπλ άζξνηζκα ίζν κε Κ. α) λα βξείηε ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ σο πξνο ηηο γσλίεο. β) αλ ε κεγαιύηεξε πιεπξά ηνπ ηξηγώλνπ είλαη cm, λα ππνινγίζεηε ηηο ππόινηπεο πιεπξέο ηνπ. Δ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε = α + β 6. i) αλ ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α( -, 8 ) θαη Β(, - ) λα ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ησλ α, β.
ii) γηα ηηο ηηκέο ησλ α, β πνπ βξήθαηε, λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε : α + β 6 =. iii) αλ ξ είλαη ε κηθξόηεξε ξίδα ηεο εμίζσζεο α + β 6 =, λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α = ξ + ξ. Δ. ην παξαθάησ ζρήκα ην ΑΒΓΓ είλαη ηξαπέδην. A cm Β Ε Γ cm α) λα δείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΑΒΕ θαη ΓΕΓ είλαη όκνηα. β) αλ (ΑΒΕ) = cm, λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΒΕΓ. Γ
ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΣΗ ΑΚΖΔΗ ΔΠΑΝΑΛΖΦΖ Δ. i) (-)(+), ii) (α-β-)(α+β-), iii) (+)(+)(-), iv) (α-)(-)(+), v) -(-)(+), Δ. Α= a a, Β=, Δ. i)=-, =-, =, ii) = +, = -, iii) =, Δ. ΑΒ=m, Δ=, m, ΒΓ=,m, Δ6. 7 δίπνληα θαη βνιέο, Δ9. λαη είλαη, Δ. =-+, E. α) =, =-8, β) =, Δ. α) =, =, β) ζπλσ=, εθσ=, Δ. α) Α=(-)(+), B=(+)(-), β) =-, =, γ) =-, Δ. Α=, Β=, Δ. =, =-, Δ6. α) Α=, Β=, β) =-, =, Δ7. α) =, =, β) =, Δ8. α) =-, =, β) λαη κπνξεί, γ) εθσ=, Δ9. α) Α=(+), Β=(-)(+), β), Δ. =-, =, =-, =, λαη είλαη, Δ. =,=, λαη κπνξεί (γσλία ), Δ. α. νξζνγώλην, β. cm, cm, E. α=, β=-, =-, = 6, A=, Δ. (ΓΕΓ) = 8cm 6
Β Η Β Λ Η Ο Γ Ρ Α Φ Η Α. Μαζεκαηηθά Γ! Γπκλαζίνπ (Γ.Παπακηραήι, θαη άιισλ) Δθδόζεηο Ο.Δ.Γ.Β., Αζήλα 98.. Μαζεκαηηθά Γ! Γπκλαζίνπ ( Α.Αιηκπηλίζεο, θαη άιινη) Δθδόζεηο Ο.Δ.Γ.Β., Αζήλα 999.. Μαζεκαηηθά Γ! Γπκλαζίνπ (Διεπζέξηνο Πξσηνπαπάο) Δθδόζεηο Παηάθε, Αζήλα.. Μαζεκαηηθά Γ! Γπκλαζίνπ (Ακβξνπδή Σζηιηαθνύ) Δθδόζεηο Παηάθε, Αζήλα 996.. Πεξηνδηθό «Δπθιείδεο Α!», Γηάθνξα ηεύρε. 6. Άιγεβξα Α! Λπθείνπ (. Αλδξεαδάθεο, θαη άιινη) Δθδόζεηο Ο. Δ.Γ.Β., Αζήλα 99. 7. Μαζεκαηηθά Γ! Γπκλαζίνπ (Βαζίιεο Παπαδάθεο) Δθδόζεηο αββάιαο, Αζήλα 7. 7